Esponenziale di una matrice e sistemi differenziali lineari

Lezioni 25 (fine) e 26 (videolezioni n. 25 e 26). È un'applicazione della DiagonalizzazioneUna matrice è diagonalizzabile se è simile a una diagonale, cioè se esiste una base di autovettori: allora A = S D S⁻¹ con gli autovettori nelle colonne di S e gli autovalori in D. Criterio: tutti gli autovalori nel campo e molteplicità geometrica uguale a quella algebrica. Le matrici simmetriche reali hanno autovalori reali.Diagonalizzazione →: il prof la presenta come esempio di come gli autovalori servono fuori dall'algebra lineare. Esercizio svolto: Esercizio 70 · sistema di equazioni differenziali con l'esponenziale di una matrice.

Il caso di una sola equazione

Si cerca una funzione $y(x)$ tale che $$y' = a\, y, \qquad y(0) = \bar y,$$ con $a \in \mathbb{R}$ fissato. È un'equazione differenziale lineare del primo ordiney' + a(t)y = b(t) con a, b continue su un intervallo I. Le soluzioni sono definite su tutto I e il problema di Cauchy ha una sola soluzione. Integrale generale: y = e^(−A(t))[c + ∫e^(A(t)) b(t) dt], con A primitiva di a; per l'omogenea (b = 0) y = c e^(−A(t)). Soluzione del problema con y(t0) = x0: stessa formula con A(t) = ∫ da t0 a t di a(s) ds e integrale da t0 a t. Si dimostra moltiplicando per e^(A(t)).Equazioni differenziali lineari del primo ordine → con un problema di CauchyUn'equazione differenziale ordinaria di ordine n ha come incognita una funzione y(t) e lega y⁽ⁿ⁾ a t, y, y', …, y⁽ⁿ⁻¹⁾. L'integrale generale è l'insieme delle soluzioni, definite su un intervallo; di solito sono infinite e dipendono da n costanti. Il problema di Cauchy aggiunge n condizioni iniziali in un istante t0 (y(t0), …, y⁽ⁿ⁻¹⁾(t0)) e sotto opportune ipotesi ha una sola soluzione. y⁽ⁿ⁾ = f(t) si risolve integrando n volte.Equazioni differenziali - introduzione e problema di Cauchy →. La funzione che derivata ridà se stessa (per un coefficiente) è l'esponenziale: $y(x) = \bar y\, e^{ax}$. Verifica:

• derivando, $\bar y$ è una costante e $e^{ax}$ è una funzione composta, quindi per la regola della catenaDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione → $y'(x) = \bar y \cdot e^{ax} \cdot a = a\, y(x)$ ✓;
• in $x = 0$: $y(0) = \bar y\, e^0 = \bar y$ ✓ (la condizione iniziale).

È anche l'unica soluzione: se $z$ è un'altra soluzione, la derivata di $z(x) e^{-ax}$ è $z' e^{-ax} - a z e^{-ax} = (az - az)e^{-ax} = 0$, quindi $z(x)e^{-ax}$ è costante e vale $z(0) = \bar y$ in $x = 0$.

Da un'equazione di ordine alto a un sistema del primo ordine

Un'equazione con derivate di ordine superiore, per esempio $$y''' + 3y'' - 2y' - y = 0,$$ si trasforma in un sistema in cui compaiono solo derivate prime. Si danno nomi nuovi alla funzione e alle sue derivate: $$y_1 = y, \qquad y_2 = y', \qquad y_3 = y'' .$$ Allora $y_1' = y_2$, $y_2' = y_3$ e $y_3' = y''' = -3y'' + 2y' + y = -3y_3 + 2y_2 + y_1$. Il sistema $$\begin{cases} y_1' = y_2 \\ y_2' = y_3 \\ y_3' = y_1 + 2y_2 - 3y_3 \end{cases} \quad\text{cioè}\quad \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}$$ è equivalente all'equazione di partenza. Il prezzo: più equazioni. Il guadagno: solo derivate prime, e una scrittura matriciale. (La stessa riduzione è in Sistemi di equazioni differenziali lineariSistema lineare Y' = A(t)Y + B(t): con A, B continue su I il problema di Cauchy ha una sola soluzione, definita su tutto I. Le soluzioni dell'omogeneo formano uno spazio di dimensione n (colonne di una matrice fondamentale, wronskiano ≠ 0). A coefficienti costanti: Y = e^(λt)V con λ autovalore e V autovettore di A; con λ = α ± iβ si prendono parte reale e immaginaria. Y(t) = e^(tA)Y0, con e^(tA) = P e^(tD) P⁻¹ se A = PDP⁻¹. Un'equazione di ordine n equivale a un sistema con la matrice compagna.Sistemi di equazioni differenziali lineari →, nel corso di Analisi Matematica 2.)

