FormularioAnalisi Matematica 1: definizioni, teoremi e formule delle note, in ordine di capitolo

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I. Logica, insiemi e dimostrazioni

Logica e quantificatori

Definizione (predicato). Un predicato $p(x)$ è un'affermazione che contiene una variabile $x$ presa da un insieme $X$ , e che diventa una proposizione (V o F) non appena si sceglie un valore di $x \in X$ .

Esempio. $X = \mathbb{R}$ e $p(x)$ : " $x^2 \le 4$ ".

Legge (negazione dei quantificatori). $\text{non}\big(\forall x \in X : p(x)\big) \quad = \quad \exists x \in X : \text{non}\, p(x)$

$\text{non}\big(\exists x \in X : q(x)\big) \quad = \quad \forall x \in X : \text{non}\, q(x)$

In parole: la negazione scambia $\forall$ con $\exists$ e nega il predicato.

Esempio. La negazione di " $\forall x \in \mathbb{R} : x^2 > 0$ " è " $\exists x \in \mathbb{R} : x^2 \le 0$ ", vera con $x = 0$ (quindi l'affermazione di partenza è falsa).

Legge (De Morgan logiche). $\text{non}\,(p \vee q) = (\text{non}\,p) \wedge (\text{non}\,q) \qquad \text{non}\,(p \wedge q) = (\text{non}\,p) \vee (\text{non}\,q)$

Esempio. $\text{non}\,(x < 0 \vee x > 1)$ equivale a $x \ge 0 \wedge x \le 1$ , cioè $x \in [0, 1]$ .

Legge (negazione dell'implicazione). $\text{non}\,(p \Rightarrow q) = p \wedge \text{non}\,q$

Esempio. La negazione di "se $n$ è multiplo di $4$ allora $n$ è pari" è " $n$ è multiplo di $4$ e non è pari": nessun intero soddisfa questa condizione, e infatti l'implicazione è vera.

Operazioni tra insiemi

Definizione (unione). $A \cup B = \{x \in X : x \in A \ \text{ oppure } \ x \in B\}$

Gli elementi che stanno in almeno uno dei due insiemi (anche in entrambi). È l'"o" della logica: $\vee$ .

Esempio: $\{1, 2, 3\} \cup \{3, 4\} = \{1, 2, 3, 4\}$ (il $3$ si scrive una volta sola).

Definizione (intersezione). $A \cap B = \{x \in X : x \in A \ \text{ e } \ x \in B\}$

Gli elementi che stanno in entrambi gli insiemi. È la "e" della logica: $\wedge$ .

Esempio: $\{1, 2, 3\} \cap \{3, 4\} = \{3\}$ . Se $A \cap B = \emptyset$ i due insiemi si dicono disgiunti.

Definizione (differenza). $A \setminus B = \{x \in X : x \in A, \ x \notin B\}$

Gli elementi di $A$ che non stanno in $B$ (" $A$ meno $B$ "). Esempio: $\{1, 2, 3\} \setminus \{3, 4\} = \{1, 2\}$ . Attenzione: non è simmetrica, $\{3, 4\} \setminus \{1, 2, 3\} = \{4\}$ .

Esempio. $[0, 3] \setminus [1, 2] = [0, 1) \cup (2, 3]$ .

Definizione (complementare). Il complementare di $B$ (rispetto all'universo $X$ ) è tutto ciò che sta in $X$ ma non in $B$ :

$B^c = X \setminus B = \{x \in X : x \notin B\}$

Esempio. In $X = \mathbb{N}$ si ha $\{0, 1, 2\}^c = \{3, 4, 5, \dots\}$ ; in $X = \mathbb{Z}$ lo stesso insieme ha un complementare diverso, che contiene anche i numeri negativi.

Proprietà (distributive). $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \qquad A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Esempio. Con $A = \{1\}$ , $B = \{1, 2\}$ , $C = \{2, 3\}$ : $A \cup (B \cap C) = \{1, 2\} = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ .

Legge (De Morgan). $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c \qquad\qquad (A \cap B)^c = A^c \cup B^c$

Esempio. In $\mathbb{R}$ , con $A = [0, 2]$ e $B = [1, 3]$ : $(A \cup B)^c = (-\infty, 0) \cup (3, +\infty) = A^c \cap B^c$ , perché $A^c = (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$ e $B^c = (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$ .

Definizione (prodotto cartesiano). Dati $A, B \ne \emptyset$ :

$A \times B = \{(a, b) : a \in A, \ b \in B\}$

Esempio. $A = \{1, 2\}$ , $B = \{1, 2, 3\}$ :

Insiemi e insieme delle parti

Definizione (sottoinsieme). $B$ è un sottoinsieme di $A$ , e si scrive $B \subseteq A$ , se ogni elemento di $B$ è anche elemento di $A$ .

Esempio. $\{1, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}$ , mentre $\{1, 5\} \not\subseteq \{1, 2, 3\}$ perché $5 \notin \{1, 2, 3\}$ .

Definizione (uguaglianza di insiemi). $A = B \quad \text{se} \quad A \subseteq B \ \text{ e } \ B \subseteq A$

Due insiemi sono uguali quando hanno esattamente gli stessi elementi. Questa definizione dà anche il metodo per dimostrare che due insiemi sono uguali: si dimostrano le due inclusioni separatamente (ogni elemento del primo sta nel secondo, e viceversa).

Esempio. $A = \{1, 2\}$ e $B = \{2, 1, 1\}$ : ogni elemento di $A$ sta in $B$ e viceversa, quindi $A = B$ .

Definizione (insieme delle parti). L'insieme delle parti di $A$ , scritto $\mathcal{P}(A)$ , è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di $A$ . I suoi elementi sono a loro volta insiemi.

Esempio con $A = \{a, b\}$ . I sottoinsiemi sono: $\emptyset$ , $\{a\}$ , $\{b\}$ , $\{a, b\}$ . Quindi

Proposizione (numero dei sottoinsiemi). $|A| = n \implies |\mathcal{P}(A)| = 2^n$

Esempio. Se $|A| = 4$ allora $\mathcal{P}(A)$ ha $2^4 = 16$ elementi; se $|A| = 0$ ( $A = \emptyset$ ) ne ha $2^0 = 1$ , cioè solo $\emptyset$ .

Tecniche di dimostrazione

Principio (dimostrazione diretta). Si parte dall'ipotesi $p$ e, passaggio dopo passaggio, si arriva alla tesi $q$ .

Esempio. "Se $n$ è dispari allora $n^2$ è dispari": si scrive $n = 2k + 1$ e si calcola $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ , che è dispari. Dettagli nell'Esercizio 8 · n dispari implica n² dispari.

Principio (dimostrazione per contronominale). Invece di $p \Rightarrow q$ si dimostra l'implicazione "rovesciata e negata": se la tesi è falsa, allora l'ipotesi è falsa.

Esempio di vita quotidiana. "Se piove, la strada è bagnata" equivale a "se la strada non è bagnata, allora non piove". Attenzione: non equivale a "se la strada è bagnata allora piove" (potrebbero aver lavato la strada): quella è l'implicazione inversa $q \Rightarrow p$ , che è un'altra affermazione.

Principio (dimostrazione per assurdo). Si suppone che l'ipotesi sia vera e la tesi falsa, e si ragiona fino ad arrivare a una contraddizione (un'affermazione impossibile, per esempio una cosa che è vera e falsa insieme, oppure $0 = 1$ ). La prof la indica con il simbolo di un fulmine (⚡).

Esempio. " $c^2 = 2 \Rightarrow c \notin \mathbb{Q}$ ": si suppone $c^2 = 2$ e $c \in \mathbb{Q}$ , si scrive $c = \frac{m}{n}$ ai minimi termini e si scopre che $m$ e $n$ sono entrambi pari, contro l'ipotesi di averli scelti primi tra loro. Dettagli nell'Esercizio 9 · la radice di 2 non è razionale.

II. Numeri reali

Insiemi numerici (N, Z, Q, R)

Definizione (razionali). $\mathbb{Q} = \left\{ q = \frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z}, \ n \in \mathbb{N}^* \right\}$

Esempio. $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ (ridotta ai minimi termini, con $3$ e $4$ primi tra loro), $0{,}25 = \frac{1}{4}$ e $0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}$ .

Definizione (reali). $\mathbb{R} = \{ r = m{,}d_1 d_2 d_3 \dots : m \in \mathbb{Z}, \ d_1, d_2, \dots \in \{0, \dots, 9\} \text{ qualsiasi} \}$

Esempio. $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ ha cifre decimali non periodiche, quindi è un reale irrazionale; $0{,}\overline{3}$ invece è periodico, quindi razionale.

Teorema. Se $c \in \mathbb{R}$ e $c^2 = 2$ , allora $c \notin \mathbb{Q}$ .

Esempio. $\frac{99}{70} \approx 1{,}41429$ approssima bene $\sqrt{2}$ , ma $\left(\frac{99}{70}\right)^2 = \frac{9801}{4900} \ne 2$ : nessuna frazione ha quadrato esattamente $2$ .

Campi ordinati (Q e R)

Definizione (campo). $X$ è un campo se su $X$ sono definite due operazioni, somma ( $+$ ) e prodotto ( $\cdot$ ), con le seguenti proprietà, per ogni $a, b, c \in X$ .

Somma:

$a + b = b + a$ (commutativa);

$a + (b + c) = (a + b) + c$ (associativa);

esiste un unico elemento neutro $0 \in X$ tale che $a + 0 = 0 + a = a$ per ogni $a$ ;

per ogni $a$ esiste un unico opposto $-a \in X$ tale che $a + (-a) = (-a) + a = 0$ .

Prodotto:

$a \cdot b = b \cdot a$ (commutativa);

$a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ (associativa);

esiste un unico elemento neutro $1 \in X$ tale che $1 \cdot a = a \cdot 1 = a$ per ogni $a$ ;

per ogni $a$ con $a \ne 0$ esiste un unico reciproco (o inverso) $a^{-1} \in X$ tale che $a^{-1} \cdot a = a \cdot a^{-1} = 1$ .

Proprietà distributiva (collega le due operazioni): $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ .

Esempio. $\mathbb{Q}$ è un campo: $\frac{2}{3}$ ha reciproco $\frac{3}{2}$ , perché $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$ . $\mathbb{Z}$ non lo è: $2$ non ha reciproco in $\mathbb{Z}$ .

Definizione (campo totalmente ordinato). $X$ è un campo totalmente ordinato se ci sono $+$ , $\cdot$ , $\le$ tali che:

$X$ con $+$ e $\cdot$ è un campo;

$X$ con $\le$ è totalmente ordinato;

le operazioni sono compatibili con l'ordine:

$a \le b \iff a + c \le b + c$ per ogni $c \in X$ ;

$a \le b \iff c \cdot a \le c \cdot b$ per ogni $c \in X$ con $c > 0$ .

Esempio. In $\mathbb{R}$ , da $2 < 3$ si ha $2 + 5 < 3 + 5$ e, moltiplicando per $c = 4 > 0$ , $8 < 12$ (il verso non cambia).

Estremo superiore (sup)

Definizione (minimo e massimo).

Se $E$ è inferiormente limitato ed esiste un minorante $\ell$ che appartiene a $E$ , questo si chiama minimo di $E$ : $\ell = \min E$ .

Se $E$ è superiormente limitato ed esiste un maggiorante $L$ che appartiene a $E$ , questo si chiama massimo di $E$ : $L = \max E$ .

Esempio. $E = \{1, 2, 3\}$ ha $\min E = 1$ e $\max E = 3$ . $E = [0, 1)$ ha $\min E = 0$ ma non ha massimo: i maggioranti sono i numeri $\ge 1$ e nessuno sta in $[0, 1)$ .

Definizione (estremo superiore). Il $\sup A$ è il più piccolo dei maggioranti di $A$ .

In modo equivalente (e questa è la forma che si usa nelle dimostrazioni), $s = \sup A$ se valgono entrambe:

$s$ è un maggiorante: $x \le s$ per ogni $x \in A$ .

Nessun numero più piccolo di $s$ è un maggiorante: per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $x \in A$ con $x > s - \varepsilon$ .

Esempio. $A = [0, 1)$ : $1$ è un maggiorante e, per ogni $\varepsilon > 0$ , esiste $x \in A$ con $x > 1 - \varepsilon$ (per esempio $x = 1 - \frac{\varepsilon}{2}$ se $\varepsilon \le 1$ ), quindi $\sup A = 1$ .

Definizione (estremo inferiore). Il $\inf A$ è il più grande dei minoranti di $A$ .

Equivalentemente, $L = \inf A$ se:

$L$ è un minorante: $L \le x$ per ogni $x \in A$ .

Esempio. $A = (0, 1]$ : $0$ è un minorante e, per ogni $\varepsilon > 0$ , esiste $x \in A$ con $x < \varepsilon$ (per esempio $x = \min\{\frac{\varepsilon}{2}, 1\}$ ), quindi $\inf A = 0$ , che non appartiene ad $A$ .

Teorema (caratterizzazione di inf e sup). $i = \inf E \in X \iff \begin{cases} 1.\ \ i \le x \quad \forall x \in E \\ 2.\ \ \forall \varepsilon > 0\ \exists x \in E : x < i + \varepsilon \end{cases} \qquad s = \sup E \in X \iff \begin{cases} 1.\ \ s \ge x \quad \forall x \in E \\ 2.\ \ \forall \varepsilon > 0\ \exists x \in E : x > s - \varepsilon \end{cases}$

Esempio. $E = \{\frac{1}{n} : n \ge 1\}$ ha $\inf E = 0$ : vale $\frac{1}{n} \ge 0$ per ogni $n$ e, dato $\varepsilon > 0$ , scegliendo $n > \frac{1}{\varepsilon}$ si ha $\frac{1}{n} < \varepsilon = 0 + \varepsilon$ .

Principio (assioma di completezza di ℝ). Ogni insieme non vuoto e limitato superiormente di $\mathbb{R}$ ha un sup (in $\mathbb{R}$ ). Analogamente, ogni insieme non vuoto e limitato inferiormente ha un inf.

Esempio. $E = \{x \in \mathbb{R} : x^2 < 2\}$ è non vuoto e limitato superiormente, quindi ha un estremo superiore in $\mathbb{R}$ : $\sup E = \sqrt{2}$ .

Completezza di R (continuità, separazione, sup)

Definizione. Sia $X \ne \emptyset$ totalmente ordinato. Due sottoinsiemi $A, B \subseteq X$ , non vuoti, si dicono separati se

$a \le b \qquad \forall a \in A, \ \forall b \in B$

cioè ogni elemento di $A$ sta a sinistra (o coincide con) ogni elemento di $B$ .

$X$ ha la proprietà di separazione se per ogni coppia di insiemi $A, B$ separati esiste un elemento separatore $c \in X$ :

$a \le c \le b \qquad \forall a \in A, \ \forall b \in B$

Esempio. In $\mathbb{R}$ , $A = [0, 1]$ e $B = [2, 3]$ sono separati ( $a \le b$ per ogni $a \in A$ e $b \in B$ ) e ogni $c \in [1, 2]$ è un separatore.

Proprietà (separazione di ℝ). $\mathbb{R}$ ha la proprietà di separazione (ed è equivalente alla proprietà I).

Esempio. Per $A = [0, 1)$ e $B = (1, 2]$ il separatore $c = 1$ esiste in $\mathbb{R}$ anche se non sta né in $A$ né in $B$ . In $\mathbb{Q}$ invece, per $A = \{x \in \mathbb{Q} : x \ge 0, x^2 < 2\}$ e $B = \{x \in \mathbb{Q} : x \ge 0, x^2 > 2\}$ , l'unico candidato sarebbe $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ .

Proprietà (estremo superiore di ℝ). Ogni sottoinsieme $E \subseteq \mathbb{R}$ , non vuoto e superiormente limitato, ha estremo superiore $\sup E \in \mathbb{R}$ .

Esempio. $E = \{1 - \frac{1}{n} : n \ge 1\} = \{0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \dots\}$ è limitato superiormente da $1$ e ha $\sup E = 1 \in \mathbb{R}$ (non appartiene a $E$ ).

Teorema (densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$ ). Per ogni $x, y \in \mathbb{R}$ con $x < y$ esiste $q \in \mathbb{Q}$ tale che $x < q < y$ .

Esempio. Tra $\sqrt{2} \approx 1{,}41421$ e $\sqrt{2} + 0{,}001 \approx 1{,}41521$ c'è il razionale $1{,}415 = \frac{283}{200}$ .

Archimedeità di N

Teorema (archimedeità di ℕ). $\mathbb{N}$ non è limitato superiormente in $\mathbb{R}$ . Cioè: per ogni numero reale $x$ esiste $n \in \mathbb{N}$ tale che $n > x$ .

Esempio. Per $x = 1000{,}5$ basta $n = 1001$ : $1001 > 1000{,}5$ .

Proprietà (formulazione equivalente dell'archimedeità). Dati $a > 0$ e $b$ reali, esiste $n \in \mathbb{N}$ tale che $n \cdot a > b$ .

Esempio. Con $a = 0{,}01$ e $b = 5$ serve $n \cdot 0{,}01 > 5$ , cioè $n > 500$ : va bene $n = 501$ , perché $501 \cdot 0{,}01 = 5{,}01 > 5$ .

Valore assoluto (modulo)

Definizione (valore assoluto). $|x| = \begin{cases} x & \text{se } x \ge 0 \\ -x & \text{se } x < 0 \end{cases}$

Esempio. $|3| = 3$ , $|0| = 0$ e $|-5| = -(-5) = 5$ .

Proprietà (valore assoluto).

$|x| \ge 0$ , e $|x| = 0$ se e solo se $x = 0$ . (La distanza da $0$ è nulla solo nel punto $0$ .)

$|-x| = |x|$ . (Un numero e il suo opposto sono alla stessa distanza da $0$ .)

$|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$ .

$\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}$ per $y \ne 0$ .

$|x|^2 = x^2$ , e quindi $\sqrt{x^2} = |x|$ (non $x$ !). Esempio: $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$ .

$-|x| \le x \le |x|$ . (Il numero sta tra il suo modulo cambiato di segno e il suo modulo.)

Disuguaglianza triangolare: $|x + y| \le |x| + |y|$ .

Disuguaglianza di Cauchy–Schwarz: $\left|\sum a_i b_i\right| \le \sqrt{\sum a_i^2}\,\sqrt{\sum b_i^2}$ (spiegata più sotto, in una sezione dedicata).

Esempio. Con $x = 3$ e $y = -5$ : $|xy| = 15 = 3 \cdot 5 = |x||y|$ e $|x + y| = |-2| = 2 \le 8 = |x| + |y|$ .

Proprietà (equazioni e disequazioni con il modulo). 3. Equazione $|x| = r$ : se $r < 0$ nessuna soluzione ( $\emptyset$ ); se $r = 0$ l'unica soluzione è $x = 0$ ; se $r > 0$ due soluzioni, $x = \pm r$ . 4. Disequazione $|x| \le r$ : se $r < 0$ nessuna soluzione; se $r = 0$ solo $x = 0$ ; se $r > 0$ , $-r \le x \le r$ . 5. Disequazione $|x| \ge r$ : se $r < 0$ ogni $x \in \mathbb{R}$ ; se $r = 0$ ogni $x \in \mathbb{R}$ ; se $r > 0$ , $x \le -r$ oppure $x \ge r$ .

Esempio. $|2x - 1| \le 3 \iff -3 \le 2x - 1 \le 3 \iff -1 \le x \le 2$ , cioè $x \in [-1, 2]$ .

Teorema (disuguaglianza di Cauchy–Schwarz). $\left| \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_i^2}$

Esempio. Con $a = (1, 2)$ e $b = (3, 4)$ : $|1 \cdot 3 + 2 \cdot 4| = 11 \le \sqrt{5} \cdot \sqrt{25} = \sqrt{125} \approx 11{,}18$ .

III. Induzione, sommatorie e calcolo combinatorio

Principio di induzione

Teorema (principio di induzione). Sia $n_0 \in \mathbb{N}$ e sia $p(n)$ un predicato sui naturali. La proposizione " $\forall n \ge n_0 : p(n)$ " è vera se e solo se

$p(n_0)$ è vera;

$p(n) \Rightarrow p(n+1)$ per ogni $n \ge n_0$ (cioè: per un $n \ge n_0$ fissato generico, supponendo vera $p(n)$ , si dimostra che è vera anche $p(n+1)$ ).

Esempio. $p(n)$ : $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ , con $n_0 = 1$ . Base: $p(1)$ è $1 = \frac{1 \cdot 2}{2}$ . Passo: da $p(n)$ si ha $1 + \dots + n + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + n + 1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ , che è $p(n+1)$ .

Sommatorie

Definizione (sommatoria). $\sum_{k=1}^{n} x_k = x_1 + x_2 + \dots + x_n \qquad x_1, \dots, x_n \in \mathbb{R}$

Esempio. $\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$ .

Proprietà (linearità delle sommatorie). 1. Linearità (due proprietà):

$\sum_{k=1}^{n} c \cdot x_k = c \cdot \sum_{k=1}^{n} x_k \quad \forall c \in \mathbb{R} \qquad\qquad \sum_{k=1}^{n} (x_k + y_k) = \sum_{k=1}^{n} x_k + \sum_{k=1}^{n} y_k$

Esempio: $\sum_{k=1}^{3} (2k + 1) = 2 \sum_{k=1}^{3} k + \sum_{k=1}^{3} 1 = 2 \cdot 6 + 3 = 15$ ; controllo: $3 + 5 + 7 = 15$ ✓.

Proprietà (additività delle sommatorie). 2. Additività (spezzare in due pezzi consecutivi): se $1 \le m < n$ ,

$\sum_{k=1}^{n} x_k = \sum_{k=1}^{m} x_k + \sum_{k=m+1}^{n} x_k$

Esempio. $\displaystyle\sum_{k=1}^{6} k = 21 = \sum_{k=1}^{2} k + \sum_{k=3}^{6} k = 3 + 18$ .

Formula (somma di una costante). $\sum_{k=n_0}^{n} c = \underbrace{c + c + \dots + c}_{n - n_0 + 1 \text{ volte}} = (n - n_0 + 1) \cdot c$

Esempio. $\displaystyle\sum_{k=3}^{7} 5 = (7 - 3 + 1) \cdot 5 = 25$ .

Formula (somma dei primi n numeri, Gauss). $\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Esempio. $n = 100$ : $1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$ .

Formula (somma della progressione geometrica). $\sum_{k=0}^{n} q^k = 1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

Esempio. $q = \frac{1}{2}$ , $n = 3$ : $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{15}{8} = \frac{1 - (1/2)^4}{1 - 1/2}$ .

Fattoriale e coefficienti binomiali

Definizione (fattoriale). $n! = \begin{cases} 1 & \text{se } n = 0 \\ n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1 & \text{se } n > 0 \end{cases}$

Esempio. $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ e $0! = 1$ .

Formula (prodotto dei primi k fattori di n!). $n(n-1)\cdots(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$

Esempio. $n = 6$ , $k = 3$ : l'ultimo fattore del primo gruppo è $n - k + 1 = 6 - 3 + 1 = 4$ , e infatti $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!$ , quindi $6 \cdot 5 \cdot 4 = \frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120$ ✓.

Formula (permutazioni). $|P_n| = n!$

Esempio. Le permutazioni di $\{1, 2, 3\}$ sono $123, 132, 213, 231, 312, 321$ : sono $3! = 6$ ✓. Con $6$ elementi sono $6! = 720$ .

Formula (disposizioni). $|D_{n,k}| = n(n-1)\cdots(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$

Esempio. $n = 6$ , $k = 3$ : $|D_{6,3}| = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ (per esempio podi possibili con $6$ atleti: oro, argento, bronzo).

