Matrice associata a una funzione lineare

Lezioni 11–13 (videolezioni n. 11, 12 e 13); riassunto nel video breve Matrice associata a una funzione lineare (n. 49, 4 min). Esercizi svolti: Esercizio 22 · nucleo, immagine, antimmagine e restrizione (compitino 12/4/2025), Esercizio 26 · nucleo, immagine e matrice di una restrizione (appello 3/2/2026), Esercizio 27 · la stessa funzione in tre coppie di basi (lezioni 13 e 15). Prerequisiti: Funzioni lineari e isomorfismiUna funzione tra spazi vettoriali è lineare se rispetta somma e prodotto per uno scalare; manda 0 in 0, è determinata dalle immagini di una base e si chiama isomorfismo quando è anche biiettiva.Funzioni lineari e isomorfismi →, Coordinate rispetto a una baseFissata una base, ogni vettore ha una e una sola lista di coordinate; la funzione vettore → coordinate è un isomorfismo con K^n, quindi ogni spazio di dimensione n si comporta come K^n (ma l'isomorfismo dipende dalla base).Coordinate rispetto a una base →. Seguito: Operazioni tra matriciLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici →, Cambiamenti di baseLa matrice di cambiamento di base è la matrice dell'identità rispetto a due basi diverse: trasforma le coordinate in una base nelle coordinate nell'altra ed è invertibile; la matrice di f in nuove basi è M(id)·A·M(id), e per un endomorfismo A' = P⁻¹AP (matrici simili).Cambiamenti di base →.

Da dove vengono le matrici

Sia $f : V \to W$ lineare, con $\mathcal B = \{v_1, \dots, v_n\}$ base di $V$ e $\mathcal C = \{w_1, \dots, w_m\}$ base di $W$ (quindi $\dim V = n$, $\dim W = m$; $n$ e $m$ possono essere diversi).

1. Per il teorema delle immagini di una baseUna funzione tra spazi vettoriali è lineare se rispetta somma e prodotto per uno scalare; manda 0 in 0, è determinata dalle immagini di una base e si chiama isomorfismo quando è anche biiettiva.Funzioni lineari e isomorfismi →, per conoscere $f$ basta conoscere $f(v_1), \dots, f(v_n)$.
2. Ogni $f(v_j)$ è un vettore di $W$, quindi si scrive in modo unico come combinazione della base $\mathcal C$: $$f(v_j) = a_{1j} w_1 + a_{2j} w_2 + \dots + a_{mj} w_m = \sum_{i=1}^m a_{ij} w_i \qquad (j = 1, \dots, n)$$

I coefficienti hanno due indici: il primo ($i$) dice quale vettore $w_i$ moltiplicano, il secondo ($j$) da quale $f(v_j)$ vengono. È una convenzione (si poteva fare il contrario), ma una volta scelta va rispettata per tutto il corso: nella sommatoriaIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie → si somma sul primo indice, il secondo resta fisso. Per esempio con $m = 2$ e $j = 3$ la formula dice $f(v_3) = a_{13} w_1 + a_{23} w_2$.

Tutta l'informazione su $f$ sta nei numeri $a_{ij}$. Si dispongono in una tabella rettangolare con $i$ = indice di riga e $j$ = indice di colonna:

Definizione (matrice associata a una funzione lineare). La matrice associata a $f$ rispetto alla base $\mathcal B$ del dominio e alla base $\mathcal C$ del codominio è $$M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$ La colonna $j$ contiene le coordinate di $f(v_j)$ rispetto alla base $\mathcal C$.

Esempio. $f(x,y) = (x + y,\ 2x)$ nelle basi canoniche: $f(e_1) = (1,2)$ e $f(e_2) = (1,0)$, quindi $M(f) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$.