Il polinomio caratteristico della matrice è quello dell'equazione. Sviluppando $\det(A - \lambda I)$ con LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace → lungo la prima colonna, che ha solo due elementi non nulli ($-\lambda$ in posizione $(1,1)$, segno $+$, e $1$ in posizione $(3,1)$, segno $+$):

$$\det\begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 \\ 1 & 2 & -3-\lambda \end{pmatrix} = -\lambda \det\begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\ 2 & -3-\lambda \end{pmatrix} + 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\lambda & 1 \end{pmatrix} = -\lambda\big(\lambda(3 + \lambda) - 2\big) + 1 = -(\lambda^3 + 3\lambda^2 - 2\lambda - 1).$$

A parte il segno, è il polinomio $r^3 + 3r^2 - 2r - 1$ che si ottiene dall'equazione sostituendo $y^{(k)} \to r^k$, come nelle equazioni lineari a coefficienti costantiPer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo → di Analisi 1: gli autovalori della matrice sono le radici dell'equazione caratteristica, e le soluzioni sono combinazioni di $e^{\lambda x}$ in entrambi i metodi.

Sistemi lineari di equazioni differenziali

Un sistema come $$\begin{cases} y_1' = 5y_1 - 6y_2 \\ y_2' = 2y_1 - 2y_2 \end{cases}$$ si scrive, come i sistemi lineariUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli → ordinari, in forma matriciale: $$Y' = A\, Y, \qquad Y(x) = \begin{pmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}, \quad Y(0) = \bar Y = \begin{pmatrix} \bar y_1 \\ \bar y_2 \end{pmatrix}.$$ Qui le incognite non sono numeri ma funzioni: $Y(x)$ è un vettore le cui componenti dipendono da $x$, e $Y'$ è il vettore delle derivate.

Formalmente è identico al caso di una sola equazione, con la matrice $A$ al posto del numero $a$. Viene spontaneo provare con $$Y(x) = e^{A x}\, \bar Y .$$ Bisogna però dare un senso a "$e$ elevato a una matrice".

Definizione dell'esponenziale di una matrice

Dall'analisi (Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli → e Serie numericheUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche →): per ogni $x \in \mathbb{R}$ vale lo sviluppo in serie $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} .$$ In questa formula compaiono solo somme e potenze, che si fanno anche con le matrici quadrate. Si sostituisce allora $x$ con $A$ (e $1$ con $I$):

Definizione. Per $A \in M_n(\mathbb{R})$: $$e^A = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \dots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} .$$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ha $A^2 = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$, e quindi anche $A^3 = A^2 A = O$ e così via: la serie si ferma: $e^A = I + A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Allo stesso modo $e^{Ax} = I + Ax = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$: compare $x$, non solo esponenziali (succede perché $A$ non è diagonalizzabile, vedi Forma canonica di JordanUna matrice non diagonalizzabile (con autovalori nel campo) è simile a una matrice di Jordan: diagonale a blocchi, con l'autovalore sulla diagonale di ogni blocco e degli 1 subito sopra. Il numero di blocchi di λ è la molteplicità geometrica, la somma delle loro dimensioni quella algebrica; la base si costruisce con catene di autovettori generalizzati.Forma canonica di Jordan →).

Che la serie converga per ogni matrice (come per ogni numero reale) si dimostra in analisi; qui si prende come definizione. Il risultato è una matrice $n \times n$.

