Matrice inversa

Lezione 19 (videolezione n. 19), con i richiami della lezione 15 sui cambiamenti di base. Esercizi svolti: Esercizio 46 · inversa con Gauss-Jordan e una matrice non invertibile, Esercizio 45 · matrice R tale che RA è a scala, nucleo, immagine e cambio di base. Seguito: Permutazioni e definizione di determinanteIl determinante di una matrice quadrata è la somma, su tutte le n! permutazioni, dei prodotti di n elementi presi uno per riga e uno per colonna, con segno + o − secondo la parità della permutazione; per 2×2 è ad − bc, per 3×3 c'è la regola di Sarrus, per le triangolari è il prodotto della diagonale.Permutazioni e definizione di determinante →, Matrice aggiunta e teorema di CramerLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer →.

Due motivi per saper invertire una matrice:

• nelle formule di cambiamento di baseLa matrice di cambiamento di base è la matrice dell'identità rispetto a due basi diverse: trasforma le coordinate in una base nelle coordinate nell'altra ed è invertibile; la matrice di f in nuove basi è M(id)·A·M(id), e per un endomorfismo A' = P⁻¹AP (matrici simili).Cambiamenti di base → compare l'inversa di una matrice di cambio di base (cambiare la base nel codominio era la parte "difficile");
• un sistema $AX = B$ con $A$ invertibile si risolve in un colpo solo: $X = A^{-1}B$ (vedi Sistemi lineari e teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →).

Definizione

Definizione (matrice invertibile e inversa). Una matrice quadrata $A \in M_n(K)$ si dice invertibile se esiste una matrice $A^{-1} \in M_n(K)$ tale che $$A A^{-1} = A^{-1} A = I_n.$$ $A^{-1}$ si chiama inversa di $A$.

È l'analogo di $a \cdot \frac1a = 1$ per i numeri. Però per le matrici il prodotto non è commutativoLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici →, quindi a priori bisognerebbe chiedere due cose: $A^{-1}A = I$ (inversa "a sinistra") e $AA^{-1} = I$ (inversa "a destra").

Esempio (lezione 15). Per $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ si ha $A^{-1} = \frac15 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$. Verifica (è la cosa più facile da fare quando qualcuno ci dà un'inversa): prima riga di $A^{-1}$ per prima colonna di $A$: $\frac15(1 \cdot 2 + 1 \cdot 3) = 1$; prima riga per seconda colonna: $\frac15(1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1) = 0$; seconda riga per prima colonna: $\frac15(-3 \cdot 2 + 2 \cdot 3) = 0$; seconda riga per seconda colonna: $\frac15(-3 \cdot (-1) + 2 \cdot 1) = 1$. Il prodotto $A^{-1}A$ è $I_2$ (e allo stesso modo $AA^{-1} = I_2$).

Inversa sinistra e inversa destra coincidono

Proposizione (inversa sinistra e destra coincidono). Se $BA = I_n$ e $AC = I_n$, allora $B = C$. In particolare l'inversa, se esiste, è unica.

Esempio. Per $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ le matrici $B$ e $C$ con $BA = I$ e $AC = I$ sono entrambe $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Controllo: $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$ e $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 + 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$. Come funzione, $A$ manda $(x, y)$ in $(x + y, \ y)$ e l'inversa in $(x - y, \ y)$: una aggiunge $y$ alla prima coordinata, l'altra lo toglie.

Dimostrazione. Si calcola $BAC$ in due modi, usando la proprietà associativaLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici → del prodotto di matrici e il fatto che $I_n$ è l'elemento neutro:

$$B = B I_n = B(AC) = (BA)C = I_n C = C.$$

Nel primo passaggio si è sostituito $I_n$ con $AC$, nel quarto $BA$ con $I_n$. ∎

Per l'unicità: se $A'$ e $A''$ sono due inverse, in particolare $A'A = I$ e $AA'' = I$, quindi $A' = A''$ per quanto appena visto.

