Eliminazione di Gauss

Lezioni 16, 17 e 18 (videolezioni n. 16–18). Esercizi svolti: Esercizio 41 · sistema 4×4 con due parametri (compitino 2025), Esercizio 42 · rango con parametro e condizione sui termini noti (compitino 2026), Esercizio 43 · rango con parametro e sistemi incompatibili (compitino 2023), Esercizio 44 · rango con parametro, righe e colonne, nucleo della trasposta (settembre 2023), Esercizio 45 · matrice R tale che RA è a scala, nucleo, immagine e cambio di base. Seguito: Matrice inversaL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa →.

Il teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli → dice che tutto dipende dal rango di una matrice. Finora per calcolarlo si scriveva una combinazione lineare uguale a zero e si risolveva un sistema (e, se i vettori risultavano dipendenti, se ne toglieva uno e si ricominciava). Il metodo di eliminazione di Gauss fa lo stesso lavoro in molti meno passaggi: si trasforma la matrice in una più semplice con lo stesso rango, finché il rango si legge a occhio.

Le tre operazioni elementari

Le operazioni elementari sulle righe di una matrice sono:

1. scambiare due righe: $R_i \leftrightarrow R_j$;
2. moltiplicare una riga per un numero diverso da zero: $R_i \to \lambda R_i$, con $\lambda \ne 0$;
3. sommare a una riga un multiplo di un'altra riga (o una combinazione lineare di altre righe): $R_i \to R_i + \alpha R_j$, con $j \ne i$.

Allo stesso modo si definiscono le operazioni elementari sulle colonne ($C_i \leftrightarrow C_j$, ecc.).

Perché non cambiano il rango. Il rango è il numero di righe linearmente indipendenti (che è anche il numero di colonne indipendenti).

1. Scambiare due righe cambia solo l'ordine: le righe sono sempre le stesse.
2. Sostituire una riga con un suo multiplo $\lambda R_i$, $\lambda \ne 0$, non cambia il sottospazio generatoL'intersezione di due sottospazi è un sottospazio, l'unione in generale no. Al suo posto si usa la somma U + W = {u + w}, il più piccolo sottospazio che contiene entrambi. Il sottospazio generato da un insieme S è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S.Intersezione, somma e sottospazio generato → dalle righe: $\lambda R_i$ si ottiene da $R_i$ e $R_i = \frac1\lambda (\lambda R_i)$ si riottiene da $\lambda R_i$. (Con $\lambda = 0$ invece la riga sparirebbe: per questo è vietato.)
3. $R_i + \alpha R_j$ è combinazione di righe della matrice, e viceversa $R_i = (R_i + \alpha R_j) - \alpha R_j$: anche qui il sottospazio generato dalle righe resta lo stesso.

In tutti e tre i casi il sottospazio generato dalle righe non cambia, quindi nemmeno la sua dimensione, che è il rango. Lo stesso ragionamento vale per le colonne.

Lettura con i sistemi. Sulle righe della matrice completa di un sistema, le tre operazioni sono: scambiare due equazioni, moltiplicare un'equazione per un numero non nullo, sommare a un'equazione un multiplo di un'altra. Sono le mosse che si fanno da sempre per risolvere un sistema, e producono un sistema equivalente (con le stesse soluzioni). Il perché, per la terza: se $X$ risolve $R_i$ e $R_j$ risolve anche $R_i + \alpha R_j$ (si sommano le due uguaglianze); viceversa se risolve $R_i + \alpha R_j$ e $R_j$, risolve anche $R_i = (R_i + \alpha R_j) - \alpha R_j$. Nessuna soluzione si perde e nessuna si aggiunge.

Esempio nel piano. $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$ con $R_2 \to R_2 - R_1$ diventa $\begin{cases} x + y = 3 \\ -2y = -2 \end{cases}$. La seconda retta è cambiata (da $x - y = 1$ a $y = 1$), ma passa ancora per il punto comune $(2, 1)$: il sistema nuovo ha la stessa soluzione, e in più ha una incognita in meno nella seconda equazione.

