Analisi Matematica 1
Formulario della materia 295 definizioni e teoremi in una pagina
Argomenti
ILogica, insiemi e dimostrazioni
IINumeri reali
- Insiemi numerici (N, Z, Q, R)
- Campi ordinati (Q e R)
- Estremo superiore (sup)
- Completezza di R (continuità, separazione, sup)
- Archimedeità di N
- Metodo - max min inf sup di un insieme
- Valore assoluto (modulo)
Esercizi svolti
- Esercizio 1 · sup dei razionali con x2 minore di 2
- Esercizio 2 · max min inf sup di (n+2)/n
- Esercizio 3 · max min inf sup di (-1)n n + 1/n
- Esercizio 13 · razionali minori di 3
- Esercizio 14 · disequazione con un modulo
- Esercizio 15 · disequazione con due moduli e un parametro
- Esercizio 27 · dominio e segno con l'arcocoseno
IIIInduzione, sommatorie e calcolo combinatorio
Esercizi svolti
IVFunzioni
- Funzioni - definizione, dominio e grafico
- Funzioni iniettive, suriettive e inverse
- Composizione e operazioni tra funzioni
- Funzioni limitate, sup, inf, max e min
- Funzioni monotone, pari e dispari
- Funzioni periodiche
Esercizi svolti
- Esercizio 16 · immagine e antimmagine di 2x
- Esercizio 17 · verificare se una funzione è l'inversa di un'altra
- Esercizio 18 · potenze x2/3) e x5/3)
- Esercizio 28 · studio di arcsin(sin x)
- Esercizio 33 · dominio, segno, simmetrie e periodicità
- Esercizio 36 · limite con cos n, carabinieri e infinitesima per limitata
VFunzioni elementari
- Funzioni potenza
- Disequazioni con potenze e radici
- Esponenziale e logaritmo
- Funzioni iperboliche
- Funzioni trigonometriche e loro inverse
Esercizi svolti
- Esercizio 19 · disequazioni con le radici
- Esercizio 20 · esponenziali e logaritmi in base e
- Esercizio 21 · dominio e segno di un logaritmo con parametro
- Esercizio 22 · antimmagine di [0,+∞) con radici
- Esercizio 23 · equazione esponenziale con modulo
- Esercizio 24 · disequazione con il coseno iperbolico
- Esercizio 25 · dominio e segno con il settore coseno iperbolico
- Esercizio 26 · dominio con esponenziali di base minore di 1
- Esercizio 31 · logaritmo di cosh e di cos, antimmagine di [1,+∞)
- Esercizio 32 · traslazioni e valori assoluti nei grafici
- Esercizio 39 · limiti con un parametro e con esponenti reali
- Esercizio 46 · dominio e segno di (1 - (x+1)x2-1))^(-π/4) - 1
- Esercizio 49 · dominio con settcosh e una disequazione trigonometrica lineare
- Esercizio 50 · dominio e segno di (ex-5) + x)^√3 - 1
- Esercizio 103 · sviluppo di Mac-Laurin di (1+2x)sinh x
VISuccessioni
- Limiti di successioni
- Sottosuccessioni
- Successioni limitate e monotone
- Calcolo dei limiti di successioni
- Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti
- Asintoticità e o-piccolo
- Criteri del rapporto e della radice per successioni
Esercizi svolti
- Esercizio 29 · limiti di 1/n e di n con la definizione
- Esercizio 30 · la successione (-1)n non ha limite
- Esercizio 34 · max e min di (-1)n/n
- Esercizio 35 · limiti di quozienti raccogliendo il termine dominante
- Esercizio 37 · algebra degli infiniti e forme indeterminate
- Esercizio 38 · limiti di polinomi con termini irregolari
- Esercizio 40 · forma 1^∞ e il numero e
- Esercizio 41 · esponenziali, gerarchia degli infiniti e forma 0/0
- Esercizio 42 · dimostrazione della gerarchia degli infiniti
- Esercizio 43 · limite con logaritmi, radici ed esponenziali
- Esercizio 44 · limiti con l'arcotangente e prodotti di radici
- Esercizio 45 · confronto tra en2 e nn
- Esercizio 47 · differenze di radici e razionalizzazione
- Esercizio 48 · radice n-esima, esponenziali e coefficiente binomiale
- Esercizio 105 · limite con radici al variare di α
- Esercizio 116 · criterio della radice con 1 meno coseno
- Esercizio 119 · convergenza assoluta e semplice al variare di a
- Esercizio 123 · serie con sin(nπ/2) e 2^(α log n)
- Esercizio 127 · differenza di radici cubiche e seno iperbolico
- Esercizio 151 · integrale improprio con logaritmi e arcotangente
VIILimiti di funzioni e continuità
- Limiti di funzioni - definizione
- Asintoti di una funzione
- Teorema ponte tra limiti di funzioni e successioni
- Teoremi sui limiti di funzioni
- Asintoticità e o-piccolo per funzioni
- Funzioni continue
- Limite di funzioni composte (cambio di variabile)
