Esercizio 6base di un piano dato da un'equazione

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Perché $U$ è un sottospazio

L'equazione è lineare omogenea (primo grado, termine noto $0$), quindi le sue soluzioni formano un sottospazioLe soluzioni di un sistema di equazioni lineari omogenee sono sempre chiuse per somma e prodotto per scalari.Sottospazi vettoriali →. Il problema è passare dalla descrizione con l'equazione a una descrizione con una base.

Passo 1: risolvere l'equazione

Una equazione permette di ricavare una sola incognita. Si ricava $x_1$, che ha coefficiente $1$ (così non compaiono frazioni):

$$x_1 = 2x_2 - 4x_3.$$

$x_2$ e $x_3$ non sono vincolati da nessun'altra equazione: sono liberi, possono valere qualunque numero reale. Per ogni scelta di $x_2, x_3$ si ottiene una soluzione.

Passo 2: scrivere il vettore generico come combinazione

Ponendo $x_2 = a$, $x_3 = b$ (solo un cambio di nome), il vettore generico di $U$ è

$$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a - 4b \\ a \\ b \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$$

Si è separato ciò che moltiplica $a$ da ciò che moltiplica $b$: nella seconda componente compare solo $a$ (quindi la seconda componente del vettore di $b$ è $0$), nella terza solo $b$.

Quindi $u_1 = (2, 1, 0)$ e $u_2 = (-4, 0, 1)$ generano $U$: ogni vettore di $U$ è $a u_1 + b u_2$.

Passo 3: verificare l'indipendenza

$$\lambda_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \vec 0 \iff \begin{cases} 2\lambda_1 - 4\lambda_2 = 0 \\ \lambda_1 = 0 \\ \lambda_2 = 0 \end{cases}$$

La seconda e la terza equazione danno subito $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$. Indipendenti. Il motivo è nella costruzione: nelle posizioni delle incognite libere ($x_2, x_3$) i due vettori hanno $(1, 0)$ e $(0, 1)$, come la base canonica.

Risultato

$$\dim U = 2, \qquad \text{base di } U: \ (2, 1, 0),\ (-4, 0, 1).$$

Verifica: $(2, 1, 0)$: $2 - 2 + 0 = 0$ ✓; $(-4, 0, 1)$: $-4 - 0 + 4 = 0$ ✓.

Significato geometrico: $U$ è un piano per l'origine in $\mathbb{R}^3$. L'equazione dice che $(1, -2, 4) \cdot (x_1, x_2, x_3) = 0$: $U$ è il piano dei vettori ortogonaliDue vettori sono ortogonali quando il loro prodotto scalare è 0.Prodotto scalare, norma e angoli → a $(1, -2, 4)$ (capitolo sul prodotto scalare). Infatti $(2, 1, 0) \cdot (1, -2, 4) = 2 - 2 + 0 = 0$ e $(-4, 0, 1) \cdot (1, -2, 4) = -4 + 0 + 4 = 0$.

La regola che si usa da qui in avanti

Il ragionamento è sempre lo stesso, quindi negli esercizi successivi si abbrevia:

la dimensione dello spazio delle soluzioniIn un sistema lineare omogeneo la dimensione dello spazio delle soluzioni è il numero di incognite libere.Dimensione → di un sistema omogeneo è il numero di incognite libere; una base si ottiene ponendo una incognita libera uguale a $1$ e le altre libere uguali a $0$, in tutti i modi possibili.

Qui: $(x_2, x_3) = (1, 0)$ dà $x_1 = 2$, cioè $(2, 1, 0)$; $(x_2, x_3) = (0, 1)$ dà $x_1 = -4$, cioè $(-4, 0, 1)$.

Altre scelte dei valori darebbero comunque soluzioni, ma poi andrebbe verificata l'indipendenza; con "uno $1$ e il resto $0$" è automatica.

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Parte aggiuntiva: $W$ in $\mathbb{R}^4$

$$\begin{cases} x_1 + x_2 - x_4 = 0 \\ x_2 - x_3 + 2x_4 = 0 \end{cases}$$

Il sistema è già "a scala": la prima equazione contiene $x_1$, la seconda no. Si risolve dal basso. Dalla seconda $x_2 = x_3 - 2x_4$; nella prima $x_1 = -x_2 + x_4 = -(x_3 - 2x_4) + x_4 = -x_3 + 2x_4 + x_4 = -x_3 + 3x_4$. Incognite libere: $x_3, x_4$. Quindi $\dim W = 2$, cioè $4$ incognite meno $2$ equazioni indipendenti: le due equazioni non sono proporzionali (la prima contiene $x_1$ e la seconda no), e ognuna "toglie" una dimensione (le soluzioni di un sistema omogeneo dipendono da n − r parametrin è il numero di incognite, r il rango della matrice dei coefficienti, cioè il numero di equazioni indipendenti.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →).

Base di $W$: $(-1, 1, 1, 0)$, $(3, -2, 0, 1)$. Verifica nelle due equazioni: $-1 + 1 - 0 = 0$, $1 - 1 + 0 = 0$ ✓; $3 - 2 - 1 = 0$, $-2 - 0 + 2 = 0$ ✓.

Errori comuni

• Dire che la dimensione è 1 "perché c'è un'equazione": un'equazione toglie una dimensione, quindi in $\mathbb{R}^3$ resta $3 - 1 = 2$.
• Dare valori alle incognite libere tutti uguali a $0$: si ottiene il vettore nullo, che non è mai in una base.
• Dimenticare la verifica finale: sostituire i vettori trovati nelle equazioni richiede pochi secondi e scopre gli errori di segno.