La forma a scala

Definizione (forma a scala e pivot). Una matrice è in forma a scala (per righe) se, in ogni riga, il primo elemento non nullo sta strettamente più a destra del primo elemento non nullo della riga precedente; le eventuali righe nulle stanno in fondo.

Il primo elemento non nullo di ogni riga non nulla si chiama pivot.

Esempio. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ è a scala, con pivot $1$ (prima riga) e $4$ (seconda riga).

$$\begin{pmatrix} \boxed{p_1} & * & * & * & * \\ 0 & \boxed{p_2} & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & \boxed{p_3} & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad (p_1, p_2, p_3 \ne 0, \ * = \text{numeri qualsiasi})$$

Gli zeri sotto la "scala" sono obbligatori, gli asterischi possono essere qualunque cosa. Come si vede, i pivot non devono per forza stare sulla diagonale: un gradino può essere largo più di una colonna (qui il terzo pivot è nella quarta colonna).

Teorema (rango di una matrice a scala). Il rango di una matrice in forma a scala è il numero di righe non nulle (cioè il numero di pivot).

Esempio. La matrice a scala $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ha due righe non nulle, quindi rango $2$.

Perché. Le righe nulle non contano. Le righe non nulle sono indipendenti: in una combinazione $c_1 R_1 + c_2 R_2 + \dots + c_k R_k = 0$, guardando la colonna del primo pivot, solo $R_1$ ha un elemento non nullo lì (sotto ci sono zeri), quindi $c_1 p_1 = 0$ e $c_1 = 0$. Tolta $R_1$, lo stesso ragionamento sulla colonna del secondo pivot dà $c_2 = 0$, e così via: tutti i coefficienti sono nulli.

L'algoritmo

1. Si guarda la prima colonna. Se è tutta nulla, la si ignora e si passa alla successiva.
2. Se serve, con uno scambio di righe si porta in alto un elemento non nullo: sarà il pivot. (Conviene scegliere un $1$ o un $-1$, se c'è, per evitare frazioni.)
3. Con operazioni $R_i \to R_i - \frac{a_{i1}}{a_{11}} R_1$ si crea uno zero sotto il pivot in ogni riga. Il coefficiente $\frac{a_{i1}}{a_{11}}$ è scelto apposta: il primo elemento di $\frac{a_{i1}}{a_{11}} R_1$ è $\frac{a_{i1}}{a_{11}} \cdot a_{11} = a_{i1}$, e sottraendolo da $a_{i1}$ resta $0$.
4. Si "copre" la prima riga e la prima colonna e si ripete tutto sulla sottomatrice rimasta.
5. Ci si ferma quando la matrice è a scala.

Consiglio del prof: procedere sempre con ordine. Per creare gli zeri della colonna $k$ si usa solo la riga del $k$-esimo pivot. Usare una riga "vecchia" (per esempio la prima quando si lavora sulla terza colonna) crea lo zero voluto ma distrugge zeri già fatti nelle colonne precedenti, e si gira in tondo. Procedendo sempre allo stesso modo il metodo diventa meccanico, si sbaglia meno ed è anche il modo in cui lo si programma al calcolatore.

Esempio 1: rango di una $3 \times 3$ (lezione 16)

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Passo 1: $R_1 \leftrightarrow R_2$, per avere $1$ come primo pivot (con il $2$ si dovrebbe moltiplicare per $\frac32$ e comparirebbero frazioni).

$$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Passo 2: zeri nella prima colonna. La seconda riga inizia con $2$ e la prima con $1$: $R_2 \to R_2 - 2R_1$. La terza inizia con $3$: $R_3 \to R_3 - 3R_1$.

$$R_2 - 2R_1 = (2 - 2,\ -1 - 8,\ 3 + 4) = (0, -9, 7), \qquad R_3 - 3R_1 = (3 - 3,\ 0 - 12,\ 1 + 6) = (0, -12, 7)$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & -9 & 7 \\ 0 & -12 & 7 \end{pmatrix}$$

