Forme bilineari simmetriche

Lezioni 35–36 (videolezioni n. 35 e 36). Esercizi svolti: Esercizio 88 · segno di una forma quadratica con parametro, Esercizio 90 · Gram-Schmidt per una forma bilineare definita positiva. Prerequisiti: Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →, Cambiamenti di baseLa matrice di cambiamento di base è la matrice dell'identità rispetto a due basi diverse: trasforma le coordinate in una base nelle coordinate nell'altra ed è invertibile; la matrice di f in nuove basi è M(id)·A·M(id), e per un endomorfismo A' = P⁻¹AP (matrici simili).Cambiamenti di base →. Seguito: Segno di una forma bilineare simmetricaPer capire se una forma bilineare simmetrica è definita positiva, negativa, semidefinita o indefinita si usano quattro metodi: segni degli autovalori, regola di Cartesio sul polinomio caratteristico, minori principali di nord-ovest, completamento dei quadrati. Il teorema di Sylvester dice che il numero di segni + e − in una forma diagonale non dipende dalla base.Segno di una forma bilineare simmetrica →, Teorema spettrale e forme quadraticheUna funzione lineare è simmetrica se f(v)·w = v·f(w); in una base ortonormale ha matrice simmetrica. Teorema spettrale: f è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori, cioè A simmetrica ⇔ PᵀAP diagonale con P ortogonale. Applicato alle forme quadratiche, permette di scriverle come somma di quadrati con gli autovalori come coefficienti.Teorema spettrale e forme quadratiche →.

Dall'esempio del prodotto scalare alla definizione generale

Il prodotto scalare usuale di $\mathbb{R}^n$ ha tre proprietà: è lineare in ciascun argomento, è simmetrico, è positivo ($v \cdot v > 0$ se $v \ne 0$). Togliendo la terza si ottiene un oggetto più generale, che compare in geometria (coniche e quadriche), in fisica (energia, relatività) e nello studio dei massimi e minimi.

Definizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale reale. Una forma bilineare su $V$ è una funzione $\varphi: V \times V \to \mathbb{R}$ lineare in ciascun argomento: $$\varphi(\lambda u + \mu v, w) = \lambda \varphi(u, w) + \mu \varphi(v, w), \qquad \varphi(u, \lambda v + \mu w) = \lambda \varphi(u, v) + \mu \varphi(u, w)$$ per ogni $u, v, w \in V$, $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. È simmetrica se $\varphi(v, w) = \varphi(w, v)$ per ogni $v, w$.

Esempio. Su $\mathbb{R}^2$, $\varphi(v, w) = v_1 w_1 + 2 v_2 w_2$ è bilineare e simmetrica; $\varphi((1,1), (2,3)) = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 3 = 2 + 6 = 8$. Bilineare perché, fissato $w$, è una combinazione lineare delle componenti di $v$ (e viceversa); simmetrica perché scambiando $v$ e $w$ i prodotti $v_i w_i$ non cambiano.

"Forma" significa che il risultato è un numero; "bilineare" che è lineare nei due posti.

Esempi.

1. Il prodotto scalare usuale $\varphi(x, y) = x \cdot y$ su $\mathbb{R}^n$.
2. Su $\mathbb{R}^2$: $\varphi(x, y) = x_1 y_1 - x_2 y_2$. È bilineare e simmetrica, ma $\varphi((0, 1), (0, 1)) = -1 < 0$: non è un prodotto scalare.
3. Su $\mathbb{R}^4$ la forma di Minkowski della relatività: $\varphi(x, y) = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 - x_4 y_4$.
4. Sui polinomi di grado $\le n$: $\varphi(p, q) = \int_0^1 p(t)\, q(t)\, dt$. È bilineare per la linearità dell'integraleL'integrale definito è lineare, monotono (f ≤ g implica ∫f ≤ ∫g), additivo rispetto all'intervallo (con ∫ da a ad a = 0 e ∫ da b ad a = −∫ da a a b) e verifica |∫f| ≤ ∫|f|. Teorema della media integrale: se f è continua su [a,b] esiste c con f(c) = (1/(b−a))∫f, cioè un rettangolo di altezza f(c) ha la stessa area del trapezoide.Proprietà dell'integrale definito e teorema della media →, simmetrica perché $p(t) q(t) = q(t) p(t)$, ed è anche positiva: $\varphi(p, p) = \int_0^1 p(t)^2\, dt$ è l'integrale di una funzione continua $\ge 0$, che è nullo solo se $p(t)^2 = 0$ su tutto $[0, 1]$, cioè (un polinomio con infinite radici è nullo) solo se $p = 0$. È quindi un prodotto scalare su uno spazio che non è $\mathbb{R}^n$. Per esempio $\varphi(1, t) = \int_0^1 t\, dt = \frac12$.
5. Non simmetrica: su $\mathbb{R}^2$, $\varphi(x, y) = x_1 y_2$ (infatti $\varphi(e_1, e_2) = 1$ ma $\varphi(e_2, e_1) = 0$).

