Formula di Grassmann e somma diretta

Lezione 7 (videolezione n. 7), applicata nella lezione 8. Prerequisiti: Intersezione, somma e sottospazio generatoL'intersezione di due sottospazi è un sottospazio, l'unione in generale no. Al suo posto si usa la somma U + W = {u + w}, il più piccolo sottospazio che contiene entrambi. Il sottospazio generato da un insieme S è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S.Intersezione, somma e sottospazio generato →, DimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione →. Esercizi svolti: Esercizio 7 · intersezione e somma con vettori dati in una base, Esercizio 9 · base, coordinate e somma diretta in R4, Esercizio 11 · domande teoriche su dimensione, somma e intersezione. Seguito: Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospaziProcedura da esame per i sottospazi di K^n: base da generatori (riduzione a scala delle righe), base da equazioni (incognite libere), equazioni cartesiane da una base (eliminare i parametri), intersezione (mettere a sistema), somma (unire i generatori) e Grassmann come controllo.Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi →.

La formula

Teorema (formula di Grassmann). Se $U$ e $W$ sono sottospazi di uno spazio vettoriale $V$ (finitamente generato),

$$\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W).$$

Esempio. Due piani distinti per l'origine in $\mathbb{R}^3$: $\dim U = \dim W = 2$ e $\dim(U + W) = 3$, quindi $\dim(U \cap W) = 2 + 2 - 3 = 1$: si intersecano in una retta.

L'idea: contare senza ripetere

Con gli insiemi finiti (unione e intersezione di Operazioni tra insiemiUnione, intersezione, differenza, complementare e prodotto cartesiano, con le leggi di De Morgan e il legame con la logica.Operazioni tra insiemi →, $|A|$ = numero di elementi) vale $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$. Per esempio con $A = \{1, 2, 3\}$ e $B = \{3, 4\}$: $|A \cup B| = |\{1, 2, 3, 4\}| = 4 = 3 + 2 - 1$. Contando gli elementi di $A$ e poi quelli di $B$, gli elementi comuni vengono contati due volte, quindi se ne toglie una copia. Per i sottospazi si contano i vettori di base invece degli elementi: la base dell'intersezione viene contata sia dentro la base di $U$ sia dentro quella di $W$.

Dimostrazione

Si costruiscono basi "compatibili" dei quattro sottospazi, partendo dal più piccolo.

1. Base di $U \cap W$. Sia $v_1, \dots, v_r$ una base di $U \cap W$, quindi $\dim(U \cap W) = r$.
2. Base di $U$. I $v_i$ stanno in $U$ e sono indipendenti, quindi si possono completareOgni insieme di vettori linearmente indipendenti si completa a una base aggiungendo opportuni vettori.Dimensione → a una base di $U$: $v_1, \dots, v_r, u_1, \dots, u_s$. Quindi $\dim U = r + s$.
3. Base di $W$. Allo stesso modo si completa a una base di $W$: $v_1, \dots, v_r, w_1, \dots, w_t$. Quindi $\dim W = r + t$.
4. Candidata base di $U + W$: $v_1, \dots, v_r, u_1, \dots, u_s, w_1, \dots, w_t$ ($r + s + t$ vettori).

Generano $U + W$. Ogni vettore di $U + W$ è $u + w$ (descrizione della sommaL'intersezione di due sottospazi è un sottospazio, l'unione in generale no. Al suo posto si usa la somma U + W = {u + w}, il più piccolo sottospazio che contiene entrambi. Il sottospazio generato da un insieme S è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S.Intersezione, somma e sottospazio generato →); $u$ è combinazione di $v_i, u_j$ (base di $U$), $w$ di $v_i, w_k$ (base di $W$), quindi $u + w$ è combinazione di tutti (i coefficienti dei $v_i$ si sommano).

