Valore assoluto (o modulo)

Lezione 6. Esercizi svolti della prof: Esercizio 14 · disequazione con un modulo ($x|x-1| - 5x + 5 \ge 0$) e Esercizio 15 · disequazione con due moduli e un parametro ($\big||x+1| - 5\big| \le a$).

Il valore assoluto di un numero reale $x$, detto anche modulo, si scrive $|x|$ (due barre verticali attorno al numero).

Definizione

Definizione (valore assoluto). $$|x| = \begin{cases} x & \text{se } x \ge 0 \\ -x & \text{se } x < 0 \end{cases}$$

Esempio. $|3| = 3$, $|0| = 0$ e $|-5| = -(-5) = 5$.

In parole: se il numero è positivo o zero, il valore assoluto è il numero stesso; se è negativo, si cambia il segno e si ottiene il numero positivo opposto.

Attenzione al "$-x$". Nel secondo caso $x$ è negativo, quindi $-x$ è positivo. Per esempio se $x = -5$ allora $-x = -(-5) = 5$. Il segno meno nella formula non rende il risultato negativo: serve proprio a "rimuovere" il segno meno del numero. Per questo $|x| \ge 0$ sempre.

Esempi di calcolo

L'ultimo esempio mostra un uso tipico: se dentro il modulo c'è un'espressione, bisogna prima capire se è positiva o negativa, e poi applicare il caso giusto.

Significato geometrico: la distanza

Sulla retta reale, $|x|$ è la distanza di $x$ dall'origine $0$.

• $|5| = 5$: il punto $5$ sta a distanza $5$ da $0$.
• $|-5| = 5$: il punto $-5$ sta anch'esso a distanza $5$ da $0$, ma dall'altra parte.

Una distanza non può essere negativa, ed è per questo che $|x| \ge 0$.

Più in generale, la distanza tra due numeri $a$ e $b$ è

$$|a - b|$$

Per esempio la distanza tra $7$ e $3$ è $|7 - 3| = 4$; tra $-1$ e $2$ è $|-1 - 2| = |-3| = 3$. Notare che $|a - b| = |b - a|$: la distanza non dipende dall'ordine.

In particolare, $|x - 2|$ è la distanza di $x$ da $2$: vale $0$ solo in $x = 2$ e cresce allontanandosi da $2$ da entrambe le parti.

Il grafico di $|x|$

Il grafico di $f(x) = |x|$ ha forma di "V":

• per $x \ge 0$ coincide con la retta $y = x$ (la diagonale che sale);
• per $x < 0$ coincide con la retta $y = -x$ (la diagonale che scende verso sinistra, cioè simmetrica rispetto all'asse $y$).

Il punto più basso è $(0, 0)$, e il grafico sta sempre sopra l'asse $x$ (o sopra, perché $|x| \ge 0$).

Spostare il grafico. Il grafico di $|x - 2|$ è lo stesso a V, ma con il vertice spostato in $x = 2$ (dove la distanza da $2$ vale $0$):

Proprietà fondamentali

Per ogni $x, y \in \mathbb{R}$:

Proprietà (valore assoluto).

1. $|x| \ge 0$, e $|x| = 0$ se e solo se $x = 0$. (La distanza da $0$ è nulla solo nel punto $0$.)
2. $|-x| = |x|$. (Un numero e il suo opposto sono alla stessa distanza da $0$.)
3. $|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$.
4. $\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}$ per $y \ne 0$.
5. $|x|^2 = x^2$, e quindi $\sqrt{x^2} = |x|$ (non $x$!). Esempio: $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$.
6. $-|x| \le x \le |x|$. (Il numero sta tra il suo modulo cambiato di segno e il suo modulo.)
7. Disuguaglianza triangolare: $|x + y| \le |x| + |y|$.
8. Disuguaglianza di Cauchy–Schwarz: $\left|\sum a_i b_i\right| \le \sqrt{\sum a_i^2}\,\sqrt{\sum b_i^2}$ (spiegata più sotto, in una sezione dedicata).

Esempio. Con $x = 3$ e $y = -5$: $|xy| = 15 = 3 \cdot 5 = |x||y|$ e $|x + y| = |-2| = 2 \le 8 = |x| + |y|$.