Quando una matrice è invertibile

Una matrice $A \in M_{m \times n}(K)$ corrisponde alla funzione lineare $f_A : K^n \to K^m$, $X \mapsto AX$, e $A^{-1}$ corrisponde alla funzione inversa $f_A^{-1}$: infatti il prodotto di matrici è la composizione, quindi $AA^{-1} = A^{-1}A = I_n$ dice $f_A \circ f_{A^{-1}} = f_{A^{-1}} \circ f_A = \mathrm{id}$, che è la definizione di funzione inversaIniettività (test delle rette orizzontali), suriettività, biunivocità e funzione inversa con il suo grafico simmetrico rispetto a y = x.Funzioni iniettive, suriettive e inverse →. Quindi $A$ è invertibile se e solo se $f_A$ è biiettiva, cioè un isomorfismoUna funzione tra spazi vettoriali è lineare se rispetta somma e prodotto per uno scalare; manda 0 in 0, è determinata dalle immagini di una base e si chiama isomorfismo quando è anche biiettiva.Funzioni lineari e isomorfismi → (e l'inversa di un isomorfismo è ancora lineare, quindi ha una matrice).

1. Solo le matrici quadrate possono essere invertibili. Un isomorfismo esiste solo tra spazi della stessa dimensione, quindi serve $n = m$.
2. Per una matrice quadrata basta una delle due condizioni (iniettiva oppure suriettiva). Per il teorema nullità + rangoIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine →, $\dim \operatorname{Ker} f_A + \dim \operatorname{Im} f_A = n$:
   • se $f_A$ è iniettiva, $\operatorname{Ker} f_A = \{0\}$, quindi $\dim \operatorname{Im} f_A = n = \dim K^n$ e $\operatorname{Im} f_A = K^n$: è anche suriettiva;
   • se $f_A$ è suriettiva, $\dim \operatorname{Im} f_A = n$, quindi $\dim \operatorname{Ker} f_A = 0$: è anche iniettiva.

Teorema. Per $A \in M_n(K)$ sono equivalenti:

• $A$ è invertibile;
• $\operatorname{rango}(A) = n$ (rango massimo);
• $\operatorname{Ker} f_A = \{0\}$, cioè il sistema $AX = 0$ ha solo la soluzione nulla;
• le colonne (equivalentemente, le righe) di $A$ sono linearmente indipendenti.

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ha rango $2$ (le colonne $(1, 3)$ e $(2, 4)$ non sono proporzionali: $2 = 2 \cdot 1$ ma $4 \ne 2 \cdot 3$), $AX = 0$ ha solo $X = 0$ e le colonne sono indipendenti: è invertibile, con $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$ (dalla formula $2 \times 2$ più sotto: $ad - bc = 4 - 6 = -2$ e $A^{-1} = -\frac12 \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$). Controllo della prima riga di $A A^{-1}$: $1 \cdot (-2) + 2 \cdot \frac32 = 1$ e $1 \cdot 1 + 2 \cdot (-\frac12) = 0$ ✓.

Più avanti si aggiungerà un'altra condizione equivalente: $\det A \ne 0$ (vedi Matrice aggiunta e teorema di CramerLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer →).

Calcolo con il metodo di Gauss-Jordan

Idea. Si scrive $(A \,|\, I_n)$ e si fanno solo operazioni sulle righe:

1. prima si riduce $A$ a scala come nell'Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss → (zeri sotto la diagonale, procedendo dalla prima colonna verso destra);
2. poi si creano gli zeri sopra la diagonale, partendo dall'ultima colonna e risalendo verso sinistra, usando ogni volta la riga del pivot di quella colonna;
3. infine si divide ogni riga per il suo pivot, così sulla diagonale compaiono tutti $1$.

Se si riesce ad arrivare a $(I_n \,|\, B)$, allora $B = A^{-1}$.

Perché funziona. Le operazioni sulle righe equivalgono a moltiplicare a sinistra per una matrice invertibile $B$ (la "memoria" di tutte le operazioni, vedi Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss →): $B(A \,|\, I_n) = (BA \,|\, B)$. Se a sinistra si è ottenuto $I_n$, vuol dire che $BA = I_n$, cioè $B$ è inversa sinistra di $A$; e per la proposizione precedente è *l'*inversa.

Quando si blocca. Le operazioni elementari non cambiano il rango. Se $\operatorname{rango}(A) < n$, nella forma a scala compare una riga nulla e a sinistra non si potrà mai ottenere $I_n$ (che ha rango $n$): appena si vede la riga nulla ci si ferma, $A$ non è invertibile.