Passo 3: zero sotto il $-9$. Il rapporto è $\frac{-12}{-9} = \frac43$: $R_3 \to R_3 - \frac43 R_2$. Il terzo elemento diventa $7 - \frac43 \cdot 7 = -\frac73$.

$$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & -9 & 7 \\ 0 & 0 & -\frac73 \end{pmatrix}$$

Tre righe non nulle: $\operatorname{rango}(A) = 3$. (Per il rango non serve nemmeno sapere che l'ultimo numero è $-\frac73$: basta sapere che non è zero.) Il conto del terzo elemento, per esteso: $R_3 - \frac43 R_2 = \big(0, \ -12 - \frac43(-9), \ 7 - \frac43 \cdot 7\big) = \big(0, \ -12 + 12, \ \frac{21 - 28}{3}\big) = (0, 0, -\frac73)$.

Rango $3$ per una matrice $3 \times 3$ vuol dire che $A$ è invertibileL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa →. Più avanti si vedrà che il prodotto dei pivot dà anche il determinante, a meno del segno degli scambi: $1 \cdot (-9) \cdot (-\frac73) = 21$, e con uno scambio di righe $\det A = -21$ (vedi Proprietà del determinante, Binet e LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace →).

Esempio 2: una riga dipendente

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & 0 & -1 \\ 2 & 8 & -1 & 1 \end{pmatrix} \qquad (R_3 = R_1 + 2R_2)$$

Il primo elemento è $0$: con $R_1 \leftrightarrow R_2$ si mette in alto l'$1$, e la nuova seconda riga inizia già con $0$. Poi $R_3 \to R_3 - 2R_1$, cioè $(2 - 2, \ 8 - 6, \ -1 - 0, \ 1 + 2) = (0, 2, -1, 3)$, e infine $R_3 \to R_3 - R_2$, che dà la riga nulla:

$$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 8 & -1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \to R_3 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$\operatorname{rango}(A) = 2$. L'algoritmo ha "eliminato" proprio la riga che era combinazione delle altre: ecco da dove viene il nome.

Righe o colonne? Per calcolare solo il rango si possono usare anche le operazioni sulle colonne (o mescolarle), perché rango per righe e rango per colonne coincidono: per esempio lo stesso risultato si ottiene riducendo la trasposta $A^T$.

Risolvere un sistema con Gauss

Per risolvere $AX = B$ si riduce a scala direttamente la matrice completa $(A \,|\, B)$: le prime $n$ colonne ridotte sono la forma a scala di $A$, quindi con un solo calcolo si ottengono $\operatorname{rango}(A)$, $\operatorname{rango}(A \,|\, B)$ e un sistema equivalente facile da risolvere.

Attenzione: per risolvere un sistema si usano SOLO operazioni sulle righe.

Il motivo: le righe sono equazioni, e sommarle o scambiarle produce un sistema equivalente. Le colonne invece corrispondono a incognite diverse: sommare la colonna di $x_1$ a quella di $x_2$ significherebbe sommare "$2x_1$" e "$-4x_2$" ottenendo "$-2$ di che cosa?", che non ha senso. (Uno scambio di colonne si potrebbe fare, ma scambia anche il nome delle incognite: meglio evitarlo.)

Come si conclude. Dalla forma a scala:

1. se compare una riga $(0 \ \cdots \ 0 \,|\, c)$ con $c \ne 0$ il sistema è impossibile ($0 = c$);
2. altrimenti le incognite che corrispondono alle colonne con un pivot si dicono dipendenti, le altre libere (sono i $n - r$ parametri);
3. si risolve con la sostituzione all'indietro: dall'ultima equazione non nulla si ricava l'ultima incognita dipendente, la si sostituisce nella penultima, e così via risalendo fino alla prima.