Le proprietà come le elenca la prof (lezione 6)

Per ogni $x, y \in \mathbb{R}$ e ogni $r \in \mathbb{R}$:

1. $|x| \ge 0$, e $|x| = 0 \iff x = 0$.
2. $|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$; se $y \ne 0$, $\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}$.

   Proprietà (equazioni e disequazioni con il modulo). 3. Equazione $|x| = r$: se $r < 0$ nessuna soluzione ($\emptyset$); se $r = 0$ l'unica soluzione è $x = 0$; se $r > 0$ due soluzioni, $x = \pm r$. 4. Disequazione $|x| \le r$: se $r < 0$ nessuna soluzione; se $r = 0$ solo $x = 0$; se $r > 0$, $-r \le x \le r$. 5. Disequazione $|x| \ge r$: se $r < 0$ ogni $x \in \mathbb{R}$; se $r = 0$ ogni $x \in \mathbb{R}$; se $r > 0$, $x \le -r$ oppure $x \ge r$.

Esempio. $|2x - 1| \le 3 \iff -3 \le 2x - 1 \le 3 \iff -1 \le x \le 2$, cioè $x \in [-1, 2]$.

6. Disuguaglianza triangolare: $|x + y| \le |x| + |y|$.
7. $|x \cdot y| \le \dfrac{x^2 + y^2}{2}$ (la prof la chiama disuguaglianza di Cauchy–Schwarz; vedi la nota sotto).

Perché bisogna distinguere il segno di $r$. Un modulo è sempre $\ge 0$. Quindi "$|x| = -3$" o "$|x| \le -3$" sono impossibili, mentre "$|x| \ge -3$" è sempre vera. Se $r = 0$: "$|x| \le 0$" vale solo quando $|x| = 0$, cioè $x = 0$; "$|x| \ge 0$" vale sempre.

Dimostrazione della 4 (caso $r > 0$), come la fa la prof. Si scrive la definizione di $|x|$ e si separano i due casi, ognuno con il suo sistema:

$$|x| \le r \iff \begin{cases} x \ge 0 \\ x \le r \end{cases} \ \cup \ \begin{cases} x < 0 \\ -x \le r \end{cases} \iff (0 \le x \le r) \ \cup \ (-r \le x < 0) \iff -r \le x \le r$$

(nel secondo sistema $-x \le r$ diventa $x \ge -r$ moltiplicando per $-1$, che inverte il verso). Le due parti, $[0, r]$ e $[-r, 0)$, unite danno $[-r, r]$.

Dimostrazione della 7. Un quadrato non è mai negativo, quindi

$$0 \le (|x| - |y|)^2 = |x|^2 - 2|x|\,|y| + |y|^2 = x^2 - 2|x \cdot y| + y^2$$

(usando $|x|^2 = x^2$ e la proprietà 2, $|x|\,|y| = |x \cdot y|$). Portando $2|xy|$ a sinistra: $2|x \cdot y| \le x^2 + y^2$, e dividendo per $2$ si ottiene la tesi ∎. L'uguaglianza vale quando $|x| = |y|$. Esempio: $x = 3$, $y = 1$: $|3| = 3 \le \frac{9 + 1}{2} = 5$ ✓.

Metodo grafico (lezione 7). Le proprietà 4 e 5 si "vedono" sul grafico di $y = |x|$ (la V): le soluzioni di $|x| \ge r$ sono le $x$ in cui la V sta sopra la retta orizzontale $y = r$, cioè fuori dall'intervallo $(-r, r)$; quelle di $|x| \le r$ sono le $x$ in cui la V sta sotto. Il metodo grafico in generale è spiegato in Funzioni - definizione, dominio e graficoUna funzione associa a ogni elemento del dominio un solo valore: dominio naturale, grafico, immagine, antimmagine e metodo grafico.Funzioni - definizione, dominio e grafico →.

