Integrali immediati

Lezione 38. Si basano su un'osservazione di Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →: $\int f'(x)\,dx = f(x) + k$. Ogni derivata nota, letta al contrario, dà un integrale.

Come si verifica un integrale: si deriva il risultato e si controlla di ritrovare la funzione integranda. È il controllo da fare sempre.

Due esempi del ragionamento

Potenze. Per $\alpha \ne -1$: $D\left(x^{\alpha+1}\right) = (\alpha + 1)\,x^\alpha$, quindi, dividendo per la costante $\alpha + 1 \ne 0$, $D\left(\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\right) = x^\alpha$:

Formula (integrale di una potenza). $$\int x^\alpha\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha + 1} + k$$

Esempio. $\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + k$ e $\int \sqrt{x}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + k = \frac{2}{3}\,x\sqrt{x} + k$.

Per $\alpha = -1$ la formula non ha senso (si dividerebbe per $0$): serve il logaritmo.

Il caso $\alpha = -1$. $\frac1x$ è definita per $x \ne 0$, cioè su due intervalli separati, $I^- = \,]-\infty, 0[$ e $I^+ = \,]0, +\infty[$.

• Su $I^+$: $D(\log x) = \frac1x$.
• Su $I^-$: $D(\log(-x)) = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac1x$.

Le due formule si riassumono con il modulo:

Formula (integrale di 1/x). $$\int \frac1x\,dx = \log|x| + k \qquad \text{su } I^- \text{ oppure su } I^+$$

Esempio. $\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \Big[\log|x|\Big]_1^e = 1 - 0 = 1$.

Tabella 1: integrali immediati

Formula (integrali immediati). ($k \in \mathbb{R}$ è la costante arbitraria; ogni formula vale sugli intervalli in cui la funzione integranda è definita.)

Integrale	Risultato	Perché (derivata)
$\int x^\alpha\,dx$, $\alpha \ne -1$	$\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + k$	$D\,x^{\alpha+1} = (\alpha+1)x^\alpha$
$\int \frac1x\,dx$	$\log\lvert x\rvert + k$	vedi sopra
$\int e^{\alpha x}\,dx$, $\alpha \ne 0$	$\frac1\alpha e^{\alpha x} + k$	$D\,e^{\alpha x} = \alpha e^{\alpha x}$
$\int \sin x\,dx$	$-\cos x + k$	$D\cos x = -\sin x$
$\int \cos x\,dx$	$\sin x + k$	$D\sin x = \cos x$
$\int (1 + \tan^2 x)\,dx = \int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx$	$\tan x + k$	$D\tan x = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx$, $-1 < x < 1$	$\arcsin x + k$	$D\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\int \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx$, $-1 < x < 1$	$\arccos x + k$	$D\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\int \frac{1}{1 + x^2}\,dx$	$\arctan x + k$	$D\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$
$\int \sinh x\,dx$	$\cosh x + k$	$D\cosh x = \sinh x$
$\int \cosh x\,dx$	$\sinh x + k$	$D\sinh x = \cosh x$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\,dx$	$\text{settsinh}\,x + k = \log\left(x + \sqrt{x^2+1}\right) + k$	$D\,\text{settsinh}\,x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\,dx$, $x > 1$	$\text{settcosh}\,x + k = \log\left(x + \sqrt{x^2-1}\right) + k$	$D\,\text{settcosh}\,x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$\int \frac{1}{\cosh^2 x}\,dx$	$\tanh x + k$	$D\tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x}$

Le espressioni con il logaritmo di settsinh e settcosh vengono dalle formule delle funzioni iperboliche inverseSeno, coseno e tangente iperbolici costruiti con e^x ed e^(-x), la relazione cosh^2 - sinh^2 = 1 e le loro inverse con formula esplicita.Funzioni iperboliche →.

Esempio. $\int \left(3x^2 - \frac{2}{x} + 5\cos x\right) dx = x^3 - 2\log|x| + 5\sin x + k$.

Osservazione sul segno di $\arccos$: $\arcsin x$ e $-\arccos x$ hanno la stessa derivata, quindi per la Proposizione 1 differiscono per una costante: infatti $\arcsin x + \arccos x = \frac\pi2$. Non sono due risultati in contraddizione.

Non ci sono "regole di integrazione"

Per le derivate, conoscendo quelle delle funzioni elementari, si calcola la derivata di qualunque funzione con le regole (somma, prodotto, quoziente, composizione). Per gli integrali non esiste niente del genere: non c'è una formula per $\int f \cdot g$ o per $\int g(f(x))\,dx$ in termini di $\int f$ e $\int g$. Ci sono solo metodi, che funzionano per certe classi di funzioni con gli artifici giusti:

1. linearità: $\int (\alpha f + \beta g)\,dx = \alpha\int f\,dx + \beta\int g\,dx$;
2. formula di sostituzione: Integrazione per sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione →;
3. formula di integrazione per parti (lezioni successive).

Esempio di linearità: $$\int \left(3x^2 - \frac2x + 5\cos x\right) dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2\log|x| + 5\sin x + k = x^3 - 2\log|x| + 5\sin x + k$$ (controllo: la derivata di $x^3 - 2\log|x| + 5\sin x$ è $3x^2 - \frac2x + 5\cos x$ ✓).

Esistono anche funzioni continue, come $e^{-x^2}$ o $\frac{\sin x}{x}$, che hanno una primitiva (per il TFCI 2) ma la cui primitiva non si scrive con le funzioni elementari: nessun metodo può trovarla.

Errori comuni

• Usare $\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ con $\alpha = -1$: per $\frac1x$ c'è il logaritmo.
• Scrivere $\log x$ invece di $\log|x|$ per $\int\frac1x$: senza modulo la formula vale solo per $x > 0$.
• Sbagliare il segno di $\int \sin x$: è $-\cos x$, perché $D\cos x = -\sin x$.