Generatori e basi

Lezioni 4–5 (videolezioni n. 4 e 5). Prerequisiti: Combinazioni lineari e dipendenza lineareUna combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare →, Intersezione, somma e sottospazio generatoL'intersezione di due sottospazi è un sottospazio, l'unione in generale no. Al suo posto si usa la somma U + W = {u + w}, il più piccolo sottospazio che contiene entrambi. Il sottospazio generato da un insieme S è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S.Intersezione, somma e sottospazio generato →. Esercizio svolto: Esercizio 4 · generatori di R2 e di R3. Seguito: DimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione →.

Sistemi di generatori

Definizione (sistema di generatori). I vettori $v_1, \dots, v_r \in V$ formano un sistema di generatori (o insieme di generatori) di $V$ se $\langle v_1, \dots, v_r \rangle = V$, cioè se ogni vettore $v \in V$ si può scrivere come combinazione lineare $$v = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_r v_r \quad \text{per qualche } \lambda_1, \dots, \lambda_r \in K.$$

Esempio. $(1,0)$ e $(0,1)$ generano $\mathbb{R}^2$, perché $(a,b) = a(1,0) + b(0,1)$. Invece $(1,1)$ e $(2,2)$ generano solo la retta $y = x$: ogni combinazione $\lambda_1(1,1) + \lambda_2(2,2) = (\lambda_1 + 2\lambda_2)(1,1)$ ha le due componenti uguali, quindi per esempio $(1, 0)$ non si ottiene.

Uno spazio vettoriale contiene di solito infiniti vettori; un sistema di generatori li "comprime" in pochi vettori da cui si ricostruisce tutto.

Come si verifica

1. Si prende un vettore generico di $V$, con componenti letterali: in $\mathbb{R}^2$ si scrive $v = (a, b)$ con $a, b$ qualsiasi. (Non un vettore particolare come $(7, -3)$: quello che si dimostrasse varrebbe solo per lui.)
2. Si impone $v = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_r v_r$ e si scrive il sistema lineare corrispondente.
3. Incognite sono i $\lambda_i$; $a, b, \dots$ sono parametri (i termini noti).
4. I vettori generano $V$ se il sistema ha soluzione per ogni valore dei parametri. Non serve trovare la soluzione: basta sapere che esiste.

Esempio. $v_1 = (1, 2)$ e $v_2 = (2, -3)$ generano $\mathbb{R}^2$? Si risolve

$$\begin{cases} \lambda_1 + 2\lambda_2 = a \\ 2\lambda_1 - 3\lambda_2 = b \end{cases}$$

Dalla prima $\lambda_1 = a - 2\lambda_2$; nella seconda $2(a - 2\lambda_2) - 3\lambda_2 = b$, cioè $2a - 7\lambda_2 = b$, da cui $7\lambda_2 = 2a - b$ e $\lambda_2 = \frac{2a - b}{7}$. Poi $$\lambda_1 = a - 2 \cdot \frac{2a - b}{7} = \frac{7a - 4a + 2b}{7} = \frac{3a + 2b}{7}.$$ Verifica nella seconda equazione: $2 \cdot \frac{3a + 2b}7 - 3 \cdot \frac{2a - b}7 = \frac{6a + 4b - 6a + 3b}7 = b$ ✓. C'è una soluzione per ogni $(a, b)$ (non si è mai diviso per un'espressione che contiene $a$ o $b$): sì, generano. Per di più la soluzione è unica, perché ogni passaggio era obbligato.

Con tre vettori $(2, 1), (0, 3), (1, -1)$ si trova invece che le soluzioni sono infinite (una incognita resta libera): generano $\mathbb{R}^2$, ma ogni vettore si scrive in infiniti modi. Il sistema è $2\lambda_1 + \lambda_3 = a$, $\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = b$; lasciando libera $\lambda_3 = t$ si ricava $\lambda_1 = \frac{a - t}{2}$ dalla prima e $\lambda_2 = \frac{b - \lambda_1 + t}{3} = \frac{2b - a + 3t}{6}$ dalla seconda. Per $(3, 0)$: con $t = 1$ si ha $(3, 0) = 1 \cdot (2, 1) + 0 \cdot (0, 3) + 1 \cdot (1, -1)$, con $t = 0$ si ha $(3, 0) = \frac32 (2, 1) - \frac12 (0, 3)$.