Perché $Y(x) = e^{Ax}\bar Y$ risolve il sistema. Si deriva la serie termine a termine (lecito per le serie di potenze, come per $e^x$):

$$\frac{d}{dx} e^{Ax} = \frac{d}{dx} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k x^k}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{A^k \, k \, x^{k-1}}{k!} = A \sum_{k=1}^{\infty} \frac{A^{k-1} x^{k-1}}{(k-1)!} = A\, e^{Ax}$$

(il termine $k = 0$ è la costante $I$, con derivata nulla; $\frac{k}{k!} = \frac{1}{(k-1)!}$; poi si raccoglie una $A$ a sinistra e si rinomina $k - 1$ come nuovo indice). Quindi $Y'(x) = A e^{Ax} \bar Y = A\, Y(x)$, e in $x = 0$ si ha $Y(0) = e^{O}\bar Y = I \bar Y = \bar Y$: sono le due richieste del problema, come nel caso di una sola equazione.

Come si calcola

Matrice diagonale. Se $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$, le potenze sono facili: $D^k = \operatorname{diag}(\lambda_1^k, \dots, \lambda_n^k)$ (si elevano gli elementi della diagonale). Nella serie, sulla posizione $(i, i)$ si somma $1 + \lambda_i + \frac{\lambda_i^2}{2!} + \dots = e^{\lambda_i}$, fuori dalla diagonale solo zeri: $$e^D = \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n} \end{pmatrix}.$$

Matrice diagonalizzabile. Se $A = S D S^{-1}$, come per le potenze si semplificano tutte le coppie $S^{-1}S$ interne: $$A^k = S D S^{-1}\, S D S^{-1} \cdots S D S^{-1} = S D^k S^{-1}.$$ Anche $I = S I S^{-1}$. Allora ogni termine della serie ha $S$ a sinistra e $S^{-1}$ a destra, e si raccolgono (a sinistra $S$, a destra $S^{-1}$: l'ordine conta): $$e^A = S \left( I + D + \frac{D^2}{2!} + \dots \right) S^{-1} = S\, e^D\, S^{-1}.$$

Formula. Se $A = S D S^{-1}$ con $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$, allora $$e^{A} = S \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n} \end{pmatrix} S^{-1}, \qquad e^{A x} = S \begin{pmatrix} e^{\lambda_1 x} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n x} \end{pmatrix} S^{-1}.$$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = S \operatorname{diag}(3, 1) S^{-1}$ con $S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$: $e^A = S \operatorname{diag}(e^3, e) S^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} e^3 + e & e^3 - e \\ e^3 - e & e^3 + e \end{pmatrix}$. Il conto: $S^{-1} = \frac12 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ (vedi DiagonalizzazioneUna matrice è diagonalizzabile se è simile a una diagonale, cioè se esiste una base di autovettori: allora A = S D S⁻¹ con gli autovettori nelle colonne di S e gli autovalori in D. Criterio: tutti gli autovalori nel campo e molteplicità geometrica uguale a quella algebrica. Le matrici simmetriche reali hanno autovalori reali.Diagonalizzazione →); $S \operatorname{diag}(e^3, e) = \begin{pmatrix} e^3 & e \\ e^3 & -e \end{pmatrix}$ (la prima colonna di $S$ per $e^3$, la seconda per $e$); moltiplicando per $S^{-1}$ la riga $(e^3, e)$ dà $\frac12(e^3 + e,\ e^3 - e)$ e la riga $(e^3, -e)$ dà $\frac12(e^3 - e,\ e^3 + e)$.

La seconda formula viene dalla prima applicata alla matrice $A x = S (D x) S^{-1}$ ($x$ è un numero). Quindi le soluzioni del sistema sono combinazioni lineari di $e^{\lambda_1 x}, \dots, e^{\lambda_n x}$: sono gli autovalori a decidere il comportamento delle soluzioni (se crescono, decrescono, oscillano).

