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Lezioni 6–8 (videolezioni n. 6, 7 e 8). Prerequisito: Generatori e basiDei vettori generano V se ogni vettore di V è loro combinazione lineare; una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti, e allora ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione dei vettori di base. Lemma dello scambio: i vettori indipendenti non sono mai più dei generatori.Generatori e basi →. Esercizi svolti: Esercizio 5 · estrarre e completare una base in R3, Esercizio 6 · base di un piano dato da un'equazione. Seguito: Formula di Grassmann e somma direttaFormula di Grassmann: dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W), come contare gli elementi di un'unione senza contare due volte quelli comuni. Se U ∩ W = {0} la somma è diretta, U ⊕ W, e ogni vettore si scrive in modo unico come u + w.Formula di Grassmann e somma diretta →.

Tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori

Teorema (tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori). Se $v_1, \dots, v_n$ e $w_1, \dots, w_r$ sono due basi di $V$, allora $r = n$.

Esempio. La base canonica di $\mathbb{R}^3$ ha $3$ vettori, e anche la base $\{(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)\}$ ne ha $3$. Che sia una base si vede risolvendo $\lambda_1(1,0,0) + \lambda_2(1,1,0) + \lambda_3(1,1,1) = (a, b, c)$, cioè $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = a$, $\lambda_2 + \lambda_3 = b$, $\lambda_3 = c$: dal basso, $\lambda_3 = c$, $\lambda_2 = b - c$, $\lambda_1 = a - b$. Soluzione unica per ogni $(a, b, c)$: generano e (con $a = b = c = 0$) sono indipendenti.

Dimostrazione. Si usa due volte il lemma dello scambioIn uno spazio vettoriale il numero di vettori linearmente indipendenti è sempre minore o uguale al numero di vettori di un sistema di generatori.Generatori e basi →:

• i $v$ generano e i $w$ sono indipendenti, quindi $r \le n$;
• i $w$ generano e i $v$ sono indipendenti, quindi $n \le r$.

Quindi $r = n$ ∎.

Il numero di vettori di una base non dipende dalla base scelta (due studenti che trovano basi diverse dello stesso spazio trovano lo stesso numero di vettori): è una caratteristica dello spazio.

Definizione (dimensione). La dimensione di $V$, indicata con $\dim V$, è il numero di vettori di una qualsiasi base di $V$. Per convenzione $\dim \{\vec 0\} = 0$.

Esempio. $\dim \mathbb{R}^n = n$, $\dim \{\vec 0\} = 0$ e il piano $\{x + y + z = 0\} \subseteq \mathbb{R}^3$ ha dimensione $2$: da $x = -y - z$ il vettore generico è $(-y - z, y, z) = y(-1, 1, 0) + z(-1, 0, 1)$, e i due vettori sono indipendenti (seconda e terza componente danno subito $y = z = 0$), quindi formano una base di $2$ vettori (metodo spiegato più avanti in questa nota).

Perché $\dim\{\vec 0\} = 0$ e non $1$. Lo spazio nullo contiene un vettore, ma $\{\vec 0\}$ non è una base perché il vettore nullo non è indipendente ($1 \cdot \vec 0 = \vec 0$ con coefficiente $1 \ne 0$). La base dello spazio nullo è l'insieme vuoto, con $0$ vettori.

Esempi

La definizione formale conferma l'intuizione: la retta ha dimensione 1, il piano 2, lo spazio $\mathbb{R}^3$ ha dimensione 3. (Attenzione: il polinomio di grado $\le 3$ ha 4 coefficienti, quindi dimensione $4$, non $3$.)

Perché $1, x, x^2, x^3$ sono indipendenti. Se $a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3$ è il polinomio nullo, vale $0$ per ogni $x$, non per qualche $x$. Un polinomio non nullo di grado $\le 3$ ha al più $3$ radici (ogni radice $r$ dà un fattore $x - r$ nella scomposizione, come in Integrazione delle funzioni razionaliPer ∫P(x)/Q(x)dx con grado P < grado Q: se Q ha grado 1 si sostituisce y = ax+b (viene un logaritmo); se Q = ax²+bx+c, con Δ > 0 si scompone in fratti semplici A/(x−x₁) + B/(x−x₂) (A, B dal principio di identità dei polinomi), con Δ = 0 si sostituisce y = x − x₁, con Δ < 0 si completa il quadrato e si arriva a un logaritmo più un'arcotangente. Se grado P ≥ grado Q si divide prima; se Q ha grado > 2 si scompone in fattori e si usano i fratti semplici.Integrazione delle funzioni razionali →), quindi uno che si annulla ovunque ha tutti i coefficienti nulli: $a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = 0$. È il principio di identità dei polinomidue polinomi che hanno lo stesso valore per ogni x hanno gli stessi coefficienti. Che generino è la definizione stessa di polinomio di grado $\le 3$.