{"tipo":"geometria","titolo":"Con i generatori (2, 1), (0, 3), (1, −1) il vettore (3, 0) si scrive in più modi: (2, 1) + (1, −1) oppure (3/2)·(2, 1) − (1/2)·(0, 3)","x":[-1,4.5],"y":[-1.5,3.5],"elementi":[{"vettore":[2,1],"etichetta":"(2, 1)","colore":1},{"vettore":[0,3],"etichetta":"(0, 3)","colore":2},{"vettore":[[2,1],[3,0]],"etichetta":"+ (1, −1)","colore":4},{"vettore":[[0,0],[3,1.5]],"etichetta":"(3/2)·(2, 1)","colore":1,"tratteggio":true},{"vettore":[[3,1.5],[3,0]],"etichetta":"− (1/2)·(0, 3)","colore":2,"tratteggio":true},{"vettore":[3,0],"etichetta":"(3, 0)","colore":3}]}
``` E $(1, 2, -1), (0, 3, 1)$ **non** generano $\mathbb{R}^3$: il sistema ha soluzione solo se $b = 5a + 3c$. Tutti i conti nell'<a class="wiki" href="/algebra-lineare-e-geometria/esercizi/esercizio-4-generatori-di-r2-e-di-r3/">Esercizio 4 · generatori di R2 e di R3</a>.

## Basi

> **Definizione (base).**
> Una **base** di $V$ è un insieme di vettori che
> 1. è un sistema di generatori di $V$, e
> 2. è formato da vettori linearmente indipendenti (si dice anche che è un insieme **libero**).

*Esempio.* $(1,2)$ e $(2,-3)$ sono una base di $\mathbb{R}^2$: generano (conto sopra) e sono indipendenti, perché con $a = b = 0$ la soluzione unica è $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$. Un controllo più rapido, che si giustificherà con il determinante (<a class="wiki glossa" href="/algebra-lineare-e-geometria/appunti/permutazioni-e-definizione-di-determinante/" aria-describedby="sp-4">Permutazioni e definizione di determinante<span class="spiega" role="tooltip"><span class="spiega-testo" id="sp-4">Il determinante di una matrice quadrata è la somma, su tutte le n! permutazioni, dei prodotti di n elementi presi uno per riga e uno per colonna, con segno + o − secondo la parità della permutazione; per 2×2 è ad − bc, per 3×3 c&#39;è la regola di Sarrus, per le triangolari è il prodotto della diagonale.<span class="spiega-vai">Permutazioni e definizione di determinante →</span></span><span class="graffa" aria-hidden="true"><i class="g-l"></i><i class="g-linea"></i><i class="g-punta"></i><i class="g-linea"></i><i class="g-r"></i></span></span><!--/spiega--></a>): $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot 2 = -7 \ne 0$. È lo stesso $7$ che compare nei denominatori di $\lambda_1$ e $\lambda_2$.

### Teorema: coordinate uniche

> **Teorema (coordinate uniche rispetto a una base).** Se $v_1, \dots, v_n$ è una base di $V$, ogni vettore $v \in V$ si scrive **in modo unico** come combinazione lineare di $v_1, \dots, v_n$.

*Esempio.* Nella base $\{(1,0), (1,1)\}$ di $\mathbb{R}^2$ il vettore $(3,2)$ si scrive in un solo modo: $1\cdot(1,0) + 2\cdot(1,1)$. Infatti $\lambda_1(1,0) + \lambda_2(1,1) = (\lambda_1 + \lambda_2, \lambda_2) = (3, 2)$ obbliga $\lambda_2 = 2$ e poi $\lambda_1 = 3 - 2 = 1$.

**Dimostrazione.** Che si possa scrivere è la proprietà di generatori. Per l'unicità si suppone che ci siano due scritture:

$$v = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n = \mu_1 v_1 + \dots + \mu_n v_n.$$

Portando tutto a sinistra (si somma a entrambi i membri l'opposto $-\mu_1 v_1 - \dots - \mu_n v_n$) e raccogliendo ogni $v_i$ con la distributiva $\lambda_i v_i - \mu_i v_i = (\lambda_i - \mu_i) v_i$:

$$(\lambda_1 - \mu_1) v_1 + (\lambda_2 - \mu_2) v_2 + \dots + (\lambda_n - \mu_n) v_n = \vec 0.$$

Questa è una combinazione lineare dei vettori di base uguale a $\vec 0$; siccome i vettori di base sono **indipendenti**, tutti i coefficienti sono nulli: $\lambda_i - \mu_i = 0$, cioè $\lambda_i = \mu_i$ per ogni $i$. Le due scritture coincidono ∎.

**Il ruolo dell'indipendenza.** Con dei generatori non indipendenti (come i tre vettori di $\mathbb{R}^2$ sopra) la scrittura esiste ma non è unica.

**Coordinate.** I numeri $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ determinati in modo unico si chiamano **coordinate** (o **componenti**) di $v$ rispetto alla base. Fissare una base è come fissare un **sistema di riferimento**: lo stesso vettore ha coordinate diverse in basi diverse. Lo si approfondisce in <a class="wiki glossa" href="/algebra-lineare-e-geometria/appunti/coordinate-rispetto-a-una-base/" aria-describedby="sp-5">Coordinate rispetto a una base<span class="spiega" role="tooltip"><span class="spiega-testo" id="sp-5">Fissata una base, ogni vettore ha una e una sola lista di coordinate; la funzione vettore → coordinate è un isomorfismo con K^n, quindi ogni spazio di dimensione n si comporta come K^n (ma l&#39;isomorfismo dipende dalla base).<span class="spiega-vai">Coordinate rispetto a una base →</span></span><span class="graffa" aria-hidden="true"><i class="g-l"></i><i class="g-linea"></i><i class="g-punta"></i><i class="g-linea"></i><i class="g-r"></i></span></span><!--/spiega--></a>.

### La base canonica di $K^n$

> **Definizione (base canonica di Kⁿ).**
> In $K^n$ i vettori
> $$e_1 = (1, 0, \dots, 0), \quad e_2 = (0, 1, 0, \dots, 0), \quad \dots, \quad e_n = (0, \dots, 0, 1)$$
> formano la **base canonica**.

*Esempio.* In $\mathbb{R}^3$ la base canonica è $e_1 = (1,0,0)$, $e_2 = (0,1,0)$, $e_3 = (0,0,1)$ e $(4,-1,7) = 4e_1 - e_2 + 7e_3$.

*Generano:* un vettore generico $(a_1, \dots, a_n)$ è $a_1 e_1 + \dots + a_n e_n$; il sistema da risolvere ha in ogni equazione una sola incognita ($\lambda_i = a_i$).

*Sono indipendenti:* $\lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n = (\lambda_1, \dots, \lambda_n) = \vec 0$ dà subito $\lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0$.

Le coordinate di un vettore di $K^n$ rispetto alla base canonica sono le sue componenti. In $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$, $e_1, e_2, e_3$ sono i **versori** degli assi $x, y, z$. Le basi di $K^n$ sono infinite (per esempio $2e_1, \dots, 2e_n$ è un'altra base), ma questa è la più semplice: da qui "canonica".

## Spazi finitamente generati

> **Definizione (spazio finitamente generato).**
> $V$ è **finitamente generato** se ha un sistema di generatori formato da un numero finito di vettori.

*Esempio.* $\mathbb{R}^3$ è finitamente generato (bastano $3$ vettori); lo spazio $\mathbb{R}[x]$ di tutti i polinomi no.

$K^n$ è finitamente generato (la base canonica ha $n$ vettori). **Non** lo è lo spazio $\mathbb{R}[x]$ di **tutti** i polinomi: i monomi $1, x, x^2, x^3, \dots$ lo generano, ma non ci si può fermare a nessuna potenza, perché con $1, x, \dots, x^5$ non si ottiene un polinomio di grado $6$. In generale, con un numero finito di polinomi il grado delle combinazioni non supera il grado massimo di quei polinomi. Ancora più grande lo spazio di tutte le funzioni $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