• Ha $m$ righe ($m = \dim W$, il codominio) e $n$ colonne ($n = \dim V$, il dominio): è una matrice $m \times n$. Una colonna per ogni vettore della base del dominio.
• Dipende da $f$ e da entrambe le basi. Cambiando le basi cambia la matrice (vedi Cambiamenti di baseLa matrice di cambiamento di base è la matrice dell'identità rispetto a due basi diverse: trasforma le coordinate in una base nelle coordinate nell'altra ed è invertibile; la matrice di f in nuove basi è M(id)·A·M(id), e per un endomorfismo A' = P⁻¹AP (matrici simili).Cambiamenti di base →). Quando le basi sono chiare dal contesto si scrive semplicemente $A$.
• Notazione. Qui la base del dominio sta in alto e quella del codominio in basso. Il prof nelle videolezioni scrive $M^{\underline W}_{\underline V}(f)$, cioè dominio in basso e codominio in alto: è solo una questione di posizione, il significato è lo stesso. L'importante è che, comunque la si scriva, nei prodotti le basi "uguali" stanno una in alto e una in basso (vedi sotto).

Perché le coordinate vanno in colonna: i numeri $a_{1j}, \dots, a_{mj}$ sono le coordinate di un vettore ($f(v_j)$), e per convenzione le coordinate si scrivono in colonnaFissata una base, ogni vettore ha una e una sola lista di coordinate; la funzione vettore → coordinate è un isomorfismo con K^n, quindi ogni spazio di dimensione n si comporta come K^n (ma l'isomorfismo dipende dalla base).Coordinate rispetto a una base →.

La ricetta

Per scrivere $M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f)$:

1. prendi il primo vettore della base del dominio, $v_1$, e calcola $f(v_1)$;
2. scrivi $f(v_1)$ come combinazione lineare dei vettori della base del codominio $w_1, \dots, w_m$;
3. i coefficienti trovati, in colonna, sono la prima colonna;
4. ripeti con $v_2$ (seconda colonna), …, $v_n$ ($n$-esima colonna).

Esempio astratto. $\dim V = 3$, $\dim W = 2$, e

$$f(v_1) = 3w_1 - 2w_2, \qquad f(v_2) = w_1 + 5w_2, \qquad f(v_3) = -4w_1 - 7w_2$$

Allora

$$M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f) = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -4 \\ -2 & 5 & -7 \end{pmatrix}$$

i coefficienti di $f(v_1)$ nella prima colonna, quelli di $f(v_2)$ nella seconda, quelli di $f(v_3)$ nella terza.

Il caso delle basi canoniche

Se $V = K^n$, $W = K^m$ e si usano le basi canoniche, tutto diventa immediato:

• la colonna $j$ è semplicemente $f(e_j)$ (in $K^m$ con la base canonica le coordinate di un vettore sono le sue componenti);
• se $f$ è data con una formula, la riga $i$ contiene i coefficienti della componente $i$.

Esempio (lezione 13). $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$, $f(x, y, z) = (3x - 2y + z, \ x + 2z)$.

$f(1, 0, 0) = (3, 1)$, $f(0, 1, 0) = (-2, 0)$, $f(0, 0, 1) = (1, 2)$, quindi

$$A = M^{\mathcal E_3}_{\mathcal E_2}(f) = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

(con $\mathcal E_3$, $\mathcal E_2$ le basi canoniche). Si vede che la prima riga $3, -2, 1$ sono i coefficienti di $x, y, z$ nella prima componente e la seconda riga $1, 0, 2$ quelli della seconda componente (il coefficiente di $y$ è $0$ perché $y$ non compare).

Con basi non canoniche il punto 2 della ricetta richiede di risolvere un sistema: esempio completo nell'Esercizio 27 · la stessa funzione in tre coppie di basi (lezioni 13 e 15).

Calcolare $f(v)$ con la matrice

Teorema (coordinate dell'immagine). Se $A = M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f)$, allora per ogni $v \in V$

$$[f(v)]_{\mathcal C} = A \, [v]_{\mathcal B}$$

cioè: le coordinate dell'immagine si ottengono moltiplicando (righe per colonne) la matrice per la colonna delle coordinate di $v$.