Estrarre una base da un sistema di generatori

Sia $\dim V = n$ e siano $v_1, \dots, v_s$ generatori di $V$. Per il lemma dello scambio $s \ge n$ (gli $n$ vettori indipendenti di una base non possono superare i generatori).

Teorema (estrarre una base da un sistema di generatori). Da ogni sistema di generatori si può estrarre una base, togliendo opportunamente alcuni vettori.

Esempio. Da $\{(1,0), (2,0), (0,1)\}$ si estrae la base $\{(1,0), (0,1)\}$, togliendo $(2,0) = 2(1,0)$. Non si può togliere $(0,1)$: i rimanenti $(1,0), (2,0)$ generano solo l'asse $x$.

Dimostrazione (è anche il metodo degli esercizi).

1. Si controlla se $v_1, \dots, v_s$ sono indipendenti. Se sì, sono una base: fine.
2. Se no, uno di essi è combinazione lineare degli altriTeorema: dei vettori sono dipendenti se e solo se almeno uno di essi è combinazione lineare dei rimanenti.Combinazioni lineari e dipendenza lineare →; lo si cancella (riordinando, sia $v_s$).
3. I rimanenti $v_1, \dots, v_{s-1}$ generano ancora $V$: ogni $v$ è $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_s v_s$, e sostituendo a $v_s$ la sua espressione in funzione degli altri si ottiene una combinazione di $v_1, \dots, v_{s-1}$. Per esteso, se $v_s = c_1 v_1 + \dots + c_{s-1} v_{s-1}$, allora $v = (\lambda_1 + \lambda_s c_1) v_1 + \dots + (\lambda_{s-1} + \lambda_s c_{s-1}) v_{s-1}$.
4. Si ripete dal passo 1.

Il procedimento si ferma al più quando restano $n$ vettori: con meno di $n$ vettori non si può generare $V$, quindi a quel punto i vettori rimasti sono per forza indipendenti ∎.

Attenzione: al passo 2 va tolto un vettore che è davvero combinazione degli altri, non uno a caso (vedi l'esempio in Combinazioni lineari e dipendenza lineareUna combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare →).

Completare un insieme di vettori indipendenti a una base

Sia $\dim V = n$ e siano $v_1, \dots, v_r$ indipendenti; allora $r \le n$.

Teorema (completare a una base). Ogni insieme di vettori indipendenti si può completare a una base di $V$, aggiungendo opportuni vettori.

Esempio. L'insieme $\{(1,1,0)\}$ si completa a una base di $\mathbb{R}^3$ aggiungendo $(0,1,0)$ e $(0,0,1)$. Verifica: $a(1,1,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) = (a, a + b, c) = (0, 0, 0)$ dà $a = 0$, poi $b = 0$, e $c = 0$; tre vettori indipendenti in dimensione $3$ sono una base (teorema più sotto).

Dimostrazione.

1. Si controlla se $v_1, \dots, v_r$ generano $V$. Se sì, sono una base.
2. Se no, esiste un vettore $v_{r+1}$ che non è combinazione di $v_1, \dots, v_r$. Lo si aggiunge.
3. $v_1, \dots, v_r, v_{r+1}$ sono ancora indipendenti. Sia $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_r v_r + \lambda_{r+1} v_{r+1} = \vec 0$. Se fosse $\lambda_{r+1} \ne 0$, si potrebbe ricavare $v_{r+1} = -\frac{\lambda_1}{\lambda_{r+1}} v_1 - \dots - \frac{\lambda_r}{\lambda_{r+1}} v_r$, combinazione degli altri (escluso per scelta); quindi $\lambda_{r+1} = 0$, la combinazione si riduce a $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_r v_r = \vec 0$, e allora sono nulli anche gli altri $\lambda_i$ perché $v_1, \dots, v_r$ sono indipendenti.
4. Si ripete.

Il procedimento si ferma al più quando si arriva a $n$ vettori: $n + 1$ vettori sarebbero dipendenti ∎.

In pratica: come scegliere il vettore da aggiungere. Non serve studiare tutte le combinazioni di $v_1, \dots, v_r$: si prova un vettore semplice, di solito della base canonica ($e_1 = (1, 0, \dots, 0)$, poi $e_2$, …), e poi si verifica che i vettori ottenuti siano indipendenti. Geometricamente: se $v_1, v_2$ stanno su un piano di $\mathbb{R}^3$, è estremamente improbabile che un vettore scelto a caso cada proprio su quel piano; se capita, si prova il successivo. Gli zeri del vettore della base canonica semplificano il sistema della verifica. Esempio nell'Esercizio 5 · estrarre e completare una base in R3.

