Disequazioni con potenze e radici

Lezione 9. Prerequisiti: Funzioni potenzaLe potenze x^alfa al variare dell'esponente: domini, grafici, radici n-esime e proprietà delle potenze con base positiva.Funzioni potenza →, Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →. Esercizi svolti: Esercizio 18 · potenze x²/3) e x⁵/3), Esercizio 19 · disequazioni con le radici.

Il principio: applicare una funzione strettamente monotona

Per "togliere" una potenza o una radice da una disequazione si applica a entrambi i membri la funzione inversa (per esempio si eleva al cubo per togliere una radice cubica). Quando è lecito? La regola generale è:

Teorema (disequazioni e funzioni monotone). Sia $f$ una funzione strettamente crescente su $\mathbb{R}$. Allora $$A(x) \le B(x) \iff f(A(x)) \le f(B(x))$$ Se invece $f$ è strettamente decrescente su $\mathbb{R}$: $$A(x) \le B(x) \iff f(A(x)) \ge f(B(x))$$

Esempio. $x^3 \le 8$: applicando la funzione strettamente crescente $\sqrt[3]{\cdot}$ a entrambi i membri si ottiene $x \le 2$.

Lo stesso vale se $A(x)$ e $B(x)$ stanno sempre in un intervallo $I$ su cui $f$ è strettamente crescente (o decrescente).

Perché. Se $f$ è strettamente crescente, "$A \le B \Rightarrow f(A) \le f(B)$" è la definizione di crescente. Il viceversa vale perché anche l'inversa $f^{-1}$ è strettamente crescente (teorema in Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →): applicandola a $f(A) \le f(B)$ si torna a $A \le B$. Quindi il passaggio è un "se e solo se": non si perdono soluzioni e non se ne aggiungono.

Esempi di funzioni che si possono applicare liberamente (strettamente crescenti su tutto $\mathbb{R}$): $x^3$, $x^5$, … (potenze dispari), $\sqrt[3]{x}$, $x^{3/5}$, …, e più avanti l'esponenziale $e^x$.

Funzioni che NON si possono applicare liberamente: $x^2$ (e le potenze pari) non è monotona su $\mathbb{R}$: è crescente solo su $[0, +\infty)$. Quindi elevare al quadrato è lecito solo se entrambi i membri sono $\ge 0$. Esempio di cosa va storto: $-3 < 2$, ma $(-3)^2 = 9 > 4 = 2^2$.

Radice di indice pari: i due schemi da ricordare

Con $\sqrt{A(x)}$ (o un'altra radice di indice pari) bisogna controllare che i membri siano $\ge 0$ prima di elevare al quadrato.

$\sqrt{A(x)} \le B(x)$ (radice minore)

Formula (radice minore). $$\sqrt{A(x)} \le B(x) \iff \begin{cases} A(x) \ge 0 & \text{(la radice deve esistere)} \\ B(x) \ge 0 & \text{(una radice è } \ge 0\text{, quindi } B \text{ deve esserlo)} \\ A(x) \le B(x)^2 & \text{(ora si può elevare al quadrato)} \end{cases}$$

Esempio. $\sqrt{x} \le 2 \iff \begin{cases} x \ge 0 \\ 2 \ge 0 \\ x \le 4 \end{cases} \iff 0 \le x \le 4$.

Un solo sistema. Perché $B \ge 0$: se $B(x) < 0$, una radice (che è $\ge 0$) non può essere $\le$ di un negativo: nessuna soluzione.

$B(x) \le \sqrt{A(x)}$ (radice maggiore)

Formula (radice maggiore). $$B(x) \le \sqrt{A(x)} \iff \begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x) < 0 \end{cases} \ \cup \ \begin{cases} B(x) \ge 0 \\ B(x)^2 \le A(x) \end{cases}$$

Esempio. $x \le \sqrt{4}$, cioè $x \le 2$: si ottiene $\begin{cases} 4 \ge 0 \\ x < 0 \end{cases} \cup \begin{cases} x \ge 0 \\ x^2 \le 4 \end{cases} = (x < 0) \cup (0 \le x \le 2)$, cioè $x \le 2$.

Due sistemi, uniti. Perché: se $B(x) < 0$ la disuguaglianza è automaticamente vera (un negativo è sempre minore di una radice), purché la radice esista ($A \ge 0$). Se $B(x) \ge 0$ entrambi i membri sono $\ge 0$ e si può elevare al quadrato; la condizione $A \ge 0$ è già garantita da $A \ge B^2 \ge 0$, quindi non serve scriverla.

(Con le disuguaglianze strette $<$ si fa lo stesso, con i segni stretti al posto giusto.)

Radice di indice dispari

Nessuna condizione: $\sqrt[3]{\ }$ è definita su tutto $\mathbb{R}$ e $x^3$ è strettamente crescente su $\mathbb{R}$, quindi $\sqrt[3]{A(x)} < c \iff A(x) < c^3$ direttamente.

Potenze con il metodo grafico

Per disequazioni come $x^{2/3} \ge a$ conviene disegnare $y = x^{2/3}$ e la retta $y = a$ (metodo grafico, vedi Funzioni - definizione, dominio e graficoUna funzione associa a ogni elemento del dominio un solo valore: dominio naturale, grafico, immagine, antimmagine e metodo grafico.Funzioni - definizione, dominio e grafico →). L'errore tipico è "elevare alla $\frac32$" entrambi i membri dimenticando che $x^{2/3}$ è pari: si perdono le soluzioni negative. Vedi l'Esercizio 18 · potenze x²/3) e x⁵/3).

Errori comuni

• Elevare al quadrato senza controllare i segni (in $\sqrt{x^2+1} < 3x$ si otterrebbero soluzioni negative false).
• Dimenticare il caso "$B(x) < 0$" nella radice maggiore (si perdono soluzioni).
• Applicare una funzione non monotona (come $x^2$ o $x^{2/3}$ su tutto $\mathbb{R}$) pensando che il verso si conservi.