Esempio 3: sistema con due parametri liberi

$$\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 + x_4 = 1 \\ 2x_1 + 4x_2 + x_3 + 5x_4 = 5 \\ -x_1 - 2x_2 + 4x_3 + 2x_4 = 2 \end{cases}$$

$$\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 5 & 5 \\ -1 & -2 & 4 & 2 & 2 \end{array}\right) \xrightarrow[R_3 \to R_3 + R_1]{R_2 \to R_2 - 2R_1} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 3 \end{array}\right) \xrightarrow{R_3 \to R_3 - R_2} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

I conti: $R_2 - 2R_1 = (2 - 2, \ 4 - 4, \ 1 + 2, \ 5 - 2 \,|\, 5 - 2) = (0, 0, 3, 3 \,|\, 3)$ e $R_3 + R_1 = (-1 + 1, \ -2 + 2, \ 4 - 1, \ 2 + 1 \,|\, 2 + 1) = (0, 0, 3, 3 \,|\, 3)$. Notare che creando lo zero in prima colonna si è annullata anche la seconda colonna (la colonna di $x_2$ è il doppio di quella di $x_1$): il secondo pivot è nella terza colonna.

• $\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A \,|\, B) = 2$: il sistema è risolubile, con $n - r = 4 - 2 = 2$ parametri.
• I pivot sono nelle colonne $1$ e $3$: $x_1, x_3$ dipendenti, $x_2, x_4$ libere.
• Sostituzione all'indietro: dalla seconda riga $3x_3 + 3x_4 = 3 \Rightarrow x_3 = 1 - x_4$. Dalla prima $x_1 = 1 - 2x_2 + x_3 - x_4 = 1 - 2x_2 + (1 - x_4) - x_4 = 2 - 2x_2 - 2x_4$.

$$X = \begin{pmatrix} 2 - 2x_2 - 2x_4 \\ x_2 \\ 1 - x_4 \\ x_4 \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\text{particolare}} + x_2 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

come previsto dalla struttura "soluzione particolare più nucleoUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →" (la soluzione particolare si ottiene ponendo i parametri $x_2 = x_4 = 0$; i due vettori moltiplicati per $x_2$ e $x_4$ sono una base del nucleo). Verifica di $(2, 0, 1, 0)$ nelle tre equazioni: $2 - 1 = 1$ ✓, $4 + 1 = 5$ ✓, $-2 + 4 = 2$ ✓. Verifica che i due vettori stanno nel nucleo (termini noti nulli): $(-2, 1, 0, 0)$ dà $-2 + 2 = 0$, $-4 + 4 = 0$, $2 - 2 = 0$ ✓; $(-2, 0, -1, 1)$ dà $-2 + 1 + 1 = 0$, $-4 - 1 + 5 = 0$, $2 - 4 + 2 = 0$ ✓.

Matrici con un parametro

Se alcuni elementi dipendono da un parametro $t$, conviene spostarli il più in basso a destra possibile prima di cominciare (scambiando righe e, se si calcola solo il rango, anche colonne): così quasi tutti i passaggi si fanno con numeri e il parametro entra in gioco solo all'ultimo gradino, dove si discutono i casi.

Esempio (lezione 18, in piccolo). $A_t = \begin{pmatrix} 1 & t & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$. Si scambiano le colonne $2$ e $3$ (lecito: interessa solo il rango), così $t$ va nell'ultima colonna:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & t \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow[R_3 \to R_3 - R_1]{R_2 \to R_2 - 2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & t \\ 0 & 1 & 1 - 2t \\ 0 & 1 & 2 - t \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \to R_3 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & t \\ 0 & 1 & 1 - 2t \\ 0 & 0 & 1 + t \end{pmatrix}$$

I conti: $R_2 - 2R_1 = (2 - 2, \ 3 - 2, \ 1 - 2t) = (0, 1, 1 - 2t)$, $R_3 - R_1 = (0, \ 2 - 1, \ 2 - t) = (0, 1, 2 - t)$, e $(0, 1, 2 - t) - (0, 1, 1 - 2t) = (0, 0, 2 - t - 1 + 2t) = (0, 0, 1 + t)$. Il parametro non è mai finito al denominatore e i primi due pivot sono $1$ e $1$, numeri fissi.

