Sottospazi vettoriali

Lezione 3 (videolezione n. 3). Prerequisito: Spazi vettorialiUno spazio vettoriale su un campo K è un insieme con una somma di vettori e un prodotto per scalari che rispettano 7 proprietà. Esempi fondamentali: K^n (somma componente per componente), le funzioni da R in R, i polinomi.Spazi vettoriali →. Esercizio svolto: Esercizio 3 · quali sottoinsiemi di R2 sono sottospazi. Seguito: Intersezione, somma e sottospazio generatoL'intersezione di due sottospazi è un sottospazio, l'unione in generale no. Al suo posto si usa la somma U + W = {u + w}, il più piccolo sottospazio che contiene entrambi. Il sottospazio generato da un insieme S è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S.Intersezione, somma e sottospazio generato →.

Definizione

Definizione (sottospazio vettoriale). Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$. Un sottoinsieme non vuoto $W \subseteq V$ è un sottospazio vettoriale di $V$ se è a sua volta uno spazio vettoriale con le stesse operazioni di $V$. Questo equivale a chiedere che $W$ sia chiuso per le due operazioni:

1. $w_1, w_2 \in W \Longrightarrow w_1 + w_2 \in W$ (chiuso per la somma);
2. $\lambda \in K$, $w \in W \Longrightarrow \lambda w \in W$ (chiuso per il prodotto per scalari).

Esempio. $W = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 3x - 2y = 0\}$ è un sottospazio di $\mathbb{R}^2$; $\{(x,y) : y = x^2\}$ non lo è, perché $(1,1)$ e $(-1,1)$ gli appartengono ($1 = 1^2 = (-1)^2$), ma la loro somma $(0,2)$ no ($0^2 = 0 \ne 2$).

(I sottoinsiemi e il simbolo $\subseteq$ sono quelli di Insiemi e insieme delle partiCome si descrive un insieme, sottoinsiemi, uguaglianza, insieme delle parti e insiemi finiti e infiniti.Insiemi e insieme delle parti →.)

Perché bastano queste due condizioni. Le proprietà associativa, commutativa, distributive ecc. valgono per tutti i vettori di $V$, quindi anche per quelli di $W$. Quello che non è automatico è che i risultati delle operazioni restino dentro $W$: se $w_1, w_2 \in W$, la somma $w_1 + w_2$ sta certamente in $V$ (che è uno spazio vettoriale), ma potrebbe uscire da $W$. Il vettore nullo e gli opposti poi arrivano gratis dalla condizione 2: preso un $w \in W$ (c'è, perché $W$ non è vuoto), $0 \cdot w = \vec 0$ e $(-1) w = -w$ stanno in $W$ (sono le prime conseguenze degli assiomi in Spazi vettorialiUno spazio vettoriale su un campo K è un insieme con una somma di vettori e un prodotto per scalari che rispettano 7 proprietà. Esempi fondamentali: K^n (somma componente per componente), le funzioni da R in R, i polinomi.Spazi vettoriali →).

Un'analogia con i numeri. Nei naturali, i pari sono chiusi per la somma (pari + pari = pari), i dispari no ($3 + 5 = 8$ non è dispari). Per i sottoinsiemi di uno spazio vettoriale succede la stessa cosa: alcuni sono chiusi, altri no, e va verificato.

Le due condizioni si possono unire in una sola: $W$ è un sottospazio se e solo se $$\lambda_1 w_1 + \lambda_2 w_2 \in W \quad \forall w_1, w_2 \in W,\ \forall \lambda_1, \lambda_2 \in K,$$ cioè se è chiuso per combinazioni lineariUna combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare →. Perché è equivalente:

• se valgono 1 e 2, allora $\lambda_1 w_1 \in W$ e $\lambda_2 w_2 \in W$ per la 2, e la loro somma sta in $W$ per la 1;
• se vale la condizione unica, con $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$ si ottiene $w_1 + w_2 \in W$ (la 1), e con $\lambda_2 = 0$ si ottiene $\lambda_1 w_1 + 0 \cdot w_2 = \lambda_1 w_1 + \vec 0 = \lambda_1 w_1 \in W$ (la 2).