Formula (combinazioni). $|C_{n,k}| = \frac{|D_{n,k}|}{k!} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$

Esempio. Le combinazioni di $\{1, 2, 3\}$ a $2$ a $2$ sono $\frac{3 \cdot 2}{2!} = 3$ : $\{1,2\}$ , $\{1,3\}$ , $\{2,3\}$ .

Definizione (coefficiente binomiale). $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \quad (0 \le k \le n) \qquad = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} \quad (0 < k < n)$

Esempio. $\binom{5}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3!} = \frac{60}{6} = 10$ .

Proprietà (simmetria dei coefficienti binomiali). $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$

Esempio: $\binom{5}{3} = \binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ (conviene calcolare quello con il $k$ più piccolo).

Formula (di Stifel). $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$

Esempio: $\binom{5}{2} = \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 4 + 6 = 10$ ✓.

Binomio di Newton

Teorema (binomio di Newton). $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k\, b^{n-k}$

Esempio. $(x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot 2\, x^2 + 3 \cdot 4\, x + 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ .

IV. Funzioni

Funzioni - definizione, dominio e grafico

Definizione (funzione). Dati due insiemi $X, Y \ne \emptyset$ , una funzione $f : X \to Y$ è una legge che associa a ogni $x \in X$ uno e un solo $y \in Y$ .

Esempio. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^2$ , associa a $x = -3$ il valore $f(-3) = 9$ e a $x = 2$ il valore $f(2) = 4$ .

Definizione. Il dominio naturale di $f : X \to Y$ (con $X$ "insieme universo", per esempio $\mathbb{R}$ o $\mathbb{R}^2$ ) è il più grande sottoinsieme di $X$ in cui tutte le operazioni che definiscono $f$ hanno senso.

Esempio 1. $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}$ , $f : X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . Si deve poter dividere: $x^2 - 1 \ne 0 \iff x \ne \pm 1$ .

Definizione (grafico). Il grafico di $f : X \to Y$ (con $X$ = dominio) è l'insieme delle coppie "punto, sua immagine":

$\Gamma_f = \{(x, f(x)) : x \in X\} \subseteq X \times Y$

Esempio. $f(x) = 2x$ : $\Gamma_f = \{(x, 2x) : x \in \mathbb{R}\}$ . Calcolando qualche punto ( $x = 0 \Rightarrow y = 0$ ; $x = 1 \Rightarrow y = 2$ ) si vede che è la retta per l'origine con pendenza $2$ (i punti con $\frac{y}{x} = 2$ ).

Grafico interattivo: Il grafico di f(x) = 2x è una retta: Γ_f è un insieme di punti del piano, f è la legge

Definizione (immagine). Immagine di un insieme. Per $A \subseteq X$ , $A \ne \emptyset$ :

$f(A) = \{f(x) : x \in A\} \subseteq Y$

è l'insieme dei valori che $f$ assume quando $x$ varia in $A$ ("dove vanno a finire i punti di $A$ "). Si ha sempre $f(A) \ne \emptyset$ .

Esempio. $f(x) = x^2$ : $f([-1, 2]) = [0, 4]$ , perché il minimo $0$ è assunto in $x = 0$ e il massimo $4$ in $x = 2$ .

Definizione (antimmagine). Antimmagine (o controimmagine) di un insieme. Per $B \subseteq Y$ , $B \ne \emptyset$ :

$f^{\leftarrow}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\} \subseteq X$

è l'insieme dei punti del dominio che finiscono dentro $B$ ("chi va a finire in $B$ "). Può essere $f^{\leftarrow}(B) = \emptyset$ (se nessun valore di $f$ sta in $B$ ), mentre $f^{\leftarrow}(Y) = X$ (ogni $x$ finisce in $Y$ ).

Esempio (svolto nell'Esercizio 16 · immagine e antimmagine di 2x): per $f(x) = 2x$ si ha $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$ , $f([-1, 3]) = [-2, 6]$ , $f^{\leftarrow}([-1, 3]) = [-\frac12, \frac32]$ .

Funzioni iniettive, suriettive e inverse

Definizione (funzione iniettiva). $f : X \to Y$ è iniettiva (abbreviato IN) se vale una delle seguenti proprietà, equivalenti tra loro:

$\forall x_1, x_2 \in X$ : $x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$ (punti diversi hanno immagini diverse);

$\forall x_1, x_2 \in X$ : $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$ (se due punti hanno la stessa immagine, sono lo stesso punto);

per ogni $y \in Y$ , l'antimmagine $f^{\leftarrow}(\{y\})$ è vuota oppure contiene un solo elemento (ogni $y$ è raggiunto al più una volta).

Esempio. $f(x) = 2x + 1$ è iniettiva: $2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 \Rightarrow x_1 = x_2$ . $f(x) = x^2$ su $\mathbb{R}$ non lo è: $f(-1) = f(1) = 1$ .

Proprietà (test delle rette orizzontali). $f$ è iniettiva $\iff$ ogni retta orizzontale interseca $\Gamma_f$ al più una volta.

Esempio. La retta $y = 4$ taglia $y = x^2$ in due punti ( $x = \pm 2$ ): $x^2$ non è iniettiva su $\mathbb{R}$ . Ogni retta orizzontale taglia $y = x^3$ una sola volta: $x^3$ è iniettiva.

Grafico interattivo: y = 1 − x²: la retta orizzontale y = 0 taglia la parabola in due punti (x = −1 e x = 1), quindi f non è iniettiva

Definizione (funzione inversa). $f^{-1} : f(X) \to X, \qquad y \mapsto x \ \text{ tale che } f(x) = y$

cioè $f^{-1}(y)$ = l'unico $x$ con $f(x) = y$ . Si chiama inversa di $f$ (sull'immagine).

Esempio. $f(x) = 3x - 6$ ha inversa $f^{-1}(y) = \frac{y + 6}{3}$ : infatti $f\!\left(\frac{y+6}{3}\right) = y + 6 - 6 = y$ .

Proprietà (grafico dell'inversa). $\Gamma_{f^{-1}}$ è il simmetrico di $\Gamma_f$ rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, $y = x$ .

Esempio. $f(x) = 2x$ passa per $(1, 2)$ ; la sua inversa $f^{-1}(y) = \frac{y}{2}$ passa per $(2, 1)$ , il simmetrico rispetto alla retta $y = x$ .

Grafico interattivo: f(x) = x/3 + 1 (retta poco inclinata). La sua inversa y = 3(x − 1) è la retta simmetrica rispetto a y = x

Composizione e operazioni tra funzioni

Definizione (funzione composta). Siano $f : X \to Y$ e $g : V \to W$ (tutti insiemi non vuoti). Se $f(X) \subseteq V$ , cioè se tutti i valori di $f$ stanno nel dominio di $g$ , si può definire la funzione $g$ composto $f$ :

$g \circ f : X \to W, \qquad x \mapsto g(f(x))$

Si applica prima $f$ , poi $g$ (si legge da destra a sinistra, come nella scrittura $g(f(x))$ ): $x$ va in $f(x)$ , che a sua volta va in $g(f(x))$ .

Esempio a parole. $f$ = "eleva al quadrato", $g$ = "aggiungi $1$ ". Allora $g \circ f$ = "prima eleva al quadrato, poi aggiungi $1$ ": $x \mapsto x^2 + 1$ . Invece $f \circ g$ = "prima aggiungi $1$ , poi eleva al quadrato": $x \mapsto (x + 1)^2$ . Già qui si vede che l'ordine conta.

Funzioni limitate, sup, inf, max e min

Definizione (estremi di una funzione). $\inf_X f = \inf f(X) \qquad \sup_X f = \sup f(X) \qquad \min_X f = \min f(X) \qquad \max_X f = \max f(X)$

Esempio. $f(x) = x^2$ su $\mathbb{R}$ : $f(X) = [0, +\infty)$ , quindi $\inf f = \min f = 0$ e $\sup f = +\infty$ (nessun massimo).

Teorema (caratterizzazione di inf e sup di una funzione). $i = \inf_X f \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} 1.\ \ i \le f(x) \quad \forall x \in X \\ 2.\ \ \forall \varepsilon > 0\ \exists x \in X : f(x) < i + \varepsilon \end{cases} \qquad s = \sup_X f \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} 1.\ \ s \ge f(x) \quad \forall x \in X \\ 2.\ \ \forall \varepsilon > 0\ \exists x \in X : f(x) > s - \varepsilon \end{cases}$

Esempio. $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ ha $0 < f(x) \le 1$ e $\inf f = 0$ : per ogni $\varepsilon > 0$ vale $f(x) < \varepsilon$ non appena $x^2 > \frac{1}{\varepsilon} - 1$ .

Definizione (minimo e massimo di una funzione). $m = \min_X f \iff \begin{cases} 1.\ \ m \le f(x) \quad \forall x \in X \\ 2.\ \ \exists\, x_0 \in X : f(x_0) = m \end{cases} \qquad M = \max_X f \iff \begin{cases} 1.\ \ M \ge f(x) \quad \forall x \in X \\ 2.\ \ \exists\, x_1 \in X : f(x_1) = M \end{cases}$

Esempio. $f(x) = \sin x$ : $\max f = f\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ e $\min f = f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$ .

Funzioni monotone, pari e dispari

Definizione (monotonia). $f : X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ si dice:

Nome Definizione: per ogni $x_1, x_2 \in X$ con $x_1 < x_2$ …

crescente $f(x_1) \le f(x_2)$

strettamente crescente $f(x_1) < f(x_2)$

decrescente $f(x_1) \ge f(x_2)$

strettamente decrescente $f(x_1) > f(x_2)$

Se $f$ è crescente o decrescente su $X$ si dice monotona su $X$ .

Se è strettamente crescente o strettamente decrescente si dice strettamente monotona su $X$ .

Nome	Definizione: per ogni $x_1, x_2 \in X$ con $x_1 < x_2$ …
crescente	$f(x_1) \le f(x_2)$
strettamente crescente	$f(x_1) < f(x_2)$
decrescente	$f(x_1) \ge f(x_2)$
strettamente decrescente	$f(x_1) > f(x_2)$

Esempio. $f(x) = x^3$ è strettamente crescente; $f(x) = -2x + 1$ è strettamente decrescente; la parte intera $[x]$ è crescente ma non strettamente.

Teorema (da sapere). Sia $f : X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ strettamente monotona su $X$ . Allora:

$f$ è iniettiva, quindi esiste l'inversa $f^{-1} : f(X) \to X$ ;

$f^{-1}$ ha lo stesso tipo di monotonia di $f$ (se $f$ è strettamente crescente, anche $f^{-1}$ lo è; se $f$ è strettamente decrescente, anche $f^{-1}$ ).

Esempio. $f(x) = x^3$ è strettamente crescente su $\mathbb{R}$ , quindi invertibile, con inversa $f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}$ , anch'essa strettamente crescente.

Definizione (funzioni pari e dispari). Sia $X$ un dominio simmetrico rispetto a $0$ : se $x \in X$ allora anche $-x \in X$ . Esempi: $\mathbb{R}$ ; $[-a, a]$ con $a > 0$ ; $[-b, -a] \cup [a, b]$ con $0 < a < b$ ; $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ .

$f \text{ è } \textbf{pari} \text{ se } f(-x) = f(x) \ \ \forall x \in X \qquad f \text{ è } \textbf{dispari} \text{ se } f(-x) = -f(x) \ \ \forall x \in X$

Esempio. $x^2$ è pari ( $(-x)^2 = x^2$ ), $x^3$ è dispari ( $(-x)^3 = -x^3$ ); $\sqrt{x}$ non è né pari né dispari, perché il dominio $[0, +\infty)$ non è simmetrico.

Funzioni periodiche

Definizione (funzione periodica). Sia $f : X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , con $X \ne \emptyset$ inferiormente e superiormente illimitato (il dominio deve proseguire senza fine in entrambe le direzioni). $f$ è periodica se esiste $T > 0$ tale che

$f(x + T) = f(x) \qquad \forall x \in X$

Il minimo $T > 0$ con questa proprietà si chiama periodo di $f$ (e si dice che $f$ è " $T$ -periodica").

Esempio. $\sin x$ è $2\pi$ -periodica: $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ per ogni $x$ , e nessun $T$ minore di $2\pi$ funziona.

Proprietà. Se $f$ è $T$ -periodica e $c > 0$ , allora $h(x) = f(cx)$ è periodica di periodo

$T' = \frac{T}{c}$

Esempio. $\sin x$ ha periodo $2\pi$ , quindi $\sin(8x)$ ha periodo $\frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ .

Grafico interattivo: y = sin(πx): si ripete ogni 2 unità (periodo 2π/π = 2)

Proprietà (somma, prodotto e quoziente di funzioni periodiche). Regola. Somme, prodotti e quozienti di funzioni periodiche (quelle degli esercizi, costruite con seni, coseni, tangenti) sono periodici solo se il rapporto dei periodi è un numero razionale. In quel caso $mT_1 = nT_2$ (con $\frac{m}{n}$ ridotta ai minimi termini) è un periodo di $h$ .

Esempio con rapporto razionale. $h(x) = \sin(2x) + \cos(3x)$ : $T_1 = \pi$ , $T_2 = \frac{2\pi}{3}$ , $\frac{T_2}{T_1} = \frac23$ . Quindi $m = 2$ , $n = 3$ e $T' = 2\pi = 3 \cdot \frac{2\pi}{3}$ : dopo $2\pi$ il seno ha fatto $2$ giri e il coseno $3$ , e tutto ricomincia.

V. Funzioni elementari

Funzioni potenza

Definizione per ricorrenza: $x^1 = x$ , $x^{n+1} = x \cdot x^n$ (cioè $x^n = x \cdot x \cdots x$ , $n$ volte).

Esempio. $2^4 = 2 \cdot 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ .

Grafico interattivo: n pari: y = x² (forma a U, simmetrica rispetto all'asse y)

Teorema (esistenza della radice $n$ -esima). Per ogni $y \ge 0$ esiste un unico $x \ge 0$ tale che $x^n = y$ . Questo $x$ si chiama radice $n$ -esima di $y$ e si scrive $x = \sqrt[n]{y} = y^{1/n}$ .

Esempio. $\sqrt[3]{27} = 3$ perché $3^3 = 27$ , e $\sqrt{49} = 7$ perché $7 \ge 0$ e $7^2 = 49$ (anche $(-7)^2 = 49$ , ma la radice è per definizione $\ge 0$ ).

Grafico interattivo: y = √x = x^(1/2): definita solo per x ≥ 0, è il simmetrico del ramo destro di y = x² rispetto a y = x

Definizione (potenza con esponente razionale). Per $q = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}^* = \mathbb{Q} \setminus \{0\}$ (con $m \in \mathbb{Z}^*$ , $n \in \mathbb{N}^*$ ) si definisce

$x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}$

Esempio. $8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$ .

Proprietà (potenze con base positiva). Per $a > 0$ , $b > 0$ e $r, s \in \mathbb{R}$ :

$a^0 = 1$ ;

$a^r > 0$ ;

$a^r \cdot b^r = (a \cdot b)^r$ ;

$a^{-r} = \dfrac{1}{a^r}$ ;

$(a^r)^s = a^{r \cdot s}$ ;

$a^r \cdot a^s = a^{r + s}$ .

Esempio. $2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 32$ , $(2^3)^2 = 2^6 = 64$ , $4^{-1} = \frac{1}{4}$ , $2^{1/2} \cdot 3^{1/2} = 6^{1/2}$ .

Disequazioni con potenze e radici

Teorema (disequazioni e funzioni monotone). Sia $f$ una funzione strettamente crescente su $\mathbb{R}$ . Allora $A(x) \le B(x) \iff f(A(x)) \le f(B(x))$ Se invece $f$ è strettamente decrescente su $\mathbb{R}$ : $A(x) \le B(x) \iff f(A(x)) \ge f(B(x))$

Esempio. $x^3 \le 8$ : applicando la funzione strettamente crescente $\sqrt[3]{\cdot}$ a entrambi i membri si ottiene $x \le 2$ .

Formula (radice minore). $\sqrt{A(x)} \le B(x) \iff \begin{cases} A(x) \ge 0 & \text{(la radice deve esistere)} \\ B(x) \ge 0 & \text{(una radice è } \ge 0\text{, quindi } B \text{ deve esserlo)} \\ A(x) \le B(x)^2 & \text{(ora si può elevare al quadrato)} \end{cases}$

Esempio. $\sqrt{x} \le 2 \iff \begin{cases} x \ge 0 \\ 2 \ge 0 \\ x \le 4 \end{cases} \iff 0 \le x \le 4$ .

Formula (radice maggiore). $B(x) \le \sqrt{A(x)} \iff \begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x) < 0 \end{cases} \ \cup \ \begin{cases} B(x) \ge 0 \\ B(x)^2 \le A(x) \end{cases}$

Esempio. $x \le \sqrt{4}$ , cioè $x \le 2$ : si ottiene $\begin{cases} 4 \ge 0 \\ x < 0 \end{cases} \cup \begin{cases} x \ge 0 \\ x^2 \le 4 \end{cases} = (x < 0) \cup (0 \le x \le 2)$ , cioè $x \le 2$ .

Esponenziale e logaritmo

Definizione. Per una base $a > 0$ , $a \ne 1$ :

$\exp_a : \mathbb{R} \to (0, +\infty), \qquad \exp_a(x) = a^x$

Esempio. $\exp_2(3) = 2^3 = 8$ e $\exp_{1/2}(2) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ .

Teorema (esistenza del logaritmo). Per ogni $y > 0$ esiste un unico $x \in \mathbb{R}$ tale che $a^x = y$ . Questo $x$ si chiama logaritmo in base $a$ di $y$ e si scrive $x = \log_a y$ .

Esempio. $\log_2 8 = 3$ perché $2^3 = 8$ ; $\log_{10} 0{,}01 = -2$ perché $10^{-2} = 0{,}01$ .

Grafico interattivo: y = 2ˣ (base a > 1): strettamente crescente, sempre positiva, passa per (0, 1)

Proprietà (logaritmi). Logaritmi (derivano da quelle degli esponenziali). Per $a, b > 0$ , $a, b \ne 1$ :

$a^{\log_a x} = x$ per ogni $x > 0$ ;

$\log_a (a^x) = x$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ ;

$\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$ per ogni $x, y > 0$ ;

$\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)$ per ogni $x, y > 0$ ;

$\log_a (x^\alpha) = \alpha \cdot \log_a x$ per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$ , $x > 0$ ;

$\log_b x = \log_b a \cdot \log_a x$ per ogni $x > 0$ ;

$\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$ (formula del cambiamento di base).

Esempio. $\log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5 = \log_2 32$ , perché $4 \cdot 8 = 32$ .

Formula (riduzione alla base e). $a^x = e^{\ln(a^x)} = e^{x \ln a} \qquad \log_a x = \log_a e \cdot \ln x = \frac{\ln x}{\ln a}$

Esempio. $\log_2 5 = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}32$ , e $2^{2{,}32} \approx 5$ .

Funzioni iperboliche

Definizione (funzioni iperboliche). $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \qquad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

Esempio numerico: $\sinh 1 = \frac{e - e^{-1}}{2} \approx \frac{2{,}718 - 0{,}368}{2} \approx 1{,}175$ ; $\cosh 1 \approx \frac{2{,}718 + 0{,}368}{2} \approx 1{,}543$ .

Formula (identità fondamentale iperbolica). $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

Esempio. Per $x = \ln 2$ si ha $e^x = 2$ , $\cosh x = \frac{2 + 1/2}{2} = \frac{5}{4}$ , $\sinh x = \frac{2 - 1/2}{2} = \frac{3}{4}$ e $\frac{25}{16} - \frac{9}{16} = 1$ .

Formula (inverse iperboliche). $\mathrm{settsinh}\, x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \ \ \forall x \in \mathbb{R} \qquad \mathrm{settcosh}\, x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \ \ \forall x \ge 1 \qquad \mathrm{setttanh}\, x = \frac12 \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \ \ \forall x \in (-1, 1)$

Esempio. $\mathrm{settsinh}\,\frac{3}{4} = \ln\left(\frac{3}{4} + \sqrt{\frac{9}{16} + 1}\right) = \ln\left(\frac{3}{4} + \frac{5}{4}\right) = \ln 2$ .

Grafico interattivo: y = settsinh x = ln(x + √(x² + 1)): l'inversa di sinh, simmetrica rispetto a y = x

Funzioni trigonometriche e loro inverse

Formula (da gradi a radianti). $x : \vartheta° = \pi : 180° \qquad \Longleftrightarrow \qquad x = \frac{\pi}{180°}\, \vartheta°$

Esempio. $\vartheta° = 60°$ dà $x = \frac{\pi}{180°} \cdot 60° = \frac{\pi}{3}$ ; viceversa $x = \frac{3}{4}\pi$ corrisponde a $135°$ .

Grafico interattivo: Circonferenza goniometrica: l'angolo x (in radianti, la lunghezza dell'arco) individua P = (cos x, sin x); qui x = π/3, con cos x = 1/2 e sin x = √3/2

Definizione (seno e coseno). $\cos x = X \ (\text{ascissa di } P) \qquad \sin x = Y \ (\text{ordinata di } P) \qquad x \in [0, 2\pi)$

Esempio. Per $x = \frac{\pi}{6}$ il punto è $P = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ , quindi $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ .

Grafico interattivo: y = sin x: periodica di periodo 2π, dispari, vale 0 in 0, π, 2π e 1 in π/2

Proprietà (principali di seno e coseno).

Limitate: $-1 \le \sin x \le 1$ e $-1 \le \cos x \le 1$ (coordinate di un punto di una circonferenza di raggio $1$ ).

$2\pi$ -periodiche: $\cos(x + 2k\pi) = \cos x$ , $\sin(x + 2k\pi) = \sin x$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

Identità trigonometrica fondamentale: $\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \qquad \forall x \in \mathbb{R}$ (è il teorema di Pitagora: $P = (\cos x, \sin x)$ sta sulla circonferenza $X^2 + Y^2 = 1$ ).

Simmetrie: $\cos(-x) = \cos x$ (pari), $\sin(-x) = -\sin x$ (dispari). Sulla circonferenza: l'angolo $-x$ si ottiene riflettendo $P$ rispetto all'asse $X$ , che lascia uguale l'ascissa e cambia segno all'ordinata.

Spostamenti di $\pi$ : $\cos(x \pm \pi) = -\cos x$ , $\sin(x \pm \pi) = -\sin x$ (mezzo giro porta $P$ nel punto opposto).

Spostamenti di $\frac{\pi}{2}$ : $\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin x$ , $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x$ .

Esempio. $\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\frac{\pi}{6} + \pi\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$ .

Definizione (tangente). $\tan x = \mathrm{tg}\, x = \frac{\sin x}{\cos x} \qquad x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z}\right\}$

Esempio. $\tan\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1$ e $\tan\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$ .

Grafico interattivo: La tangente sulla circonferenza goniometrica (x = π/3): il prolungamento del raggio OP taglia la retta X = 1 a altezza tan x = sin x / cos x = √3 ≈ 1,73

Definizione (arcoseno). 1. Arcoseno. $\sin : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \to [-1, 1]$ è strettamente crescente e suriettiva. La sua inversa è

$\arcsin : [-1, 1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$

strettamente crescente e dispari. $\arcsin y$ è "l'angolo tra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$ il cui seno è $y$ ". Esempi: $\arcsin 0 = 0$ , $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$ , $\arcsin \frac12 = \frac{\pi}{6}$ .

Esempio. $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$ , perché $\frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ e $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Definizione (arcocoseno). 2. Arcocoseno. $\cos : [0, \pi] \to [-1, 1]$ è strettamente decrescente e suriettiva. L'inversa è

$\arccos : [-1, 1] \to [0, \pi]$

strettamente decrescente. Esempi: $\arccos(-1) = \pi$ , $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$ , $\arccos 1 = 0$ .

Esempio. $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$ , perché $\frac{\pi}{3} \in [0, \pi]$ e $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ .

Definizione (arcotangente). 3. Arcotangente. $\tan : \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R}$ è strettamente crescente, dispari e suriettiva. L'inversa è

$\arctan : \mathbb{R} \to \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$

strettamente crescente e dispari, con il grafico chiuso tra le rette $y = -\frac{\pi}{2}$ e $y = \frac{\pi}{2}$ . Esempi: $\arctan 0 = 0$ , $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ .

Esempio. $\arctan\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$ , perché $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ e $\frac{\pi}{3} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ .

Grafico interattivo: y = arcsin x: definita su [−1, 1], valori in [−π/2, π/2], crescente

VI. Successioni

Limiti di successioni

Definizione (limite finito). Data $(a_n)_{n \ge n_0}$ , si dice che $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} a_n = \ell \in \mathbb{R}$ se $\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists N \ge n_0 \ \text{ tale che } \ |a_n - \ell| < \varepsilon \quad \forall n > N$

Esempio con numeri ( $a_n = \frac1n$ , $\ell = 0$ ): con $\varepsilon = 0{,}1$ serve $\frac1n < 0{,}1$ , cioè $n > 10$ : va bene $N = 10$ . Con $\varepsilon = 0{,}01$ serve $n > 100$ : $N = 100$ . In generale $N > \frac{1}{\varepsilon}$ , che esiste per l'Archimedeità di N. Dettagli nell'Esercizio 29 · limiti di 1/n e di n con la definizione.

Definizione (limite infinito). $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty$ se $\ \forall L \in \mathbb{R} \ \exists N \ge n_0$ , $N \in \mathbb{N}$ , tale che $a_n > L \ \ \forall n > N$ .

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} a_n = -\infty$ se $\ \forall L \in \mathbb{R} \ \exists N \ge n_0$ , $N \in \mathbb{N}$ , tale che $a_n < L \ \ \forall n > N$ .

Esempio. $a_n = n^2 \to +\infty$ : dato $L > 0$ , la disuguaglianza $n^2 > L$ vale per ogni $n > \sqrt{L}$ , quindi si può prendere $N = \lceil \sqrt{L} \rceil$ .

Teorema 1 (da sapere). Se esiste $\lim_n a_n = \ell$ , con $\ell \in \mathbb{R}$ oppure $\ell = \pm\infty$ , allora questo limite è unico.

Esempio. $\frac{1}{n} \to 0$ e quindi non può tendere anche a un altro numero: per $n > 10$ si ha $\frac{1}{n} < 0{,}1$ , quindi i termini non si avvicinano a $1$ .

Sottosuccessioni

Definizione (sottosuccessione). Data $(a_n)_{n \ge n_0}$ (per semplicità $n_0 = 0$ ):

sottosuccessione dei pari: $b_k = a_{2k}$ , $k \in \mathbb{N}$ , cioè $b_0 = a_0$ , $b_1 = a_2$ , $b_2 = a_4$ , …;

sottosuccessione dei dispari: $b'_k = a_{2k+1}$ , $k \in \mathbb{N}$ , cioè $b'_0 = a_1$ , $b'_1 = a_3$ , $b'_2 = a_5$ , …;

in generale: data una funzione strettamente crescente degli indici $k \mapsto n_k$ , da $\mathbb{N}$ in $\mathbb{N}$ , la successione $c_k = a_{n_k}$ , $k \in \mathbb{N}$ , si chiama sottosuccessione di $(a_n)$ .

In parole: si prendono infiniti termini della successione, nell'ordine in cui compaiono, saltandone eventualmente qualcuno.

Esempio. $c_k = a_{3k + 2}$ : gli indici $3k + 2 = 2, 5, 8, 11, \dots$ formano una successione strettamente crescente, quindi è una sottosuccessione ( $c_0 = a_2$ , $c_1 = a_5$ , $c_2 = a_8$ , …).

Proprietà (sottosuccessioni e limite).

Se $\lim_n a_n = \ell$ ( $\ell \in \mathbb{R}$ oppure $\pm\infty$ ), allora tutte le sottosuccessioni hanno lo stesso limite $\ell$ .

Se la sottosuccessione dei pari e quella dei dispari hanno lo stesso limite $\ell$ , allora anche la successione ha limite $\ell$ .

Esempio. $a_n = \frac{1}{n} \to 0$ : la sottosuccessione dei pari $a_{2k} = \frac{1}{2k}$ tende anch'essa a $0$ .

Criterio di non esistenza del limite. Se due sottosuccessioni di $(a_n)$ hanno limiti diversi, allora $\lim_n a_n$ non esiste.

Esempio. $a_n = (-1)^n$ : sui pari vale sempre $1$ (limite $1$ ), sui dispari vale sempre $-1$ (limite $-1$ ). Limiti diversi: $\nexists \lim_n (-1)^n$ . Vedi l'Esercizio 30 · la successione (-1)ⁿ non ha limite.

Successioni limitate e monotone

Proposizione (da sapere). $(a_n)_{n \ge n_0}$ è limitata se e solo se esiste $M > 0$ tale che

$|a_n| \le M \qquad \forall n \ge n_0$

Esempio. $a_n = \dfrac{(-1)^n \sin(n^2)}{n + 2} \cdot n$ , $n \in \mathbb{N}$ . È limitata? Calcoliamo il modulo usando $|xy| = |x||y|$ :

Teorema 2 (da sapere). Ogni successione convergente è limitata.

Esempio. $a_n = \frac{2n}{n+1}$ converge a $2$ , quindi è limitata: infatti $0 \le a_n < 2$ per ogni $n \ge 0$ .

Teorema 3. Se $(a_n)_{n \ge n_0}$ è monotona e limitata, allora è convergente. Più precisamente:

se è crescente, $\displaystyle\lim_n a_n = \sup\{a_n : n \ge n_0\}$ ;

se è decrescente, $\displaystyle\lim_n a_n = \inf\{a_n : n \ge n_0\}$ .

Esempio. $a_n = 1 - \frac{1}{n}$ ( $n \ge 1$ ) è crescente e limitata ( $0 \le a_n < 1$ ), quindi converge e $\lim_n a_n = \sup\{a_n\} = 1$ .

Calcolo dei limiti di successioni

Teorema (algebra dei limiti). Siano $(a_n)$ e $(b_n)$ due successioni convergenti, con $\lim_n a_n = a \in \mathbb{R}$ e $\lim_n b_n = b \in \mathbb{R}$ . Allora:

$\lim_n (a_n + b_n) = a + b$ ;

$\lim_n (a_n - b_n) = a - b$ ;

per ogni $c \in \mathbb{R}$ , $\lim_n c\,a_n = c\,a$ ;

$\lim_n (a_n \cdot b_n) = a \cdot b$ ;

se $b \ne 0$ (si vedrà che allora $b_n \ne 0$ definitivamente, quindi la frazione ha senso da un certo punto in poi): $\lim_n \frac{1}{b_n} = \frac1b, \qquad \lim_n \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}$

Esempio. $a_n = 3 + \frac2n$ : $\lim_n 3 = 3$ (successione costante) e $\lim_n \frac2n = 2 \cdot \lim_n \frac1n = 0$ (punto 3), quindi $\lim_n a_n = 3 + 0 = 3$ (punto 1).

Teorema (permanenza del segno, prima forma).

Se $\lim_n a_n = a > 0$ oppure $+\infty$ , allora $a_n > 0$ definitivamente.

Se $\lim_n a_n = a < 0$ oppure $-\infty$ , allora $a_n < 0$ definitivamente.

Esempio. $a_n = \frac{n - 5}{n} \to 1 > 0$ , e infatti $a_n > 0$ per ogni $n > 5$ .

Teorema (permanenza del segno, seconda forma).

Se $\lim_n a_n = a$ e $a_n \ge 0$ definitivamente, allora $a \ge 0$ .

Se $\lim_n a_n = a$ e $a_n \le 0$ definitivamente, allora $a \le 0$ .

Se $\lim_n a_n = a \in \mathbb{R}$ , $\lim_n b_n = b \in \mathbb{R}$ e $a_n \le b_n$ definitivamente, allora $a \le b$ .

Esempio. $a_n = \frac{1}{n} > 0$ per ogni $n \ge 1$ , ma il limite è $0$ e non $> 0$ : le disuguaglianze strette non passano al limite.

Teorema (del confronto, o dei due carabinieri). Siano $(a_n)$ , $(b_n)$ , $(c_n)$ tali che

$\lim_n a_n = \lim_n b_n = \ell \in \mathbb{R}$ ;

$a_n \le c_n \le b_n$ definitivamente.

Allora esiste anche $\lim_n c_n = \ell$ .

Esempio. $c_n = \frac{\sin n}{n}$ soddisfa $-\frac{1}{n} \le c_n \le \frac{1}{n}$ e i due estremi tendono a $0$ , quindi $c_n \to 0$ .

Teorema (infinitesima per limitata). Se $(a_n)$ è infinitesima ( $\lim_n a_n = 0$ ) e $(b_n)$ è limitata (esiste $M > 0$ con $|b_n| \le M$ per ogni $n$ ), allora

$\lim_n a_n b_n = 0$

Esempio. $\frac{\cos n}{n} = \frac{1}{n} \cdot \cos n \to 0$ , perché $\frac{1}{n} \to 0$ e $|\cos n| \le 1$ .

Teorema (algebra parziale degli infiniti).

(A) Se $\lim_n a_n = +\infty$ , allora:

$\lim_n (a_n + b_n) = +\infty$ se $b_n \ge M$ definitivamente, per qualche $M \in \mathbb{R}$ (cioè se $b_n$ è definitivamente inferiormente limitata);

$\lim_n (a_n \cdot b_n) = \begin{cases} +\infty & \text{se } b_n \ge M > 0 \text{ definitivamente} \\ -\infty & \text{se } b_n \le M < 0 \text{ definitivamente} \end{cases}$

(B) Se $\lim_n a_n = -\infty$ , allora:

$\lim_n (a_n + b_n) = -\infty$ se $b_n \le M$ definitivamente, per qualche $M \in \mathbb{R}$ ;

$\lim_n (a_n \cdot b_n) = \begin{cases} -\infty & \text{se } b_n \ge M > 0 \text{ definitivamente} \\ +\infty & \text{se } b_n \le M < 0 \text{ definitivamente} \end{cases}$

Esempio. $n^2 + 3\sin n \to +\infty$ , perché $n^2 \to +\infty$ e $3\sin n \ge -3$ (limitata inferiormente).

Teorema (del reciproco).

Se $\lim_n a_n =$ allora $\lim_n \frac{1}{a_n} =$

$+\infty$ $0^+$

$-\infty$ $0^-$

$0^+$ $+\infty$

$0^-$ $-\infty$

Se $\lim_n a_n =$	allora $\lim_n \frac{1}{a_n} =$
$+\infty$	$0^+$
$-\infty$	$0^-$
$0^+$	$+\infty$
$0^-$	$-\infty$

Esempio. $n^2 \to +\infty$ , quindi $\frac{1}{n^2} \to 0^+$ . Invece $-\frac{1}{n} \to 0^-$ , quindi $\frac{1}{-1/n} = -n \to -\infty$ .

Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti

Formula (limite delle successioni potenza). $\lim_n n^\alpha = \begin{cases} +\infty & \alpha > 0 \\ 1 & \alpha = 0 \\ 0 & \alpha < 0 \end{cases}$

Esempio. $\sqrt{n} = n^{1/2} \to +\infty$ (esponente positivo), $\frac{1}{n^3} = n^{-3} \to 0$ (esponente negativo).

Definizione (infinito di ordine superiore). Siano $(a_n)$ , $(b_n)$ con $\lim_n b_n = +\infty$ (oppure $-\infty$ ). Si dice che $b_n$ è un infinito di ordine superiore rispetto ad $a_n$ se

$\lim_n \frac{a_n}{b_n} = 0$

Esempio. $\lim_n \frac{n}{n^2} = 0$ , quindi $n^2$ è un infinito di ordine superiore a $n$ e $n^2 + n \to +\infty$ come $n^2$ .

Formula (limite di un polinomio). $\lim_n P_r(n) = \lim_n a_r n^r = \begin{cases} +\infty & a_r > 0 \\ -\infty & a_r < 0 \end{cases}$

Esempio. $-2n^3 + 5n \sim -2n^3 \to -\infty$ , perché il coefficiente del termine di grado massimo è $-2 < 0$ .

Formula (quoziente di polinomi). $\lim_n \frac{P_r(n)}{Q_s(n)} = \lim_n \frac{a_r n^r}{b_s n^s} = \lim_n \frac{a_r}{b_s}\, n^{r - s} = \begin{cases} \pm\infty & r > s \ (\text{segno di } \frac{a_r}{b_s}) \\[2pt] \dfrac{a_r}{b_s} & r = s \\[2pt] 0 & r < s \end{cases}$

Esempio. $\frac{3n^2 + n}{5n^2 - 1} \to \frac{3}{5}$ (stesso grado), mentre $\frac{n^3}{2n^2 + 1} \to +\infty$ (grado maggiore sopra).

Definizione (numero di Nepero). $e = \lim_n \left(1 + \frac1n\right)^n$

Esempio. Per $n = 1000$ : $\left(1 + \frac{1}{1000}\right)^{1000} \approx 2{,}7169$ , già vicino a $e = 2{,}71828\ldots$

Grafico interattivo: b_n = (1 + 1/n)^n: crescente, limitata tra 2 e 3, tende a e ≈ 2,718

Formula (generalizzazione del limite di Nepero). $\lim_n \left(1 + \frac{1}{a_n}\right)^{a_n} = e$

Esempio. $\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^{n^2} \to e$ , perché $a_n = n^2 \to +\infty$ .

Formula (esponente x). $\lim_n \left(1 + \frac{x}{a_n}\right)^{a_n} = e^x$

Esempio. $\left(1 + \frac{3}{n}\right)^n \to e^3$ (con $x = 3$ e $a_n = n$ ).

Formula (successioni esponenziali). $\lim_n a^n = \begin{cases} +\infty & a > 1 \\ 1 & a = 1 \\ 0 & -1 < a < 1 \\ \nexists \ (\text{irregolare}) & a \le -1 \end{cases}$

Esempio. $2^n \to +\infty$ , $\left(\frac{1}{2}\right)^n \to 0$ , $1^n = 1$ , mentre $(-2)^n$ non ha limite (irregolare).

Principio (gerarchia degli infiniti). $\underbrace{(a_n)}_{\text{limitata}} \ \prec \ \log^p n \ \prec \ n^{\alpha_1} \ \prec \ n^{\alpha_2} \ \prec \ a_1^n \ \prec \ a_2^n \ \prec \ n! \ \prec \ n^n$

Esempio. $\frac{n^{10}}{2^n} \to 0$ e $\frac{2^n}{n!} \to 0$ : l'esponenziale batte ogni potenza, il fattoriale batte l'esponenziale.

Formula (confronti tra infiniti). $\lim_n \frac{\log^p n}{n^\alpha} = 0, \qquad \lim_n \frac{n^\alpha}{a^n} = 0, \qquad \lim_n \frac{a^n}{n!} = 0, \qquad \lim_n \frac{n!}{n^n} = 0$

Esempio. $\frac{\log^2 n}{\sqrt{n}} \to 0$ e $\frac{n!}{n^n} \to 0$ .

Asintoticità e o-piccolo

Definizione (o-piccolo: vale quando il limite del rapporto è 0). $a_n = o(b_n)$

e si legge " $a_n$ è o-piccolo di $b_n$ " oppure " $a_n$ è trascurabile rispetto a $b_n$ ": diviso per $b_n$ , diventa piccolo quanto si vuole.

Esempio. $n = o(n^2)$ perché $\frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \to 0$ ; anche $\sqrt{n} = o(n)$ .

Definizione (asintotiche: vale quando il limite del rapporto è 1). $\lim_n \frac{a_n}{b_n} = 1 \qquad \text{si scrive} \qquad a_n \sim b_n$

e si dice che $a_n$ e $b_n$ sono asintotiche.

Esempio. $n^2 + n \sim n^2$ , perché $\frac{n^2 + n}{n^2} = 1 + \frac{1}{n} \to 1$ .

Proprietà (legame tra asintotico e o-piccolo). 2. Il legame fondamentale: $a_n \sim b_n \iff a_n = b_n + o(b_n)$

Esempio. $n^2 + n = n^2 + o(n^2)$ , quindi $n^2 + n \sim n^2$ .

Criteri del rapporto e della radice per successioni

Criterio (del rapporto). Sia $(a_n)$ con $a_n > 0$ definitivamente, e supponiamo che esista

$\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n} = \ell \qquad (\ell \ge 0 \text{ oppure } \ell = +\infty)$

Se $0 \le \ell < 1$ , allora $(a_n)$ è definitivamente decrescente e $\lim_n a_n = 0$ .

Se $\ell > 1$ (anche $\ell = +\infty$ ), allora $(a_n)$ è definitivamente crescente e $\lim_n a_n = +\infty$ .

Esempio. $a_n = \frac{2^n}{n!}$ : $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2}{n+1} \to 0 < 1$ , quindi $a_n \to 0$ .

Proprietà (legame tra radice n-esima e rapporto). $\lim_n \sqrt[n]{a_n} = \lim_n a_n^{1/n} = \lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n} \qquad \text{se il secondo limite esiste}$

Esempio. $\lim_n \sqrt[n]{n} = 1$ : infatti $\frac{n+1}{n} \to 1$ . Allo stesso modo $\sqrt[n]{n^\alpha} \to 1$ per ogni $\alpha$ .

Criterio (della radice n-esima). Sia $(a_n)$ con $a_n > 0$ definitivamente, e supponiamo che esista $\lim_n \sqrt[n]{a_n} = \ell$ .

Se $0 \le \ell < 1$ , allora $(a_n)$ è definitivamente decrescente e $\lim_n a_n = 0$ .

Se $\ell > 1$ , allora $(a_n)$ è definitivamente crescente e $\lim_n a_n = +\infty$ .

Esempio con la radice. $a_n = \left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n$ : $\sqrt[n]{a_n} = \frac{n}{2n+1} \to \frac12 < 1$ , quindi $a_n \to 0$ .

VII. Limiti di funzioni e continuità

Limiti di funzioni - definizione

Definizione (intorno di un punto). Intorno di $x_0 \in \mathbb{R}$ (di raggio $\delta > 0$ ): $U_{x_0} = \{x \in \mathbb{R} : |x - x_0| < \delta\} = \,]x_0 - \delta,\ x_0 + \delta[$

Esempio. Con $x_0 = 2$ e $\delta = 0{,}5$ : $U_2 = \,]1{,}5,\ 2{,}5[$ .

Definizione (intorno di +∞). Intorno di $+\infty$ (con $M \in \mathbb{R}$ ): $U_{+\infty} = \{x \in \mathbb{R} : x > M\} = \,]M, +\infty[$

Esempio. Con $M = 10$ : $U_{+\infty} = \,]10, +\infty[$ .

Definizione (intorno di −∞). Intorno di $-\infty$ (con $M \in \mathbb{R}$ ): $U_{-\infty} = \{x \in \mathbb{R} : x < M\} = \,]-\infty, M[$

Esempio. Con $M = -5$ : $U_{-\infty} = \,]-\infty, -5[$ .

Grafico interattivo: Un intorno di x₀ = 2 di raggio δ = 0,5: l'intervallo aperto ]1,5; 2,5[

Definizione. Sia $X \subseteq \mathbb{R}$ , $X \ne \emptyset$ . Si dice che $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ è punto di accumulazione per $X$ se per ogni intorno $U_{x_0}$ di $x_0$ $X \cap \left(U_{x_0} \setminus \{x_0\}\right) \ne \emptyset$

Esempio. In $X = \,]0, 1[$ il punto $0$ è di accumulazione (ogni intorno di $0$ contiene punti di $X$ diversi da $0$ ) anche se $0 \notin X$ . In $X = \{1, 2\}$ nessun punto è di accumulazione.

Definizione. Siano $f: X \to \mathbb{R}$ con $X \subseteq \mathbb{R}$ , $X \ne \emptyset$ , e $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ di accumulazione per $X$ . Si dice che $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \qquad (\ell \in \overline{\mathbb{R}})$ quando per ogni intorno $U_\ell$ di $\ell$ esiste un intorno $U_{x_0}$ di $x_0$ tale che $f(x) \in U_\ell \qquad \forall x \in X \cap \left(U_{x_0} \setminus \{x_0\}\right)$

Esempio. $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ : per ogni intorno $\,]-\varepsilon, \varepsilon[$ di $0$ esiste l'intorno $\,]\frac{1}{\varepsilon}, +\infty[$ di $+\infty$ in cui $0 < \frac{1}{x} < \varepsilon$ .

Definizione (limite finito in un punto). $\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 \ \text{ tale che } \ |f(x) - \ell| < \varepsilon \quad \forall x \in X,\ 0 < |x - x_0| < \delta$

Esempio. $\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5$ : dato $\varepsilon > 0$ basta $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$ , perché $|3x - 1 - 5| = 3|x - 2| < \varepsilon$ se $0 < |x - 2| < \frac{\varepsilon}{3}$ .

Definizione (limite +∞ in un punto). $\forall N \in \mathbb{R}\ (N > 0) \ \ \exists \delta > 0 \ \text{ tale che } \ f(x) > N \quad \forall x \in X,\ 0 < |x - x_0| < \delta$

Esempio. $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$ : dato $N > 0$ , $\frac{1}{x^2} > N$ se $0 < |x| < \frac{1}{\sqrt{N}}$ , quindi $\delta = \frac{1}{\sqrt{N}}$ .

Definizione (limite −∞ in un punto). $\forall N \in \mathbb{R}\ (N < 0) \ \ \exists \delta > 0 \ \text{ tale che } \ f(x) < N \quad \forall x \in X,\ 0 < |x - x_0| < \delta$

Esempio. $\lim_{x \to 0} \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\infty$ : dato $N < 0$ basta $0 < |x| < \frac{1}{\sqrt{-N}}$ .

Proprietà (limite, limite destro e limite sinistro). Legame con il limite. Se $x_0$ è di accumulazione sia da destra sia da sinistra: $\exists \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \iff \exists\, f(x_0^-) = f(x_0^+) = \ell$ cioè il limite esiste se e solo se esistono il limite destro e quello sinistro e sono uguali.

Esempio: $\log x$ in $0$ . Il dominio è $]0, +\infty[$ : $0$ è di accumulazione solo da destra. Hanno senso sia $\lim_{x \to 0} \log x$ sia $\lim_{x \to 0^+} \log x$ , e coincidono (entrambi $-\infty$ ): le due definizioni chiedono " $\log x < N$ per ogni $x \in \,]0, +\infty[$ con $0 < |x| < \delta$ " e "per ogni $x \in \,]0, +\infty[\, \cap \,]0, \delta[$ ", e in entrambi i casi gli $x$ coinvolti sono quelli di $]0, \delta[$ .

Grafico interattivo: y = 1/x: a destra di 0 sale a +∞, a sinistra scende a −∞

Asintoti di una funzione

Definizione (asintoto verticale).

Se $x_0$ è di accumulazione da sinistra e $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty$ , la retta $x = x_0$ è asintoto verticale sinistro.

Se $x_0$ è di accumulazione da destra e $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty$ , la retta $x = x_0$ è asintoto verticale destro.

Se valgono entrambe (anche con infiniti di segno diverso), $x = x_0$ è asintoto verticale completo.

Esempio. $f(x) = \frac{1}{x - 2}$ : $\lim_{x \to 2^{\pm}} f(x) = \pm\infty$ , quindi $x = 2$ è asintoto verticale (completo).

Grafico interattivo: y = 1/x: asintoto verticale completo x = 0 e asintoto orizzontale y = 0

Definizione (asintoto orizzontale).

Se $-\infty$ è di accumulazione per $X$ ed esiste $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \ell \in \mathbb{R}$ , la retta $y = \ell$ è asintoto orizzontale a $-\infty$ .