La matrice di una forma bilineare

Sia $\mathcal B = \{v_1, \dots, v_n\}$ una base di $V$. Per bilinearità, se $v = \sum_i x_i v_i$ e $w = \sum_j y_j v_j$,

$$\varphi(v, w) = \sum_{i, j} x_i\, y_j\, \varphi(v_i, v_j) .$$

(Si usa la linearità prima nel primo argomento, $\varphi\left(\sum_i x_i v_i, w\right) = \sum_i x_i\, \varphi(v_i, w)$, poi nel secondo, $\varphi(v_i, w) = \sum_j y_j\, \varphi(v_i, v_j)$. Con $n = 2$: $\varphi(v, w) = x_1 y_1 \varphi(v_1, v_1) + x_1 y_2 \varphi(v_1, v_2) + x_2 y_1 \varphi(v_2, v_1) + x_2 y_2 \varphi(v_2, v_2)$.)

Quindi $\varphi$ è determinata dagli $n^2$ numeri $\varphi(v_i, v_j)$: come una funzione lineare è determinata dalle immagini dei vettori di una base.

Definizione. La matrice di $\varphi$ rispetto a $\mathcal B$ è $A = (a_{ij})$ con $a_{ij} = \varphi(v_i, v_j)$. Indicando con $X$ e $Y$ le colonne delle coordinateFissata una base, ogni vettore ha una e una sola lista di coordinate; la funzione vettore → coordinate è un isomorfismo con K^n, quindi ogni spazio di dimensione n si comporta come K^n (ma l'isomorfismo dipende dalla base).Coordinate rispetto a una base → di $v$ e $w$: $$\varphi(v, w) = X^T A\, Y .$$

Infatti, con il prodotto righe per colonneLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici →, $AY$ è la colonna con componenti $\sum_j a_{ij} y_j$, e moltiplicando a sinistra per la riga $X^T$ si ottiene $\sum_i x_i \sum_j a_{ij} y_j = \sum_{i,j} x_i\, a_{ij}\, y_j$: è la somma scritta sopra.

Esempio. $\varphi(v, w) = v_1 w_1 + 2 v_2 w_2$ ha nella base canonica la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, e $\varphi(v, w) = X^T A Y$.

Simmetria. $\varphi$ è simmetrica se e solo se $A$ è simmetrica ($a_{ij} = \varphi(v_i, v_j) = \varphi(v_j, v_i) = a_{ji}$, cioè $A^T = A$).

Esempi. Rispetto alla base canonica: il prodotto scalare usuale ha matrice $I_n$ (infatti $e_i \cdot e_j = \delta_{ij}$); la forma dell'esempio 2 ha matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

Viceversa ogni matrice simmetrica $A \in M_n(\mathbb{R})$ definisce una forma bilineare simmetrica su $\mathbb{R}^n$: $\varphi(x, y) = x^T A y$. Esempio:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}: \qquad \varphi(x, y) = x_1 y_1 + 2x_1 y_2 + 2x_2 y_1 + x_2 y_2 .$$

Si legge così: il coefficiente di $x_i y_j$ è $a_{ij}$.