Esempio 1: inversa a coefficienti interi

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$

Zeri sotto la diagonale: $R_2 \to R_2 - R_1$, $R_3 \to R_3 - R_1$. Sulla riga intera (parte sinistra e parte destra): $R_2 - R_1 = (1 - 1, \ 3 - 2, \ 0 - 1 \,|\, 0 - 1, \ 1, \ 0) = (0, 1, -1 \,|\, -1, 1, 0)$ e $R_3 - R_1 = (0, \ 0, \ 2 - 1 \,|\, -1, \ 0, \ 1) = (0, 0, 1 \,|\, -1, 0, 1)$.

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

È già a scala, con tre pivot: $\operatorname{rango}(A) = 3$, quindi $A$ è invertibile.

Zeri sopra la diagonale, partendo dall'ultima colonna, usando solo la terza riga: $R_2 \to R_2 + R_3$ (il $-1$ diventa $0$), $R_1 \to R_1 - R_3$ (l'$1$ diventa $0$). Conti: $R_2 + R_3 = (0, 1, 0 \,|\, -1 - 1, \ 1 + 0, \ 0 + 1) = (0, 1, 0 \,|\, -2, 1, 1)$ e $R_1 - R_3 = (1, 2, 0 \,|\, 1 + 1, \ 0 - 0, \ 0 - 1) = (1, 2, 0 \,|\, 2, 0, -1)$.

$$\to \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

Perché non si poteva fare, per esempio, $R_2 \to R_2 + R_1$ per eliminare il $-1$ della seconda riga? Perché la prima riga ha un $1$ in prima colonna: si sarebbe distrutto lo zero in posizione $(2,1)$.

Seconda colonna, usando la seconda riga: $R_1 \to R_1 - 2R_2$, cioè $(1, \ 2 - 2, \ 0 \,|\, 2 + 4, \ 0 - 2, \ -1 - 2) = (1, 0, 0 \,|\, 6, -2, -3)$. Tutti i pivot sono già $1$, quindi il passo 3 (dividere per i pivot) non serve.

$$\to \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 6 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right) \qquad \Longrightarrow \qquad A^{-1} = \begin{pmatrix} 6 & -2 & -3 \\ -2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Verifica (sempre consigliata: il procedimento è lungo ed è facile sbagliare un segno): prima riga di $A^{-1}$ per le colonne di $A$: $6 - 2 - 3 = 1$, $12 - 6 - 6 = 0$, $6 + 0 - 6 = 0$ ✓; seconda riga $(-2, 1, 1)$: $-2 + 1 + 1 = 0$, $-4 + 3 + 2 = 1$, $-2 + 0 + 2 = 0$ ✓; terza riga $(-1, 0, 1)$: $-1 + 0 + 1 = 0$, $-2 + 0 + 2 = 0$, $-1 + 0 + 2 = 1$ ✓.

Esempio 2: compaiono frazioni

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 1 \\ 6 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$

• $R_2 \to R_2 + 2R_1$ e $R_3 \to R_3 - 3R_1$ (i rapporti sono $\frac{-4}{2} = -2$ e $\frac{6}{2} = 3$): $R_2 + 2R_1 = (-4 + 4, \ 3 + 2, \ 1 + 0 \,|\, 2, 1, 0)$ e $R_3 - 3R_1 = (6 - 6, \ 0 - 3, \ -2 - 0 \,|\, -3, 0, 1)$: $$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -2 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right)$$
• $R_3 \to R_3 + \frac35 R_2$ (il rapporto tra $-3$ e $5$; il prezzo da pagare sono le frazioni). Elemento per elemento: $-3 + \frac35 \cdot 5 = 0$, $-2 + \frac35 \cdot 1 = -\frac75$, e a destra $-3 + \frac35 \cdot 2 = -\frac95$, $0 + \frac35 \cdot 1 = \frac35$, $1 + 0 = 1$: $$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac75 & -\frac95 & \frac35 & 1 \end{array}\right)$$
• $R_3 \to -\frac57 R_3$ (per avere $1$ sulla diagonale: $-\frac57 \cdot (-\frac75) = 1$, e a destra $-\frac57 \cdot (-\frac95) = \frac97$, $-\frac57 \cdot \frac35 = -\frac37$, $-\frac57$), poi $R_2 \to R_2 - R_3$ (la prima riga ha già $0$ in terza colonna; a destra $2 - \frac97 = \frac57$, $1 + \frac37 = \frac{10}7$, $0 + \frac57 = \frac57$): $$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & \frac57 & \frac{10}7 & \frac57 \\ 0 & 0 & 1 & \frac97 & -\frac37 & -\frac57 \end{array}\right)$$
• $R_2 \to \frac15 R_2$ (a destra $\frac17, \frac27, \frac17$), poi $R_1 \to R_1 - R_2$ (a sinistra $(2, 0, 0)$, a destra $1 - \frac17 = \frac67$, $0 - \frac27 = -\frac27$, $0 - \frac17 = -\frac17$), infine $R_1 \to \frac12 R_1$: $$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \frac37 & -\frac17 & -\frac1{14} \\ 0 & 1 & 0 & \frac17 & \frac27 & \frac17 \\ 0 & 0 & 1 & \frac97 & -\frac37 & -\frac57 \end{array}\right)$$