Se $+\infty$ è di accumulazione per $X$ ed esiste $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell \in \mathbb{R}$ , la retta $y = \ell$ è asintoto orizzontale a $+\infty$ .

Esempio. $f(x) = \frac{2x + 1}{x}$ : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2$ , quindi $y = 2$ è asintoto orizzontale sia a $+\infty$ sia a $-\infty$ .

Definizione. Sia $+\infty$ (oppure $-\infty$ ) di accumulazione per $X$ e $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty$ . Se esiste una retta $y = mx + q$ , con $m \ne 0$ e $q \in \mathbb{R}$ , tale che $\lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - mx - q\right] = 0$ la retta si dice asintoto obliquo a $+\infty$ (allo stesso modo a $-\infty$ ).

Esempio. $f(x) = x + \frac{1}{x}$ : $f(x) - x = \frac{1}{x} \to 0$ , quindi $y = x$ è asintoto obliquo a $\pm\infty$ .

Teorema (caratterizzazione dell'asintoto obliquo). Caratterizzazione. $y = mx + q$ è asintoto obliquo a $+\infty$ (o $-\infty$ ) se e solo se valgono tutte e tre:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty$ ;

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m \in \mathbb{R}$ , $m \ne 0$ ;

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - mx\right] = q \in \mathbb{R}$ .

Esempio. $f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + 3\arctan x$ ha asintoto obliquo $y = x + \frac32\pi$ a $+\infty$ ; invece $\sqrt{x^2 - 1} + \log x$ non ha asintoto obliquo, anche se $\frac{f(x)}{x} \to 1$ (vedi Esercizio 58 · asintoti obliqui con radici, arcotangente e logaritmo).

Grafico interattivo: f(x) = √(x² − 1) + 3 arctan x si appoggia a +∞ sulla retta y = x + 3π/2; il grafico esiste solo per |x| ≥ 1

Teorema ponte tra limiti di funzioni e successioni

Teorema (ponte). Siano $f: X \to \mathbb{R}$ e $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ di accumulazione per $X$ , $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ . Allora $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$ se e solo se per ogni successione $(x_n)_n \subseteq X$ con $x_n \ne x_0$ per ogni $n$ e $\lim_n x_n = x_0$ , si ha $\lim_n f(x_n) = \ell$

Esempio. Da $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ e da $x_n = \frac{1}{n} \to 0$ segue $n \sin\frac{1}{n} \to 1$ .

Teoremi sui limiti di funzioni

Teorema (unicità del limite). Se esiste $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$ ( $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ ), è unico.

Esempio. $\lim_{x \to 3} 2x = 6$ e nessun altro valore $\ell \ne 6$ può essere il limite di $2x$ per $x \to 3$ .

Criterio (di non esistenza del limite). Se esistono due successioni $(x_n^1), (x_n^2) \subseteq X$ , con termini diversi da $x_0$ e $\lim_n x_n^1 = \lim_n x_n^2 = x_0$ , tali che $\lim_n f(x_n^1) \ne \lim_n f(x_n^2)$ allora $\nexists \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)$ .

Esempio. $\nexists \lim_{x \to 0} \sin\frac1x$ : avvicinandosi a $0$ , $\frac1x$ va all'infinito e il seno oscilla sempre più in fretta tra $-1$ e $1$ . Dettagli nell'Esercizio 53 · sin(1/x), x sin(1/x) e il criterio di non esistenza.

Grafico interattivo: y = sin(1/x): vicino a 0 oscilla infinite volte tra −1 e 1

Teorema (limitatezza locale). Se esiste $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}$ , allora $f$ è limitata definitivamente per $x \to x_0$ : esistono $K > 0$ e un intorno $U_{x_0}$ tali che $|f(x)| \le K$ per ogni $x \in X \cap (U_{x_0} \setminus \{x_0\})$ .

Esempio. $\tan x$ non è limitata sul suo dominio ( $\inf = -\infty$ , $\sup = +\infty$ ). Ma $\lim_{x \to \pi/4} \tan x = 1$ , quindi esiste $\delta > 0$ tale che $\tan x$ è limitata in $]\frac{\pi}{4} - \delta, \frac{\pi}{4} + \delta[$ (per esempio con $\varepsilon = 1$ si ha $0 < \tan x < 2$ vicino a $\frac{\pi}{4}$ ).

Teorema (limiti delle funzioni monotone). Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ monotona (con $-\infty \le a < b \le +\infty$ ). Allora per ogni $x_0 \in \,]a, b[$ esistono finiti i limiti $f(x_0^-)$ e $f(x_0^+)$ , ed esistono anche $f(a^+)$ e $f(b^-)$ (che possono essere infiniti). In particolare:

$f$ crescente: $f(a^+) \le f(x_0^-) \le f(x_0) \le f(x_0^+) \le f(b^-)$ per ogni $x_0 \in \,]a, b[$ ;

$f$ decrescente: $f(a^+) \ge f(x_0^-) \ge f(x_0) \ge f(x_0^+) \ge f(b^-)$ per ogni $x_0 \in \,]a, b[$ .

Esempio. $\arctan x$ è crescente su $\mathbb{R}$ : esistono finiti $\lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}$ e $\lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$ .

Teorema (algebra dei limiti). Se $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell_1 \in \mathbb{R}$ e $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = \ell_2 \in \mathbb{R}$ , allora

$\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = \ell_1 + \ell_2$ ; $\quad \lim_{x \to x_0} [f(x) - g(x)] = \ell_1 - \ell_2$ ;

$\lim_{x \to x_0} c\,f(x) = c\,\ell_1$ per ogni $c \in \mathbb{R}$ ; $\quad \lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = \ell_1\ell_2$ ;

se $\ell_2 \ne 0$ : $\lim_{x \to x_0} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{\ell_2}$ e $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ell_1}{\ell_2}$ .

Esempio. $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 1}{x - 1} = \frac{4 + 1}{2 - 1} = 5$ .

Teorema (permanenza del segno, prima forma). Prima forma. Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell > 0$ (oppure $+\infty$ ), allora $f(x) > 0$ definitivamente per $x \to x_0$ . Se $\ell < 0$ (oppure $-\infty$ ), $f(x) < 0$ definitivamente.

Esempio. $\lim_{x \to 1} (x + 2) = 3 > 0$ , quindi $x + 2 > 0$ in un intorno di $1$ (in effetti per ogni $x > -2$ ).

Teorema (permanenza del segno, seconda forma). Seconda forma. Se $f(x) \ge 0$ definitivamente per $x \to x_0$ ed esiste $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$ , allora $\ell \ge 0$ . Se $f(x) \le 0$ definitivamente, $\ell \le 0$ .

Esempio. $x^2 > 0$ per $x \ne 0$ , ma $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ non è $> 0$ : le disuguaglianze strette non passano al limite.

Teorema (del confronto, o dei due carabinieri). Se $f(x) \le h(x) \le g(x)$ definitivamente per $x \to x_0$ e $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = \ell \in \mathbb{R}$ , allora $\displaystyle\lim_{x \to x_0} h(x) = \ell$ .

Esempio. $-|x| \le x\sin\frac{1}{x} \le |x|$ e $\lim_{x \to 0} |x| = 0$ , quindi $\lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0$ .

Teorema (confronto con limiti infiniti). Con limiti infiniti. Se $f(x) \le g(x)$ definitivamente per $x \to x_0$ :

$\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty \ \Rightarrow \ \lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty$ (chi sta sopra un infinito positivo va a $+\infty$ );

$\lim_{x \to x_0} g(x) = -\infty \ \Rightarrow \ \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$ .

Esempio. $x + \sin x \ge x - 1$ e $x - 1 \to +\infty$ per $x \to +\infty$ , quindi $x + \sin x \to +\infty$ .

Teorema (infinitesima per limitata). Se $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$ ed esiste $M > 0$ tale che $|g(x)| \le M$ definitivamente per $x \to x_0$ , allora $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = 0$ .

Esempio. $\lim_{x \to 0} x\sin\frac1x = 0$ : $x \to 0$ e $\left|\sin\frac1x\right| \le 1$ per ogni $x \ne 0$ , anche se $\sin\frac1x$ non ha limite. Graficamente $-|x| \le x\sin\frac1x \le |x|$ : il grafico è "schiacciato" tra le rette $y = x$ e $y = -x$ .

Grafico interattivo: y = x·sin(1/x): oscilla, ma schiacciata tra y = |x| e y = −|x|, tende a 0

Teorema (algebra parziale degli infiniti). Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$ :

(a) $\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = +\infty$ se $g(x) \ge M$ definitivamente per $x \to x_0$ , con $M \in \mathbb{R}$ ( $g$ limitata dal basso);

(b) $\lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = +\infty$ se $g(x) \ge M > 0$ definitivamente; $= -\infty$ se $g(x) \le M < 0$ definitivamente.

Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$ :

(a) $\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = -\infty$ se $g(x) \le M$ definitivamente ( $g$ limitata dall'alto);

(b) $\lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = -\infty$ se $g(x) \ge M > 0$ definitivamente; $= +\infty$ se $g(x) \le M < 0$ definitivamente.

Esempio. $x^2 + \cos x \to +\infty$ per $x \to +\infty$ , perché $x^2 \to +\infty$ e $\cos x \ge -1$ .

Teorema (limite del reciproco).

Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$ , allora $\lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = 0^\pm$ .

Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0^\pm$ , allora $\lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = \pm\infty$ .

Esempio. Per $x \to 0$ si ha $x^2 \to 0^+$ , quindi $\frac{1}{x^2} \to +\infty$ ; per $x \to +\infty$ si ha $\frac{1}{x} \to 0^+$ .

Asintoticità e o-piccolo per funzioni

Definizione (o-piccolo e asintotiche per funzioni). Siano $f, g$ definitivamente diverse da $0$ per $x \to x_0$ (così il rapporto $\frac{f(x)}{g(x)}$ ha senso vicino a $x_0$ ). Si guarda il limite del rapporto.

Se $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ , si scrive $f(x) = o(g(x))$ per $x \to x_0$ (" $f$ è trascurabile rispetto a $g$ vicino a $x_0$ ").

Se $f, g \to \pm\infty$ : $g$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $f$ , per $x \to x_0$ .

Se $f, g \to 0$ : $g$ è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a $f$ (va a zero più lentamente), per $x \to x_0$ .

Se invece il rapporto tende a $\pm\infty$ , è $g(x) = o(f(x))$ .

Se $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ , si scrive $f(x) \sim g(x)$ per $x \to x_0$ ( $f$ e $g$ sono asintotiche). Se il limite è $\ell \ne 0$ reale, $f$ e $g$ hanno lo stesso ordine e $f(x) \sim \ell\,g(x)$ .

Se il limite del rapporto non esiste, $f$ e $g$ sono non confrontabili per $x \to x_0$ .

Esempio. Per $x \to 0$ : $x^2 = o(x)$ e $\sin x \sim x$ . Per $x \to +\infty$ : $x = o(x^2)$ (il rapporto $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \to 0$ ).

Proprietà (asintoticità di funzioni).

Simmetrica: $f \sim g \iff g \sim f$ .

Se $f \sim g$ , allora $f$ e $g$ hanno lo stesso limite in $x_0$ (oppure nessuna delle due ha limite).

Transitiva: $f \sim g$ e $g \sim h$ $\Rightarrow$ $f \sim h$ .

Sostituzione nei prodotti e nei quozienti: se $f_1 \sim f$ e $g_1 \sim g$ , allora $\lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = \lim_{x \to x_0} f_1(x)g_1(x) \qquad \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f_1(x)}{g_1(x)}$

Potenze: se $f \sim g$ , allora $f^\alpha \sim g^\alpha$ per ogni $\alpha \ne 0$ (quando le potenze sono definite).

Logaritmo: se $f \sim g$ e $f, g \to +\infty$ oppure $\to 0^+$ per $x \to x_0$ , allora $\log f \sim \log g$ (stessa dimostrazione delle successioni, in Asintoticità e o-piccolo). L'esponenziale invece non conserva l'asintoticità.

Esempio. Per $x \to 0$ : $\lim \frac{\sin 2x}{\tan 3x} = \lim \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$ , sostituendo ogni funzione con una asintotica.

Principio (gerarchia delle funzioni infinite per x → +∞). $\underbrace{f(x)}_{\text{limitata}} \ \ll\ \log^p x \ \ll\ x^{\alpha_1} \ \ll\ x^{\alpha_2} \ \ll\ a_1^x \ \ll\ a_2^x \ \ll\ x^x$

Esempio. $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{2^x} = 0$ e $\lim_{x \to +\infty} \frac{\log^2 x}{\sqrt{x}} = 0$ .

Funzioni continue

Definizione (funzione continua). Sia $f: X \to \mathbb{R}$ e $x_0 \in X$ di accumulazione per $X$ . Si dice che $f$ è continua in $x_0$ se $\exists \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ $f$ è continua in $X$ se è continua in ogni punto $x_0 \in X$ di accumulazione per $X$ .

Esempio. $f(x) = x^2$ è continua in $x_0 = 3$ : $\lim_{x \to 3} x^2 = 9 = f(3)$ .

Teorema. Sono continue nei loro domini:

il valore assoluto;

le potenze $x^\alpha$ , per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$ , $\alpha \ne 0$ ;

esponenziali e logaritmi di base $a > 0$ , $a \ne 1$ ;

le funzioni iperboliche e le loro inverse;

le funzioni trigonometriche e le loro inverse.

Esempio. $e^x$ è continua in $0$ : $\lim_{x \to 0} e^x = 1 = e^0$ ; $\log x$ è continua in $x_0 = 1$ : $\lim_{x \to 1} \log x = 0 = \log 1$ .

Limite di funzioni composte (cambio di variabile)

Teorema (cambio di variabile nei limiti). Siano $f$ definita definitivamente per $y \to y_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ , e $g$ tale che $g$ e $f \circ g$ siano definite definitivamente per $x \to x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ . Se

$\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = y_0$ ;

$\displaystyle\lim_{y \to y_0} f(y) = \ell \in \overline{\mathbb{R}}$ ;

$g(x) \ne y_0$ definitivamente per $x \to x_0$ ;

allora $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = \ell$ .

L'ipotesi 3 non serve se $y_0 = \pm\infty$ , oppure se $y_0 \in \mathbb{R}$ e $f$ è continua in $y_0$ .

Esempio. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x}$ : con $y = g(x) = 3x \to 0$ e $g(x) \ne 0$ per $x \ne 0$ , il limite vale $\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$ .

Discontinuità e prolungamento per continuità

Proprietà (continuità con limite destro e sinistro). $f \text{ continua in } x_0 \iff \exists\, f(x_0^-),\ f(x_0^+) \text{ e } f(x_0^-) = f(x_0^+) = f(x_0) \ (\in \mathbb{R})$

Esempio. $f(x) = |x|$ in $x_0 = 0$ : $f(0^-) = f(0^+) = 0 = f(0)$ , quindi $f$ è continua in $0$ .

Definizione (discontinuità di prima specie). Esistono finiti $f(x_0^-)$ e $f(x_0^+)$ , ma $f(x_0^-) \ne f(x_0^+)$ . Il numero $|f(x_0^+) - f(x_0^-)|$ si chiama salto di $f$ in $x_0$ .

Esempio. La funzione segno $f(x) = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ -1 & x < 0 \end{cases}$ ha $f(0^-) = -1$ e $f(0^+) = 1$ : discontinuità di prima specie in $0$ , con salto $|1 - (-1)| = 2$ . Il grafico "salta" da una semiretta all'altra.

Grafico interattivo: La funzione segno: vale −1 a sinistra di 0 e 1 a destra (salto 2), mentre f(0) = 0

Definizione (discontinuità di seconda specie). Almeno uno tra $f(x_0^-)$ e $f(x_0^+)$ è infinito oppure non esiste.

Esempio. $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|} & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ $f(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac1x = +\infty$ , e siccome $f$ è pari anche $f(0^-) = +\infty$ : discontinuità di seconda specie in $0$ (e $x = 0$ è asintoto verticale completo).

Definizione (discontinuità eliminabile). Esistono finiti $f(x_0^-)$ e $f(x_0^+)$ e sono uguali, ma $f(x_0) \ne f(x_0^-) = f(x_0^+)$ .

Esempio. $f(x) = \begin{cases} x\sin\frac1x & x \ne 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}$ Si sa che $\lim_{x \to 0} x\sin\frac1x = 0$ (infinitesima per limitata), quindi $f(0^-) = f(0^+) = 0$ , ma $f(0) = 1 \ne 0$ .

Definizione. Sia $x_0 \notin X$ di accumulazione per $X$ sia da destra sia da sinistra. Se $f(x_0^-) = f(x_0^+) = \ell \in \mathbb{R}$ , si dice che $f$ è prolungabile per continuità in $x_0$ , con valore $\ell$ . La funzione $\tilde f(x) = \begin{cases} f(x) & x \in X \\ \ell & x = x_0 \end{cases}$ definita in $X \cup \{x_0\}$ e continua in $x_0$ , si chiama prolungamento per continuità di $f$ in $x_0$ .

Esempio 1. $f(x) = x\sin\frac1x$ , dominio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ . $f(0^-) = f(0^+) = 0 \in \mathbb{R}$ : $f$ è prolungabile per continuità in $0$ con valore $0$ , e il prolungamento $\tilde f(x) = \begin{cases} x\sin\frac1x & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ è una funzione continua su tutto $\mathbb{R}$ .

Limiti notevoli di funzioni

Formula (limiti notevoli: esponenziali, logaritmi, potenze). Per ogni $a > 0$ , $a \ne 1$ :

Limite Con base $e$

1 $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\left(1 + \frac1x\right)^x = e$

2 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1 + x)}{x} = \log_a e$ $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x} = 1$

3 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \log a$ $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

4 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^\alpha - 1}{x} = \alpha \quad (\alpha \in \mathbb{R},\ \alpha \ne 0)$

	Limite	Con base $e$
1	$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\left(1 + \frac1x\right)^x = e$
2	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1 + x)}{x} = \log_a e$	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x} = 1$
3	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \log a$	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
4	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^\alpha - 1}{x} = \alpha \quad (\alpha \in \mathbb{R},\ \alpha \ne 0)$

Esempio. $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} = 3 \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{3x} = 3$ .

Formula (limiti notevoli trigonometrici).

Limite

1 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

2 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$

3 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12$

4 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$

5 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$

6 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\left(\frac{\pi}{2} - \arctan x\right) = 1$

	Limite
1	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
2	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$
3	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12$
4	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$
5	$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$
6	$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\left(\frac{\pi}{2} - \arctan x\right) = 1$

Esempio. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = 5 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 5$ e $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ .

Proprietà (limiti notevoli come asintoticità). Per $x \to 0$ :

Asintoticità Forma con o-piccolo

1 $\log(1 + x) \sim x$ $\quad$ ( $\log_a(1 + x) \sim x\log_a e$ ) $\log(1 + x) = x + o(x)$

2 $e^x - 1 \sim x$ $\quad$ ( $a^x - 1 \sim x\log a$ ) $e^x = 1 + x + o(x)$

3 $(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$ $(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + o(x)$

4 $\sin x$ , $\tan x$ , $\arcsin x$ , $\arctan x$ $\sim x$ $\sin x = x + o(x)$ , ecc.

5 $1 - \cos x \sim \frac12 x^2$ $\cos x = 1 - \frac12 x^2 + o(x^2)$

e per $x \to +\infty$ : $\frac{\pi}{2} - \arctan x \sim \frac1x$ , cioè $\frac{\pi}{2} - \arctan x = \frac1x + o\left(\frac1x\right)$ .

	Asintoticità	Forma con o-piccolo
1	$\log(1 + x) \sim x$ $\quad$ ( $\log_a(1 + x) \sim x\log_a e$ )	$\log(1 + x) = x + o(x)$
2	$e^x - 1 \sim x$ $\quad$ ( $a^x - 1 \sim x\log a$ )	$e^x = 1 + x + o(x)$
3	$(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$	$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + o(x)$
4	$\sin x$ , $\tan x$ , $\arcsin x$ , $\arctan x$ $\sim x$	$\sin x = x + o(x)$ , ecc.
5	$1 - \cos x \sim \frac12 x^2$	$\cos x = 1 - \frac12 x^2 + o(x^2)$

Esempio. Per $x \to 0$ : $\sin 3x \sim 3x$ e $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ , quindi $\frac{\sin 3x}{1 - \cos x} \sim \frac{3x}{x^2/2} = \frac{6}{x}$ .

Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimo

Principio (gerarchia degli infinitesimi per x → +∞). Gerarchia delle funzioni infinitesime per $x \to +\infty$ (in ordine di infinitesimo decrescente: ognuna è o-piccolo di tutte quelle alla sua destra): $\frac{1}{x^x} = x^{-x}, \quad a_2^{-x}, \quad a_1^{-x}, \quad \frac{1}{x^{\alpha_2}}, \quad \frac{1}{x^{\alpha_1}}, \quad \frac{1}{\log^p x}$ con $1 < a_1 < a_2$ , $0 < \alpha_1 < \alpha_2$ , $p > 0$ .

Esempio numerico con $x = 10$ : $10^{-10}$ , $2^{-10} \approx 0{,}001$ , $\frac{1}{10^2} = 0{,}01$ , $\frac{1}{10} = 0{,}1$ , $\frac{1}{\log 10} \approx 0{,}43$ .

Principio (gerarchia degli infinitesimi per x → 0⁺). Gerarchia delle funzioni infinitesime per $x \to 0^+$ (in ordine di infinitesimo decrescente): $x^{1/x}, \quad a_2^{-1/x}, \quad a_1^{-1/x}, \quad x^{\alpha_2}, \quad x^{\alpha_1}$ con $1 < a_1 < a_2$ , $0 < \alpha_1 < \alpha_2$ .

Esempio. Per $x \to 0^+$ : $x^2 = o(x)$ e $e^{-1/x} = o(x^2)$ , perché $\frac{e^{-1/x}}{x^2} \to 0$ .

Formula (potenze per logaritmi in 0⁺). $\lim_{x \to 0^+} x^\alpha|\log x|^p = 0 \qquad \forall \alpha > 0,\ \forall p > 0$

Esempio. $\lim_{x \to 0^+} x \log x = 0$ e $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x}\,\log^2 x = 0$ .

Definizione (ordine di infinito e di infinitesimo per successioni).

Se $a_n \to \pm\infty$ , l'ordine di infinito di $(a_n)$ è, se esiste, il numero $\alpha > 0$ tale che $\displaystyle\lim_n \frac{a_n}{n^\alpha} = \ell \in \mathbb{R}$ , $\ell \ne 0$ , cioè $a_n \sim \ell\,n^\alpha$ .

Se $a_n \to 0$ , l'ordine di infinitesimo di $(a_n)$ è, se esiste, il numero $\alpha > 0$ tale che $\displaystyle\lim_n \frac{a_n}{1/n^\alpha} = \ell \in \mathbb{R}$ , $\ell \ne 0$ , cioè $a_n \sim \frac{\ell}{n^\alpha}$ .

Esempio. $3n^2 + n \sim 3n^2$ è un infinito di ordine $2$ ; $\frac{1}{n^3} + \frac{1}{n^4} \sim \frac{1}{n^3}$ è un infinitesimo di ordine $3$ .

Definizione (ordine di infinito e di infinitesimo per funzioni). Con $\ell \ne 0$ :

$f$ è infinita di ordine $\alpha > 0$ per $x \to x_0 \in \mathbb{R}$ se $f(x) \sim \frac{\ell}{|x - x_0|^\alpha}$ ;

$f$ è infinitesima di ordine $\alpha > 0$ per $x \to x_0 \in \mathbb{R}$ se $f(x) \sim \ell\,|x - x_0|^\alpha$ ;

$f$ è infinita di ordine $\alpha > 0$ per $x \to +\infty$ se $f(x) \sim \ell\,x^\alpha$ ;

$f$ è infinitesima di ordine $\alpha > 0$ per $x \to +\infty$ se $f(x) \sim \frac{\ell}{x^\alpha}$ .