Cambiamento di base: matrici congruenti

Sia $\mathcal B'$ un'altra base e $P$ la matrice di cambiamento di baseLa matrice di cambiamento di base è la matrice dell'identità rispetto a due basi diverse: trasforma le coordinate in una base nelle coordinate nell'altra ed è invertibile; la matrice di f in nuove basi è M(id)·A·M(id), e per un endomorfismo A' = P⁻¹AP (matrici simili).Cambiamenti di base → (le colonne di $P$ sono le coordinate dei vettori di $\mathcal B'$ rispetto a $\mathcal B$), così che $X = P X'$ e $Y = P Y'$. Allora

$$\varphi(v, w) = X^T A Y = (P X')^T A (P Y') = X'^T\, (P^T A P)\, Y' ,$$

dove si è usata la trasposta di un prodottoLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici →, $(PX')^T = X'^T P^T$, e l'associatività del prodotto.

Teorema. Se $A$ è la matrice di $\varphi$ rispetto a $\mathcal B$, la matrice rispetto a $\mathcal B'$ è $$A' = P^T A\, P .$$ Due matrici $A, A'$ legate da $A' = P^T A P$ con $P$ invertibile si dicono congruenti.

Attenzione: non è la formula delle funzioni lineari. Per un endomorfismo la matrice cambia per similitudine, $P^{-1} A P$; per una forma bilineare per congruenza, $P^T A P$. Le due coincidono solo se $P^{-1} = P^T$, cioè se $P$ è ortogonale (cambio tra basi ortonormali): è il punto di contatto sfruttato nel teorema spettraleUna funzione lineare è simmetrica se f(v)·w = v·f(w); in una base ortonormale ha matrice simmetrica. Teorema spettrale: f è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori, cioè A simmetrica ⇔ PᵀAP diagonale con P ortogonale. Applicato alle forme quadratiche, permette di scriverle come somma di quadrati con gli autovalori come coefficienti.Teorema spettrale e forme quadratiche →.

Che cosa si conserva per congruenza. Il rango ($P$ e $P^T$ sono invertibili, e moltiplicare per matrici invertibili non cambia il rango) e il segno del determinante: per il teorema di BinetIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace → e $\det P^T = \det P$, $\det A' = \det P^T \det A \det P = (\det P)^2 \det A$, e $(\det P)^2 > 0$ perché $P$ è invertibile. Non si conservano determinante, traccia e autovalori.

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ e la nuova base $\{(1, 1), (1, -1)\}$, cioè $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$:

$$AP = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}, \qquad P^T A P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}.$$

(Righe per colonne: la prima riga di $A$, $(1, 2)$, per le colonne di $P$ dà $1 + 2 = 3$ e $1 - 2 = -1$; la seconda, $(2, 1)$, dà $3$ e $1$. Poi la prima riga di $P^T$, $(1, 1)$, per le colonne di $AP$ dà $3 + 3 = 6$ e $-1 + 1 = 0$; la seconda, $(1, -1)$, dà $3 - 3 = 0$ e $-1 - 1 = -2$.)

Nella nuova base la forma è $\varphi = 6 x_1' y_1' - 2 x_2' y_2'$: è diagonale, e si vede subito che assume valori positivi e negativi. Controllo diretto sugli elementi diagonali, con la formula $\varphi(x, y) = x_1 y_1 + 2x_1 y_2 + 2x_2 y_1 + x_2 y_2$: $\varphi((1,1),(1,1)) = 1 + 2 + 2 + 1 = 6$ ✓ e $\varphi((1,-1),(1,-1)) = 1 - 2 - 2 + 1 = -2$ ✓; fuori diagonale $\varphi((1,1),(1,-1)) = 1 - 2 + 2 - 1 = 0$ ✓.

Forme degeneri e non degeneri

Definizione. Il nucleo (o radicale) di $\varphi$ è $$\operatorname{Ker} \varphi = \{ v \in V : \varphi(v, w) = 0 \ \text{ per ogni } w \in V \}.$$ $\varphi$ è non degenere se $\operatorname{Ker} \varphi = \{0\}$, degenere altrimenti.