Dimostrazione. Sia $v = \sum_{j=1}^n \lambda_j v_j$ e $f(v) = \sum_{i=1}^m \mu_i w_i$. Per linearità e per la definizione della matrice

$$f(v) = \sum_{j=1}^n \lambda_j f(v_j) = \sum_{j=1}^n \lambda_j \sum_{i=1}^m a_{ij} w_i = \sum_{i=1}^m \Big( \sum_{j=1}^n a_{ij} \lambda_j \Big) w_i$$

(primo passaggio: linearità di $f$; secondo: definizione delle colonne della matrice; terzo: si è scambiato l'ordine delle due somme, cosa lecita perché è un'unica somma finita di $nm$ termini $\lambda_j a_{ij} w_i$, e le somme finiteIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie → si possono riordinare e raggruppare come si vuole: qui si raccolgono tutti i termini che contengono lo stesso $w_i$). Con $n = m = 2$, scritto per esteso: $$\lambda_1 (a_{11} w_1 + a_{21} w_2) + \lambda_2 (a_{12} w_1 + a_{22} w_2) = (a_{11}\lambda_1 + a_{12}\lambda_2) w_1 + (a_{21}\lambda_1 + a_{22}\lambda_2) w_2$$ Le coordinate rispetto a una base sono uniche, quindi confrontando con $f(v) = \sum \mu_i w_i$:

$$\mu_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} \lambda_j = a_{i1}\lambda_1 + a_{i2}\lambda_2 + \dots + a_{in}\lambda_n$$

che è esattamente "riga $i$ di $A$ per la colonna $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$", cioè il prodotto righe per colonneLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici → ∎.

Il diagramma. Si può riassumere così: in alto la funzione $f$ tra i vettori, in basso la moltiplicazione per $A$ tra le colonne di coordinate; le frecce verticali sono gli isomorfismi delle coordinateFissata una base, ogni vettore ha una e una sola lista di coordinate; la funzione vettore → coordinate è un isomorfismo con K^n, quindi ogni spazio di dimensione n si comporta come K^n (ma l'isomorfismo dipende dalla base).Coordinate rispetto a una base →.

$$\begin{array}{ccc} V & \xrightarrow{\ \ f\ \ } & W \\ \big\downarrow {\scriptstyle [\ ]_{\mathcal B}} & & \big\downarrow {\scriptstyle [\ ]_{\mathcal C}} \\ K^n & \xrightarrow{\ X \mapsto AX\ } & K^m \end{array}$$

Promemoria per la notazione: in $M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f)\,[v]_{\mathcal B}$ la base $\mathcal B$ compare una volta in alto e una in basso e "si cancella", resta $\mathcal C$: il risultato è $[f(v)]_{\mathcal C}$. Non si cancella niente davvero, ma aiuta a ricordare l'ordine.

Esempio (lezione 13): giro lungo contro prodotto. Sia $A = M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ e $v$ il vettore di coordinate $(2, -3, 4)$, cioè $v = 2v_1 - 3v_2 + 4v_3$.

Giro lungo. Le colonne dicono $f(v_1) = 2w_1 + w_2$, $f(v_2) = -w_1 + w_2$, $f(v_3) = 3w_1 + 2w_2$. Allora $$f(v) = 2f(v_1) - 3f(v_2) + 4f(v_3) = 2(2w_1 + w_2) - 3(-w_1 + w_2) + 4(3w_1 + 2w_2) = 19 w_1 + 7 w_2$$

Con il prodotto. $$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 3 + 12 \\ 2 - 3 + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 \\ 7 \end{pmatrix}$$

Stesso risultato, molto più in fretta: è questa l'utilità delle matrici. Non sono indispensabili (si potrebbe fare sempre il giro lungo), ma organizzano i conti in modo efficiente.