Perché valgono (dimostrazioni)

Proprietà 3 ($|xy| = |x||y|$). Si procede per casi sui segni:

• se $x \ge 0$ e $y \ge 0$: $xy \ge 0$, quindi $|xy| = xy = |x||y|$;
• se $x < 0$ e $y < 0$: $xy > 0$, quindi $|xy| = xy$; e $|x||y| = (-x)(-y) = xy$ ✓;
• se $x \ge 0$ e $y < 0$: $xy \le 0$, quindi $|xy| = -xy$; e $|x||y| = x \cdot (-y) = -xy$ ✓;
• il caso $x < 0$, $y \ge 0$ è analogo.

Proprietà 6 ($-|x| \le x \le |x|$).

• Se $x \ge 0$: $|x| = x$, quindi $x \le |x|$ vale come uguaglianza, e $-|x| = -x \le 0 \le x$ ✓.
• Se $x < 0$: $|x| = -x$, quindi $x = -|x|$ (la prima uguaglianza) e $-|x| \le x$ vale come uguaglianza; inoltre $x < 0 \le |x|$ ✓.

Proprietà 7 (disuguaglianza triangolare). Dalla proprietà 6 applicata a $x$ e a $y$:

$$-|x| \le x \le |x| \qquad -|y| \le y \le |y|$$

Sommando membro a membro le disuguaglianze (si possono sommare disuguaglianze dello stesso verso):

$$-(|x| + |y|) \le x + y \le |x| + |y|$$

Questo dice che $x + y$ sta tra $-c$ e $c$ con $c = |x| + |y| \ge 0$. Per la regola "$-c \le t \le c \iff |t| \le c$" (vedi la sezione successiva), si ottiene $|x + y| \le |x| + |y|$ ∎.

Interpretazione: la distanza tra due punti passando per un punto intermedio non è mai minore della distanza diretta. Esempio: $x = 3$, $y = -5$: $|x + y| = |-2| = 2$ e $|x| + |y| = 3 + 5 = 8$, e $2 \le 8$ ✓. L'uguaglianza vale quando $x$ e $y$ hanno lo stesso segno.

Corollario (utile): $\big||x| - |y|\big| \le |x - y|$.

Disuguaglianza di Cauchy–Schwarz

È un'altra disuguaglianza fondamentale che coinvolge valori assoluti (si scrive "Cauchy–Schwarz"). Per scriverla serve il simbolo di sommatoria, quindi se non lo conosci leggi prima SommatorieIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie →.

Attenzione al nome. A lezione la prof chiama "disuguaglianza di Cauchy–Schwarz" la proprietà 7, $|xy| \le \frac{x^2 + y^2}{2}$ (dimostrata sopra). È quella da sapere per l'esame. La disuguaglianza di Cauchy–Schwarz "classica", spiegata qui sotto, è un risultato diverso e più generale (riguarda liste di numeri): è un approfondimento.

Enunciato

Siano $a_1, \dots, a_n$ e $b_1, \dots, b_n$ numeri reali. Allora

Teorema (disuguaglianza di Cauchy–Schwarz). $$\left| \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_i^2}$$

Esempio. Con $a = (1, 2)$ e $b = (3, 4)$: $|1 \cdot 3 + 2 \cdot 4| = 11 \le \sqrt{5} \cdot \sqrt{25} = \sqrt{125} \approx 11{,}18$.

Equivalentemente, elevando al quadrato (entrambi i membri sono $\ge 0$):

$$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \le \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right)$$

Come si legge. Si prendono due liste di $n$ numeri. Si moltiplicano "a coppie" (il primo con il primo, il secondo con il secondo, ...) e si sommano i prodotti: è $\sum a_i b_i$. Il valore assoluto di questa somma non supera il prodotto di due quantità: la radice della somma dei quadrati della prima lista e la radice della somma dei quadrati della seconda.

Perché c'è il valore assoluto. La somma $\sum a_i b_i$ può essere negativa (se i segni sono discordi), mentre il membro di destra è sempre $\ge 0$. Il modulo serve a confrontare "quanto è grande" la somma, senza guardare il segno. Nella forma con i quadrati non serve, perché il quadrato è sempre $\ge 0$.