In coordinate: $v \in \operatorname{Ker} \varphi \iff X^T A Y = 0$ per ogni $Y \iff X^T A = 0 \iff A X = 0$. Il secondo passaggio: prendendo $Y = e_j$ si ottiene la $j$-esima componente della riga $X^T A$, quindi tutte le componenti sono nulle (il viceversa è ovvio). Il terzo: si traspone, $(X^T A)^T = A^T X = A X$ perché $A$ è simmetrica. Quindi

$$\operatorname{Ker} \varphi \longleftrightarrow \operatorname{Ker} A, \qquad \varphi \text{ non degenere} \iff \det A \ne 0 .$$

(L'ultima equivalenza: il sistema omogeneo $AX = 0$ ha solo la soluzione nulla se e solo se $A$ è invertibileL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa →, cioè $\det A \ne 0$.)

Il criterio non dipende dalla base scelta, perché il segno di $\det$ (in particolare il fatto che sia $\ne 0$) si conserva per congruenza.

Esempio. $\varphi(x, y) = x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + x_2 y_2 = (x_1 + x_2)(y_1 + y_2)$ ha matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $\det = 1 - 1 = 0$: degenere. Il nucleo è $AX = 0$, cioè la sola equazione $x_1 + x_2 = 0$ (le due righe sono uguali): $\operatorname{Ker}\varphi = \langle (1, -1) \rangle$. Controllo: $\varphi((1, -1), y) = (1 - 1)(y_1 + y_2) = 0$ per ogni $y$ ✓.

Forme definite, semidefinite, indefinite

La forma quadratica associata a $\varphi$ è $q(v) = \varphi(v, v)$, cioè $q(x) = X^T A X$. Il "segno" di $\varphi$ si classifica guardando i valori di $q$:

Definizione. Una forma bilineare simmetrica $\varphi$ è

• definita positiva se $\varphi(v, v) > 0$ per ogni $v \ne 0$;
• semidefinita positiva se $\varphi(v, v) \ge 0$ per ogni $v$ (ma si annulla su qualche $v \ne 0$);
• definita negativa se $\varphi(v, v) < 0$ per ogni $v \ne 0$;
• semidefinita negativa se $\varphi(v, v) \le 0$ per ogni $v$ (ma si annulla su qualche $v \ne 0$);
• indefinita se assume sia valori positivi sia valori negativi.

Esempio. Su $\mathbb{R}^2$: $q = x^2 + y^2$ è definita positiva; $q = x^2$ è semidefinita positiva (si annulla su $(0,1)$); $q = x^2 - y^2$ è indefinita.

Quando la matrice è diagonale il tipo si legge dai segni degli elementi diagonali. Per una matrice qualsiasi servono i metodi di Segno di una forma bilineare simmetricaPer capire se una forma bilineare simmetrica è definita positiva, negativa, semidefinita o indefinita si usano quattro metodi: segni degli autovalori, regola di Cartesio sul polinomio caratteristico, minori principali di nord-ovest, completamento dei quadrati. Il teorema di Sylvester dice che il numero di segni + e − in una forma diagonale non dipende dalla base.Segno di una forma bilineare simmetrica →.

Fatti utili.

• Una forma definita (positiva o negativa) è non degenere: se $v \in \operatorname{Ker}\varphi$ allora $\varphi(v, v) = 0$, quindi $v = 0$.
• Una forma indefinita può essere degenere o no.
• Se $\varphi(v, v) = 0$ con $v \ne 0$ ($v$ si dice isotropo), la forma non è definita. Per $x_1^2 - x_2^2$ il vettore $(1, 1)$ è isotropo ($1 - 1 = 0$), pur non stando nel nucleo: la matrice $\operatorname{diag}(1, -1)$ ha $\det = -1 \ne 0$, quindi il nucleo è $\{0\}$ (e infatti $\varphi((1, 1), (1, 0)) = 1 \ne 0$).

Un prodotto scalare è esattamente una forma bilineare simmetrica definita positiva. Con esso si definiscono norme, angoli, ortogonalità e proiezioni esattamente come in Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →.

Basi ortogonali per una forma bilineare

Due vettori sono $\varphi$-ortogonali se $\varphi(v, w) = 0$. Una base $\{v_1, \dots, v_n\}$ è $\varphi$-ortogonale se $\varphi(v_i, v_j) = 0$ per $i \ne j$: per definizione della matrice, questo vuol dire che la matrice di $\varphi$ in quella base è diagonale. Trovare una base ortogonale per $\varphi$ significa quindi diagonalizzare la forma per congruenza (come nell'esempio con $P^T A P$ sopra).