Il test veloce: il vettore nullo

Ogni sottospazio contiene $\vec 0$ (perché $\vec 0 = 0 \cdot w$ con $w \in W$). Quindi:

Proprietà (test del vettore nullo). se $\vec 0 \notin W$, allora $W$ non è un sottospazio.

Esempio. $W = \{(x,y) : x + y = 1\}$ non contiene $(0,0)$ (perché $0 + 0 \ne 1$): non è un sottospazio di $\mathbb{R}^2$.

Il viceversa è falso: contenere $\vec 0$ non basta (si vedano la parabola e il primo quadrante qui sotto).

Esempi in $\mathbb{R}^2$

1. La retta $3a - 2b = 0$ è un sottospazio. Sia $W = \{(a, b) \in \mathbb{R}^2 : 3a - 2b = 0\}$.

Chiusura per la somma. Siano $w_1 = (a_1, b_1)$ e $w_2 = (a_2, b_2)$ in $W$, cioè $3a_1 - 2b_1 = 0$ e $3a_2 - 2b_2 = 0$ (sono le ipotesi). La somma è $w_1 + w_2 = (a_1 + a_2, b_1 + b_2)$ e bisogna controllare se soddisfa l'equazione:

$$3(a_1 + a_2) - 2(b_1 + b_2) = \underbrace{(3a_1 - 2b_1)}_{=0} + \underbrace{(3a_2 - 2b_2)}_{=0} = 0 \ \checkmark$$

(si sono solo riordinati gli addendi con le proprietà associativa e commutativa).

Chiusura per il prodotto. Se $(a, b) \in W$ e $\lambda \in \mathbb{R}$: $3(\lambda a) - 2(\lambda b) = \lambda (3a - 2b) = \lambda \cdot 0 = 0$ ✓.

Quindi $W$ è un sottospazio. Geometricamente: ricavando $b$ dall'equazione, $2b = 3a$, cioè $b = \frac32 a$; con $a$ in ascissa e $b$ in ordinata è la retta $y = \frac32 x$, che passa per l'origine (per $a = 0$ si ha $b = 0$).

2. La retta $a - 2b = 3$ non è un sottospazio: $(0, 0)$ non la soddisfa ($0 - 0 = 0 \ne 3$). È una retta che non passa per l'origine. Anche la chiusura per la somma fallisce: $P = (3, 0)$ e $Q = (1, -1)$ stanno sulla retta ($3 - 0 = 3$, $1 + 2 = 3$), ma $P + Q = (4, -1)$ dà $4 + 2 = 6 \ne 3$. In generale, se $a_1 - 2b_1 = 3$ e $a_2 - 2b_2 = 3$, la somma dà $(a_1 + a_2) - 2(b_1 + b_2) = 3 + 3 = 6$: il termine noto raddoppia.

3. La parabola $a^2 - b = 0$ non è un sottospazio, anche se contiene $(0, 0)$. Presi $(a_1, b_1)$ e $(a_2, b_2)$ con $a_1^2 = b_1$ e $a_2^2 = b_2$, si sostituisce la somma $(a_1 + a_2, b_1 + b_2)$ nell'equazione e si sviluppa il quadrato del binomio $(a_1 + a_2)^2 = a_1^2 + 2a_1 a_2 + a_2^2$ (il caso $n = 2$ del Binomio di NewtonLa formula per sviluppare (a+b)^n con i coefficienti binomiali.Binomio di Newton →):

$$(a_1 + a_2)^2 - (b_1 + b_2) = a_1^2 + 2a_1a_2 + a_2^2 - b_1 - b_2 = \underbrace{(a_1^2 - b_1)}_{=0} + \underbrace{(a_2^2 - b_2)}_{=0} + 2 a_1 a_2 = 2 a_1 a_2,$$

che in generale non è $0$. Esempio concreto: $(1, 1)$ e $(2, 4)$ stanno sulla parabola, la somma $(3, 5)$ no ($3^2 = 9 \ne 5$; infatti $2 a_1 a_2 = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4 = 9 - 5$). Il colpevole è il termine quadratico $a^2$: le equazioni che danno sottospazi sono quelle lineari omogenee.