Caso con due termini ($n = 2$)

$$(ax + by)^2 \le (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$$

Dimostrazione. Sviluppiamo la differenza tra il membro di destra e quello di sinistra:

$$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) - (ax + by)^2 = a^2x^2 + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2y^2 - (a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2)$$

$$= a^2y^2 + b^2x^2 - 2abxy = (ay - bx)^2$$

(l'ultimo passaggio è il quadrato di un binomio: $(ay - bx)^2 = a^2y^2 - 2abxy + b^2x^2$). Un quadrato è sempre $\ge 0$, quindi la differenza è $\ge 0$, cioè la disuguaglianza è vera ∎. In più, l'uguaglianza vale esattamente quando $ay - bx = 0$.

Esempio numerico. Con $a = 1, b = 2, x = 3, y = 4$:

• sinistra: $(1 \cdot 3 + 2 \cdot 4)^2 = 11^2 = 121$;
• destra: $(1^2 + 2^2)(3^2 + 4^2) = 5 \cdot 25 = 125$;
• $121 \le 125$ ✓, e la differenza $4$ è proprio $(ay - bx)^2 = (1 \cdot 4 - 2 \cdot 3)^2 = (-2)^2 = 4$ ✓.

Dimostrazione nel caso generale

Poniamo, per semplicità,

$$A = \sum a_i^2, \qquad B = \sum a_i b_i, \qquad C = \sum b_i^2$$

e dobbiamo dimostrare che $B^2 \le AC$.

1. Una quantità sempre non negativa. Per ogni numero reale $t$, la somma di quadrati è $\ge 0$: $$0 \le \sum_{i=1}^{n} (a_i t + b_i)^2$$
2. Sviluppiamo. Ogni quadrato vale $(a_i t + b_i)^2 = a_i^2 t^2 + 2 a_i b_i t + b_i^2$. Sommando su $i$ (e portando fuori $t$ e $t^2$, che non dipendono da $i$): $$0 \le t^2 \sum a_i^2 + 2t \sum a_i b_i + \sum b_i^2 = A t^2 + 2B t + C \qquad \text{per ogni } t \in \mathbb{R}$$
3. Primo caso: $A = 0$. Allora tutti gli $a_i$ sono nulli (una somma di quadrati è zero solo se ogni quadrato è zero), quindi $B = 0$ e la tesi $B^2 \le AC$ diventa $0 \le 0$ ✓.
4. Secondo caso: $A > 0$. Scegliamo il valore speciale $t = -\dfrac{B}{A}$ (scelto proprio per far semplificare i conti). Sostituendo: $$A \cdot \frac{B^2}{A^2} - 2B \cdot \frac{B}{A} + C = \frac{B^2}{A} - \frac{2B^2}{A} + C = C - \frac{B^2}{A}$$ Per il punto 2 questo numero è $\ge 0$, quindi $C \ge \dfrac{B^2}{A}$. Moltiplicando per $A > 0$ (verso invariato): $AC \ge B^2$ ✓.
5. Radici. Da $B^2 \le AC$, prendendo la radice quadrata di entrambi i membri (non negativi) si ottiene $\sqrt{B^2} \le \sqrt{AC}$, cioè $|B| \le \sqrt{A}\sqrt{C}$, che è la forma con il valore assoluto (qui si usa $\sqrt{B^2} = |B|$, proprietà 5) ∎.

Quando vale l'uguaglianza

Vale l'uguaglianza quando le due liste sono proporzionali: esiste un numero $t$ con $a_i t + b_i = 0$ per ogni $i$ (le due liste "puntano nella stessa direzione", o in direzione opposta).

Esempio numerico con $n = 3$

Siano $a = (1, 2, 3)$ e $b = (4, 5, 6)$.

• $\sum a_i b_i = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32$;
• $\sum a_i^2 = 1 + 4 + 9 = 14$;
• $\sum b_i^2 = 16 + 25 + 36 = 77$.

Quindi $32^2 = 1024$ e $14 \cdot 77 = 1078$, e $1024 \le 1078$ ✓.

Un uso tipico: dimostrare altre disuguaglianze

Scegliendo $b_i = 1$ per ogni $i$, la disuguaglianza al quadrato diventa

$$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 \le n \sum_{i=1}^{n} a_i^2$$

perché $\sum b_i^2 = \sum 1 = n$. Per esempio con $n = 3$: $(a + b + c)^2 \le 3(a^2 + b^2 + c^2)$. Controllo con $a = 1, b = 2, c = 3$: $36 \le 3 \cdot 14 = 42$ ✓.