Ogni matrice è una funzione lineare

Viceversa, data una matrice $A$ con $m$ righe e $n$ colonne, la funzione

$$L_A : K^n \to K^m, \qquad X \mapsto AX$$

è lineare (per le proprietà del prodottoLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici →: $A(X + Y) = AX + AY$ è la proprietà distributiva, $A(\lambda X) = \lambda AX$ quella degli scalari) e la sua matrice rispetto alle basi canoniche è proprio $A$. Infatti la colonna $j$ di quella matrice è $Ae_j$, e la componente $i$ di $Ae_j$ è $a_{i1} \cdot 0 + \dots + a_{ij} \cdot 1 + \dots + a_{in} \cdot 0 = a_{ij}$: $Ae_j$ è la colonna $j$ di $A$. Per questo negli esercizi si parla indifferentemente di "nucleo di $A$", "immagine di $A$", "rango di $A$": si intendono quelli di $L_A$.

Perché nel grafico il quadrato resta un quadrato: $Ae_1 = (1, 1)$ e $Ae_2 = (-1, 1)$ sono perpendicolari (il prodotto scalareIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli → è $1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0$) e hanno la stessa lunghezza $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt 2$. Il lato passa da $1$ a $\sqrt 2$, l'area da $1$ a $(\sqrt 2)^2 = 2$.

Esempio: la rotazione di un angolo $\theta$. Sia $R_\theta : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ la rotazione di centro l'origine e angolo $\theta$ in senso antiorario (è lineare: ruotare una somma o un multiplo dà la somma o il multiplo dei ruotati, per la regola del parallelogramma). Per la ricetta servono solo le immagini della base canonica. $e_1 = (1, 0)$ sta sulla circonferenza unitaria all'angolo $0$, e ruotato va nel punto della circonferenza all'angolo $\theta$, cioè $(\cos\theta, \sin\theta)$ (è la definizione di seno e coseno, vedi Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →). $e_2 = (0, 1)$ sta all'angolo $\frac\pi2$ e va all'angolo $\theta + \frac\pi2$: $\big(\cos(\theta + \frac\pi2), \sin(\theta + \frac\pi2)\big) = (-\sin\theta, \cos\theta)$. Quindi $$M(R_\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}, \qquad R_\theta(x, y) = (x\cos\theta - y\sin\theta, \ x\sin\theta + y\cos\theta)$$ Con $\theta = \frac\pi2$ si ritrova $R(x, y) = (-y, x)$ di Funzioni lineari e isomorfismiUna funzione tra spazi vettoriali è lineare se rispetta somma e prodotto per uno scalare; manda 0 in 0, è determinata dalle immagini di una base e si chiama isomorfismo quando è anche biiettiva.Funzioni lineari e isomorfismi →; con $\theta = \frac\pi6$ (30°) le colonne sono $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12) \approx (0.87, 0.5)$ e $(-\frac12, \frac{\sqrt3}{2}) \approx (-0.5, 0.87)$.

Rango, nucleo e immagine letti sulla matrice

Lavoriamo con $f : K^n \to K^m$ e la sua matrice $A$ nelle basi canoniche (con basi qualsiasi il discorso è identico, ma si ottengono coordinate invece che vettori).

• Immagine. Le colonne di $A$ sono $f(e_1), \dots, f(e_n)$, che generano $\operatorname{Im} f$Il nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine →. Quindi $\operatorname{Im} f$ è il sottospazio generato dalle colonne e una base di $\operatorname{Im} f$ è data da un insieme massimale di colonne indipendenti.
• Rango. Si definisce rango di $A$, $\operatorname{rango}(A)$, il massimo numero di colonne linearmente indipendenti. Per quanto appena detto $$\operatorname{rango}(A) = \dim \operatorname{Im} f = \text{rango di } f$$
• Nucleo. $v \in \operatorname{Ker} f \iff Av = \vec 0$: il nucleo è l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo $AX = \vec 0$. Per nullità + rangoIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine →, $\dim \operatorname{Ker} f = n - \operatorname{rango}(A)$ ($n$ = numero di colonne).