Ricetta:

1. autovalori e autovettori di $A$; controllare che sia diagonalizzabile;
2. $D$ con gli autovalori, $S$ con gli autovettori in colonna (stesso ordine), poi $S^{-1}$ (l'unica parte un po' lunga);
3. $e^{Ax} = S\, e^{Dx}\, S^{-1}$ (due prodotti);
4. $Y(x) = e^{Ax}\, \bar Y$.

Se $A$ non è diagonalizzabile la formula non si applica; si usa la Forma canonica di JordanUna matrice non diagonalizzabile (con autovalori nel campo) è simile a una matrice di Jordan: diagonale a blocchi, con l'autovalore sulla diagonale di ogni blocco e degli 1 subito sopra. Il numero di blocchi di λ è la molteplicità geometrica, la somma delle loro dimensioni quella algebrica; la base si costruisce con catene di autovettori generalizzati.Forma canonica di Jordan →, che è "quasi diagonale" (non fa parte del programma d'esame, il prof la cita soltanto).

Esempio completo (lezione 26)

$A = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$.

Autovalori. $\det(A - \lambda I) = (5 - \lambda)(-2 - \lambda) - (-6)(2) = \lambda^2 - 3\lambda - 10 + 12 = \lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 2)(\lambda - 1)$. Autovalori $2$ e $1$: reali e distinti, quindi $A$ è diagonalizzabile.

Autovettori.

• $\lambda = 2$: $A - 2I = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$, entrambe le equazioni dicono $x_1 = 2x_2$ ($3x_1 - 6x_2 = 0$ diviso per $3$, $2x_1 - 4x_2 = 0$ diviso per $2$); con $x_2 = 1$: $v_1 = (2, 1)$. Verifica: $A(2, 1) = (10 - 6,\ 4 - 2) = (4, 2) = 2(2, 1)$ ✓.
• $\lambda = 1$: $A - I = \begin{pmatrix} 4 & -6 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$, la prima riga è il doppio della seconda e resta $2x_1 - 3x_2 = 0$, cioè $x_1 = \frac32 x_2$; con $x_2 = 2$ (niente frazioni): $v_2 = (3, 2)$. Verifica: $A(3, 2) = (15 - 12,\ 6 - 4) = (3, 2)$ ✓.

Matrici. $$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad S = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \det S = 4 - 3 = 1, \quad S^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ (per una $2 \times 2$: si scambiano gli elementi diagonali, si cambia segno agli altri, si divide per il determinante; vedi Matrice inversaL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa →).

Esponenziale. $$e^{Ax} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{2x} & 0 \\ 0 & e^{x} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2e^{2x} & 3e^{x} \\ e^{2x} & 2e^{x} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4e^{2x} - 3e^{x} & -6e^{2x} + 6e^{x} \\ 2e^{2x} - 2e^{x} & -3e^{2x} + 4e^{x} \end{pmatrix}.$$ Il primo prodotto moltiplica la prima colonna di $S$ per $e^{2x}$ e la seconda per $e^x$. Nel secondo, per esempio, l'elemento $(1, 1)$ è la riga $(2e^{2x}, 3e^x)$ per la colonna $(2, -1)$: $4e^{2x} - 3e^x$; l'elemento $(1, 2)$ è la stessa riga per la colonna $(-3, 2)$: $-6e^{2x} + 6e^x$. Controllo in $x = 0$: $e^{A \cdot 0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$ ✓ (come deve essere: $e^O = I$).

Soluzione. $$\begin{cases} y_1(x) = (4\bar y_1 - 6\bar y_2)\, e^{2x} + (-3\bar y_1 + 6\bar y_2)\, e^{x} \\ y_2(x) = (2\bar y_1 - 3\bar y_2)\, e^{2x} + (-2\bar y_1 + 4\bar y_2)\, e^{x} \end{cases}$$

Con $\bar Y = (1, 0)$: $y_1 = 4e^{2x} - 3e^{x}$, $y_2 = 2e^{2x} - 2e^x$. Verifica della prima equazione: $y_1' = 8e^{2x} - 3e^x$ e $5y_1 - 6y_2 = 20e^{2x} - 15e^x - 12e^{2x} + 12e^x = 8e^{2x} - 3e^x$ ✓. Della seconda: $y_2' = 4e^{2x} - 2e^x$ e $2y_1 - 2y_2 = 8e^{2x} - 6e^x - 4e^{2x} + 4e^x = 4e^{2x} - 2e^x$ ✓.