Collegamento con la disuguaglianza triangolare

La disuguaglianza triangolare $|x + y| \le |x| + |y|$ riguarda due numeri. Cauchy–Schwarz riguarda invece liste di numeri (vettori) e dice che il "prodotto scalare" di due vettori, in valore assoluto, non supera il prodotto delle loro lunghezze. Per $n = 1$ si riduce a $|a_1 b_1| \le |a_1||b_1|$, che è la proprietà $|xy| = |x||y|$ con il segno di uguale.

Disuguaglianze e equazioni con il valore assoluto

Il significato di distanza dà subito le regole. Sia $r > 0$.

Perché $|x| < r \iff -r < x < r$ (dalla definizione, per casi):

• se $x \ge 0$: $|x| = x$, quindi $|x| < r$ diventa $x < r$, cioè $0 \le x < r$;
• se $x < 0$: $|x| = -x$, quindi $-x < r$, cioè (moltiplicando per $-1$ si inverte il verso) $x > -r$, cioè $-r < x < 0$;
• unendo i due casi: $-r < x < r$ ✓.

Esempi.

1. $|x| < 3 \iff -3 < x < 3$, cioè $x \in (-3, 3)$.
2. $|x - 2| \le 1 \iff 2 - 1 \le x \le 2 + 1 \iff 1 \le x \le 3$, cioè $x \in [1, 3]$ (i punti a distanza al più $1$ da $2$).
3. $|x| > 2 \iff x < -2$ oppure $x > 2$, cioè $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.
4. $|2x - 1| < 5 \iff -5 < 2x - 1 < 5$; sommando $1$: $-4 < 2x < 6$; dividendo per $2$ (positivo, verso invariato): $-2 < x < 3$.
5. $|x - 2| = 3 \iff x - 2 = 3$ oppure $x - 2 = -3 \iff x = 5$ oppure $x = -1$.

Vediamo gli esempi 1 e 2 sulla retta, e l'esempio 1 sul grafico: i punti con $|x| < 3$ sono quelli in cui la V sta sotto la retta orizzontale $y = 3$.

Proprietà utili per le disequazioni (e come usarle)

Quando nella disequazione c'è un'espressione dentro il modulo, per esempio $|f(x)|$, valgono le stesse regole di prima con $f(x)$ al posto di $x$. Sia $g(x)$ un'altra espressione.

Perché si può elevare al quadrato ($\lvert f \rvert \le \lvert g \rvert \iff f^2 \le g^2$). Sappiamo che $f^2 = \lvert f \rvert^2$ (proprietà 5). I numeri $\lvert f \rvert$ e $\lvert g \rvert$ sono entrambi $\ge 0$, e per numeri non negativi elevare al quadrato mantiene l'ordine: $a \le b \iff a^2 \le b^2$ se $a, b \ge 0$. Quindi $\lvert f \rvert \le \lvert g \rvert \iff \lvert f \rvert^2 \le \lvert g \rvert^2 \iff f^2 \le g^2$. Attenzione: elevare al quadrato senza i moduli (cioè quando i due membri possono essere negativi) non è lecito in generale: per esempio $-3 < 2$ ma $(-3)^2 = 9 > 4 = 2^2$.

Perché $|f| < g$ non richiede di controllare $g > 0$. Se $g \le 0$, la catena $-g < f < g$ è impossibile (richiederebbe $-g < g$, cioè $g > 0$), quindi non dà soluzioni, ed è giusto: un modulo, che è $\ge 0$, non può essere minore di un numero $\le 0$. Il caso $|f| > g$ invece, se $g < 0$, è sempre vero (un modulo è $\ge 0 > g$): le due disequazioni $f < -g$ oppure $f > g$ lo riflettono automaticamente.

Esempi svolti

Esempio 1: $|2x - 1| \ge 3$.