Esempio. Per $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ (la $f(x, y, z) = (3x - 2y + z, \ x + 2z)$ di sopra):

• le prime due colonne $(3, 1)$ e $(-2, 0)$ non sono proporzionali (la seconda ha un $0$ dove la prima ha $1$), quindi sono indipendenti; in $\mathbb{R}^2$ non ce ne possono essere tre indipendenti, quindi $\operatorname{rango}(A) = 2$ e $\operatorname{Im} f = \mathbb{R}^2$;
• $\dim \operatorname{Ker} f = 3 - 2 = 1$. Il sistema $3x - 2y + z = 0$, $x + 2z = 0$ dà dalla seconda $x = -2z$, e sostituendo nella prima $-6z - 2y + z = 0$, cioè $y = -\frac52 z$. Con $z = -2$ (per evitare frazioni): $\operatorname{Ker} f = \langle (4, 5, -2) \rangle$. Verifica: $12 - 10 - 2 = 0$ e $4 - 4 = 0$ ✓.

Rango per righe e rango per colonne. Si potrebbe contare anche il massimo numero di righe indipendenti. A prima vista sembra un numero senza significato, ma vale un fatto sorprendente (si dimostra con l'Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss →): per ogni matrice il rango per righe è uguale al rango per colonne. Una matrice $3 \times 10\,000$ ha al massimo 3 righe indipendenti, quindi anche al massimo 3 colonne indipendenti. In pratica il rango si calcola riducendo la matrice a scala.

Lo stesso $f$, basi diverse, stesso rango. Matrici diverse della stessa funzione sono diverse, ma tutto ciò che dipende solo da $f$ deve essere uguale; in particolare il rango, perché è $\dim \operatorname{Im} f$, che non dipende dalle basi.

Somma e prodotto per uno scalare

Se $f, g : V \to W$ sono lineari, anche $f + g$ (definita da $(f+g)(v) = f(v) + g(v)$) e $\lambda f$ lo sono, e con le stesse basi:

Proprietà (matrice di una somma e di un multiplo). $$M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f + g) = M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f) + M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(g), \qquad M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(\lambda f) = \lambda \, M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f)$$

Esempio. Se $M(f) = I_2$ e $M(g) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, allora $M(f + g) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ e $M(3f) = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$.

dove somma e prodotto per scalare di matrici si fanno elemento per elemento. Infatti, con $A = (a_{ij})$ e $B = (b_{ij})$ le matrici di $f$ e $g$, $(f + g)(v_j) = f(v_j) + g(v_j) = \sum_i a_{ij} w_i + \sum_i b_{ij} w_i = \sum_i (a_{ij} + b_{ij}) w_i$: le coordinate di $(f + g)(v_j)$ sono $a_{ij} + b_{ij}$. Allo stesso modo $(\lambda f)(v_j) = \lambda \sum_i a_{ij} w_i = \sum_i (\lambda a_{ij}) w_i$. La composizione di funzioni corrisponde invece al prodotto righe per colonne: è il teorema principale di Operazioni tra matriciLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici →.

Errori comuni

• Scrivere le immagini in riga invece che in colonna. La colonna $j$ è $f(v_j)$; con le basi canoniche, la riga $i$ sono i coefficienti della componente $i$ della formula.
• Copiare $f(v_j)$ come colonna anche quando la base del codominio non è canonica. Nell'esempio della lezione 13 $f(1, 0, 2) = (5, 5)$, ma rispetto alla base $\{(2, 3), (-1, 1)\}$ le sue coordinate sono $(2, -1)$: è questa la colonna giusta. Si trovano risolvendo il sistemaFissata una base, ogni vettore ha una e una sola lista di coordinate; la funzione vettore → coordinate è un isomorfismo con K^n, quindi ogni spazio di dimensione n si comporta come K^n (ma l'isomorfismo dipende dalla base).Coordinate rispetto a una base → $a(2, 3) + b(-1, 1) = (5, 5)$, cioè $2a - b = 5$ e $3a + b = 5$: sommando $5a = 10$, quindi $a = 2$ e $b = 2a - 5 = -1$.
• Sbagliare le dimensioni: una funzione $\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ ha matrice $3 \times 4$ (righe = dimensione del codominio).
• Prendere come base dell'immagine colonne della matrice ridotta a scala. Le colonne indipendenti si individuano sulla matrice a scala (dove stanno i pivot), ma vanno prese dalla matrice originale: le operazioni sulle righe cambiano le colonne.