Campi ordinati: le regole del calcolo in ℚ e ℝ

Finora $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ sono stati descritti in modo intuitivo (vedi Insiemi numerici (N, Z, Q, R)Naturali, interi, razionali e reali, perché la radice di 2 obbliga a passare da Q a R, e gli intervalli.Insiemi numerici (N, Z, Q, R) →). In questa nota si elencano con precisione le proprietà comuni a $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$: sono le regole che usiamo da sempre per risolvere equazioni e disequazioni, e che qui vengono raccolte in un piccolo elenco di "assiomi". Quello che distingue $\mathbb{R}$ da $\mathbb{Q}$ è nella nota Completezza di R (continuità, separazione, sup)Le tre proprietà equivalenti che R ha e Q no: continuità, separazione ed esistenza del sup; densità di Q in R.Completezza di R (continuità, separazione, sup) →. Lezione 4.

Le definizioni valgono per un qualunque insieme $X \ne \emptyset$, ma conviene pensare sempre a $X = \mathbb{R}$ o $X = \mathbb{Q}$.

Che cos'è un campo

Definizione (campo). $X$ è un campo se su $X$ sono definite due operazioni, somma ($+$) e prodotto ($\cdot$), con le seguenti proprietà, per ogni $a, b, c \in X$.

Somma:

1. $a + b = b + a$ (commutativa);
2. $a + (b + c) = (a + b) + c$ (associativa);
3. esiste un unico elemento neutro $0 \in X$ tale che $a + 0 = 0 + a = a$ per ogni $a$;
4. per ogni $a$ esiste un unico opposto $-a \in X$ tale che $a + (-a) = (-a) + a = 0$.

Prodotto:

1. $a \cdot b = b \cdot a$ (commutativa);
2. $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ (associativa);
3. esiste un unico elemento neutro $1 \in X$ tale che $1 \cdot a = a \cdot 1 = a$ per ogni $a$;
4. per ogni $a$ con $a \ne 0$ esiste un unico reciproco (o inverso) $a^{-1} \in X$ tale che $a^{-1} \cdot a = a \cdot a^{-1} = 1$.

Proprietà distributiva (collega le due operazioni): $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Esempio. $\mathbb{Q}$ è un campo: $\frac{2}{3}$ ha reciproco $\frac{3}{2}$, perché $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$. $\mathbb{Z}$ non lo è: $2$ non ha reciproco in $\mathbb{Z}$.

Perché "$a \ne 0$" nel reciproco. Lo zero non ha reciproco: nessun numero moltiplicato per $0$ dà $1$ (dà sempre $0$). È il motivo profondo per cui "non si divide per zero".

Chi è un campo e chi no

• $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$, con la somma e il prodotto soliti, sono campi.
• $\mathbb{N}$ non è un campo: manca l'opposto. Per esempio $-3 \notin \mathbb{N}$, quindi $3$ non ha opposto in $\mathbb{N}$.
• $\mathbb{Z}$ non è un campo: l'opposto c'è, ma manca il reciproco. Per esempio $2^{-1} = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$.

Differenza e divisione vengono "gratis"

Non servono altre regole: differenza e divisione si definiscono a partire da somma e prodotto:

$$a - b = a + (-b) \qquad \frac{a}{b} = a : b = a \cdot b^{-1} \quad (b \ne 0)$$

"Sottrarre $b$" significa "sommare l'opposto di $b$"; "dividere per $b$" significa "moltiplicare per il reciproco di $b$".

Le proprietà sono "minimali"

Da queste poche regole si ricavano tutte le regole che usiamo nelle equazioni. Due esempi:

• Legge di annullamento del prodotto: $a \cdot b = 0 \iff a = 0$ oppure $b = 0$. (Se $a \ne 0$, moltiplicando $ab = 0$ per $a^{-1}$ si ottiene $b = a^{-1} \cdot 0 = 0$.) È la regola che si usa per risolvere $x(x - 2) = 0$: o $x = 0$ o $x = 2$.
• "Portare dall'altra parte cambiando segno": $a + b = c \iff a + b - c = 0$. (Si somma $-c$ a entrambi i membri.)

Insiemi ordinati

$X$ è ordinato se è definita una relazione d'ordine "$\le$", cioè una relazione con queste proprietà, per ogni $a, b, c \in X$:

1. $a \le a$ (riflessiva);
2. se $a \le b$ e $b \le a$, allora $a = b$ (antisimmetrica);
3. se $a \le b$ e $b \le c$, allora $a \le c$ (transitiva).