Esempio. $\sin 2x \sim 2x$ per $x \to 0$ è infinitesima di ordine $1$ ; $\frac{1}{x^2}$ è infinita di ordine $2$ per $x \to 0$ .

Funzioni continue su un intervallo

Teorema. Sia $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ continua in $[a, b]$ . Se $f(a) \cdot f(b) < 0$ ( $f(a)$ e $f(b)$ hanno segno opposto), allora esiste $c \in \,]a, b[$ tale che $f(c) = 0$ .

Esempio. $f(x) = x^3 + x - 1$ su $[0, 1]$ : $f(0) = -1 < 0$ e $f(1) = 1 > 0$ , quindi $f$ ha almeno uno zero in $\,]0, 1[$ .

Grafico interattivo: Teorema degli zeri per f(x) = x³ − x − 1 su [0, 2]: f(0) = −1 < 0 e f(2) = 5 > 0, quindi il grafico attraversa l'asse x (qui in c ≈ 1,325)

Teorema. Sia $I$ un intervallo qualsiasi (anche illimitato, anche $\mathbb{R}$ ) e $f: I \to \mathbb{R}$ continua su $I$ . Allora:

$f$ assume tutti i valori compresi tra $\inf_I f$ e $\sup_I f$ : per ogni $y \in \,]\inf_I f, \sup_I f[$ esiste $c \in I$ con $f(c) = y$ ;

$f(I)$ è un intervallo, di estremi $\inf_I f$ e $\sup_I f$ (aperto, chiuso o semiaperto a seconda dei casi);

in breve: una funzione continua manda intervalli in intervalli.

Esempio. $f(x) = x^2$ su $[0, 2]$ è continua con $\inf = 0$ e $\sup = 4$ : assume ogni valore tra $0$ e $4$ , e $f([0, 2]) = [0, 4]$ .

Corollario. Sia $f: I \to \mathbb{R}$ monotona su un intervallo $I$ . Allora:

in ogni $x_0$ interno a $I$ , $f$ è continua oppure ha una discontinuità di prima specie (un salto $|f(x_0^+) - f(x_0^-)|$ );

$f$ è continua su $I$ $\iff$ $f(I)$ è un intervallo.

Esempio. La parte intera $[x]$ è crescente e ha un salto di ampiezza $1$ in ogni intero: non è continua, e infatti $f(\mathbb{R}) = \mathbb{Z}$ non è un intervallo.

Teorema. Sia $f: I \to \mathbb{R}$ continua sull'intervallo $I$ . Allora:

$f$ è invertibile su $f(I)$ (cioè iniettiva su $I$ ) $\iff$ $f$ è strettamente monotona su $I$ ;

se $f: I \to f(I)$ è invertibile, l'inversa $f^{-1}: f(I) \to I$ è anch'essa continua.

Esempio. $f(x) = e^x$ è continua e strettamente crescente su $\mathbb{R}$ , quindi ha inversa continua $\log : \,]0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ .

Teorema. Sia $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ continua sull'intervallo chiuso e limitato $[a, b]$ . Allora:

$f$ ha minimo $m$ e massimo $M$ in $[a, b]$ : esistono $x_1, x_2 \in [a, b]$ con $m = f(x_1) \le f(x) \le f(x_2) = M \qquad \forall x \in [a, b]$

$f([a, b]) = [m, M]$ ;

una funzione continua manda intervalli chiusi e limitati in intervalli chiusi e limitati.

Esempio. $f(x) = x^2$ su $[-1, 2]$ : il minimo è $0$ (in $x = 0$ ), il massimo è $4$ (in $x = 2$ ) e $f([-1, 2]) = [0, 4]$ .

VIII. Calcolo differenziale

Derivata - definizione e significato

Definizione (derivata). Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ e $x_0 \in \,]a, b[$ (punto interno).

Il rapporto incrementale di $f$ in $x_0$ è $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}, \qquad x \ne x_0$

Se esiste finito il limite $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ si dice che $f$ è derivabile in $x_0$ , e $f'(x_0)$ è la derivata di $f$ in $x_0$ .

Esempio. $f(x) = x^2$ in $x_0 = 3$ : $\frac{(3 + h)^2 - 9}{h} = 6 + h \to 6$ , quindi $f'(3) = 6$ .

Proprietà (retta tangente al grafico). Se $f$ è derivabile in $x_0$ , la retta tangente al grafico di $f$ nel punto $P_0 = (x_0, f(x_0))$ ha equazione $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ Quindi $f'(x_0)$ è il coefficiente angolare (la pendenza) della retta tangente.

Esempio. $f(x) = x^2$ in $x_0 = 3$ : $f(3) = 9$ e $f'(3) = 6$ , quindi la tangente è $y = 9 + 6(x - 3) = 6x - 9$ .

Teorema. Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ , $x_0 \in \,]a, b[$ . Sono equivalenti:

$f$ è derivabile in $x_0$ ;

esiste un numero $f'(x_0)$ tale che, per $x \to x_0$ , $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0)$ 2'. (stessa cosa con $h = x - x_0$ ) per $h \to 0$ , $f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)\,h + o(h)$

Esempio: la tangente a $\sin x$ in $0$ . Si vedrà che $D\sin x = \cos x$ , quindi la tangente in $x_0 = 0$ è $y = \sin 0 + \cos 0 \cdot x = x$ . La caratterizzazione dice $\sin x = x + o(x)$ per $x \to 0$ : è esattamente il limite notevole $\frac{\sin x}{x} \to 1$ . I limiti notevoli sono, in realtà, derivate.

Grafico interattivo: y = sin x vicino a 0: la retta tangente è y = x

Teorema. Se $f$ è derivabile in $x_0$ , allora $f$ è continua in $x_0$ .

Esempio. $f(x) = x^2$ è derivabile in $0$ , quindi continua in $0$ . Il viceversa è falso: $|x|$ è continua in $0$ ma non derivabile.

Definizione (derivata destra e sinistra). Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ , $x_0 \in \,]a, b[$ .

Derivata sinistra: $f'(x_0^-) = \displaystyle\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ ;

derivata destra: $f'(x_0^+) = \displaystyle\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ .

Esempio 1: $|x|$ in $0$ .

$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{|x| - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$ (per $x > 0$ , $|x| = x$ );
$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$ (per $x < 0$ , $|x| = -x$ ).

Definizione (punti di non derivabilità). Sia $x_0 \in \,]a, b[$ un punto in cui $f$ è continua ma non derivabile. Si dice che $x_0$ è:

un punto angoloso se $f'(x_0^-)$ e $f'(x_0^+)$ esistono finiti ma sono diversi;

un punto di flesso a tangente verticale se $f'(x_0^-) = f'(x_0^+) = +\infty$ oppure $= -\infty$ ;

una cuspide se $f'(x_0^-) = -\infty$ e $f'(x_0^+) = +\infty$ , o viceversa.

Esempio. $|x|$ in $0$ è un punto angoloso ( $f'(0^-) = -1$ , $f'(0^+) = 1$ ); $\sqrt[3]{x}$ in $0$ è un flesso a tangente verticale; $\sqrt{|x|}$ in $0$ è una cuspide.

Grafico interattivo: y = ∛x: in 0 la tangente è verticale (flesso a tangente verticale)

Regole di derivazione

Teorema 1. Siano $f, g: (a, b) \to \mathbb{R}$ derivabili in $x_0 \in \,]a, b[$ . Allora:

Linearità: $D(c\,f)(x_0) = c\,f'(x_0)$ per ogni $c \in \mathbb{R}$ , e $D(f \pm g)(x_0) = f'(x_0) \pm g'(x_0)$ ;

Derivata del prodotto (formula di Leibniz): $D(f \cdot g)(x_0) = f'(x_0)\,g(x_0) + f(x_0)\,g'(x_0)$

Reciproco e quoziente, se $g(x_0) \ne 0$ : $D\left(\frac1g\right)(x_0) = -\frac{g'(x_0)}{[g(x_0)]^2}, \qquad D\left(\frac{f}{g}\right)(x_0) = \frac{f'(x_0)\,g(x_0) - f(x_0)\,g'(x_0)}{[g(x_0)]^2}$

Esempio. $D\left(x^2\sin x\right) = 2x\sin x + x^2\cos x$ e $D\left(\frac{x}{x^2 + 1}\right) = \frac{(x^2 + 1) - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$ .

Teorema 2. Sia $g$ derivabile in $x_0$ e $f$ derivabile in $y_0 = g(x_0)$ (con $g$ e $f \circ g$ definite in un intorno di $x_0$ , $f$ in un intorno di $y_0$ ). Allora $f \circ g$ è derivabile in $x_0$ e $(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)$

Esempio. $D\left(\sin(x^2)\right) = \cos(x^2) \cdot 2x$ (con $f = \sin$ e $g(x) = x^2$ ).

Teorema. Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ continua e invertibile su $f((a, b))$ . Se $f$ è derivabile in $x_0 \in \,]a, b[$ e $f'(x_0) \ne 0$ , allora $f^{-1}$ è derivabile in $y_0 = f(x_0)$ e $(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{[f'(x)]_{x = f^{-1}(y_0)}}$

Esempio. $f(x) = x^3$ ha inversa $f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}$ : in $y_0 = 8$ (cioè $x_0 = 2$ ) si ha $(f^{-1})'(8) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{12}$ .

Formula (derivate delle inverse trigonometriche e iperboliche). $D(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad D(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \qquad (-1 < x < 1)$

$D(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} \qquad (x \in \mathbb{R})$

$D(\mathrm{settsinh}\,x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \ \ (x \in \mathbb{R}), \qquad D(\mathrm{settcosh}\,x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \ \ (x > 1), \qquad D(\mathrm{setttanh}\,x) = \frac{1}{1 - x^2} \ \ (-1 < x < 1)$

Esempio. $D(\arctan 2x) = \frac{2}{1 + 4x^2}$ (regola della catena con $\arctan y$ e $y = 2x$ ).

Formula (derivate delle funzioni elementari).

$f(x)$ $f'(x)$ dove

$c$ $0$ $\mathbb{R}$

$x^\alpha$ $\alpha x^{\alpha - 1}$ $x > 0$ (anche $x \ne 0$ per $\alpha$ intero)

$e^x$ $e^x$ $\mathbb{R}$

$a^x$ $a^x\log a$ $\mathbb{R}$

$\log x$ $\frac1x$ $x > 0$

$\log\lvert x\rvert$ $\frac1x$ $x \ne 0$

$\log_a x$ $\frac{1}{x}\log_a e$ $x > 0$

$\sin x$ $\cos x$ $\mathbb{R}$

$\cos x$ $-\sin x$ $\mathbb{R}$

$\tan x$ $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$

$\sinh x$ $\cosh x$ $\mathbb{R}$

$\cosh x$ $\sinh x$ $\mathbb{R}$

$\tanh x$ $\frac{1}{\cosh^2 x}$ $\mathbb{R}$

$\arcsin x$ $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ $-1 < x < 1$

$\arccos x$ $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ $-1 < x < 1$

$\arctan x$ $\frac{1}{1 + x^2}$ $\mathbb{R}$

$\mathrm{settsinh}\,x$ $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ $\mathbb{R}$

$\mathrm{settcosh}\,x$ $\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ $x > 1$

$\mathrm{setttanh}\,x$ $\frac{1}{1 - x^2}$ $-1 < x < 1$

$f(x)$	$f'(x)$	dove
$c$	$0$	$\mathbb{R}$
$x^\alpha$	$\alpha x^{\alpha - 1}$	$x > 0$ (anche $x \ne 0$ per $\alpha$ intero)
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$a^x$	$a^x\log a$	$\mathbb{R}$
$\log x$	$\frac1x$	$x > 0$
$\log\lvert x\rvert$	$\frac1x$	$x \ne 0$
$\log_a x$	$\frac{1}{x}\log_a e$	$x > 0$
$\sin x$	$\cos x$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	$-\sin x$	$\mathbb{R}$
$\tan x$	$\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$	$x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
$\sinh x$	$\cosh x$	$\mathbb{R}$
$\cosh x$	$\sinh x$	$\mathbb{R}$
$\tanh x$	$\frac{1}{\cosh^2 x}$	$\mathbb{R}$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$-1 < x < 1$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$-1 < x < 1$
$\arctan x$	$\frac{1}{1 + x^2}$	$\mathbb{R}$
$\mathrm{settsinh}\,x$	$\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$	$\mathbb{R}$
$\mathrm{settcosh}\,x$	$\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$	$x > 1$
$\mathrm{setttanh}\,x$	$\frac{1}{1 - x^2}$	$-1 < x < 1$

Esempio. $D\left(3e^x + \log x\right) = 3e^x + \frac{1}{x}$ per $x > 0$ , e $D\left(\sqrt{x}\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ (è $x^\alpha$ con $\alpha = \frac{1}{2}$ ).

Teorema di de l'Hôpital

Teorema (de l'Hôpital). Sia $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ (un numero reale oppure $\pm\infty$ ). Siano $f$ e $g$ definite e derivabili in un intorno $U$ di $x_0$ , tranne al più in $x_0$ , con $g(x) \ne 0$ e $g'(x) \ne 0$ per $x \in U \setminus \{x_0\}$ . Se vale una delle due condizioni

$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$ e $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = 0$ (forma $\frac00$ );

$\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty$ oppure $-\infty$ (non importa che cosa fa $f$ ),

allora $\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} \qquad \text{se il secondo limite esiste (finito o infinito).}$

Esempio. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \overset{H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1$ e $\lim_{x \to +\infty} \frac{\log x}{x} \overset{H}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = 0$ .

Teorema del limite della derivata

Corollario (sulla derivabilità). Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ continua in $(a, b)$ e derivabile in $]a, b[ \setminus \{x_0\}$ , con $x_0 \in \,]a, b[$ . Allora:

se esiste $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f'(x)$ , si ha $f'(x_0^-) = \displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f'(x)$ ; se esiste $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f'(x)$ , si ha $f'(x_0^+) = \displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f'(x)$ ;

di conseguenza, quando i due limiti esistono, $f \text{ è derivabile in } x_0 \iff \lim_{x \to x_0^-} f'(x) = \lim_{x \to x_0^+} f'(x) \in \mathbb{R}$ e in tal caso $f'(x_0) = \displaystyle\lim_{x \to x_0} f'(x)$ .

Esempio. $f(x) = |x|$ è continua e per $x \ne 0$ ha $f'(x) = \pm 1$ : i limiti di $f'$ in $0$ sono $-1$ e $1$ , diversi, quindi $f$ non è derivabile in $0$ .

Definizione (classi C⁰ e C¹).

$C^0(I) = C(I) = \{f: I \to \mathbb{R} : f \text{ continua in } I\}$ ;

$C^1(I) = \{f: I \to \mathbb{R} : f \text{ derivabile in } I \text{ e } f' \text{ continua in } I\}$ .

Esempio. $x^2 \in C^1(\mathbb{R})$ . $|x| \in C^0(\mathbb{R})$ ma non è derivabile in $0$ , quindi $|x| \notin C^1(\mathbb{R})$ .

Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat

Definizione (minimo e massimo relativo). Sia $f: X \to \mathbb{R}$ e $x_0 \in X$ .

$x_0$ è un punto di minimo relativo (o locale) se esiste $\delta > 0$ tale che $f(x_0) \le f(x) \qquad \forall x \in X \cap \,]x_0 - \delta, x_0 + \delta[$ È un minimo relativo stretto se $f(x_0) < f(x)$ per ogni $x \ne x_0$ di quell'insieme.

$x_0$ è un punto di massimo relativo se esiste $\delta > 0$ tale che $f(x_0) \ge f(x)$ per ogni $x \in X \cap \,]x_0 - \delta, x_0 + \delta[$ (stretto se vale $>$ per $x \ne x_0$ ).

Esempio. $f(x) = x^3 - 3x$ : $x_0 = -1$ è un massimo relativo ( $f(-1) = 2$ ) e $x_0 = 1$ è un minimo relativo ( $f(1) = -2$ ).

Teorema di Fermat. Sia $f: X \to \mathbb{R}$ e sia $x_0$ un punto di minimo o di massimo relativo per $f$ . Se $x_0$ è interno a $X$ e $f$ è derivabile in $x_0$ , allora $f'(x_0) = 0$

Esempio. $f(x) = x^2 - 4x$ ha il minimo in $x_0 = 2$ e infatti $f'(2) = 2 \cdot 2 - 4 = 0$ .

Definizione (punto critico). Se $x_0$ è interno al dominio di $f$ ed esiste $f'(x_0) = 0$ , si dice che $x_0$ è un punto critico (o stazionario) di $f$ .

Esempio. $f(x) = x^3$ ha $f'(0) = 0$ : $0$ è un punto critico, ma non è né un minimo né un massimo relativo.

Teoremi di Rolle e di Lagrange

Teorema di Rolle. Sia $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ continua in $[a, b]$ e derivabile in $]a, b[$ , con $f(a) = f(b)$ . Allora esiste $c \in \,]a, b[$ tale che $f'(c) = 0$

Esempio. $f(x) = x^2 - 2x$ su $[0, 2]$ : $f(0) = f(2) = 0$ e $f'(c) = 2c - 2 = 0$ per $c = 1 \in \,]0, 2[$ .

Teorema di Lagrange. Sia $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ continua in $[a, b]$ e derivabile in $]a, b[$ . Allora esiste $c \in \,]a, b[$ tale che $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Esempio. $f(x) = x^3$ su $[0, 2]$ : la pendenza media è $\frac{8 - 0}{2} = 4$ e $f'(c) = 3c^2 = 4$ per $c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}15 \in \,]0, 2[$ .

Teorema (funzioni con derivata nulla). Caratterizzazione delle funzioni costanti su un intervallo. Sia $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ continua in $[a, b]$ e derivabile in $]a, b[$ . Allora $f \text{ è costante in } [a, b] \iff f'(x) = 0 \quad \forall x \in \,]a, b[$

Esempio. $f(x) = \arctan x + \arctan\frac{1}{x}$ ha $f'(x) = 0$ su $\,]0, +\infty[$ , quindi vi è costante: $f(x) = f(1) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ .

Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimi

Teorema (test di monotonia per funzioni derivabili). Sia $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ continua in $[a, b]$ e derivabile in $]a, b[$ . Allora:

$f$ è crescente in $[a, b]$ $\iff$ $f'(x) \ge 0$ per ogni $x \in \,]a, b[$ ;

$f$ è decrescente in $[a, b]$ $\iff$ $f'(x) \le 0$ per ogni $x \in \,]a, b[$ ;

$f$ è strettamente crescente in $[a, b]$ $\iff$ $f'(x) \ge 0$ per ogni $x \in \,]a, b[$ e non esistono intervalli in cui $f' = 0$ (analogamente per strettamente decrescente).

Esempio. $f(x) = x^2 - 4x$ ha $f'(x) = 2x - 4 \ge 0$ per $x \ge 2$ : $f$ è crescente per $x \ge 2$ e decrescente per $x \le 2$ .

Corollario. Sia $f: \,]x_0 - \delta, x_0 + \delta[ \,\to \mathbb{R}$ continua, e derivabile tranne al più in $x_0$ .

Se $f' > 0$ in $]x_0 - \delta, x_0[$ e $f' < 0$ in $]x_0, x_0 + \delta[$ ( $f$ sale e poi scende), $x_0$ è un punto di massimo relativo stretto.

Se $f' < 0$ in $]x_0 - \delta, x_0[$ e $f' > 0$ in $]x_0, x_0 + \delta[$ ( $f$ scende e poi sale), $x_0$ è un punto di minimo relativo stretto.

Per gli estremi di un intervallo: se $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ è continua in $[a, b]$ e derivabile in $]a, b[$ ,

$f' > 0$ in $]a, a + \delta[$ ( $f$ parte salendo) $\Rightarrow$ $a$ è di minimo relativo stretto; $f' < 0$ lì $\Rightarrow$ $a$ è di massimo relativo stretto;

$f' > 0$ in $]b - \delta, b[$ ( $f$ arriva salendo) $\Rightarrow$ $b$ è di massimo relativo stretto; $f' < 0$ lì $\Rightarrow$ $b$ è di minimo relativo stretto.

Esempio. $f(x) = x^3 - 3x$ ha $f'(x) = 3(x^2 - 1)$ : è $> 0$ per $x < -1$ e $< 0$ in $]-1, 1[$ , quindi $x_0 = -1$ è un massimo relativo stretto.

Derivate successive e funzioni di classe Cn

Definizione (derivata seconda e derivata n-esima). Sia $f$ derivabile in un intorno $]x_0 - \delta, x_0 + \delta[$ di $x_0$ . Se $f'$ è derivabile in $x_0$ , la sua derivata si chiama derivata seconda di $f$ in $x_0$ : $f''(x_0) = f^{(2)}(x_0) = (f')'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f'(x) - f'(x_0)}{x - x_0}$ Più in generale, se $f$ è derivabile $n - 1$ volte in un intorno di $x_0$ e $f^{(n-1)}$ è derivabile in $x_0$ , la derivata $n$ -esima di $f$ in $x_0$ è $f^{(n)}(x_0) = \left(f^{(n-1)}\right)'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_0)}{x - x_0}$

Esempio. $f(x) = e^{3x} + \cos 2x$ : $f'(x) = 3e^{3x} - 2\sin 2x$ e $f''(x) = 9e^{3x} - 4\cos 2x$ .

Definizione (classe Cⁿ). $C^n(I) = \{f: I \to \mathbb{R} : f \text{ è derivabile } n \text{ volte in } I \text{ e } f^{(n)} \text{ è continua in } I\}$

Esempio. $f(x) = |x|^3$ ha $f'(x) = 3x|x|$ e $f''(x) = 6|x|$ , entrambe continue, ma $f''$ non è derivabile in $0$ : $f \in C^2(\mathbb{R})$ e $f \notin C^3(\mathbb{R})$ .

Funzioni convesse, concave e punti di flesso

Definizione (funzione convessa e concava). Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ , dove $(a, b)$ è un intervallo qualsiasi (anche $]-\infty, +\infty[ = \mathbb{R}$ ). Se per ogni $x_1, x_2 \in (a, b)$ con $x_1 < x_2$ si ha

$\displaystyle f(x) \le f(x_1) + \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ per ogni $x \in [x_1, x_2]$ , $f$ è convessa; se vale $<$ per ogni $x \in \,]x_1, x_2[$ , è strettamente convessa;

$\displaystyle f(x) \ge f(x_1) + \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ per ogni $x \in [x_1, x_2]$ , $f$ è concava; se vale $>$ per ogni $x \in \,]x_1, x_2[$ , è strettamente concava.

Esempio. $x^2$ è strettamente convessa su $\mathbb{R}$ (grafico a coppa); $-x^2$ e $\log x$ sono strettamente concave (grafico a cupola).

Grafico interattivo: y = x² è convessa: tra x₁ = −1 e x₂ = 2 la corda (y = x + 2) sta sopra il grafico, mentre la tangente in x₀ = 1 (y = 2x − 1) sta sotto

Proprietà (convessità con il parametro t). $f$ è convessa se per ogni $x_1 < x_2$ in $(a, b)$ $f\big((1 - t)\,x_1 + t\,x_2\big) \le (1 - t)\,f(x_1) + t\,f(x_2) \qquad \forall t \in [0, 1]$ (strettamente se vale $<$ per $t \in \,]0, 1[$ ). Concava con $\ge$ (strettamente con $>$ ).

Esempio. $f(x) = x^2$ , $x_1 = 0$ , $x_2 = 2$ , $t = \frac{1}{2}$ : $f(1) = 1 \le \frac{1}{2} f(0) + \frac{1}{2} f(2) = 2$ .