- Discontinuità e prolungamento per continuità
- Limiti notevoli di funzioni
- Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimo
- Funzioni continue su un intervallo
Esercizi svolti
- Esercizio 51 · verificare limiti di funzioni con la definizione
- Esercizio 52 · punti di accumulazione
- Esercizio 53 · sin(1/x), x sin(1/x) e il criterio di non esistenza
- Esercizio 54 · limite con ax+1) - 4x-1) al variare di a
- Esercizio 55 · (3+x)2/log x) e il logaritmo asintotico
- Esercizio 56 · limite con log(cosh x), xlog x) e arcotangente
- Esercizio 57 · le funzioni periodiche non costanti non hanno limite all'infinito
- Esercizio 58 · asintoti obliqui con radici, arcotangente e logaritmo
- Esercizio 59 · limiti in -1 con e1/(x+1)) e log5 del modulo
- Esercizio 60 · studio di log(emodulo di x) - 1) + 3 modulo di x
- Esercizio 61 · arctan2 x su 1 - cos x e somme con tan e sin
- Esercizio 62 · sin(e-x) su e-x a più e meno infinito
- Esercizio 63 · limiti con log(1+1/n2, e-1/n) e arcsin
- Esercizio 64 · limiti con log(a_n) ~ a_n - 1 e un cambio di variabile in 5⁺
- Esercizio 65 · gerarchia degli infinitesimi a più infinito e in 0⁺
- Esercizio 66 · ordine di infinitesimo di una successione con esponenziale e arcoseno
- Esercizio 67 · quante soluzioni ha arctan x + tanh x = a
- Esercizio 68 · limite in 1⁻ con 31/(x-1)), radici e log1/3) x
- Esercizio 69 · ordine di infinitesimo di log((2n2-4n+1)/(2n2+cos 3n))
- Esercizio 70 · limiti con arcsin((n2-1)/(n2+1)) e con esin(1/n2) - cos(1/n)
- Esercizio 73 · quattro limiti di ricapitolazione con logaritmi, radici e coseni
- Esercizio 74 · limiti con gli sviluppi di Mac-Laurin
- Esercizio 75 · studio di radice di (1 - log(x2)/arccos x
VIIICalcolo differenziale
- Derivata - definizione e significato
- Regole di derivazione
- Teorema di de l'Hôpital
- Teorema del limite della derivata
- Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat
- Teoremi di Rolle e di Lagrange
- Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimi
- Derivate successive e funzioni di classe Cn
- Funzioni convesse, concave e punti di flesso
- Studio di funzione
Esercizi svolti
- Esercizio 71 · punti angolosi, flessi a tangente verticale e cuspidi
- Esercizio 72 · derivate con la regola della catena e con fg
- Esercizio 76 · de l'Hôpital per la gerarchia e per una forma 1^∞
- Esercizio 77 · limite con 2x2 log x) e xx2
- Esercizio 79 · x2 sin(1/x) e modulo di x alla a per sin(1/x)
- Esercizio 81 · monotonia di log(1+x2 - 6 arctan x + 2x
- Esercizio 82 · trovare a e b perché una funzione a tratti sia di classe C1
- Esercizio 83 · studio di arcsin(1/(1+x2) fino alla derivata prima
- Esercizio 84 · studio di x2 e-1/x) fino alla derivata prima
- Esercizio 85 · studio di arcsin(modulo di x-1 su x+3) fino alla derivata seconda
- Esercizio 86 · studio di 3 arctan(1/sinh x) + log(1/cosh x) fino alla derivata seconda
- Esercizio 107 · studio di 3-1/ modulo di sin x)
IXFormula di Taylor
- Formula di Taylor con resto di Peano
- Sviluppi di Mac-Laurin notevoli
- Formula di Taylor con resto di Lagrange
Esercizi svolti
- Esercizio 78 · limite con x^α, x3 log4 x e sin2 x
- Esercizio 80 · sviluppo di arctan(x + x3 e un limite
- Esercizio 101 · approssimare ex tra 0 e 1/2 e stimare la radice di e
- Esercizio 102 · sviluppo di Mac-Laurin di log(cos x)
- Esercizio 104 · derivate quinta e sesta in 0 senza derivare
- Esercizio 106 · ordine di infinito al variare di α
- Esercizio 112 · serie con sinh e sin al variare di a
- Esercizio 129 · serie con Taylor di esponenziale e seno al variare di a
XSerie numeriche
- Serie numeriche
- Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica
- Serie a termini non negativi e criteri del confronto
- Criteri del rapporto e della radice per le serie
- Serie a termini di segno variabile
Esercizi svolti
- Esercizio 108 · per quali x converge una serie geometrica
- Esercizio 109 · serie telescopica con il logaritmo
- Esercizio 110 · serie con il modulo del coseno al numeratore
- Esercizio 111 · serie con π meno sin n al numeratore
- Esercizio 113 · serie con an, n! e nn
- Esercizio 114 · n-log n) e (n!)-1/n) con il confronto