4. Il primo quadrante $\{(a, b) : a \ge 0, b \ge 0\}$ non è un sottospazio. Contiene $(0, 0)$ ed è chiuso per la somma (somma di numeri $\ge 0$ è $\ge 0$, una regola dei campi ordinatiGli assiomi di somma, prodotto e ordine comuni a Q e R, da cui derivano le regole di equazioni e disequazioni.Campi ordinati (Q e R) →), ma non per il prodotto per scalari: $(3, 2)$ gli appartiene, $(-1) \cdot (3, 2) = (-3, -2)$ no. Manca l'opposto.

Dettagli di tutti e quattro i casi: Esercizio 3 · quali sottoinsiemi di R2 sono sottospazi.

Tutti i sottospazi di $\mathbb{R}^2$

Gli unici sottospazi di $\mathbb{R}^2$ sono:

• $\{\vec 0\}$, il sottospazio nullo (chiuso perché $\vec 0 + \vec 0 = \vec 0$ e $\lambda \vec 0 = \vec 0$);
• le rette passanti per l'origine;
• tutto $\mathbb{R}^2$.

Una retta per l'origine $\{(a, b) : pa + qb = 0\}$ (con $p, q$ non entrambi nulli) è un sottospazio per lo stesso conto dell'esempio 1, con $p, q$ al posto di $3, -2$. Ogni suo vettore è un multiplo di uno solo, per esempio di $(q, -p)$: è l'insieme $\{\lambda (q, -p) : \lambda \in \mathbb{R}\}$, e sommando o moltiplicando multipli di $(q, -p)$ si ottengono ancora multipli di $(q, -p)$.

In $\mathbb{R}^3$: $\{\vec 0\}$, rette per l'origine, piani per l'origine, $\mathbb{R}^3$. È il motivo del nome "algebra lineare": i sottospazi sono gli oggetti "piatti" (rette, piani e loro analoghi) che passano per l'origine. La dimostrazione arriva con il concetto di DimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione →.

La regola pratica: equazioni lineari omogenee

L'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari omogenee (di primo grado, con termine noto $0$) in $x_1, \dots, x_n$ è sempre un sottospazio di $K^n$. Il ragionamento è identico all'esempio 1: ogni equazione è del tipo $\sum_{i=1}^n c_i x_i = 0$, e se $x = (x_1, \dots, x_n)$ e $y = (y_1, \dots, y_n)$ la soddisfano, spezzando la sommatoriaIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie → e raccogliendo $\lambda$:

$$\sum_{i=1}^n c_i (x_i + y_i) = \sum_{i=1}^n c_i x_i + \sum_{i=1}^n c_i y_i = 0 + 0 = 0, \qquad \sum_{i=1}^n c_i (\lambda x_i) = \lambda \sum_{i=1}^n c_i x_i = \lambda \cdot 0 = 0.$$

Con più equazioni si ripete il conto per ciascuna: le soluzioni del sistema sono l'intersezione delle soluzioni delle singole equazioni, e l'intersezione di sottospazi è un sottospazio (Intersezione, somma e sottospazio generatoL'intersezione di due sottospazi è un sottospazio, l'unione in generale no. Al suo posto si usa la somma U + W = {u + w}, il più piccolo sottospazio che contiene entrambi. Il sottospazio generato da un insieme S è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S.Intersezione, somma e sottospazio generato →).

Lo stesso vale fuori da $K^n$. Nello spazio delle funzioni $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\{f : f(0) = 0\}$ è un sottospazio ($(f + g)(0) = 0 + 0 = 0$, $(\lambda f)(0) = \lambda \cdot 0 = 0$), mentre $\{f : f(0) = 1\}$ no (la funzione nulla vale $0$ in $0$). Nei polinomi, quelli di grado $\le 2$ formano un sottospazio di $\mathbb{R}[x]$, quelli di grado esattamente $2$ no ($x^2 + (-x^2) = 0$).

Errori comuni

• Verificare la chiusura su due vettori particolari (per esempio $(1, 1)$ e $(2, 3)$): la proprietà va dimostrata per tutti i vettori di $W$, con componenti generiche. Un esempio numerico basta solo per dimostrare che non è un sottospazio (controesempio).
• Fermarsi a "contiene $\vec 0$": è necessario ma non sufficiente.
• Dimenticare il prodotto per scalari negativi: il primo quadrante è chiuso per la somma ma non per $\lambda = -1$.