**Nel corso si considerano solo spazi finitamente generati.** Lo spazio $\mathbb{R}[x]_{\le 3}$ dei polinomi di grado $\le 3$ invece è finitamente generato, con base $1, x, x^2, x^3$.

## Lemma dello scambio

> **Teorema (lemma dello scambio).** Se $v_1, \dots, v_n$ generano $V$ e $w_1, \dots, w_r \in V$ sono linearmente indipendenti, allora $r \le n$.

In parole: **in uno spazio vettoriale i vettori indipendenti non sono mai più dei generatori.**

**Dimostrazione.** Si sostituiscono uno alla volta i $w$ al posto dei $v$, mantenendo sempre un sistema di generatori. Il ragionamento "se vale dopo $s$ scambi, vale dopo $s + 1$" è un <a class="wiki glossa" href="/analisi-1/appunti/principio-di-induzione/" aria-describedby="sp-6">ragionamento per induzione<span class="spiega" role="tooltip"><span class="spiega-testo" id="sp-6">Si dimostra una proprietà per il primo caso e poi che dal caso s segue il caso s + 1: allora vale per tutti.<span class="spiega-vai">Principio di induzione →</span></span><span class="graffa" aria-hidden="true"><i class="g-l"></i><i class="g-linea"></i><i class="g-punta"></i><i class="g-linea"></i><i class="g-r"></i></span></span><!--/spiega--></a> sul numero di scambi, e la conclusione è <a class="wiki glossa" href="/analisi-1/appunti/tecniche-di-dimostrazione/" aria-describedby="sp-7">per assurdo<span class="spiega" role="tooltip"><span class="spiega-testo" id="sp-7">Dimostrazione diretta, per contronominale e per assurdo di un teorema del tipo ipotesi implica tesi.<span class="spiega-vai">Tecniche di dimostrazione →</span></span><span class="graffa" aria-hidden="true"><i class="g-l"></i><i class="g-linea"></i><i class="g-punta"></i><i class="g-linea"></i><i class="g-r"></i></span></span><!--/spiega--></a>.

*Primo scambio.* Siccome i $v$ generano, $w_1 = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n$. I $\lambda_i$ non sono tutti nulli: altrimenti $w_1 = \vec 0$, ma dei vettori indipendenti sono tutti non nulli (<a class="wiki glossa" href="/algebra-lineare-e-geometria/appunti/combinazioni-lineari-e-dipendenza-lineare/" aria-describedby="sp-8">vedi qui<span class="spiega" role="tooltip"><span class="spiega-testo" id="sp-8">Se una famiglia contiene il vettore nullo, la combinazione con coefficiente 1 su di lui e 0 sugli altri dà il vettore nullo: la famiglia è dipendente.<span class="spiega-vai">Combinazioni lineari e dipendenza lineare →</span></span><span class="graffa" aria-hidden="true"><i class="g-l"></i><i class="g-linea"></i><i class="g-punta"></i><i class="g-linea"></i><i class="g-r"></i></span></span><!--/spiega--></a>). Riordinando i $v$ si può supporre $\lambda_n \ne 0$. Allora si ricava $v_n$:

$$v_n = \frac{1}{\lambda_n} w_1 - \frac{\lambda_1}{\lambda_n} v_1 - \dots - \frac{\lambda_{n-1}}{\lambda_n} v_{n-1}.$$

(Si è portato a sinistra $\lambda_n v_n$, a destra il resto, e si è moltiplicato per $\lambda_n^{-1}$.) Ora $w_1, v_1, \dots, v_{n-1}$ generano ancora $V$: ogni $v$ è combinazione di $v_1, \dots, v_n$, e sostituendo l'espressione di $v_n$ appena trovata diventa combinazione di $w_1, v_1, \dots, v_{n-1}$. Per esteso, se $v = \mu_1 v_1 + \dots + \mu_n v_n$:
$$v = \frac{\mu_n}{\lambda_n} w_1 + \left(\mu_1 - \frac{\mu_n \lambda_1}{\lambda_n}\right) v_1 + \dots + \left(\mu_{n-1} - \frac{\mu_n \lambda_{n-1}}{\lambda_n}\right) v_{n-1}.$$ Si è **scambiato** $v_n$ con $w_1$ senza perdere la proprietà di generare (da qui il nome).

*Passi successivi.* Si ripete: si scrive $w_2$ come combinazione di $w_1, v_1, \dots, v_{n-1}$; qualche coefficiente di un $v$ è non nullo (se fossero nulli tutti quelli dei $v$, $w_2$ sarebbe multiplo di $w_1$, e $w_1, w_2$ sarebbero dipendenti per il <a class="wiki glossa" href="/algebra-lineare-e-geometria/appunti/combinazioni-lineari-e-dipendenza-lineare/" aria-describedby="sp-9">teorema sulla dipendenza<span class="spiega" role="tooltip"><span class="spiega-testo" id="sp-9">Una combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l&#39;unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.<span class="spiega-vai">Combinazioni lineari e dipendenza lineare →</span></span><span class="graffa" aria-hidden="true"><i class="g-l"></i><i class="g-linea"></i><i class="g-punta"></i><i class="g-linea"></i><i class="g-r"></i></span></span><!--/spiega--></a>, contro l'ipotesi), e si scambia quel $v$ con $w_2$. Dopo $s$ passi si ha il sistema di generatori $w_1, \dots, w_s, v_1, \dots, v_{n-s}$ (sempre $n$ vettori in tutto).

*Conclusione.* Se fosse $r > n$, dopo $n$ scambi i $v$ sarebbero finiti e $w_1, \dots, w_n$ genererebbero $V$. Ma allora $w_{n+1}$ (che esiste perché $r > n$) sarebbe combinazione di $w_1, \dots, w_n$, e i $w$ sarebbero dipendenti: assurdo. Quindi $r \le n$ ∎.

**Esempio d'uso.** In $\mathbb{R}^3$ la base canonica dà 3 generatori: quindi **4 vettori di $\mathbb{R}^3$ sono sempre dipendenti**, e 2 vettori non possono mai generare $\mathbb{R}^3$ (altrimenti i 3 vettori indipendenti $e_1, e_2, e_3$ sarebbero più dei 2 generatori).

## Riassunto

| Proprietà | Cosa si verifica | Cosa garantisce |
|---|---|---|
| generatori | il sistema $\sum \lambda_i v_i = v$ ha soluzione per ogni $v$ | ogni vettore si scrive come combinazione |
| indipendenti | il sistema $\sum \lambda_i v_i = \vec 0$ ha solo la soluzione nulla | la scrittura, se esiste, è unica |
| base | entrambe | ogni vettore si scrive in modo unico (coordinate) |

## Errori comuni

- **Verificare i generatori con un vettore numerico**: serve il vettore generico con componenti letterali.
- **Confondere incognite e parametri**: nel sistema le incognite sono i $\lambda_i$; le componenti $a, b, c$ del vettore generico sono parametri liberi.
- **Pensare che la base sia unica**: le basi sono infinite; quello che non cambia è il numero di vettori (vedi <a class="wiki glossa" href="/algebra-lineare-e-geometria/appunti/dimensione/" aria-describedby="sp-10">Dimensione<span class="spiega" role="tooltip"><span class="spiega-testo" id="sp-10">Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.<span class="spiega-vai">Dimensione →</span></span><span class="graffa" aria-hidden="true"><i class="g-l"></i><i class="g-linea"></i><i class="g-punta"></i><i class="g-linea"></i><i class="g-r"></i></span></span><!--/spiega--></a>).