$X$ è totalmente ordinato se, inoltre, due elementi qualsiasi si possono sempre confrontare: per ogni $a, b \in X$ si ha $a \le b$ oppure $b \le a$.

Una volta definito "$\le$", restano definiti anche gli altri simboli: $b \ge a$ significa $a \le b$; $a < b$ significa $a \le b$ e $a \ne b$ (e si scrive anche $b > a$).

Esempio: un ordine che non è totale

Sia $X \ne \emptyset$ e consideriamo l'insieme delle parti $\mathcal{P}(X)$ (vedi Insiemi e insieme delle partiCome si descrive un insieme, sottoinsiemi, uguaglianza, insieme delle parti e insiemi finiti e infiniti.Insiemi e insieme delle parti →) con l'inclusione $\subseteq$ al posto di "$\le$". È una relazione d'ordine:

1. $A \subseteq A$ per ogni $A$ (riflessiva);
2. se $A \subseteq B$ e $B \subseteq A$ allora $A = B$ (antisimmetrica: è proprio la definizione di uguaglianza tra insiemi);
3. se $A \subseteq B$ e $B \subseteq C$ allora $A \subseteq C$ (transitiva: un elemento di $A$ sta in $B$, quindi sta in $C$).

Quindi $(\mathcal{P}(X), \subseteq)$ è un insieme ordinato. Ma non totalmente ordinato: esistono sottoinsiemi che non si possono confrontare. Per esempio, con $X = \{1, 2\}$, $A = \{1\}$ e $B = \{2\}$: né $A \subseteq B$ né $B \subseteq A$ (nel diagramma di Venn sono due cerchi che si sovrappongono solo in parte, o per niente).

Sui numeri invece siamo abituati a poter sempre confrontare: dati due numeri reali, uno dei due è sempre minore o uguale all'altro.

Campo (totalmente) ordinato

Definizione (campo totalmente ordinato). $X$ è un campo totalmente ordinato se ci sono $+$, $\cdot$, $\le$ tali che:

1. $X$ con $+$ e $\cdot$ è un campo;
2. $X$ con $\le$ è totalmente ordinato;
3. le operazioni sono compatibili con l'ordine:
   • $a \le b \iff a + c \le b + c$ per ogni $c \in X$;
   • $a \le b \iff c \cdot a \le c \cdot b$ per ogni $c \in X$ con $c > 0$.

Esempio. In $\mathbb{R}$, da $2 < 3$ si ha $2 + 5 < 3 + 5$ e, moltiplicando per $c = 4 > 0$, $8 < 12$ (il verso non cambia).

In parole: sommare lo stesso numero ai due membri non cambia il verso; moltiplicare per lo stesso numero positivo non cambia il verso.

• $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ sono campi totalmente ordinati.
• $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$ non sono campi, ma sono insiemi totalmente ordinati.

Da qui vengono tutte le regole delle disequazioni

Come prima, queste proprietà sono "minimali": da esse si ricavano tutte le regole che usiamo nelle disequazioni. Per esempio:

• Moltiplicare per un negativo inverte il verso: $a \le b \iff c \cdot a \ge c \cdot b$ per ogni $c < 0$. Perché: se $c < 0$ allora $-c > 0$; per la compatibilità, $a \le b \iff (-c)a \le (-c)b$, cioè $-ca \le -cb$; sommando $ca + cb$ a entrambi i membri (compatibilità con la somma) si ottiene $cb \le ca$. Esempio: $2 < 3$ ma $(-1) \cdot 2 = -2 > -3 = (-1) \cdot 3$.
• Portare dall'altra parte: $a + b \le c \iff a + b - c \le 0$ (si somma $-c$).

Tabella delle regole (tutte conseguenze degli assiomi):

E allora che differenza c'è tra ℚ e ℝ?

Entrambi sono campi totalmente ordinati: con le sole regole di questa nota non si riesce a distinguerli. La differenza è che $\mathbb{R}$ ha in più tre proprietà (equivalenti tra loro) che $\mathbb{Q}$ non ha: continuità, separazione, esistenza dell'estremo superiore. Sono il tema di Completezza di R (continuità, separazione, sup)Le tre proprietà equivalenti che R ha e Q no: continuità, separazione ed esistenza del sup; densità di Q in R.Completezza di R (continuità, separazione, sup) →.

Errori comuni

• Moltiplicare una disequazione per una quantità di cui non si conosce il segno (per esempio per $x$): se $x$ può essere negativo il verso potrebbe invertirsi. Bisogna distinguere i casi.
• Dividere per un'espressione che può valere zero.
• Pensare che $\mathbb{Z}$ sia un campo perché "ha i negativi": manca il reciproco.