Sono indipendenti. Si sa che i $v$ con gli $u$ sono indipendenti e che i $v$ con i $w$ lo sono; non si sa ancora se lo sono tutti insieme. Si scrive una combinazione nulla:

$$\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_r v_r + \alpha_1 u_1 + \dots + \alpha_s u_s + \beta_1 w_1 + \dots + \beta_t w_t = \vec 0.$$

Si portano i $w$ a destra:

$$\underbrace{\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_r v_r + \alpha_1 u_1 + \dots + \alpha_s u_s}_{\in\, U} = \underbrace{-\beta_1 w_1 - \dots - \beta_t w_t}_{\in\, W}.$$

Il vettore a sinistra sta in $U$ (combinazione di vettori di $U$, che è chiuso per combinazioni), quello a destra in $W$ (stesso motivo), ma sono lo stesso vettore: quindi sta in $U \cap W$, e si scrive come combinazione della base $v_1, \dots, v_r$ di $U \cap W$, diciamo $-\beta_1 w_1 - \dots - \beta_t w_t = \gamma_1 v_1 + \dots + \gamma_r v_r$. Portando tutto da una parte: $$\gamma_1 v_1 + \dots + \gamma_r v_r + \beta_1 w_1 + \dots + \beta_t w_t = \vec 0.$$ È una combinazione nulla di $v_1, \dots, v_r, w_1, \dots, w_t$, che sono indipendenti (base di $W$): tutti i coefficienti sono nulli, in particolare $\beta_1 = \dots = \beta_t = 0$. Ripartendo dalla combinazione iniziale, restano $$\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_r v_r + \alpha_1 u_1 + \dots + \alpha_s u_s = \vec 0,$$ una combinazione nulla di $v$ e $u$, che sono indipendenti (base di $U$): quindi anche $\lambda_i = 0$ e $\alpha_j = 0$.

Conto finale. $\dim(U + W) = r + s + t$ e

$$\dim U + \dim W - \dim(U \cap W) = (r + s) + (r + t) - r = r + s + t \ \checkmark \quad \blacksquare$$

Esempi

• In $\mathbb{R}^3$, due piani distinti per l'origine: $\dim U = \dim W = 2$, e $U + W$ contiene propriamente un piano, quindi $U + W = \mathbb{R}^3$. Il perché: $U \subseteq U + W$ e i due sono diversi (c'è un vettore di $W$ fuori da $U$), quindi $\dim(U + W) > 2$ (se fosse $2 = \dim U$, per DimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione → sarebbe $U + W = U$); e $\dim(U + W) \le \dim \mathbb{R}^3 = 3$. Grassmann dà $3 = 2 + 2 - \dim(U \cap W)$, cioè $\dim(U \cap W) = 1$: due piani distinti per l'origine si tagliano in una retta.
• In $\mathbb{R}^3$, una retta $U$ non contenuta in un piano $W$: $U \cap W \subseteq U$ ha dimensione $\le 1$, e non è tutta $U$ (perché $U \not\subseteq W$), quindi ha dimensione $0$: $U \cap W = \{\vec 0\}$ e $\dim(U + W) = 1 + 2 - 0 = 3$.
• In $\mathbb{R}^4$, due piani ($\dim 2$) possono avere $U \cap W = \{\vec 0\}$: per esempio $U = \langle e_1, e_2 \rangle$ (vettori $(a, b, 0, 0)$) e $W = \langle e_3, e_4 \rangle$ (vettori $(0, 0, c, d)$) hanno in comune solo $(0, 0, 0, 0)$. Allora $\dim(U + W) = 2 + 2 - 0 = 4$ e $U + W = \mathbb{R}^4$. In $\mathbb{R}^3$ questo è impossibile: sarebbe $\dim(U + W) = 4 > 3$.
• In $\mathbb{R}^2$, due rette distinte per l'origine: $\dim(U \cap W) = 0$ (una retta che ne contiene un'altra per l'origine coincide con lei) e $\dim(U + W) = 1 + 1 - 0 = 2$, quindi $U + W = \mathbb{R}^2$ (il disegno è in Intersezione, somma e sottospazio generatoL'intersezione di due sottospazi è un sottospazio, l'unione in generale no. Al suo posto si usa la somma U + W = {u + w}, il più piccolo sottospazio che contiene entrambi. Il sottospazio generato da un insieme S è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S.Intersezione, somma e sottospazio generato →).

Come si usa negli esercizi

La formula lega quattro numeri: se se ne conoscono tre si ricava il quarto. Di solito $\dim U$ e $\dim W$ si trovano subito; poi si calcola una tra intersezione e somma, e l'altra dimensione viene dalla formula. Se $\dim(U + W) = \dim V$, allora $U + W = V$ e come base si può prendere quella di $V$ (per esempio la canonica), senza altri conti. Procedura completa: Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospaziProcedura da esame per i sottospazi di K^n: base da generatori (riduzione a scala delle righe), base da equazioni (incognite libere), equazioni cartesiane da una base (eliminare i parametri), intersezione (mettere a sistema), somma (unire i generatori) e Grassmann come controllo.Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi →.