Teorema 1 (regolarità). Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ convessa o concava. Allora:

$f$ è continua in ogni $x_0 \in \,]a, b[$ ;

in ogni $x_0 \in \,]a, b[$ esistono finite $f'(x_0^-)$ e $f'(x_0^+)$ . Quindi in ogni punto interno $f$ è derivabile (se $f'(x_0^-) = f'(x_0^+)$ ) oppure ha un punto angoloso.

Esempio. $|x|$ è convessa su $\mathbb{R}$ : è continua e in $0$ ha un punto angoloso, con $f'(0^-) = -1$ e $f'(0^+) = 1$ finiti.

Teorema 2 (caratterizzazione con le derivate). Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ continua in $(a, b)$ e derivabile in $]a, b[$ . Sono equivalenti:

$f$ è convessa in $(a, b)$ ;

per ogni $x_0, x \in \,]a, b[$ : $f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ , cioè il grafico sta sopra ogni sua retta tangente;

$f'$ è crescente in $]a, b[$ .

Se inoltre $f$ è derivabile due volte in $]a, b[$ , è equivalente anche: 4. $f''(x) \ge 0$ per ogni $x \in \,]a, b[$ .

Per $f$ concava: $\le$ al punto 2 (grafico sotto le tangenti), $f'$ decrescente, $f'' \le 0$ .

Esempio. $f(x) = e^x$ ha $f''(x) = e^x > 0$ , quindi è convessa: il grafico sta sopra la tangente in $0$ , cioè $e^x \ge 1 + x$ .

Definizione (punto di flesso). Sia $f$ definita e continua in un intorno $]x_0 - \delta, x_0 + \delta[$ di $x_0$ . Se $f$ è convessa in $]x_0 - \delta, x_0[$ e concava in $]x_0, x_0 + \delta[$ , o viceversa, $x_0$ si dice punto di flesso.

Esempio. $f(x) = x^3$ ha $f''(x) = 6x$ : è concava per $x < 0$ e convessa per $x > 0$ , quindi $x_0 = 0$ è un punto di flesso.

Grafico interattivo: y = x³ ha un flesso in 0: concava per x < 0 (grafico sotto la tangente y = 0), convessa per x > 0 (sopra); in 0 il grafico attraversa la tangente

Teorema 3 (condizione necessaria). Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ derivabile in $]a, b[$ . Se $x_0 \in \,]a, b[$ è un punto di flesso ed esiste $f''(x_0)$ , allora $f''(x_0) = 0$

Esempio. $f(x) = x^3$ ha un flesso in $0$ e infatti $f''(0) = 6 \cdot 0 = 0$ . Il viceversa è falso: $x^4$ ha $f''(0) = 0$ ma $0$ non è un flesso.

IX. Formula di Taylor

Formula di Taylor con resto di Peano

Teorema (formula di Taylor di Mac-Laurin con resto di Peano). Se $f$ è derivabile $n$ volte in $x_0 = 0$ , esiste uno e un solo polinomio $T_n(x)$ di grado $\le n$ tale che $f(x) = T_n(x) + o(x^n) \qquad \text{per } x \to 0,$ ed è $T_n(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac{1}{2}f''(0)\,x^2 + \frac{1}{3!}f'''(0)\,x^3 + \dots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)\,x^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k$ (con la convenzione $f^{(0)} = f$ ).

Esempio. Per $f(x) = e^x$ tutte le derivate in $0$ valgono $1$ , quindi $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ per $x \to 0$ .

Teorema (formula di Taylor in un punto x₀). Se $f$ è derivabile $n$ volte in $x_0 \in \mathbb{R}$ , esiste uno e un solo polinomio $T_{n,x_0}(x)$ di grado $\le n$ tale che $f(x) = T_{n,x_0}(x) + o\big((x - x_0)^n\big)$ per $x \to x_0$ , ed è $T_{n,x_0}(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac12 f''(x_0)(x - x_0)^2 + \dots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^n$

Esempio. $f(x) = \log x$ in $x_0 = 1$ , ordine $2$ : $f(1) = 0$ , $f'(1) = 1$ , $f''(1) = -1$ , quindi $\log x = (x - 1) - \frac{1}{2}(x - 1)^2 + o\big((x - 1)^2\big)$ .

Sviluppi di Mac-Laurin notevoli

Formula (sviluppi di Mac-Laurin notevoli). Tutte le formule valgono per $x \to 0$ . Ognuna si ricava dalla formula $T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$ calcolando le derivate in $0$ (sotto c'è la ricavazione delle meno ovvie).

Funzione Sviluppo Termine generale

$e^x$ $1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$ $\frac{x^k}{k!}$

$\sin x$ $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^6)$ $(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$

$\cos x$ $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)$ $(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}$

$\log(1+x)$ $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + o(x^4)$ $(-1)^{k+1}\frac{x^k}{k}$

$(1+x)^\alpha$ $1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3 + o(x^3)$ $\binom{\alpha}{k}x^k$

$\frac{1}{1+x}$ $1 - x + x^2 - x^3 + o(x^3)$ $(-1)^k x^k$

$\sqrt{1+x}$ $1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + o(x^3)$ caso $\alpha = \frac12$

$\arctan x$ $x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^6)$ $(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

$\sinh x$ $x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^6)$ $\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$

$\cosh x$ $1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)$ $\frac{x^{2k}}{(2k)!}$

$\tan x$ $x + \frac{x^3}{3} + \frac{2}{15}x^5 + o(x^6)$ (non serve)

Funzione	Sviluppo	Termine generale
$e^x$	$1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$	$\frac{x^k}{k!}$
$\sin x$	$x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^6)$	$(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
$\cos x$	$1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)$	$(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}$
$\log(1+x)$	$x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + o(x^4)$	$(-1)^{k+1}\frac{x^k}{k}$
$(1+x)^\alpha$	$1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3 + o(x^3)$	$\binom{\alpha}{k}x^k$
$\frac{1}{1+x}$	$1 - x + x^2 - x^3 + o(x^3)$	$(-1)^k x^k$
$\sqrt{1+x}$	$1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + o(x^3)$	caso $\alpha = \frac12$
$\arctan x$	$x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^6)$	$(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$
$\sinh x$	$x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^6)$	$\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
$\cosh x$	$1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)$	$\frac{x^{2k}}{(2k)!}$
$\tan x$	$x + \frac{x^3}{3} + \frac{2}{15}x^5 + o(x^6)$	(non serve)

Esempio. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = \frac{1}{2}$ .

Grafico interattivo: sin x e i polinomi di Mac-Laurin T₁ = x, T₃ = x − x³/6, T₅ = x − x³/6 + x⁵/120: più il grado è alto, più la curva resta vicina a sin x lontano da 0

Formula di Taylor con resto di Lagrange

Teorema (formula di Taylor con resto di Lagrange). Sia $f \in C^{n+1}([a, b])$ e sia $x_0 \in [a, b]$ . Allora per ogni $x \in [a, b]$ esiste un punto $c$ compreso tra $x_0$ e $x$ (quindi $c \in [a, b]$ ) tale che $f(x) = T_{n,x_0}(x) + \frac{1}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(c)\,(x - x_0)^{n+1}$

Esempio. $e^x$ con $x_0 = 0$ e $n = 2$ : $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{e^c}{6}x^3$ con $c$ tra $0$ e $x$ . Per $x = \frac{1}{2}$ l'errore è al più $\frac{e^{1/2}}{6} \cdot \frac{1}{8} < 0{,}035$ .

X. Serie numeriche

Serie numeriche

Definizione (somma parziale e serie). Data una successione $(a_k)_{k \in \mathbb{N}}$ di addendi:

Somma parziale (o ridotta) $n$ -esima: $s_0 = a_0, \quad s_1 = a_0 + a_1, \quad s_2 = a_0 + a_1 + a_2, \quad \dots, \quad s_n = a_0 + a_1 + \dots + a_n = \sum_{k=0}^n a_k$ (è una sommatoria finita).

Serie: è la successione delle somme parziali $(s_n)_{n \in \mathbb{N}} = \left(\sum_{k=0}^n a_k\right)_{n \in \mathbb{N}}$ . Per indicarla si usa la scrittura $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k$

Esempio. $a_k = k$ : $s_0 = 0$ , $s_1 = 1$ , $s_2 = 3$ , $s_3 = 6$ , e in generale $s_n = \frac{n(n+1)}{2}$ , quindi $\sum k = +\infty$ .

Definizione (somma e carattere di una serie). Data la serie $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k$ (cioè la successione $(s_n)$ ), si pone

$S = \lim_{n \to +\infty} s_n = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n a_k$

e si scrive anche $S = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k$ . Ci sono tre possibilità (le stesse di ogni limite di successione):

Limite di $s_n$ Si dice che la serie è Si scrive

esiste ed è $S \in \mathbb{R}$ convergente (a $S$ ), e $S$ è la somma $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k = S$

esiste ed è $+\infty$ (o $-\infty$ ) divergente a $+\infty$ (o a $-\infty$ ) $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k = +\infty$

non esiste irregolare

Limite di $s_n$	Si dice che la serie è	Si scrive
esiste ed è $S \in \mathbb{R}$	convergente (a $S$ ), e $S$ è la somma	$\sum_{k=0}^{+\infty} a_k = S$
esiste ed è $+\infty$ (o $-\infty$ )	divergente a $+\infty$ (o a $-\infty$ )	$\sum_{k=0}^{+\infty} a_k = +\infty$
non esiste	irregolare

Esempio. $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k}$ ha $s_n = 2 - \frac{1}{2^n} \to 2$ : converge e la somma è $2$ . $\sum_{k=0}^{+\infty} k = +\infty$ diverge. $\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k$ è irregolare.

Proprietà (i primi termini non cambiano il carattere). Per $N \in \mathbb{N}$ fissato, $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k$ ha lo stesso carattere di $\sum_{k=N}^{+\infty} a_k = \sum_{k=0}^{+\infty} a_{N+k}$ .

Esempio. $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = 2$ e $\sum_{k=3}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = \frac{1}{4}$ : convergono entrambe (cambia solo la somma).

Proprietà (costante moltiplicativa). Per ogni $c \in \mathbb{R}$ , $c \neq 0$ : $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} c\,a_k = c\sum_{k=0}^{+\infty} a_k$ (stesso carattere; se converge, somma moltiplicata per $c$ ).

Esempio. $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{3}{2^k} = 3 \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = 3 \cdot 2 = 6$ .

Proprietà (somma di serie convergenti). Se $\sum a_k$ e $\sum b_k$ convergono, allora $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} (a_k \pm b_k) = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k \pm \sum_{k=0}^{+\infty} b_k$ .

Esempio. $\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2^k} + \frac{1}{3^k}\right) = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$ .

Teorema (condizione necessaria di convergenza). Se la serie $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k = S \in \mathbb{R}$ (cioè converge), allora $\displaystyle\lim_{k \to +\infty} a_k = 0$ .

Esempio. $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k}{k+1}$ : poiché $\frac{k}{k+1} \to 1 \ne 0$ , la serie non converge.

Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica

Teorema (serie geometrica). La serie geometrica di ragione $q \in \mathbb{R}$ $\sum_{k=0}^{+\infty} q^k = \begin{cases} \dfrac{1}{1-q} & \text{se } |q| < 1 \quad \text{(convergente)} \\[2mm] +\infty & \text{se } q \ge 1 \quad \text{(divergente)} \\[1mm] \text{irregolare} & \text{se } q \le -1 \end{cases}$

Esempio. $\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^k = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$ e $\sum_{k=0}^{+\infty} 2^k = +\infty$ .

Teorema (serie telescopiche). Sia $\sum_{k=1}^{+\infty} a_k$ con $a_k = b_k - b_{k+1}$ per una successione $(b_k)_{k \ge 1}$ . Allora per ogni $n \ge 1$ $s_n = b_1 - b_{n+1}$ e quindi $\sum_{k=1}^{+\infty} a_k = \lim_n (b_1 - b_{n+1}) = \begin{cases} b_1 - b & \text{se } \lim_n b_n = b \in \mathbb{R} \quad \text{(convergente)} \\ -\infty & \text{se } \lim_n b_n = +\infty \\ +\infty & \text{se } \lim_n b_n = -\infty \\ \text{irregolare} & \text{se } \lim_n b_n \text{ non esiste} \end{cases}$

Esempio. $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+1)}$ : $a_k = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ con $b_k = \frac{1}{k} \to 0$ , quindi la somma è $b_1 - 0 = 1$ .

Teorema (serie armonica generalizzata). I. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha}$ converge per $\alpha > 1$ e diverge (a $+\infty$ ) per $\alpha \le 1$ .

II. $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha \log^\beta n}$ converge se e solo se $\alpha > 1$ (con $\beta \in \mathbb{R}$ qualsiasi) oppure $\alpha = 1$ e $\beta > 1$ . Negli altri casi diverge.

Esempio. $\sum \frac{1}{n^2}$ converge ( $\alpha = 2 > 1$ ); $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge ( $\alpha = \frac{1}{2} \le 1$ ); $\sum \frac{1}{n \log^2 n}$ converge ( $\alpha = 1$ , $\beta = 2 > 1$ ).

Serie a termini non negativi e criteri del confronto

Proprietà (serie a termini non negativi). Se $a_k \ge 0$ per ogni $k$ , la serie $\sum a_k$ è regolare: o converge, o diverge a $+\infty$ . Non è mai irregolare.

Esempio. $\sum \frac{1}{k^2}$ ha termini $\ge 0$ e converge; $\sum k$ ha termini $\ge 0$ e diverge a $+\infty$ . Non si presenta mai il caso irregolare.

Criterio (del confronto). Siano $\sum a_k$ e $\sum b_k$ con $0 \le a_k \le b_k$ per ogni $k \in \mathbb{N}$ . Allora:

se $\sum b_k$ converge, anche $\sum a_k$ converge;

se $\sum a_k$ diverge (a $+\infty$ ), anche $\sum b_k$ diverge.

Esempio. $\frac{1}{k^2 + 1} \le \frac{1}{k^2}$ e $\sum \frac{1}{k^2}$ converge, quindi converge anche $\sum \frac{1}{k^2 + 1}$ .

Proprietà (fattore limitato tra due costanti positive). Se esistono due costanti $C_1, C_2 > 0$ tali che, definitivamente, $0 \le C_1\, b_k \le a_k \le C_2\, b_k,$ allora $\sum a_k$ e $\sum b_k$ hanno lo stesso carattere.

Esempio. $a_k = \frac{2 + \sin k}{k^2}$ soddisfa $\frac{1}{k^2} \le a_k \le \frac{3}{k^2}$ : ha lo stesso carattere di $\sum \frac{1}{k^2}$ , quindi converge.

Criterio (del confronto asintotico). Siano $\sum a_k$ e $\sum b_k$ con $a_k > 0$ e $b_k > 0$ definitivamente.

Se $a_k \sim L \cdot b_k$ con $L \in \mathbb{R}$ , $L \neq 0$ (cioè $\frac{a_k}{b_k} \to L$ ), allora $\sum a_k$ ha lo stesso carattere di $\sum b_k$ .

Se $a_k = o(b_k)$ (cioè $\frac{a_k}{b_k} \to 0$ ): se $\sum b_k$ converge, anche $\sum a_k$ converge; se $\sum a_k$ diverge, anche $\sum b_k$ diverge.

Esempio. $\frac{k + 1}{k^3 + 5} \sim \frac{1}{k^2}$ e $\sum \frac{1}{k^2}$ converge, quindi converge anche $\sum \frac{k+1}{k^3 + 5}$ .

Criterio (confronto asintotico con le serie notevoli). Sia $\sum a_n$ con $a_n \ge 0$ definitivamente. Valgono:

se $a_n \sim L \cdot \frac{1}{n^\alpha}$ ( $L \in \mathbb{R}$ , $L \neq 0$ ): la serie converge se $\alpha > 1$ , diverge se $\alpha \le 1$ ;

se $a_n \sim L \cdot \frac{1}{n^\alpha \log^\beta n}$ : converge se $\alpha > 1$ (con $\beta$ qualsiasi) oppure $\alpha = 1$ e $\beta > 1$ ; diverge a $+\infty$ altrimenti;

se $a_n \sim L \cdot q^n$ con $q > 0$ : converge se $q < 1$ , diverge a $+\infty$ se $q \ge 1$ ;

se $\lim_n n^\alpha a_n = 0$ con $\alpha > 1$ : la serie converge;

se $\lim_n n^\alpha a_n = +\infty$ con $\alpha \le 1$ : la serie diverge.

Esempio. $\frac{n + 1}{n^3 + 5} \sim \frac{1}{n^2}$ ( $\alpha = 2 > 1$ ): converge. $\frac{\sqrt{n}}{n + 1} \sim \frac{1}{\sqrt{n}}$ ( $\alpha = \frac{1}{2} \le 1$ ): diverge.

Criteri del rapporto e della radice per le serie

Criterio (del rapporto per le serie). Sia $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ con $a_n > 0$ definitivamente, e supponiamo che esista $L = \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.$

Se $0 \le L < 1$ , la serie converge.

Se $L > 1$ (anche $L = +\infty$ ), la serie diverge.

Esempio. $a_n = \frac{2^n}{n!}$ : $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2}{n+1} \to 0 < 1$ , quindi $\sum \frac{2^n}{n!}$ converge.

Criterio (della radice n-esima per le serie). Sia $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ con $a_n > 0$ definitivamente, e supponiamo che esista $L = \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n}.$

Se $0 \le L < 1$ , la serie converge.

Se $L > 1$ (anche $L = +\infty$ ), la serie diverge.

Esempio. $a_n = \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$ : $\sqrt[n]{a_n} = \frac{n}{2n+1} \to \frac{1}{2} < 1$ , quindi $\sum a_n$ converge.

Serie a termini di segno variabile

Definizione (convergenza assoluta). La serie $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ converge assolutamente se converge la serie dei moduli $\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|$ .

Esempio. $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ converge assolutamente se e solo se converge $\sum \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum \frac{1}{n^\alpha}$ , cioè (armonica generalizzata) se e solo se $\alpha > 1$ .

Teorema (la convergenza assoluta implica la convergenza semplice). Se $\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|$ converge, allora $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ converge.

Esempio. $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$ converge assolutamente, perché $\sum \frac{1}{n^2}$ converge; quindi converge.

Criterio di Leibniz. Sia $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_n$ con $a_n \ge 0$ per ogni $n$ . Se

$\lim_n a_n = 0$ , e

$(a_n)$ è decrescente,

allora la serie converge.

Esempio. $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ : $\frac{1}{n} \to 0$ ed è decrescente, quindi la serie converge (anche se non converge assolutamente).

XI. Calcolo integrale

Integrale definito di Riemann

Definizione (trapezoide). Trapezoide di $f$ . Sia $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ limitata, con $f(x) \ge 0$ per ogni $x \in [a, b]$ . Il trapezoide di $f$ è la regione compresa tra il grafico e l'asse $x$ : $T = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x \in [a, b], \ 0 \le y \le f(x)\}$

Esempio. Per $f(x) = x$ su $[0, 2]$ il trapezoide è il triangolo di vertici $(0, 0)$ , $(2, 0)$ , $(2, 2)$ , di area $\frac{2 \cdot 2}{2} = 2$ .

Definizione (integrale di Riemann). Se tutte le successioni $(S_n^f)_n$ hanno limite, e questi limiti sono finiti e uguali (cioè non dipendono da come si scelgono i $c_i$ ), si dice che $f$ è integrabile (secondo Riemann) in $[a, b]$ , e il valore comune del limite è il suo integrale definito: $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to +\infty} S_n^f$

Esempio. $\int_0^1 x\,dx$ : con $c_i = \frac{i}{n}$ si ha $S_n^f = \frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2}$ , quindi $\int_0^1 x\,dx = \frac{1}{2}$ .

Teorema (classi di funzioni integrabili). Sia $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ . $f$ è sicuramente integrabile in $[a, b]$ se:

$f$ è continua in $[a, b]$ (anzi basta che sia limitata in $[a, b]$ e continua tranne che in un numero finito di punti);

oppure $f$ è monotona in $[a, b]$ ;

oppure $f$ è definita a tratti: esiste $c$ con $a < c < b$ e $f(x) = \begin{cases} f_1(x) & x \in [a, c[ \\ f_2(x) & x \in [c, b] \end{cases}$ con $f_1$ integrabile in $[a, c]$ e $f_2$ integrabile in $[c, b]$ . In questo caso $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f_1(x)\,dx + \int_c^b f_2(x)\,dx.$

Esempio. $f(x) = x^2$ è continua, quindi integrabile su $[0, 1]$ ; la parte intera $[x]$ è monotona, quindi integrabile su $[0, 3]$ .

Proprietà dell'integrale definito e teorema della media

Teorema (integrabilità delle funzioni elementari). Tutte le funzioni elementari (potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e loro inverse, e le loro combinazioni), essendo continue nel loro dominio, sono integrabili su ogni intervallo $[a, b]$ contenuto nel dominio.

Esempio 1: $f(x) = \log x$ . Il dominio è $x > 0$ : $\log x$ è integrabile su ogni $[a, b]$ con $0 < a < b$ . Se $a < 1 < b$ , il grafico sta sotto l'asse tra $a$ e $1$ e sopra tra $1$ e $b$ , quindi $\int_a^b \log x\,dx = |T^+| - |T^-|.$ Per ora sappiamo che questo numero esiste ed è finito, ma non sappiamo calcolarlo: servirà il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Grafico interattivo: y = log x: tra a e 1 sta sotto l'asse (T⁻), tra 1 e b sopra (T⁺)

Proprietà (linearità dell'integrale). $\int_a^b \left[\alpha f(x) + \beta g(x)\right] dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\,dx \qquad \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$

Esempio: $\int_0^1 (3x + 2)\,dx = 3\int_0^1 x\,dx + \int_0^1 2\,dx = 3 \cdot \frac12 + 2 = \frac72$ (usando $\int_0^1 x\,dx = \frac12$ calcolato in Integrale definito di Riemann).

Proprietà (monotonia dell'integrale).

Se $f(x) \ge 0$ per ogni $x \in [a, b]$ , allora $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \ge 0$ (è l'area $|T| \ge 0$ ; le somme di Cauchy-Riemann sono tutte $\ge 0$ e il limite di quantità $\ge 0$ è $\ge 0$ ).

Se $f(x) \le g(x)$ per ogni $x \in [a, b]$ , allora $\int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx$ Perché: $g - f \ge 0$ , quindi per il punto precedente $\int_a^b (g - f)\,dx \ge 0$ , e per la linearità $\int_a^b g\,dx - \int_a^b f\,dx \ge 0$ .

Esempio. Da $x^2 \le x$ su $[0, 1]$ segue $\int_0^1 x^2\,dx \le \int_0^1 x\,dx$ , cioè $\frac{1}{3} \le \frac{1}{2}$ .

Proprietà (additività rispetto all'intervallo). $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx \qquad \forall c \in \,]a, b[$

Esempio: con $x_1 = 0$ , $x_2 = 1$ , $x_3 = 2$ (quindi $x_3$ fuori da $[x_1, x_2]$ ): $\int_0^2 f + \int_2^1 f = \int_0^2 f - \int_1^2 f = \int_0^1 f$ ✓.

Proprietà (valore assoluto dell'integrale). $\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \le \int_a^b |f(x)|\,dx \qquad (a < b)$

Esempio. $f(x) = x$ su $[-1, 1]$ : $\left|\int_{-1}^1 x\,dx\right| = 0 \le \int_{-1}^1 |x|\,dx = 1$ .

Proprietà (funzioni pari e dispari su intervalli simmetrici). Sia $f$ integrabile su un intervallo simmetrico $[-a, a]$ , $a > 0$ .