Le prime due righe sono non nulle per ogni $t$. La terza è nulla solo se $1 + t = 0$. Quindi $\operatorname{rango}(A_t) = 2$ se $t = -1$, e $\operatorname{rango}(A_t) = 3$ se $t \ne -1$. Controllo con $t = -1$: $A_{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ e infatti $R_2 = R_1 + R_3$ ($(1 + 1, \ -1 + 2, \ 1 + 2) = (2, 1, 3)$).

Attenzione a non dividere per espressioni che contengono il parametro (per esempio $R_3 \to \frac{1}{1+t} R_3$) senza aver prima escluso il valore che le annulla.

Le operazioni elementari come prodotti di matrici (lezione 17)

Ogni operazione elementare sulle righe di $A$ si ottiene moltiplicando $A$ a sinistra per una matrice opportuna, costruita modificando la matrice identità $I_m$:

Esempio. In $M_3(K)$:

$$S_{13}(\alpha) \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + \alpha g & b + \alpha h & c + \alpha i \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$$

La prima riga del prodotto è $(1, 0, \alpha)$ per le colonne: $1 \cdot a + 0 \cdot d + \alpha g$, ecc. Il risultato è proprio $R_1 + \alpha R_3$, mentre le altre righe dell'identità ricopiano le righe di $A$.

Moltiplicando a destra ($A P_{ij}$, $A M_i(\lambda)$, $A S_{ij}(\alpha)$) si ottengono le operazioni corrispondenti sulle colonne.

Tutte queste matrici sono invertibili: l'operazione inversa è ancora elementare ($P_{ij}$ si annulla rifacendo lo stesso scambio, $M_i(\lambda)$ con $M_i(\frac1\lambda)$, $S_{ij}(\alpha)$ con $S_{ij}(-\alpha)$).

La matrice $B$ con $BA = A'$ (lezione 18)

Se per ridurre $A$ a scala $A'$ si fanno le operazioni corrispondenti alle matrici $B_1, B_2, \dots, B_k$ (in quest'ordine), allora

$$A' = B_k \cdots B_2 B_1 A = BA, \qquad B = B_k \cdots B_2 B_1.$$

$B$ "ricorda" tutte le operazioni fatte, ed è invertibile (prodotto di invertibili). Per calcolarla senza scrivere tutte le $B_i$:

Trucco. Si scrive l'identità accanto ad $A$, cioè $(A \,|\, I_m)$, e si riduce $A$ a scala con sole operazioni sulle righe, facendo le stesse operazioni anche sulla parte destra. Alla fine si ottiene $(A' \,|\, B)$.

Perché funziona. Fare le operazioni sulle righe di $(A \,|\, I_m)$ equivale a moltiplicare a sinistra per $B$: $B (A \,|\, I_m) = (BA \,|\, B I_m) = (A' \,|\, B)$.

A cosa serve: le relazioni di dipendenza lineare

Se si mettono in riga dei vettori $v_1, \dots, v_m$, ogni riga nulla di $A'$ dà una relazione di dipendenza lineare: se la riga $i$ di $A'$ è nulla, la riga $i$ di $B$, cioè $(\beta_1, \dots, \beta_m)$, soddisfa

$$\beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \dots + \beta_m v_m = \vec 0,$$

perché la riga $i$ di $BA$ è proprio questa combinazione delle righe di $A$. I coefficienti si trovano senza scrivere né risolvere alcun sistema.