Verifica sulla prima riga di $A A^{-1}$, cioè $(2, 1, 0)$ per le colonne dell'inversa: $2 \cdot \frac37 + \frac17 = 1$, $2 \cdot (-\frac17) + \frac27 = 0$, $2 \cdot (-\frac1{14}) + \frac17 = 0$ ✓.

Una curiosità del prof: tutti i denominatori sono $7$ o $14 = 2 \cdot 7$, cioè divisori di $14$. Non è un caso: $\det A = -14$, e la formula dell'inversa con l'aggiuntaLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer → spiega che nell'inversa si divide sempre per il determinante.

Esempio 3: una matrice non invertibile

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end{pmatrix}$$

$R_1 \leftrightarrow R_2$ (il primo elemento era $0$), poi $R_3 \to R_3 - 2R_1$ e infine $R_3 \to R_3 - R_2$:

$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 4 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

($R_3 - 2R_1 = (4 - 4, \ 1 - 0, \ 4 - 2) = (0, 1, 2)$, uguale alla seconda riga.) Rango $2 < 3$: ci si ferma, $A$ non è invertibile (infatti $R_3 = R_1 + 2R_2$ nella matrice originale: $(0 + 4, \ 1 + 0, \ 2 + 2) = (4, 1, 4)$). Non è un fallimento del metodo: è la risposta.

Lo stesso fatto letto con il nucleo: dalla forma a scala, $AX = 0$ equivale a $2x + z = 0$, $y + 2z = 0$, con $z$ libera. Con $z = -2$: $y = 4$, $x = 1$. Il vettore $(1, 4, -2) \ne \vec 0$ sta nel nucleo (controllo: $0 + 4 - 4 = 0$, $2 + 0 - 2 = 0$, $4 + 4 - 8 = 0$), quindi $f_A$ non è iniettiva e non può avere inversa.

La formula per le matrici $2 \times 2$

Facendo Gauss-Jordan su $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ si trova, quando $ad - bc \ne 0$,

Formula (inversa di una matrice 2 × 2). $$\boxed{A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}}$$

Esempio. $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{2 \cdot 1 - (-1)\cdot 3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$.

cioè: si scambiano i due elementi della diagonale principale, si cambia segno agli altri due e si divide per $ad - bc$. Verifica: il prodotto della prima riga di $A^{-1}$ per la prima colonna di $A$ è $\frac{da - bc}{ad - bc} = 1$; per esteso $$\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} da - bc & db - bd \\ -ca + ac & -cb + ad \end{pmatrix} = (ad - bc)\, I_2$$ e dividendo per $ad - bc$ si ottiene $I_2$.

Da dove viene (Gauss-Jordan con $a \ne 0$). Si riduce $\left(\begin{array}{cc|cc} a & b & 1 & 0 \\ c & d & 0 & 1 \end{array}\right)$:

1. $R_2 \to R_2 - \frac{c}{a} R_1$: la seconda riga diventa $\big(0, \ d - \frac{bc}{a} \,\big|\, -\frac{c}{a}, \ 1\big) = \big(0, \ \frac{ad - bc}{a} \,\big|\, -\frac{c}{a}, \ 1\big)$. Qui si vede il ruolo di $ad - bc$: se è $0$ la seconda riga a sinistra è nulla, il rango è $1$ e ci si ferma.
2. $R_2 \to \frac{a}{ad - bc} R_2$: diventa $\big(0, 1 \,\big|\, \frac{-c}{ad - bc}, \frac{a}{ad - bc}\big)$.
3. $R_1 \to R_1 - b R_2$: a sinistra $(a, 0)$, a destra $1 + \frac{bc}{ad - bc} = \frac{ad}{ad - bc}$ e $-\frac{ab}{ad - bc}$.
4. $R_1 \to \frac1a R_1$: $\big(1, 0 \,\big|\, \frac{d}{ad - bc}, \frac{-b}{ad - bc}\big)$.

