Esercizio 106retta parallela a un piano e intersezione di piani (appello 3/2/2026)

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(a) Quando $\ell$ è parallela a $\pi$

Parametriche di $\ell$. Dalle equazioni $y = 3x$ e $z = \alpha x$; con $x = t$:

$$\ell: \ (t, \ 3t, \ \alpha t) = t\,(1, 3, \alpha), \qquad v_\ell = (1, 3, \alpha).$$

(Passa per l'origine, qualunque sia $\alpha$.)

Condizione di parallelismo. Una retta è parallela a un piano se il suo direttore è ortogonale alla normale del piano, $n = (2, 1, -1)$ (retta parallela a un pianoLa direzione della retta deve stare nello spazio direttore del piano, che è l'insieme dei vettori ortogonali alla normale.Spazi affini, rette e piani →):

$$v_\ell \cdot n = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + \alpha \cdot (-1) = 2 + 3 - \alpha = 5 - \alpha = 0 \iff \alpha = 5 .$$

Lo stesso sostituendo. Mettendo le parametriche nell'equazione di $\pi$: $2t + 3t - \alpha t = 3$, cioè $(5 - \alpha)t = 3$. Per $\alpha \ne 5$ c'è una sola soluzione $t = \frac{3}{5 - \alpha}$ (la retta interseca il piano in un punto); per $\alpha = 5$ l'equazione diventa $0 = 3$, impossibile: nessun punto comune, retta parallela e non contenuta nel piano.

(b) Distanza di $\ell$ da $\pi$ per $\alpha = 5$

Retta e piano sono paralleli, quindi tutti i punti della retta hanno la stessa distanza dal piano: basta prenderne uno, il più comodo è l'origine $O \in \ell$. Con la formula della distanza punto-pianoPer il piano ax + by + cz = d e il punto Q si sostituisce Q nel primo membro, si toglie d, si prende il valore assoluto e si divide per la norma di (a, b, c).Distanze e angoli nello spazio affine →:

$$d(\ell, \pi) = d(O, \pi) = \frac{|2 \cdot 0 + 0 - 0 - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{3}{\sqrt6} = \frac{3\sqrt6}{6} = \frac{\sqrt6}{2} .$$

Controllo con un altro punto di $\ell$, $(1, 3, 5)$: $\frac{|2 + 3 - 5 - 3|}{\sqrt6} = \frac{3}{\sqrt6}$ ✓.

(c) La retta $r = \sigma \cap \pi$

Equazione cartesiana di $\sigma$. La normale è ortogonale a entrambi i vettori direttori, quindi si prende il loro prodotto vettoriale(a₁, a₂, a₃) × (b₁, b₂, b₃) = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁).Prodotto vettoriale e prodotto misto →:

$$n_\sigma = u_1 \times u_2 = (0, 1, 2) \times (1, -2, -1) = \big(1 \cdot (-1) - 2 \cdot (-2), \ \ 2 \cdot 1 - 0 \cdot (-1), \ \ 0 \cdot (-2) - 1 \cdot 1\big) = (3, 2, -1).$$

Quindi $\sigma: 3x + 2y - z = d$, e il passaggio per $P = (3, -2, 0)$ dà $d = 9 - 4 - 0 = 5$:

$$\sigma: \ 3x + 2y - z = 5 .$$

Controllo: $n_\sigma \cdot u_1 = 0 + 2 - 2 = 0$ ✓, $n_\sigma \cdot u_2 = 3 - 4 + 1 = 0$ ✓.

Intersezione con $\pi$. Si risolve il sistema

$$\begin{cases} 3x + 2y - z = 5 \\ 2x + y - z = 3 \end{cases}$$

Sottraendo la seconda dalla prima: $(3 - 2)x + (2 - 1)y + (-1 + 1)z = 5 - 3$, cioè $x + y = 2$ e $y = 2 - x$ (la $z$ si elimina perché ha lo stesso coefficiente nelle due equazioni). Dalla seconda: $z = 2x + y - 3 = 2x + 2 - x - 3 = x - 1$. Con $x = t$:

$$r: \begin{cases} x = t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + t \end{cases} \qquad v_r = (1, -1, 1).$$

Controllo: $(0, 2, -1)$ sta su entrambi i piani ($0 + 4 + 1 = 5$ ✓, $0 + 2 + 1 = 3$ ✓); $v_r$ è ortogonale a entrambe le normali ($3 - 2 - 1 = 0$, $2 - 1 - 1 = 0$ ✓).

(d) La retta $s$ per $P$, in $\sigma$, perpendicolare a $r$

Il direttore $v_s$ deve essere:

• parallelo a $\sigma$ (la retta sta nel piano): $v_s \perp n_\sigma$;
• perpendicolare a $r$: $v_s \perp v_r$.

Un vettore ortogonale a entrambi è il prodotto vettoriale:

$$v_s = n_\sigma \times v_r = (3, 2, -1) \times (1, -1, 1) = \big(2 \cdot 1 - (-1)(-1), \ \ (-1) \cdot 1 - 3 \cdot 1, \ \ 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 1\big) = (1, -4, -5).$$

Siccome $P \in \sigma$ e la direzione è parallela a $\sigma$, la retta sta tutta in $\sigma$:

$$s: \begin{cases} x = 3 + t \\ y = -2 - 4t \\ z = -5t \end{cases}$$

Controlli: $v_s \cdot n_\sigma = 3 - 8 + 5 = 0$ ✓; $v_s \cdot v_r = 1 + 4 - 5 = 0$ ✓.

(Le rette $r$ e $s$ stanno entrambe in $\sigma$ e non sono parallele, quindi si incontrano: $s$ è la perpendicolare a $r$ condotta da $P$ dentro il piano $\sigma$.)

Dove si incontrano. Uguagliando i punti generici $(t, 2 - t, -1 + t)$ di $r$ e $(3 + u, -2 - 4u, -5u)$ di $s$: dalla prima componente $t = 3 + u$; nella seconda $2 - 3 - u = -2 - 4u$, cioè $3u = -1$, $u = -\frac13$ e $t = \frac83$; la terza torna ($-1 + \frac83 = \frac53 = -5 \cdot \left(-\frac13\right)$). Il piede della perpendicolare è $F = \left(\frac83, -\frac23, \frac53\right)$ e $P - F = \left(\frac13, -\frac43, -\frac53\right) = \frac13 v_s$, quindi la distanza di $P$ da $r$ è $\frac{\|v_s\|}{3} = \frac{\sqrt{1 + 16 + 25}}{3} = \frac{\sqrt{42}}{3} \approx 2{,}16$.

Tutto avviene nel piano $\sigma$, che si può disegnare prendendo $F$ come origine e le direzioni perpendicolari $v_r$ e $v_s$ come assi:

Errori comuni

• In (a) imporre $v_\ell$ proporzionale a $n$: quella è la condizione di retta perpendicolare al piano.
• In (b) calcolare la distanza con $\alpha$ generico: per $\alpha \ne 5$ retta e piano si intersecano e la distanza è $0$.
• In (d) prendere $v_s = n_\sigma$: la retta sarebbe perpendicolare a $\sigma$, non contenuta in esso.