Esempio. $v_1 = (2, 1, 3, -1)$, $v_2 = (1, 0, 2, 1)$, $v_3 = (4, 3, 5, -5)$.

$$\left(\begin{array}{cccc|ccc} 2 & 1 & 3 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 5 & -5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \left(\begin{array}{cccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 5 & -5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

$$\xrightarrow[R_3 \to R_3 - 4R_1]{R_2 \to R_2 - 2R_1} \left(\begin{array}{cccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -3 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & -3 & -9 & 0 & -4 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_3 \to R_3 - 3R_2} \left(\begin{array}{cccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -3 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 2 & 1 \end{array}\right)$$

I conti, a sinistra e a destra della barra con la stessa operazione: $R_2 - 2R_1 = (2 - 2, \ 1 - 0, \ 3 - 4, \ -1 - 2 \,|\, 1, \ 0 - 2, \ 0) = (0, 1, -1, -3 \,|\, 1, -2, 0)$; $R_3 - 4R_1 = (0, \ 3, \ 5 - 8, \ -5 - 4 \,|\, 0, \ -4, \ 1) = (0, 3, -3, -9 \,|\, 0, -4, 1)$; $R_3 - 3R_2 = (0, \ 3 - 3, \ -3 + 3, \ -9 + 9 \,|\, 0 - 3, \ -4 + 6, \ 1 - 0) = (0, 0, 0, 0 \,|\, -3, 2, 1)$.

• Il rango è $2$: i tre vettori generano un sottospazio di dimensione $2$.
• La terza riga di $A'$ è nulla, e la terza riga di $B$ è $(-3, 2, 1)$: quindi $-3v_1 + 2v_2 + v_3 = \vec 0$, cioè $v_3 = 3v_1 - 2v_2$. Verifica: $3(2, 1, 3, -1) - 2(1, 0, 2, 1) = (4, 3, 5, -5)$ ✓.

Intersezione di due sottospazi senza risolvere sistemi

Siano $U = \langle u_1, u_2 \rangle$ e $W = \langle w_1, w_2, w_3 \rangle$ in $\mathbb{R}^4$, con $u_1 = (1, 0, 1, 0)$, $u_2 = (0, 1, 0, 1)$, $w_1 = (1, 1, 0, 0)$, $w_2 = (0, 0, 1, 1)$, $w_3 = (1, 0, 0, 1)$. Un vettore $v \in U \cap W$ si scrive $v = \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 = \beta_1 w_1 + \beta_2 w_2 + \beta_3 w_3$, cioè

$$\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 - \beta_1 w_1 - \beta_2 w_2 - \beta_3 w_3 = \vec 0,$$

che è una relazione di dipendenza tra i cinque vettori: la si legge nella matrice $B$. Si mettono i cinque vettori in riga (nell'ordine $u_1, u_2, w_1, w_2, w_3$) e si riduce $(A \,|\, I_5)$:

• $R_3 \to R_3 - R_1$ e $R_5 \to R_5 - R_1$ (zeri in prima colonna; la seconda e la quarta riga iniziano già con $0$): $R_3 = (1 - 1, 1, 0 - 1, 0) = (0, 1, -1, 0)$, cioè $w_1 - u_1$, e $R_5 = (0, 0, -1, 1)$, cioè $w_3 - u_1$;
• $R_3 \to R_3 - R_2$ (zero in seconda colonna; la quarta e la quinta hanno già $0$ lì): ora $R_3 = (0, 1 - 1, -1, 0 - 1) = (0, 0, -1, -1)$, ottenuta come $w_1 - u_1 - u_2$;
• $R_4 \to R_4 + R_3$ e $R_5 \to R_5 - R_3$ (zeri in terza colonna): $R_4 = (0, 0, 1 - 1, 1 - 1) = (0, 0, 0, 0)$, ottenuta come $w_2 + (w_1 - u_1 - u_2)$, e $R_5 = (0, 0, -1 + 1, 1 + 1) = (0, 0, 0, 2)$, ottenuta come $(w_3 - u_1) - (w_1 - u_1 - u_2) = u_2 - w_1 + w_3$.

La matrice finale, con a destra la parte $B$ (le colonne di $B$ corrispondono nell'ordine a $u_1, u_2, w_1, w_2, w_3$): $$\left(\begin{array}{cccc|ccccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ Non è ancora a scala nell'ordine delle righe (la riga nulla dovrebbe andare in fondo, con lo scambio $R_4 \leftrightarrow R_5$), ma per leggere rango e relazioni non serve.