Somma diretta

Definizione (somma diretta). Se $U \cap W = \{\vec 0\}$, la somma $U + W$ si dice diretta e si scrive $U \oplus W$.

Esempio. In $\mathbb{R}^2$, $\langle e_1 \rangle \cap \langle e_2 \rangle = \{0\}$: la somma è diretta e $\langle e_1 \rangle \oplus \langle e_2 \rangle = \mathbb{R}^2$.

In questo caso Grassmann diventa $\dim(U \oplus W) = \dim U + \dim W$.

Teorema (scrittura unica nella somma diretta). Se la somma è diretta, ogni $v \in U \oplus W$ si scrive in modo unico come $v = u + w$ con $u \in U$, $w \in W$.

Dimostrazione. Siano $u_1 + w_1 = u_2 + w_2$ due scritture. Sommando a entrambi i membri $-u_2 - w_1$ si ha

$$\underbrace{u_1 - u_2}_{\in\, U} = \underbrace{w_2 - w_1}_{\in\, W}.$$

È lo stesso vettore, quindi sta in $U \cap W = \{\vec 0\}$: $u_1 - u_2 = \vec 0$ e $w_2 - w_1 = \vec 0$, cioè $u_1 = u_2$, $w_1 = w_2$ ∎.

($u_1 - u_2 \in U$ perché $U$ è chiuso per combinazioni, $w_2 - w_1 \in W$ per lo stesso motivo.)

(Se la somma non è diretta la scrittura non è unica: se $z \ne \vec 0$ sta in $U \cap W$, allora $u + w = (u + z) + (w - z)$ sono due scritture diverse, con $u + z \in U$ e $w - z \in W$ perché $z$ sta in entrambi.)

Esempio. In $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^2 = \langle e_1 \rangle \oplus \langle e_2 \rangle$: ogni $(a, b)$ si scrive in modo unico come $(a, 0) + (0, b)$. In $\mathbb{R}^3$, un piano per l'origine e una retta per l'origine non contenuta nel piano danno $\mathbb{R}^3$ in somma diretta.

Trovare $U'$ con $U' \oplus W = V$ (domanda frequente agli esami): serve $\dim U' = \dim V - \dim W$ e $U' \cap W = \{\vec 0\}$; equivalentemente, una base di $U'$ unita a una base di $W$ deve dare una base di $V$. In pratica si completaTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione → una base di $W$ a una base di $V$, e i vettori aggiunti sono una base di $U'$. Esempio nell'Esercizio 9 · base, coordinate e somma diretta in R4.

Il complementare non è unico. In $\mathbb{R}^2$ sia $W = \langle (1, 2) \rangle$ (la retta $2x - y = 0$). Ogni altra retta per l'origine $U'$ va bene, perché $\dim U' = 2 - 1 = 1$ e due rette distinte per l'origine si incontrano solo in $\vec 0$. Con $U'_1 = \langle (1, 0) \rangle$ il vettore $v = (3, 3)$ si scrive $\alpha(1, 2) + \beta(1, 0)$ con $2\alpha = 3$ (seconda componente) e $\alpha + \beta = 3$ (prima): $\alpha = \beta = \frac32$, cioè $v = (\frac32, 3) + (\frac32, 0)$. Con $U'_2 = \langle (1, -1) \rangle$: $\alpha + \beta = 3$ e $2\alpha - \beta = 3$; sommando, $3\alpha = 6$, quindi $\alpha = 2$, $\beta = 1$ e $v = (2, 4) + (1, -1)$. La componente in $W$ cambia con il complementare scelto: $(\frac32, 3)$ in un caso, $(2, 4)$ nell'altro.

Riassunto

Errori comuni

• Dimenticare il termine $-\dim(U \cap W)$: $\dim(U + W) = \dim U + \dim W$ solo se la somma è diretta.
• Scrivere $U \cap W = \emptyset$ per dire "somma diretta": la condizione è $U \cap W = \{\vec 0\}$.
• Usare Grassmann con dimensioni non verificate: se i generatori di $U$ non sono indipendenti, $\dim U$ non è il loro numero.