Gram-Schmidt per una forma definita positiva

Se $\varphi$ è definita positiva, il procedimento di Gram-SchmidtUna base ortonormale è fatta di vettori di norma 1 a due a due ortogonali: le coordinate si calcolano con prodotti scalari e le proiezioni con una formula diretta. Il procedimento di Gram-Schmidt trasforma una base qualsiasi in una base ortogonale (e poi ortonormale) dello stesso sottospazio.Basi ortonormali e Gram-Schmidt → funziona parola per parola sostituendo il prodotto scalare usuale con $\varphi$:

$$v_1' = v_1, \qquad v_k' = v_k - \sum_{i < k} \frac{\varphi(v_k, v_i')}{\varphi(v_i', v_i')}\, v_i' .$$

I denominatori $\varphi(v_i', v_i')$ sono positivi (e quindi non nulli) proprio perché $\varphi$ è definita positiva e $v_i' \ne 0$. Normalizzando ($v_i'' = v_i' / \sqrt{\varphi(v_i', v_i')}$) si ottiene una base in cui la matrice di $\varphi$ è l'identità.

Conseguenza. Ogni forma definita positiva su $\mathbb{R}^n$, in una base opportuna, diventa il prodotto scalare usuale: $A$ definita positiva $\iff A = P^T P$ per qualche $P$ invertibile.

Perché: se $Q$ è la matrice di cambiamento di base verso la base $\varphi$-ortonormale, $Q^T A Q = I$, quindi $A = (Q^T)^{-1} Q^{-1} = (Q^{-1})^T Q^{-1}$, e basta porre $P = Q^{-1}$. Viceversa, se $A = P^T P$ allora $x^T A x = (Px)^T (Px) = \|Px\|^2 > 0$ per $x \ne 0$ (perché $Px \ne 0$, essendo $P$ invertibile).

Esempio. $\varphi(x, y) = x^T A y$ con $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ (definita positiva: $q(x) = 2x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = x_1^2 + (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) = x_1^2 + (x_1 + x_2)^2$, una somma di due quadrati, che è nulla solo se $x_1 = 0$ e $x_1 + x_2 = 0$, cioè solo per $x = 0$). Partendo dalla base canonica:

• $v_1' = e_1$, $\ \varphi(e_1, e_1) = a_{11} = 2$;
• $\varphi(e_2, e_1) = a_{21} = 1$, quindi $v_2' = e_2 - \frac12 e_1 = \left(-\frac12, 1\right) \leadsto (-1, 2)$.

Controllo: $\varphi(e_1, (-1, 2)) = (1, 0)\, A \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = 0$ ✓. Inoltre $\varphi((-1, 2), (-1, 2)) = q(-1, 2) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \cdot 2 + 2^2 = 2 - 4 + 4 = 2$. Base ortonormale per $\varphi$: $\frac{1}{\sqrt2} e_1$, $\frac{1}{\sqrt2}(-1, 2)$ (si divide ciascun vettore per $\sqrt{\varphi(v_i', v_i')} = \sqrt2$). Attenzione: questi vettori non sono ortogonali per il prodotto scalare usuale ($e_1 \cdot (-1, 2) = -1$), e non devono esserlo.

Per una forma non definita positiva il procedimento può incontrare un vettore con $\varphi(v_i', v_i') = 0$ e fermarsi; una base $\varphi$-ortogonale esiste comunque (teorema spettrale, o completamento dei quadrati), ma va cercata diversamente.

Riepilogo

Errori comuni

• Cambiare base con $P^{-1} A P$: per le forme bilineari è $P^T A P$.
• Confondere degenere con indefinita: $x_1^2 - x_2^2$ è indefinita ma non degenere; $x_1^2$ è degenere ma non indefinita.
• Credere che $\varphi(v, v) = 0$ implichi $v \in \operatorname{Ker} \varphi$: vale solo per le forme semidefinite; per le indefinite esistono vettori isotropi fuori dal nucleo.
• Usare Gram-Schmidt con una forma non definita positiva senza controllare i denominatori.