La riga nulla dice che $-u_1 - u_2 + w_1 + w_2 = \vec 0$: la riga corrispondente di $B$ è $(-1, -1, 1, 1, 0)$. Le righe non nulle sono $4$, quindi $\dim(U + W) = 4$ (le righe di $A$ generano $U + W$, vedi Intersezione, somma e sottospazio generatoL'intersezione di due sottospazi è un sottospazio, l'unione in generale no. Al suo posto si usa la somma U + W = {u + w}, il più piccolo sottospazio che contiene entrambi. Il sottospazio generato da un insieme S è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S.Intersezione, somma e sottospazio generato →) e, per la formula di GrassmannFormula di Grassmann: dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W), come contare gli elementi di un'unione senza contare due volte quelli comuni. Se U ∩ W = {0} la somma è diretta, U ⊕ W, e ogni vettore si scrive in modo unico come u + w.Formula di Grassmann e somma diretta →, $\dim(U \cap W) = \dim U + \dim W - \dim(U + W) = 2 + 3 - 4 = 1$ (qui $\dim U = 2$ perché $u_1, u_2$ non sono proporzionali, e $\dim W = 3$ perché $w_1, w_2, w_3$ sono indipendenti: ridotti a scala da soli danno tre righe non nulle). Confrontando la relazione con $\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 - \beta_1 w_1 - \beta_2 w_2 - \beta_3 w_3 = \vec 0$ (cambiata di segno) si legge $\alpha_1 = \alpha_2 = 1$, $\beta_1 = \beta_2 = 1$, $\beta_3 = 0$. Una base di $U \cap W$ è quindi

$$v = u_1 + u_2 = w_1 + w_2 = (1, 1, 1, 1).$$

Verifica: $u_1 + u_2 = (1, 0, 1, 0) + (0, 1, 0, 1) = (1, 1, 1, 1)$ e $w_1 + w_2 = (1, 1, 0, 0) + (0, 0, 1, 1) = (1, 1, 1, 1)$ ✓.

Costo del metodo

Per ridurre a scala una matrice $n \times n$ si devono creare al più $(n - 1) + (n - 2) + \dots + 1 = \frac{n(n-1)}{2}$ zeri, ciascuno con un'operazione elementare: l'ordine di grandezza è $n^2$ operazioni sulle righe. Ogni operazione sulle righe richiede a sua volta circa $n$ moltiplicazioni e somme (una per elemento della riga), quindi in tutto servono circa $n^3$ operazioni aritmetiche: in termini di complessità computazionaleCosto di un algoritmo in funzione della dimensione dell'input; caso peggiore, migliore e medio; notazione O-grande e classi di crescita; come contare i passi di cicli e ricorsioni; costo delle operazioni Python.Complessità computazionale → l'algoritmo è $O(n^3)$. Con il vecchio metodo (risolvere un sistema, togliere un vettore, risolvere di nuovo…) i conti crescono molto più in fretta. Per questo l'eliminazione di Gauss è lo strumento usato in pratica (anche nei programmi) per ranghi, sistemi, inverseL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa → e determinantiIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace →.

Errori comuni

• Usare operazioni sulle colonne mentre si risolve un sistema. Per il solo rango si può, per un sistema no.
• Moltiplicare una riga per $0$ (o per un'espressione con un parametro che può annullarsi): la riga sparisce e il rango cambia.
• Credere che i pivot debbano stare sulla diagonale. Un gradino può saltare più colonne.
• Fermarsi troppo presto: se due righe hanno il primo elemento non nullo nella stessa colonna, la matrice non è ancora a scala.
• Riutilizzare righe già sistemate per creare zeri più a destra: si distruggono zeri fatti prima.
• Dimenticare di applicare le operazioni anche alla colonna dei termini noti (o alla parte destra di $(A \,|\, I)$).