• Si traduce in $2x - 1 \le -3$ oppure $2x - 1 \ge 3$.
• Prima: $2x \le -2$, quindi $x \le -1$. Seconda: $2x \ge 4$, quindi $x \ge 2$.
• Soluzione (unione): $x \le -1$ oppure $x \ge 2$, cioè $(-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$.

Esempio 2: $|x - 1| < |x + 2|$ (due moduli, si eleva al quadrato).

• $(x - 1)^2 < (x + 2)^2$.
• Sviluppo: $x^2 - 2x + 1 < x^2 + 4x + 4$.
• Semplifico $x^2$ (compare da entrambe le parti) e porto i termini a destra: $1 - 4 < 4x + 2x$, cioè $-3 < 6x$, quindi $x > -\frac{1}{2}$.
• Soluzione: $x > -\frac{1}{2}$.
• Controllo geometrico: $|x - 1| < |x + 2|$ dice "$x$ è più vicino a $1$ che a $-2$". Il punto a metà tra $-2$ e $1$ è $\frac{-2 + 1}{2} = -\frac{1}{2}$, e i punti più vicini a $1$ stanno a destra di esso ✓.

Esempio 3: $|x - 3| < x$ (a destra c'è un'espressione, non un numero).

• Si traduce in $-x < x - 3 < x$, cioè il sistema $\begin{cases} x - 3 < x \\ -x < x - 3 \end{cases}$.
• Prima: $x - 3 < x$ equivale a $-3 < 0$, sempre vera.
• Seconda: $-x < x - 3$ equivale a $3 < 2x$, quindi $x > \frac{3}{2}$.
• Soluzione (intersezione): $x > \frac{3}{2}$.
• Controllo: $x = 2$: $|2 - 3| = 1 < 2$ ✓. $x = 1$: $|1 - 3| = 2 < 1$? no, ed è fuori dalla soluzione ✓.

Esempio 4: $|x + 1| + |x - 2| < 5$ (due moduli sommati: si studiano i casi).

Quando non si può elevare al quadrato, si cercano i punti critici, cioè i valori in cui un'espressione dentro il modulo cambia segno: $x + 1 = 0$ per $x = -1$, $x - 2 = 0$ per $x = 2$. Questi due punti dividono la retta in tre zone, e in ciascuna si toglie il modulo con il segno giusto.

Soluzione (unione delle tre zone): $(-2, -1) \cup [-1, 2) \cup [2, 3) = (-2, 3)$.

Controllo: $x = -2$: $|-1| + |-4| = 5$, non minore di $5$, quindi $-2$ è escluso ✓. $x = 0$: $1 + 2 = 3 < 5$ ✓.

Strategia riassuntiva

1. Un solo modulo isolato, confrontato con un numero o un'espressione: usare la tabella ($-g < f < g$, oppure "$f < -g$ oppure $f > g$").
2. Due moduli confrontati tra loro ($|f| \lessgtr |g|$): elevare al quadrato.
3. Più moduli sommati o mescolati con altri termini: punti critici e casi.
4. In ogni caso: verificare con un valore di prova dentro e uno fuori dall'insieme trovato.

Errori comuni

• Pensare che $|x| = -x$ sia sempre negativo. Vale solo per $x < 0$, e in quel caso $-x$ è positivo.
• Scrivere $\sqrt{x^2} = x$. Il risultato corretto è $|x|$ (per $x = -3$: $\sqrt{9} = 3 \ne -3$).
• Dire $|x + y| = |x| + |y|$. Vale solo $\le$ (uguale solo quando $x$ e $y$ hanno lo stesso segno).
• Dimenticare di invertire il verso quando si moltiplica per un numero negativo, per esempio passando da $-x < r$ a $x > -r$.
• Risolvere $|x| > r$ come $-r > x > r$ (impossibile): le soluzioni sono due semirette, $x < -r$ oppure $x > r$.
• Confondere "modulo" di un numero e "modulo" di un insieme. Il modulo di un numero è il valore assoluto $|x|$; scrivere $|A|$ con $A$ insieme indica invece la cardinalità (il numero di elementi), come nell'Esercizio 6 · numero di sottoinsiemi (insieme delle parti). Stesso simbolo, significati diversi: si distingue da cosa c'è dentro le barre.

Riassunto