In dimensione $n$ basta una sola verifica

Teorema (in dimensione n basta una sola verifica). Sia $\dim V = n$ e siano $v_1, \dots, v_n$ esattamente $n$ vettori. Allora:

1. se generano $V$, sono anche indipendenti, quindi sono una base;
2. se sono indipendenti, generano anche $V$, quindi sono una base.

Esempio. In $\mathbb{R}^2$ (dimensione $2$) i due vettori $(1,2)$ e $(2,-3)$ non sono paralleli ($(2,-3)$ non è multiplo di $(1,2)$: servirebbe il fattore $2$ dalla prima componente e $-\frac32$ dalla seconda), quindi sono indipendenti e formano una base, senza dover risolvere il sistema dei generatori come in Generatori e basiDei vettori generano V se ogni vettore di V è loro combinazione lineare; una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti, e allora ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione dei vettori di base. Lemma dello scambio: i vettori indipendenti non sono mai più dei generatori.Generatori e basi →.

Dimostrazione (entrambe le parti per assurdoDimostrazione diretta, per contronominale e per assurdo di un teorema del tipo ipotesi implica tesi.Tecniche di dimostrazione →). (1) Se non fossero indipendenti si potrebbe estrarre una base togliendo almeno un vettore, e si avrebbe una base con meno di $n$ vettori: impossibile. (2) Se non generassero si potrebbe completarli aggiungendo almeno un vettore, e si avrebbe una base con più di $n$ vettori: impossibile ∎.

Negli esercizi si risparmia metà dei conti: $n$ vettori indipendenti in uno spazio di dimensione $n$ sono una base.

Conseguenze per i sottospazi. Se $U \subseteq V$ è un sottospazio:

• $\dim U \le \dim V$ (una base di $U$ è un insieme di vettori indipendenti di $V$);
• se $\dim U = \dim V$ allora $U = V$ (una base di $U$ sono $n$ vettori indipendenti di $V$, quindi è una base di $V$, e genera tutto $V$).

Da qui l'elenco dei sottospazi di $\mathbb{R}^3$: dimensione $0$ ($\{\vec 0\}$), $1$ (rette per l'origine), $2$ (piani per l'origine), $3$ ($\mathbb{R}^3$).

Dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo

Un sottospazio si può dare in due modi:

• con dei generatori (o una base): $U = \langle u_1, \dots, u_k \rangle$;
• con delle equazioni lineari omogenee: $U$ = insieme delle soluzioni.

Dalle equazioni a una base. Esempio: $U = \{x \in \mathbb{R}^3 : x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 0\}$. Si ricava $x_1 = 2x_2 - 4x_3$, con $x_2, x_3$ liberi. Il vettore generico di $U$ è

$$\begin{pmatrix} 2x_2 - 4x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = x_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$$

I due vettori $(2, 1, 0)$ e $(-4, 0, 1)$ generano $U$ e sono indipendenti (guardando la 2ª e 3ª componente si trovano $\lambda_1 = 0$ e $\lambda_2 = 0$). Quindi $\dim U = 2$: è un piano.

Regola generale. La dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è il numero di incognite libere. Una base si ottiene dando a una incognita libera il valore $1$ e alle altre $0$, in tutti i modi possibili: gli $1$ e $0$ nelle posizioni delle incognite libere garantiscono l'indipendenza senza altre verifiche. Il motivo: in una combinazione $\lambda_1 b_1 + \dots + \lambda_k b_k$ dei vettori così ottenuti, la componente della $j$-esima incognita libera vale esattamente $\lambda_j$ (solo $b_j$ ha lì un $1$, gli altri hanno $0$); se la combinazione è $\vec 0$, tutti i $\lambda_j$ sono $0$. Nell'esempio sopra, $x_2$ e $x_3$ sono le libere e la combinazione ha seconda componente $\lambda_1$ e terza $\lambda_2$. Con più equazioni, per trovare quali incognite restano libere conviene ridurre prima il sistema con l'Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss →. Dettagli: Esercizio 6 · base di un piano dato da un'equazione; il legame con il rango arriva con il teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →.

Riassunto

Errori comuni

• Dire che i polinomi di grado $\le 3$ formano uno spazio di dimensione 3: la base $1, x, x^2, x^3$ ha 4 elementi.
• Contare i vettori dello spazio nullo: $\dim\{\vec 0\} = 0$.
• Aggiungere un vettore a caso senza verificare: la scelta "a caso" è comoda, ma l'indipendenza va controllata.
• Credere che $k$ generatori diano dimensione $k$: la dimensione è $\le k$, ed è $k$ solo se i generatori sono indipendenti.