$f$ pari ( $f(-x) = f(x)$ , grafico simmetrico rispetto all'asse $y$ ): le due metà hanno la stessa area, quindi $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$

$f$ dispari ( $f(-x) = -f(x)$ , grafico simmetrico rispetto all'origine): la parte a sinistra è il ribaltato di quella a destra, sotto l'asse invece che sopra ( $|T^-| = |T^+|$ ), quindi $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$

Esempio. $\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\int_0^1 x^2\,dx = \frac{2}{3}$ (pari), mentre $\int_{-\pi}^{\pi} \sin x\,dx = 0$ (dispari).

Formula (area della regione tra due grafici). Siano $f, g \in C([a, b])$ con $f(x) \le g(x)$ per ogni $x \in [a, b]$ , e $A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x \in [a, b],\ f(x) \le y \le g(x)\}$ la regione compresa tra i due grafici. Allora $|A| = \int_a^b \big[g(x) - f(x)\big]\,dx \qquad (\text{"sopra meno sotto"})$

Esempio. Tra $f(x) = x^2$ e $g(x) = x$ su $[0, 1]$ : $|A| = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ .

Teorema (della media integrale). Sia $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ continua in $[a, b]$ . Allora esiste $c \in [a, b]$ tale che $\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx = f(c)$

Esempio. $f(x) = x^2$ su $[0, 1]$ : la media integrale è $\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3} = f(c)$ per $c = \frac{1}{\sqrt{3}} \in [0, 1]$ .

Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale

Definizione (primitiva). Primitiva. Data $f \in C(I)$ , una funzione $G \in C^1(I)$ tale che $G'(x) = f(x) \qquad \forall x \in I$ si chiama primitiva di $f$ .

Esempio. $f(x) = x^2$ su $\mathbb{R}$ . $G(x) = \frac13 x^3$ è una primitiva: $G'(x) = \frac13 \cdot 3x^2 = x^2$ . Ma anche $G_k(x) = \frac13 x^3 + k$ , per ogni costante $k \in \mathbb{R}$ , lo è, perché la derivata di una costante è $0$ .

Proposizione (le primitive differiscono per una costante). Sia $f \in C(I)$ . Se $F, G \in C^1(I)$ sono due primitive di $f$ , esiste $k \in \mathbb{R}$ tale che $G(x) = F(x) + k \qquad \forall x \in I$

Esempio. Le primitive di $x^2$ sono $\frac{1}{3}x^3 + k$ : per esempio $\frac{1}{3}x^3$ e $\frac{1}{3}x^3 + 5$ differiscono per la costante $5$ .

Definizione (integrale indefinito). Integrale indefinito di $f \in C(I)$ : è l'insieme di tutte le primitive di $f$ su $I$ , $\int f(x)\,dx = \{G \in C^1(I) : G'(x) = f(x) \ \forall x \in I\}$

Esempio. $\int 2x\,dx = x^2 + k$ , $k \in \mathbb{R}$ : sono tutte le primitive di $2x$ .

Definizione (funzione integrale). Funzione integrale di $f \in C(I)$ di centro $a \in I$ : è la funzione $F_a : I \to \mathbb{R}$ $F_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt \qquad \forall x \in I$

Esempio. $f(x) = 4$ su $\mathbb{R}$ . Con l'integrale delle costanti ( $\int_a^b c\,dt = c(b - a)$ , anche con la convenzione per $x < a$ ): $F_1(x) = \int_1^x 4\,dt = 4(x - 1), \qquad F_3(x) = \int_3^x 4\,dt = 4(x - 3)$ definite per ogni $x \in \mathbb{R}$ (non solo per $x \ge 1$ o $x \ge 3$ ). Sono due rette parallele, e $F_1'(x) = 4 = f(x), \qquad F_3'(x) = 4 = f(x)$ cioè sono primitive di $f$ . Non è un caso.

Grafico interattivo: f(t) = sin t (blu, area colorata) e la sua funzione integrale F₀(x) = ∫₀ˣ sin t dt = 1 − cos x (rosso): F₀(2) ≈ 1,416 è l'area sotto sin t tra 0 e 2, e F₀(π) = 2 è l'area dell'intera gobba

Teorema (fondamentale del calcolo integrale 2, TFCI 2). Sia $f \in C(I)$ . Allora per ogni $a \in I$ la funzione integrale $F_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ è una primitiva di $f$ : $F_a \in C^1(I)$ e $F_a'(x) = f(x) \qquad \forall x \in I$

Esempio. $F(x) = \int_0^x t^2\,dt$ ha $F'(x) = x^2$ , e infatti $F(x) = \frac{x^3}{3}$ .

Teorema (fondamentale del calcolo integrale 1, TFCI 1). Sia $f \in C(I)$ e sia $G \in C^1(I)$ una qualsiasi primitiva di $f$ . Allora per ogni $[a, b] \subseteq I$ $\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a) = \Big[G(x)\Big]_{x=a}^{x=b}$

Esempio. $\int_1^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$ .

Formula (derivata di un integrale con estremo variabile). $F'(x) = G'(g(x))\cdot g'(x) = f(g(x))\cdot g'(x)$

Esempio. $F(x) = \int_0^{x^2} \sin t\,dt$ ha $F'(x) = \sin(x^2) \cdot 2x$ .

Formula (derivata di un integrale con entrambi gli estremi variabili). $F'(x) = f(b(x))\cdot b'(x) - f(a(x))\cdot a'(x)$

Esempio. $F(x) = \int_{x^2 + 3x}^{e^x}(1 + t^2)\,dt$ , con $f(t) = 1 + t^2$ , $b(x) = e^x$ , $a(x) = x^2 + 3x$ : $F'(x) = \left(1 + e^{2x}\right)e^x - \left(1 + (x^2 + 3x)^2\right)(2x + 3)$ (si è usato $f(e^x) = 1 + (e^x)^2 = 1 + e^{2x}$ ).

Integrali immediati

Formula (integrale di una potenza). $\int x^\alpha\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha + 1} + k$

Esempio. $\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + k$ e $\int \sqrt{x}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + k = \frac{2}{3}\,x\sqrt{x} + k$ .

Formula (integrale di 1/x). $\int \frac1x\,dx = \log|x| + k \qquad \text{su } I^- \text{ oppure su } I^+$

Esempio. $\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \Big[\log|x|\Big]_1^e = 1 - 0 = 1$ .

Formula (integrali immediati). ( $k \in \mathbb{R}$ è la costante arbitraria; ogni formula vale sugli intervalli in cui la funzione integranda è definita.)

Integrale Risultato Perché (derivata)

$\int x^\alpha\,dx$ , $\alpha \ne -1$ $\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + k$ $D\,x^{\alpha+1} = (\alpha+1)x^\alpha$

$\int \frac1x\,dx$ $\log\lvert x\rvert + k$ vedi sopra

$\int e^{\alpha x}\,dx$ , $\alpha \ne 0$ $\frac1\alpha e^{\alpha x} + k$ $D\,e^{\alpha x} = \alpha e^{\alpha x}$

$\int \sin x\,dx$ $-\cos x + k$ $D\cos x = -\sin x$

$\int \cos x\,dx$ $\sin x + k$ $D\sin x = \cos x$

$\int (1 + \tan^2 x)\,dx = \int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx$ $\tan x + k$ $D\tan x = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx$ , $-1 < x < 1$ $\arcsin x + k$ $D\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\int \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx$ , $-1 < x < 1$ $\arccos x + k$ $D\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\int \frac{1}{1 + x^2}\,dx$ $\arctan x + k$ $D\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$

$\int \sinh x\,dx$ $\cosh x + k$ $D\cosh x = \sinh x$

$\int \cosh x\,dx$ $\sinh x + k$ $D\sinh x = \cosh x$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\,dx$ $\text{settsinh}\,x + k = \log\left(x + \sqrt{x^2+1}\right) + k$ $D\,\text{settsinh}\,x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\,dx$ , $x > 1$ $\text{settcosh}\,x + k = \log\left(x + \sqrt{x^2-1}\right) + k$ $D\,\text{settcosh}\,x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$\int \frac{1}{\cosh^2 x}\,dx$ $\tanh x + k$ $D\tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x}$

Le espressioni con il logaritmo di settsinh e settcosh vengono dalle formule delle funzioni iperboliche inverse.

Integrale	Risultato	Perché (derivata)
$\int x^\alpha\,dx$ , $\alpha \ne -1$	$\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + k$	$D\,x^{\alpha+1} = (\alpha+1)x^\alpha$
$\int \frac1x\,dx$	$\log\lvert x\rvert + k$	vedi sopra
$\int e^{\alpha x}\,dx$ , $\alpha \ne 0$	$\frac1\alpha e^{\alpha x} + k$	$D\,e^{\alpha x} = \alpha e^{\alpha x}$
$\int \sin x\,dx$	$-\cos x + k$	$D\cos x = -\sin x$
$\int \cos x\,dx$	$\sin x + k$	$D\sin x = \cos x$
$\int (1 + \tan^2 x)\,dx = \int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx$	$\tan x + k$	$D\tan x = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx$ , $-1 < x < 1$	$\arcsin x + k$	$D\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\int \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx$ , $-1 < x < 1$	$\arccos x + k$	$D\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\int \frac{1}{1 + x^2}\,dx$	$\arctan x + k$	$D\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$
$\int \sinh x\,dx$	$\cosh x + k$	$D\cosh x = \sinh x$
$\int \cosh x\,dx$	$\sinh x + k$	$D\sinh x = \cosh x$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\,dx$	$\text{settsinh}\,x + k = \log\left(x + \sqrt{x^2+1}\right) + k$	$D\,\text{settsinh}\,x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\,dx$ , $x > 1$	$\text{settcosh}\,x + k = \log\left(x + \sqrt{x^2-1}\right) + k$	$D\,\text{settcosh}\,x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$\int \frac{1}{\cosh^2 x}\,dx$	$\tanh x + k$	$D\tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x}$

Esempio. $\int \left(3x^2 - \frac{2}{x} + 5\cos x\right) dx = x^3 - 2\log|x| + 5\sin x + k$ .

Integrazione per sostituzione

Teorema (integrazione per sostituzione). Siano $g : [a, b] \to \mathbb{R}$ continua e $f : [c, d] \to [a, b]$ di classe $C^1$ . Allora:

(1) $\int g(f(x))\,f'(x)\,dx = \int g(y)\,dy = G(y) + k = G(f(x)) + k, \quad k \in \mathbb{R}$ dove si è posto $y = f(x)$ , $dy = f'(x)\,dx$ , e $G$ è una primitiva di $g$ .

(1') Per l'integrale definito: $\int_c^d g(f(x))\,f'(x)\,dx = \int_{f(c)}^{f(d)} g(y)\,dy = \Big[G(y)\Big]_{y = f(c)}^{y = f(d)} = G(f(d)) - G(f(c))$

Esempio. $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ : con $y = x^2$ , $dy = 2x\,dx$ si ha $\int \cos y\,dy = \sin y + k = \sin(x^2) + k$ .

Teorema (sostituzione al contrario). (2) $\int g(y)\,dy = \int g(f(x))\,f'(x)\,dx = F(x) + k = F\big(f^{-1}(y)\big) + k$ dove $F$ è una primitiva di $g(f(x))\,f'(x)$ .

(2') $\int_a^b g(y)\,dy = \Big[F(x)\Big]_{x = f^{-1}(a)}^{x = f^{-1}(b)}$

Esempio. $\int \frac{dy}{\sqrt{y}\,(1 + y)}$ con $y = x^2$ ( $x > 0$ ), $dy = 2x\,dx$ : $\int \frac{2x}{x(1 + x^2)}\,dx = 2\arctan x + k = 2\arctan\sqrt{y} + k$ .

Formula (integrali immediati per sostituzione). Applicando la (1) a ogni riga degli Integrali immediati (con $f \in C^1$ a valori nel dominio delle funzioni considerate):

Integrale Risultato

$\int f(x)^\alpha\, f'(x)\,dx$ , $\alpha \ne -1$ $\frac{f(x)^{\alpha+1}}{\alpha+1} + k$

$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx$ $\log\lvert f(x)\rvert + k$

$\int e^{\alpha f(x)}\,f'(x)\,dx$ , $\alpha \ne 0$ $\frac1\alpha e^{\alpha f(x)} + k$

$\int \sin(f(x))\,f'(x)\,dx$ $-\cos(f(x)) + k$

$\int \cos(f(x))\,f'(x)\,dx$ $\sin(f(x)) + k$

$\int \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - f(x)^2}}\,dx$ $\arcsin(f(x)) + k$

$\int \frac{f'(x)}{1 + f(x)^2}\,dx$ $\arctan(f(x)) + k$

$\int \sinh(f(x))\,f'(x)\,dx$ $\cosh(f(x)) + k$

$\int \cosh(f(x))\,f'(x)\,dx$ $\sinh(f(x)) + k$

$\int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)^2 + 1}}\,dx$ $\text{settsinh}(f(x)) + k = \log\left(f(x) + \sqrt{f(x)^2 + 1}\right) + k$

$\int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)^2 - 1}}\,dx$ $\text{settcosh}(f(x)) + k = \log\left(f(x) + \sqrt{f(x)^2 - 1}\right) + k$

$\int \frac{f'(x)}{\cosh^2(f(x))}\,dx$ $\tanh(f(x)) + k$

Integrale	Risultato
$\int f(x)^\alpha\, f'(x)\,dx$ , $\alpha \ne -1$	$\frac{f(x)^{\alpha+1}}{\alpha+1} + k$
$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx$	$\log\lvert f(x)\rvert + k$
$\int e^{\alpha f(x)}\,f'(x)\,dx$ , $\alpha \ne 0$	$\frac1\alpha e^{\alpha f(x)} + k$
$\int \sin(f(x))\,f'(x)\,dx$	$-\cos(f(x)) + k$
$\int \cos(f(x))\,f'(x)\,dx$	$\sin(f(x)) + k$
$\int \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - f(x)^2}}\,dx$	$\arcsin(f(x)) + k$
$\int \frac{f'(x)}{1 + f(x)^2}\,dx$	$\arctan(f(x)) + k$
$\int \sinh(f(x))\,f'(x)\,dx$	$\cosh(f(x)) + k$
$\int \cosh(f(x))\,f'(x)\,dx$	$\sinh(f(x)) + k$
$\int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)^2 + 1}}\,dx$	$\text{settsinh}(f(x)) + k = \log\left(f(x) + \sqrt{f(x)^2 + 1}\right) + k$
$\int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)^2 - 1}}\,dx$	$\text{settcosh}(f(x)) + k = \log\left(f(x) + \sqrt{f(x)^2 - 1}\right) + k$
$\int \frac{f'(x)}{\cosh^2(f(x))}\,dx$	$\tanh(f(x)) + k$

Esempio. $\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \log(x^2 + 1) + k$ (caso $\frac{f'}{f}$ con $f = x^2 + 1$ ).

Integrazione per parti

Teorema (integrazione per parti). Siano $f, g \in C^1([a, b])$ . Allora

(1) $\int f(x)\,g'(x)\,dx = f(x)\,g(x) - \int f'(x)\,g(x)\,dx$

(1') $\int_a^b f(x)\,g'(x)\,dx = \Big[f(x)\,g(x)\Big]_{x=a}^{x=b} - \int_a^b f'(x)\,g(x)\,dx$

Esempio. $\int x e^x\,dx$ con $f = x$ e $g' = e^x$ : $x e^x - \int e^x\,dx = x e^x - e^x + k = e^x(x - 1) + k$ .

Integrali di potenze di seno e coseno

Formula (esponente dispari: si stacca un fattore). $\int \cos^n x\,\sin^m x\,dx = \int \cos^n x\,\underbrace{(\sin^2 x)^{\frac{m-1}{2}}}_{(1 - \cos^2 x)^{\frac{m-1}{2}}}\,\sin x\,dx$

Esempio: $\int \sin^3 x\,dx$ ( $n = 0$ , $m = 3$ dispari). $\int \sin^3 x\,dx = \int \sin^2 x \cdot \sin x\,dx = \int (1 - \cos^2 x)\sin x\,dx$ Con $y = \cos x$ , $dy = -\sin x\,dx$ (quindi $\sin x\,dx = -dy$ ): $= -\int (1 - y^2)\,dy = -y + \frac{y^3}{3} + k = -\cos x + \frac13\cos^3 x + k$

Formula (bisezione per le potenze pari di seno e coseno). $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}, \qquad \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

Esempio. $\int \cos^2 x\,dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + k$ .

Integrazione delle funzioni razionali

Formula (denominatore di grado 1). $I = \int \frac{a_0}{ax + b}\,dx \qquad (a \ne 0)$ Si sostituisce $y = ax + b$ , $dy = a\,dx$ , cioè $dx = \frac1a\,dy$ : $I = \frac{a_0}{a}\int \frac{dy}{y} = \frac{a_0}{a}\log|y| + k = \frac{a_0}{a}\log|ax + b| + k$

Esempio. $\int \frac{\sqrt5}{3x - 1}\,dx$ : $y = 3x - 1$ , $dx = \frac13 dy$ , quindi $\frac{\sqrt5}{3}\int\frac{dy}{y} = \frac{\sqrt5}{3}\log|3x - 1| + k$ .

Formula (decomposizione in fratti semplici, Δ > 0). $\frac{a_0 + a_1 x}{ax^2 + bx + c} = \frac1a\left[\frac{A}{x - x_1} + \frac{B}{x - x_2}\right]$

Esempio. $\int \frac{2x + 1}{2x^2 - 5x + 2}\,dx$ . $\Delta = 25 - 16 = 9 > 0$ , $x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4}$ , cioè $2$ e $\frac12$ : $2x^2 - 5x + 2 = 2(x - 2)\left(x - \tfrac12\right)$ $\frac{2x + 1}{2x^2 - 5x + 2} = \frac12\left[\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - \frac12}\right] = \frac{(A + B)\,x - \frac12 A - 2B}{2(x - 2)(x - \frac12)}$ Coefficienti di $x$ : $A + B = 2$ ; termini noti: $-\frac12 A - 2B = 1$ . Da $B = 2 - A$ : $-\frac12 A - 4 + 2A = 1$ , cioè $\frac32 A = 5$ , $A = \frac{10}{3}$ , $B = -\frac43$ . Quindi $I = \frac12\left[\frac{10}{3}\log|x - 2| - \frac43\log\left|x - \tfrac12\right|\right] + k = \frac53\log|x - 2| - \frac23\log\left|x - \tfrac12\right| + k$

Formula (denominatore con radice doppia, Δ = 0). $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2, \qquad I = \frac1a\int \frac{a_0 + a_1 x}{(x - x_1)^2}\,dx$

Esempio. $\int \frac{2x - 1}{4x^2 + 4x + 1}\,dx$ : $\frac\Delta4 = 4 - 4 = 0$ e $4x^2 + 4x + 1 = 4\left(x + \frac12\right)^2$ . Con $y = x + \frac12$ , $x = y - \frac12$ : $\frac14\int \frac{2\left(y - \frac12\right) - 1}{y^2}\,dy = \frac14\int\left[\frac{2}{y} - \frac{2}{y^2}\right] dy = \frac12\log|y| + \frac{1}{2y} + k = \frac12\log\left|x + \tfrac12\right| + \frac{1}{2\left(x + \frac12\right)} + k$

Formula (denominatore senza radici reali, Δ < 0). $I_1 = \frac{1}{R^2}\int\frac{dx}{\left[\frac1R\left(x + \frac b2\right)\right]^2 + 1} = \frac1R\int\frac{\frac1R\,dx}{[\ldots]^2 + 1} = \frac1R\int\frac{dy}{y^2 + 1} = \frac1R\arctan\left(\frac{x + \frac b2}{R}\right) + k$

Esempio. $\int\frac{dx}{x^2 + x + 4}$ : $\Delta = 1 - 16 < 0$ , e $x^2 + x + 4 = \left(x + \tfrac12\right)^2 - \tfrac14 + 4 = \left(x + \tfrac12\right)^2 + \tfrac{15}{4}, \qquad R = \frac{\sqrt{15}}{2}$ quindi $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2 + x + 4} = \frac{2}{\sqrt{15}}\arctan\left(\frac{2}{\sqrt{15}}\left(x + \tfrac12\right)\right) + k$ .

Formula (numeratore di grado maggiore o uguale: divisione tra polinomi). $P(x) = D(x)\,Q(x) + R(x) \qquad \Longrightarrow \qquad \int\frac{P(x)}{Q(x)}\,dx = \int D(x)\,dx + \int\frac{R(x)}{Q(x)}\,dx$

Esempio. $\int\frac{3x^4 - 2x^3 + 1}{x^2 + 1}\,dx$ : la divisione dà $3x^4 - 2x^3 + 1 = (3x^2 - 2x - 3)(x^2 + 1) + (2x + 4)$ , quindi $\int(3x^2 - 2x - 3)\,dx + \int\frac{2x}{x^2 + 1}\,dx + 4\int\frac{dx}{x^2 + 1} = x^3 - x^2 - 3x + \log(x^2 + 1) + 4\arctan x + k$

Integrali riconducibili a funzioni razionali

Formula (integrali del tipo R(f(x)) f'(x)). $\int R(f(x))\,f'(x)\,dx = \int R(y)\,dy$

Esempio. $\displaystyle\int\frac{dx}{(1 + x^2)\left[\arctan^2 x + 2\arctan x + 3\right]}$ : compare $\frac{1}{1+x^2}$ , derivata di $\arctan x$ . Con $y = \arctan x$ diventa $\displaystyle\int\frac{dy}{y^2 + 2y + 3}$ , razionale con $\frac\Delta4 = 1 - 3 < 0$ (completamento dei quadrati).

Formula (integrali razionali in e^x). $\int R(e^x)\,dx = \int\frac{R(e^x)}{e^x}\,e^x\,dx = \int\frac{R(y)}{y}\,dy$

Esempio. $\displaystyle\int\frac{dx}{2^x - 1}$ : si moltiplica sopra e sotto per $2^x$ , $\displaystyle\int\frac{2^x\,dx}{2^x(2^x - 1)}$ , e con $y = 2^x$ , $2^x\,dx = \frac{dy}{\log 2}$ , diventa $\displaystyle\frac{1}{\log 2}\int\frac{dy}{y(y - 1)}$ : fratti semplici con $\Delta > 0$ .

Formula (sostituzione t = tan(x/2)). $t = \tan\frac x2 \quad \Longleftrightarrow \quad x = 2\arctan t \qquad (\text{per } -\pi < x < \pi)$ Allora $dx = \frac{2}{1 + t^2}\,dt$ , e seno e coseno si esprimono razionalmente in $t$ (sono le formule parametriche, dalle formule di duplicazione): $\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \qquad \tan x = \frac{2t}{1 - t^2}$

Esempio. $\displaystyle\int\frac{dx}{\sin x} = \int\frac{1 + t^2}{2t}\cdot\frac{2}{1 + t^2}\,dt = \int\frac{dt}{t} = \log|t| + k = \log\left|\tan\frac x2\right| + k$ .

Integrali di funzioni irrazionali

Formula (radici con indici diversi). $y = \sqrt[N]{x} \quad (\text{oppure } y = \sqrt[N]{x + a}), \qquad N = \text{mcm}\{n, m\}$

Esempio. $\int\frac{\sqrt x + 5}{x + 2\sqrt x}\,dx$ : c'è solo $\sqrt x$ ( $N = 2$ ). Con $y = \sqrt x$ , $x = y^2$ , $dx = 2y\,dy$ : $\int\frac{y + 5}{y^2 + 2y}\cdot 2y\,dy = 2\int\frac{y + 5}{y + 2}\,dy = 2\int\left[1 + \frac{3}{y + 2}\right] dy = 2y + 6\log|y + 2| + k = 2\sqrt x + 6\log(\sqrt x + 2) + k$

Formula (integrale di √(R² − x²)). $\int\sqrt{R^2 - x^2}\,dx = \frac{R^2}{2}\left(\arcsin\frac xR + \frac xR\sqrt{1 - \frac{x^2}{R^2}}\right) + k = \frac12\left(R^2\arcsin\frac xR + x\sqrt{R^2 - x^2}\right) + k$

Esempio. $\int_0^2 \sqrt{4 - x^2}\,dx = \pi$ , l'area di un quarto di cerchio di raggio $2$ .