A destra si legge la formula. (Se $a = 0$ si scambiano prima le due righe, e il risultato è lo stesso.)

Tutti gli elementi hanno lo stesso denominatore $ad - bc$, e se questo numero è $0$ l'inversa non esiste. Geometricamente: $ad - bc = 0$ vuol dire che le colonne $(a, c)$ e $(b, d)$ sono proporzionali, quindi $f_A$ manda tutto il piano su una retta (o in $\vec 0$) e non si può tornare indietro.

{"tipo":"geometria","titolo":"A = (1 2; 2 4) ha ad − bc = 4 − 4 = 0: Ae₁ = (1, 2) e Ae₂ = (2, 4) stanno sulla stessa retta y = 2x, e il quadrato unitario viene schiacciato sul segmento da (0, 0) a A(1, 1) = (3, 6)","x":[-1,4],"y":[-0.5,6.5],"elementi":[{"poligono":[[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]],"colore":1},{"retta":[2,-1,0],"colore":4,"tratteggio":true,"etichetta":"Im A: y = 2x"},{"segmento":[[0,0],[3,6]],"colore":2},{"vettore":[1,0],"etichetta":"e₁","colore":1},{"vettore":[0,1],"etichetta":"e₂","colore":1},{"vettore":[1,2],"etichetta":"Ae₁","colore":2},{"vettore":[2,4],"etichetta":"Ae₂","colore":2}]}
``` Questo numero **determina** se $A$ è invertibile: per questo si chiama **determinante**. Capire chi è il "denominatore comune" per matrici più grandi è il punto di partenza della <a class="wiki glossa" href="/algebra-lineare-e-geometria/appunti/permutazioni-e-definizione-di-determinante/" aria-describedby="sp-14">teoria dei determinanti<span class="spiega" role="tooltip"><span class="spiega-testo" id="sp-14">Il determinante di una matrice quadrata è la somma, su tutte le n! permutazioni, dei prodotti di n elementi presi uno per riga e uno per colonna, con segno + o − secondo la parità della permutazione; per 2×2 è ad − bc, per 3×3 c&#39;è la regola di Sarrus, per le triangolari è il prodotto della diagonale.<span class="spiega-vai">Permutazioni e definizione di determinante →</span></span><span class="graffa" aria-hidden="true"><i class="g-l"></i><i class="g-linea"></i><i class="g-punta"></i><i class="g-linea"></i><i class="g-r"></i></span></span><!--/spiega--></a>.

## Proprietà

Se $A, B \in M_n(K)$ sono invertibili:

| Proprietà | Perché |
|---|---|
| $(A^{-1})^{-1} = A$ | $A A^{-1} = A^{-1} A = I$ dice anche che $A$ è inversa di $A^{-1}$ |
| $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ (ordine invertito) | $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I$ |
| $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ | $A^T (A^{-1})^T = (A^{-1} A)^T = I^T = I$, usando $(BC)^T = C^T B^T$ |
| $(\lambda A)^{-1} = \frac1\lambda A^{-1}$ per $\lambda \ne 0$ | $(\lambda A)(\frac1\lambda A^{-1}) = AA^{-1} = I$ |

La seconda riga ricorda il "togliersi calze e scarpe": si tolgono in ordine inverso a come si sono messe.

**Uso per i sistemi.** Se $A \in M_n(K)$ è invertibile, $AX = B$ ha l'unica soluzione $X = A^{-1}B$ (si moltiplicano entrambi i membri **a sinistra** per $A^{-1}$). Calcolare $A^{-1}$ conviene però solo se si devono risolvere molti sistemi con la stessa $A$ e termini noti diversi; per un solo sistema è più rapido Gauss direttamente su $(A \,|\, B)$.

## Errori comuni

- **Parlare di inversa di una matrice non quadrata.** Non esiste.
- **Usare operazioni sulle colonne** in $(A \,|\, I)$: le colonne di $A$ e di $I$ non si mescolerebbero nel modo giusto. Solo righe.
- **Moltiplicare dalla parte sbagliata**: da $AX = B$ si ricava $X = A^{-1}B$, non $BA^{-1}$ (che spesso non ha nemmeno senso).
- **Scrivere $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$**: l'ordine va invertito.
- **Non verificare**: un prodotto $AA^{-1}$ richiede pochi conti e scopre quasi tutti gli errori.