Lettura con gli autovettori. Scrivendo $Y = S\, e^{Dx}\, (S^{-1} \bar Y)$ e ponendo $c = S^{-1}\bar Y$ (le coordinateFissata una base, ogni vettore ha una e una sola lista di coordinate; la funzione vettore → coordinate è un isomorfismo con K^n, quindi ogni spazio di dimensione n si comporta come K^n (ma l'isomorfismo dipende dalla base).Coordinate rispetto a una base → del dato iniziale nella base $v_1, v_2$):

$$Y(x) = c_1\, e^{2x}\, v_1 + c_2\, e^{x}\, v_2 .$$

Con $\bar Y = (1, 0)$: $c = S^{-1}(1, 0) = (2, -1)$ (infatti $(1, 0) = 2(2, 1) - (3, 2)$), e $Y(x) = 2e^{2x}(2, 1) - e^x(3, 2) = (4e^{2x} - 3e^x,\ 2e^{2x} - 2e^x)$, lo stesso risultato. Ogni autovettore dà una soluzione "pura" $e^{\lambda x} v$, che resta sulla retta di $v$ e cambia solo lunghezza; la soluzione generale è una loro combinazione.

Autovalori complessi: soluzioni che oscillano

$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, cioè il sistema $y_1' = -y_2$, $y_2' = y_1$. Il polinomio caratteristico è $\lambda^2 + 1$ (traccia $0$, determinante $0 - (-1) \cdot 1 = 1$), con autovalori $\pm i$: su $\mathbb{R}$ la matrice non è diagonalizzabile, ma l'esponenziale si calcola direttamente dalla serie. Le potenze si ripetono ogni quattro:

$$A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I, \qquad A^3 = A^2 A = -A, \qquad A^4 = (A^2)^2 = I, \qquad A^5 = A, \ \dots$$

Nella serie si separano i termini pari (multipli di $I$) e quelli dispari (multipli di $A$):

$$e^{Ax} = I\left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots\right) + A\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots\right) = \cos x \cdot I + \sin x \cdot A = \begin{pmatrix} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{pmatrix},$$

perché le due parentesi sono gli sviluppi di Mac-LaurinTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli → di $\cos x$ e $\sin x$. È la matrice della rotazione di angolo $x$, ed è l'analogo della formula di EuleroI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi → $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ (anche $i^2 = -1$, come $A^2 = -I$). Con $\bar Y = (1, 0)$: $y_1 = \cos x$, $y_2 = \sin x$ (verifica: $y_1' = -\sin x = -y_2$ ✓, $y_2' = \cos x = y_1$ ✓). Il punto $(y_1, y_2)$ gira sulla circonferenza di raggio $1$: con autovalori complessi le soluzioni oscillano, con periodo $2\pi$ dato dalla parte immaginaria $\pm 1$.

Se gli autovalori sono $a \pm ib$ con $a \ne 0$, compare anche il fattore $e^{ax}$: oscillazioni che crescono ($a > 0$) o si smorzano ($a < 0$), come nel caso complesso delle equazioni del secondo ordinePer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo →.

Errori comuni

• Calcolare $e^A$ elevando $e$ a ogni elemento di $A$: vale solo per le matrici diagonali. In generale $e^A$ va calcolato con $S e^D S^{-1}$.
• Scrivere $e^{Ax} = e^{Dx}$, dimenticando $S$ e $S^{-1}$ (o mettendoli in ordine sbagliato: $S$ a sinistra, $S^{-1}$ a destra quando $A = SDS^{-1}$).
• Moltiplicare $\bar Y$ a sinistra: la soluzione è $e^{Ax}\bar Y$ con $\bar Y$ colonna a destra.
• Usare la formula con una matrice non diagonalizzabile.