Integrali impropri

Definizione (integrale improprio). Integrale improprio (o in senso generalizzato, "in s.g.").

1(a) $f : [a, +\infty[ \to \mathbb{R}$ , integrabile in $[a, x]$ per ogni $x > a$ : $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt = \lim_{x \to +\infty}\int_a^x f(t)\,dt$ 1(b) $f : \,]-\infty, a] \to \mathbb{R}$ , integrabile in $[x, a]$ per ogni $x < a$ : $\int_{-\infty}^{a} f(t)\,dt = \lim_{x \to -\infty}\int_x^a f(t)\,dt$ 2(a) $f : \,]a, b] \to \mathbb{R}$ , integrabile in $[x, b]$ per ogni $a < x < b$ : $\int_a^b f(t)\,dt = \lim_{x \to a^+}\int_x^b f(t)\,dt$ 2(b) $f : [a, b[ \to \mathbb{R}$ , integrabile in $[a, x]$ per ogni $a < x < b$ : $\int_a^b f(t)\,dt = \lim_{x \to b^-}\int_a^x f(t)\,dt$

Esempio. $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right) = 1$ : l'integrale converge.

Criteri di convergenza per gli integrali impropri

Proprietà (integrale improprio di una funzione non negativa). Se $f \ge 0$ nel suo intervallo di definizione (in uno dei casi 1(a), 1(b), 2(a), 2(b)), l'integrale improprio di $f$ esiste sempre, finito oppure $+\infty$ .

Esempio. $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^2}$ ha integranda $\ge 0$ , quindi esiste: vale $\lim_{x \to +\infty} \arctan x - \arctan 1 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ .

Criterio (del confronto per gli integrali impropri). Siano $f, g$ integrabili sugli intervalli limitati $[a, x]$ (caso 1(a); analogamente negli altri casi), con $0 \le f(x) \le g(x).$

Se $g$ è integrabile in s.g., anche $f$ lo è.

Se $f$ non è integrabile in s.g., neppure $g$ lo è.

Esempio. $0 \le \frac{1}{1 + x^2} \le \frac{1}{x^2}$ e $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2}$ converge, quindi converge anche $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^2}$ .

Criterio (del confronto asintotico per gli integrali impropri). Siano $f, g$ definitivamente $> 0$ vicino all'estremo problematico (per esempio per $x \to +\infty$ ).

(A) Se $f(x) \sim L \cdot g(x)$ , con $L \in \mathbb{R}$ , $L \ne 0$ : $f$ è integrabile in s.g. se e solo se lo è $g$ .

(B) Se $f(x) = o(g(x))$ : se $g$ è integrabile in s.g., anche $f$ lo è; se $f$ non lo è, neppure $g$ .

Esempio. $\frac{x + 1}{x^3 + 2} \sim \frac{1}{x^2}$ per $x \to +\infty$ e $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2}$ converge: converge anche $\int_1^{+\infty} \frac{x + 1}{x^3 + 2}\,dx$ .

Proprietà (funzioni test 1/x^α). $\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha} \text{ converge} \iff \alpha > 1, \qquad\qquad \int_0^1\frac{dx}{x^\alpha} \text{ converge} \iff \alpha < 1$ (il secondo anche per $\alpha \le 0$ , quando non è nemmeno improprio).

Esempio. $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^{3/2}}$ converge ( $\alpha = \frac{3}{2} > 1$ ), $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}}$ diverge; $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2$ converge ( $\alpha = \frac{1}{2} < 1$ ).

Grafico interattivo: y = 1/x: né l'area da 1 a +∞ né quella da 0 a 1 è finita (α = 1 diverge in entrambi i casi)

Proprietà (condizione necessaria di convergenza). Se $f \ge 0$ definitivamente per $x \to +\infty$ , $f$ è integrabile in s.g. in $[a, +\infty[$ ed esiste $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ , allora questo limite è $0$ .

Esempio. $\int_1^{+\infty} \frac{x}{x + 1}\,dx$ non converge: l'integranda tende a $1 \ne 0$ (e infatti l'integrale vale $+\infty$ ).

Criterio (confronto asintotico con 1/x^α all'infinito). Sia $f$ definitivamente $\ge 0$ per $x \to +\infty$ e integrabile su ogni $[a, x]$ .

(A) Se $f(x) \sim L \cdot \frac{1}{x^\alpha}$ ( $L \ne 0$ ): $f$ è integrabile in s.g. su $[a, +\infty[$ $\iff \alpha > 1$ .

(B) Se $\lim_{x \to +\infty} x^\alpha f(x) = 0$ per qualche $\alpha > 1$ : $f$ è integrabile in s.g.

(C) Se $\lim_{x \to +\infty} x^\alpha f(x) = +\infty$ per qualche $\alpha \le 1$ : $f$ non è integrabile in s.g.

Esempio. $f(x) = \frac{\log x}{x^{3/2}}$ : con $\alpha = \frac{5}{4} > 1$ si ha $x^{5/4} f(x) = \frac{\log x}{x^{1/4}} \to 0$ , quindi $\int_1^{+\infty} f(x)\,dx$ converge.

Proprietà (funzioni test 1/(x^α log^β x)). $\int_2^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha\log^\beta x} \text{ converge} \iff \alpha > 1 \ (\forall\beta \in \mathbb{R}) \quad \text{oppure} \quad \alpha = 1,\ \beta > 1$

Esempio. $\int_2^{+\infty} \frac{dx}{x \log^2 x}$ converge ( $\alpha = 1$ , $\beta = 2 > 1$ ); $\int_2^{+\infty} \frac{dx}{x \log x}$ diverge ( $\beta = 1$ ).

Criterio (dell'integrale per le serie). Sia $f : [1, +\infty[ \to [0, +\infty[$ decrescente. Allora $\sum_{n=1}^{+\infty} f(n) \text{ converge} \iff \int_1^{+\infty} f(x)\,dx \text{ converge.}$

Esempio. $f(x) = \frac{1}{x^2}$ è decrescente e $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2}$ converge, quindi converge $\sum \frac{1}{n^2}$ ; con $f(x) = \frac{1}{x}$ l'integrale diverge e diverge $\sum \frac{1}{n}$ .

Criterio (confronto asintotico in ]0, b]). Sia $f$ definitivamente $\ge 0$ per $x \to 0^+$ e integrabile su ogni $[x, b]$ .

(A) $f(x) \sim \frac{L}{x^\alpha}$ per $x \to 0^+$ ( $L \ne 0$ ): $f$ integrabile in s.g. $\iff \alpha < 1$ .

(A') $f(x) \sim \frac{L}{x^\alpha|\log x|^\beta}$ : integrabile $\iff \alpha < 1$ ( $\forall\beta$ ), oppure $\alpha = 1$ e $\beta > 1$ .

(B) $\lim_{x \to 0^+} x^\alpha f(x) = 0$ per qualche $\alpha < 1$ : l'integrale converge.

(C) $\lim_{x \to 0^+} x^\alpha f(x) = +\infty$ per qualche $\alpha \ge 1$ : l'integrale diverge.

Esempio. $\frac{\sin x}{x^{3/2}} \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$ per $x \to 0^+$ , con $\alpha = \frac{1}{2} < 1$ : l'integrale su $]0, 1]$ converge. Invece $\frac{1}{x}$ ( $\alpha = 1$ ) non è integrabile.

XII. Equazioni differenziali

Equazioni differenziali - introduzione e problema di Cauchy

Definizione (equazione differenziale ordinaria e integrale generale). Un'equazione differenziale ordinaria è

del primo ordine: $y' = f(t, y)$ ;

del secondo ordine: $y'' = f(t, y, y')$ ;

di ordine $n$ : $y^{(n)} = f(t, y, y', \dots, y^{(n-1)})$ .

L'integrale generale di un'equazione di ordine $n$ è l'insieme delle sue soluzioni: le funzioni $y \in C^n(I)$ , con $I$ intervallo, tali che $y^{(n)}(t) = f\big(t, y(t), y'(t), \dots, y^{(n-1)}(t)\big) \qquad \forall t \in I$

Esempio. $y' = ay$ è del primo ordine e $y'' = 5$ del secondo; l'integrale generale di $y'' = 5$ è $y(t) = \frac{5}{2}t^2 + c_1 t + c_2$ , con $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$ .

Definizione (problema di Cauchy del primo ordine). Dati un istante $t_0 \in \mathbb{R}$ e un valore $x_0 \in \mathbb{R}$ (la condizione iniziale), il problema di Cauchy $\begin{cases} y' = f(t, y) \\ y(t_0) = x_0 \end{cases}$ chiede di trovare $y \in C^1(I)$ , con $I$ intervallo contenente $t_0$ , che risolve l'equazione e ha $y(t_0) = x_0$ .

Il più grande intervallo $I$ contenente $t_0$ su cui è definita la soluzione si chiama intervallo massimale di definizione della soluzione.

Esempio. $y' = 2y$ , $y(0) = 3$ ha la soluzione $y(t) = 3e^{2t}$ , definita su tutto $\mathbb{R}$ .

Definizione (problema di Cauchy del secondo ordine). Date due condizioni iniziali $x_0, x_1 \in \mathbb{R}$ in un istante $t_0$ , il problema di Cauchy $\begin{cases} y'' = f(t, y, y') \\ y(t_0) = x_0 \\ y'(t_0) = x_1 \end{cases}$ chiede di trovare $y \in C^2(I)$ , con $I$ intervallo contenente $t_0$ , che risolve l'equazione e le due condizioni.

Esempio. $y'' = 5$ , $y(1) = 1$ , $y'(1) = -1$ ha la soluzione $y(t) = \frac{5}{2}t^2 - 6t + \frac{9}{2}$ , perché $y'(t) = 5t - 6$ e $y(1) = \frac{5}{2} - 6 + \frac{9}{2} = 1$ .

Equazioni differenziali lineari del primo ordine

Definizione (equazione lineare del primo ordine). Un'equazione differenziale lineare del primo ordine è $y' + a(t)\,y = b(t), \qquad a, b \in C(I), \ I \text{ intervallo}$

Esempio. $y' + 2y = e^t$ è lineare del primo ordine, con $a(t) = 2$ e $b(t) = e^t$ .

Teorema 1 (esistenza e unicità globale, senza dimostrazione). Siano $a, b \in C(I)$ , con $I$ intervallo.

L'integrale generale di $y' + a(t)\,y = b(t)$ è fatto di funzioni $y \in C^1(I)$ , definite sullo stesso intervallo $I$ di $a$ e $b$ .

Per ogni condizione iniziale $x_0 \in \mathbb{R}$ in un istante $t_0 \in I$ , il problema di Cauchy $\begin{cases} y' + a(t)\,y = b(t) \\ y(t_0) = x_0 \end{cases}$ ha una e una sola soluzione $y \in C^1(I)$ .

Esempio. $y' + y = 0$ , $y(0) = 1$ ha una sola soluzione, $y(t) = e^{-t}$ , definita su tutto $\mathbb{R}$ .

Teorema 2. Siano $a, b \in C(I)$ , $I$ intervallo.

L'integrale generale di $y' + a(t)\,y = b(t)$ è $y(t) = e^{-A(t)}\left[c + \int e^{A(t)}\,b(t)\,dt\right] \qquad \forall c \in \mathbb{R}$ dove $A(t) = \int a(t)\,dt$ è una primitiva di $a$ (senza costante) e $\int e^{A(t)}b(t)\,dt$ è una primitiva di $e^{A(t)}b(t)$ (senza costante: l'unica costante è $c$ ).

La soluzione del problema di Cauchy con $y(t_0) = x_0$ , $t_0 \in I$ , è $y(t) = e^{-A(t)}\left[x_0 + \int_{t_0}^t e^{A(s)}\,b(s)\,ds\right], \qquad A(t) = \int_{t_0}^t a(s)\,ds$ (così $A(t_0) = 0$ ).

Esempio. $y' + y = 1$ : $A(t) = t$ e $y(t) = e^{-t}\left[c + \int e^t\,dt\right] = e^{-t}(c + e^t) = c\,e^{-t} + 1$ .

Equazioni differenziali lineari del secondo ordine

Definizione (equazione lineare del secondo ordine). Un'equazione differenziale lineare del secondo ordine è $\bar a_2(t)\,y'' + \bar a_1(t)\,y' + \bar a_0(t)\,y = \bar b(t), \qquad \bar a_2, \bar a_1, \bar a_0, \bar b \in C(I),\ \bar a_2(t) \ne 0\ \ \forall t \in I$ con $I$ intervallo. Dividendo per $\bar a_2(t) \ne 0$ si ottiene la forma equivalente $y'' + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = b(t), \qquad a_1 = \frac{\bar a_1}{\bar a_2},\ a_0 = \frac{\bar a_0}{\bar a_2},\ b = \frac{\bar b}{\bar a_2} \in C(I)$

Esempio. $y'' - 3y' + 2y = t$ è lineare del secondo ordine a coefficienti costanti, con $a_1 = -3$ , $a_0 = 2$ e $b(t) = t$ .

Teorema 1 (esistenza e unicità globale, senza dimostrazione). Siano $a_0, a_1, b \in C(I)$ .

L'integrale generale di $y'' + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = b(t)$ è fatto di funzioni $y \in C^2(I)$ , definite sullo stesso intervallo $I$ .

Per ogni scelta delle condizioni iniziali $x_0, x_1 \in \mathbb{R}$ in un istante $t_0 \in I$ , il problema di Cauchy $\begin{cases} y'' + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = b(t) \\ y(t_0) = x_0, \quad y'(t_0) = x_1 \end{cases}$ ha una e una sola soluzione $y \in C^2(I)$ .

Esempio. $y'' + y = 0$ , $y(0) = 0$ , $y'(0) = 1$ ha una sola soluzione, $y(t) = \sin t$ , definita su tutto $\mathbb{R}$ .

Definizione (funzioni linearmente indipendenti). Due funzioni $y_1, y_2$ (almeno continue su un intervallo $I$ ) sono linearmente dipendenti se esistono $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$ , non entrambi nulli, tali che $c_1\,y_1(t) + c_2\,y_2(t) = 0 \qquad \forall t \in I$ Altrimenti sono linearmente indipendenti (l.i.).

Esempio. $e^t$ ed $e^{2t}$ sono indipendenti (il rapporto $e^t$ non è costante); $e^t$ e $3e^t$ sono dipendenti, perché $3e^t - 3e^t = 0$ .

Teorema 2. Siano $\bar a_0, \bar a_1, \bar a_2 \in C(I)$ .

Se $y_1, y_2 \in C^2(I)$ sono soluzioni dell'equazione omogenea $\bar a_2(t)\,y'' + \bar a_1(t)\,y' + \bar a_0(t)\,y = 0 \tag{$E_0$}$ allora anche $y = c_1 y_1 + c_2 y_2$ è soluzione di $(E_0)$ , per ogni $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$ .

Se $\bar a_2(t) \ne 0$ per ogni $t \in I$ e $y_1, y_2$ sono soluzioni di $(E_0)$ linearmente indipendenti (due soluzioni così esistono sempre), l'integrale generale dell'omogenea è $y(t) = c_1\,y_1(t) + c_2\,y_2(t) \qquad \forall t \in I,\ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$

Esempio. $y'' - 3y' + 2y = 0$ ha le soluzioni indipendenti $e^t$ ed $e^{2t}$ , quindi il suo integrale generale è $c_1 e^t + c_2 e^{2t}$ .

Criterio (del wronskiano). Metodo del wronskiano (senza dimostrazione). Siano $y_1, y_2 \in C^2(I)$ soluzioni dell'omogenea $(E_0)$ , con $\bar a_2(t) \ne 0$ su $I$ . Allora $y_1, y_2 \text{ sono l.i.} \iff \exists\, t_0 \in I: \ W(t_0) = \det\begin{pmatrix} y_1(t_0) & y_2(t_0) \\ y_1'(t_0) & y_2'(t_0) \end{pmatrix} = y_1(t_0)\,y_2'(t_0) - y_2(t_0)\,y_1'(t_0) \ne 0$ $W$ si chiama determinante wronskiano. In realtà, per soluzioni dell'omogenea, $W(t_0) \ne 0$ in un punto se e solo se $W(t) \ne 0$ in tutti i punti di $I$ .

Esempio. $y_1 = e^t$ , $y_2 = e^{2t}$ (soluzioni di $y'' - 3y' + 2y = 0$ ): $W(0) = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix} = 2 - 1 = 1 \ne 0$ , quindi sono indipendenti.

Teorema 3. Siano $\bar a_0, \bar a_1, \bar a_2, \bar b \in C(I)$ .

Se $y_p$ è una soluzione dell'equazione completa $\bar a_2 y'' + \bar a_1 y' + \bar a_0 y = \bar b$ (una soluzione particolare), allora tutte le soluzioni della completa sono la somma di $y_p$ con una soluzione dell'omogenea: $\text{integrale generale della completa} = y_p + \text{integrale generale dell'omogenea}$

Quindi, se $\bar a_2 \ne 0$ su $I$ e $y_1, y_2$ sono soluzioni l.i. dell'omogenea, l'integrale generale della completa è $y(t) = y_p(t) + c_1\,y_1(t) + c_2\,y_2(t) \qquad \forall t \in I,\ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$

Esempio. $y'' - y = 2$ ha la soluzione particolare $y_p = -2$ e l'omogenea ha le soluzioni $e^t$ ed $e^{-t}$ : l'integrale generale è $-2 + c_1 e^t + c_2 e^{-t}$ .

Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo

Teorema. Il polinomio caratteristico di $(E_0)$ è $p(\lambda) = \lambda^2 + a_1\,\lambda + a_0$ (si ottiene sostituendo $y'' \to \lambda^2$ , $y' \to \lambda$ , $y \to 1$ ). Sia $\Delta = a_1^2 - 4a_0$ il suo discriminante.

$\Delta > 0$ : $p(\lambda) = 0$ ha due radici reali distinte $\lambda_1 \ne \lambda_2$ , e l'integrale generale è $y(t) = c_1\,e^{\lambda_1 t} + c_2\,e^{\lambda_2 t} \qquad \forall t \in \mathbb{R},\ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$

$\Delta = 0$ : un'unica radice $\lambda_1 = \lambda_2$ , di molteplicità $2$ , e $y(t) = (c_1 + c_2\,t)\,e^{\lambda_1 t}$

$\Delta < 0$ : due radici complesse coniugate $\lambda_{1,2} = \alpha \pm i\omega$ , con $\omega > 0$ , e $y(t) = e^{\alpha t}\big(c_1\cos(\omega t) + c_2\sin(\omega t)\big)$

Esempio. $y'' - 3y' + 2y = 0$ : $\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$ ha radici $1$ e $2$ ( $\Delta > 0$ ), quindi $y = c_1 e^t + c_2 e^{2t}$ . Per $y'' + 2y' + y = 0$ ( $\Delta = 0$ , $\lambda = -1$ ): $y = (c_1 + c_2 t)\,e^{-t}$ . Per $y'' + 2y' + 5y = 0$ ( $\lambda = -1 \pm 2i$ ): $y = e^{-t}(c_1 \cos 2t + c_2 \sin 2t)$ .

Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completa

Criterio (metodo di somiglianza). Metodo. Sia $b(t) = Q_m(t)\,e^{\alpha t}\cos(\omega t)$ (oppure con $\sin(\omega t)$ ), con $Q_m$ polinomio di grado $m$ , $\alpha \in \mathbb{R}$ , $\omega \ge 0$ . Si considera il numero (eventualmente complesso) $\bar\lambda = \alpha + i\omega$ e lo si confronta con le radici del polinomio caratteristico $p(\lambda) = \lambda^2 + a_1\lambda + a_0$ .

$p(\bar\lambda) \ne 0$ ( $\bar\lambda$ non è una radice): una soluzione particolare è $y_p^1(t) = e^{\alpha t}\left(Q_m^1(t)\cos(\omega t) + Q_m^2(t)\sin(\omega t)\right)$ con $Q_m^1(t) = A_0 + A_1 t + \dots + A_m t^m$ e $Q_m^2(t) = B_0 + B_1 t + \dots + B_m t^m$ polinomi di grado $m$ i cui coefficienti si trovano sostituendo $y_p^1$ nell'equazione.

$\bar\lambda$ è una radice semplice (di molteplicità $1$ ) di $p$ : $y_p(t) = t\cdot y_p^1(t)$ .

$\bar\lambda$ è una radice doppia di $p$ (succede solo con $\Delta = 0$ e $\bar\lambda$ reale): $y_p(t) = t^2\cdot y_p^1(t)$ .

Nei casi 2 e 3 si parla di fenomeno della risonanza.

Esempio. $y'' - 3y' + 2y = e^t$ : $\bar\lambda = 1$ è radice semplice di $p(\lambda) = \lambda^2 - 3\lambda + 2$ , quindi $y_p = A\,t\,e^t$ ; sostituendo si trova $A = -1$ , cioè $y_p = -t\,e^t$ .

Principio (di sovrapposizione). Se $b(t) = b_1(t) + b_2(t)$ , l'integrale generale di $y'' + a_1 y' + a_0 y = b_1(t) + b_2(t)$ è $y(t) = y_0(t) + y_{p_1}(t) + y_{p_2}(t)$ dove $y_0$ è l'integrale generale dell'omogenea, $y_{p_1}$ una soluzione particolare di $y'' + a_1 y' + a_0 y = b_1(t)$ e $y_{p_2}$ una di $y'' + a_1 y' + a_0 y = b_2(t)$ .

Esempio. $y'' - y = 2 + e^{2t}$ : per $b_1 = 2$ si ha $y_{p_1} = -2$ e per $b_2 = e^{2t}$ si ha $y_{p_2} = \frac{1}{3}e^{2t}$ , quindi $y_p = -2 + \frac{1}{3}e^{2t}$ .

Equazioni differenziali a variabili separabili

Definizione (equazione a variabili separabili). Un'equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili è $y'(t) = a(t)\cdot b(y), \qquad a \in C(I),\ b \in C(J),\ I, J \text{ intervalli}$

Esempio. $y' = t\,y^2$ è a variabili separabili, con $a(t) = t$ e $b(y) = y^2$ .

Teorema 1 (senza dimostrazione). Siano $a \in C(I)$ , $b \in C(J)$ , e sia fissata una condizione iniziale $x_0 \in J$ in un istante $t_0 \in I$ . Per il problema di Cauchy $\begin{cases} y' = a(t)\,b(y) \\ y(t_0) = x_0 \end{cases}$

se $a$ e $b$ sono solo continue, la soluzione esiste ma può non essere unica, e l'intervallo massimale $I_{\max}$ può essere strettamente contenuto in $I$ ;

se $a$ è continua e $b \in C^1(J)$ , la soluzione è unica, ma $I_{\max}$ può ancora essere più piccolo di $I$ ;

se $a$ è continua, $b \in C^1(\mathbb{R})$ e inoltre $b$ oppure $b'$ è limitata, c'è un'unica soluzione definita su tutto $I$ ( $I_{\max} = I$ ).

Esempio. $y' = 3y^{2/3}$ , $y(0) = 0$ ha le due soluzioni $y = 0$ e $y = t^3$ : se $b$ è solo continua l'unicità può mancare.

Proprietà (integrale generale delle equazioni a variabili separabili). L'integrale generale è l'unione delle soluzioni costanti (punto 1) e delle soluzioni $y(t) = B^{-1}(A(t) + c)$ (punto 2).

Esempio. $y' = y$ : la soluzione costante è $y = 0$ e le altre soddisfano $\log|y| = t + c$ , cioè $y = k\,e^t$ ; l'integrale generale è $y = k\,e^t$ , con $k \in \mathbb{R}$ .