- Esercizio 115 · serie con sviluppi di Taylor al numeratore
- Esercizio 117 · serie con esponenziali al variare di a
- Esercizio 118 · convergenza assoluta con arcotangente e seno
- Esercizio 120 · criterio di Leibniz con l'arcotangente
- Esercizio 121 · serie con αn, arcotangente e logaritmo
- Esercizio 122 · serie con (-1)n2+1) e potenze del logaritmo
- Esercizio 124 · serie con xn e 9n al variare di x
- Esercizio 125 · serie con cos(nπ), (n!)2 e logaritmi
- Esercizio 126 · serie con 3 + sin n e il criterio della radice
- Esercizio 128 · ordine di infinitesimo e serie con potenza di esponente sin2(1/n)
XICalcolo integrale
- Integrale definito di Riemann
- Proprietà dell'integrale definito e teorema della media
- Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale
- Integrali immediati
- Integrazione per sostituzione
- Integrazione per parti
- Integrali di potenze di seno e coseno
- Integrazione delle funzioni razionali
- Integrali riconducibili a funzioni razionali
- Integrali di funzioni irrazionali
- Integrali impropri
- Criteri di convergenza per gli integrali impropri
Esercizi svolti
- Esercizio 130 · integrali per sostituzione con logaritmo, arcotangente e seno
- Esercizio 131 · tangente e altri integrali del tipo f' su f
- Esercizio 132 · x3 su 1 + x8 e integrale definito di x ex2
- Esercizio 133 · integrali per parti di log x, arcsin x e arctan x
- Esercizio 134 · quadrati e potenze di seno, coseno e funzioni iperboliche
- Esercizio 135 · cos4 x sin2 x e sin4 x cos3 x
- Esercizio 136 · per parti con x2 e-x ed e3x sin x
- Esercizio 138 · funzioni razionali con denominatore di grado 1 e 2
- Esercizio 139 · funzioni razionali con Δ minore di 0 e divisione tra polinomi
- Esercizio 140 · fratti semplici con denominatore di grado 3
- Esercizio 141 · sostituzioni che portano a funzioni razionali
- Esercizio 142 · la sostituzione t = tan(x/2) solo dove serve
- Esercizio 143 · integrali con radici di x di indici diversi
- Esercizio 144 · uno su radice di un polinomio di secondo grado
- Esercizio 145 · radici di polinomi di secondo grado e area del cerchio
- Esercizio 146 · integrali definiti con 3 + radice
- Esercizio 147 · integrale e primitive di una funzione con il modulo
- Esercizio 148 · un integrale improprio su un intervallo illimitato
- Esercizio 149 · convergenza di integrali impropri al variare di a
- Esercizio 150 · integrali impropri con esponenziale e logaritmo
- Esercizio 152 · integrali impropri su intervalli limitati
- Esercizio 153 · integrali impropri con cosh e tanh
- Esercizio 154 · integrali impropri tra 0 e +∞ con arcotangente e tangente iperbolica
- Esercizio 155 · arctan x su xa(1+x)2a e una forma 1^∞
- Esercizio 156 · integrali impropri con potenze del logaritmo
- Esercizio 157 · integrale da -∞ a 0 con parametro e modulo
- Esercizio 158 · area tra una retta e una parabola
- Esercizio 159 · primitiva con una condizione e derivata di una funzione integrale
XIIEquazioni differenziali
- Equazioni differenziali - introduzione e problema di Cauchy
- Equazioni differenziali lineari del primo ordine
- Equazioni differenziali lineari del secondo ordine
- Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo
- Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completa
- Equazioni differenziali a variabili separabili
Esercizi svolti
- Esercizio 160 · y' + 2ty = t e-t2 e y' = ty su (t2+1)
- Esercizio 161 · y' - y/t = radice di t e un'equazione del secondo ordine senza y
- Esercizio 162 · y'' + 4y' - 5y = 0 con y(0) = -2 e y'(0) = 1
- Esercizio 163 · y'' - 3y' = 0, y'' + y' + 2y = 0 e y'' + 6y' + 9y = 0
- Esercizio 164 · equazioni omogenee di ordine 3 e 4
- Esercizio 165 · y'' - 4y' + 4y = 1 + t2 con condizioni iniziali
- Esercizio 166 · y'' + ay' = -1 al variare di a
- Esercizio 167 · oscillatore armonico forzato e risonanza
- Esercizio 168 · y' = t y2 e y' = radice cubica di y
- Esercizio 169 · y' = (y2 - 3y - 4)/(3t2+1) e y' = log t per ey
- Esercizio 170 · un problema di Cauchy con parametro e la sostituzione z = y/t
- Esercizio 171 · soluzione nota e principio di sovrapposizione
- Esercizio 172 · domande qualitative su soluzioni limitate, periodiche e illimitate
Altri argomenti
Esercizi svolti