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Note per Studenti Esercizio 36 · limite con cos n, carabinieri e infinitesima per limitata

Esercizio 36limite con cos n, carabinieri e infinitesima per limitata

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Testo. Calcolare

lim⁡n3 n−6cos⁡n3n\lim_n \frac{\sqrt3\,n - 6\cos n}{3n}

Passo 0: dov'è la difficoltà

La successione cos⁡n\cos n è irregolare: ∄lim⁡ncos⁡n\nexists \lim_n \cos n. Mentre nn cresce, il punto nn (in radianti) gira sulla circonferenza goniometrica senza mai ripetersi con regolarità, e cos⁡n\cos n continua a oscillare tra −1-1 e 11. (Vale per tutte le funzioni periodiche e non costantiUna funzione che si ripete uguale dopo ogni periodo T; se non è costante, i suoi valori in n = 1, 2, 3, ... continuano a oscillare.Funzioni periodiche →: lim⁡nf(n)\lim_n f(n) non esiste.)

Quindi il Teorema 1 sull'algebra dei limitiSomma, prodotto e quoziente di successioni convergenti convergono alla somma, al prodotto e al quoziente dei limiti.Calcolo dei limiti di successioni → non si può applicare al pezzo cos⁡n\cos n. Però cos⁡n\cos n è limitata (−1≤cos⁡n≤1-1 \le \cos n \le 1), e la prof mostra due modi per sfruttarlo.

Grafico interattivo: a_n = cos n: oscilla tra −1 e 1 senza avvicinarsi a nessun valore

Passo 1: spezzare la frazione

Dividendo ciascun addendo del numeratore per 3n3n:

3 n−6cos⁡n3n=3 n3n−6cos⁡n3n=33−2ncos⁡n\frac{\sqrt3\,n - 6\cos n}{3n} = \frac{\sqrt3\,n}{3n} - \frac{6\cos n}{3n} = \frac{\sqrt3}{3} - \frac{2}{n}\cos n

Metodo 1: il teorema dei carabinieri

Le due stime. Da −1≤cos⁡n≤1-1 \le \cos n \le 1 si ricava, moltiplicando per −1-1 (il verso si inverte), −1≤−cos⁡n≤1-1 \le -\cos n \le 1. Moltiplicando per 2n>0\frac2n > 0 (il verso resta):

−2n≤−2ncos⁡n≤2n-\frac2n \le -\frac2n\cos n \le \frac2n

Sommando 33\frac{\sqrt3}{3} a tutti i membri:

33−2n⏟an≤3 n−6cos⁡n3n≤33+2n⏟bn\underbrace{\frac{\sqrt3}{3} - \frac2n}_{a_n} \le \frac{\sqrt3\,n - 6\cos n}{3n} \le \underbrace{\frac{\sqrt3}{3} + \frac2n}_{b_n}

I due carabinieri. an→33−0=33a_n \to \frac{\sqrt3}{3} - 0 = \frac{\sqrt3}{3} e bn→33+0=33b_n \to \frac{\sqrt3}{3} + 0 = \frac{\sqrt3}{3} (Teorema 1, perché 2n→0\frac2n \to 0). Hanno lo stesso limite.

Conclusione. Per il Teorema 4 dei carabinieriSe a_n ≤ c_n ≤ b_n definitivamente e a_n, b_n hanno lo stesso limite finito, allora anche c_n ha quel limite.Calcolo dei limiti di successioni →, anche la successione in mezzo ha limite 33\frac{\sqrt3}{3}:

lim⁡n3 n−6cos⁡n3n=33\lim_n \frac{\sqrt3\,n - 6\cos n}{3n} = \frac{\sqrt3}{3}

Metodo 2: infinitesima per limitata (più rapido)

Nella forma del passo 1, 33−1n⋅2cos⁡n\frac{\sqrt3}{3} - \frac1n \cdot 2\cos n:

  • 1n→0\frac1n \to 0: è infinitesima;
  • 2cos⁡n2\cos n è limitata: ∣2cos⁡n∣=2∣cos⁡n∣≤2⋅1=2|2\cos n| = 2|\cos n| \le 2 \cdot 1 = 2.

Per il Teorema 5Infinitesima per limitata: se a_n tende a 0 e b_n è limitata, il prodotto tende a 0.Calcolo dei limiti di successioni →, 1n⋅2cos⁡n→0\frac1n \cdot 2\cos n \to 0. Allora, per il Teorema 1 (differenza di due successioni convergenti):

lim⁡n(33−1n⋅2cos⁡n)=33−0=33\lim_n \left(\frac{\sqrt3}{3} - \frac1n \cdot 2\cos n\right) = \frac{\sqrt3}{3} - 0 = \frac{\sqrt3}{3}

Perché è più rapido. Il Teorema 5 è proprio il Teorema dei carabinieri "già fatto una volta per tutte" per questo tipo di prodotto: non serve scrivere le due stime ogni volta.

Verifica numerica

33≈0,57735\frac{\sqrt3}{3} \approx 0{,}57735. Con n=1000n = 1000 il quoziente vale circa 0,576230{,}57623, con n=105n = 10^5 circa 0,5773700{,}577370, con n=107n = 10^7 circa 0,57735050{,}5773505 ✓.

Errori comuni

  • Scrivere lim⁡cos⁡n=\lim \cos n = qualcosa (per esempio 11 o 00): non esiste.
  • Concludere che il limite non esiste perché cos⁡n\cos n non ha limite: il pezzo irregolare è moltiplicato per 1n→0\frac1n \to 0 e viene "schiacciato".
  • Sbagliare il verso delle disuguaglianze quando si moltiplica per −1-1 (si inverte) o per 2n\frac2n (resta, perché è positivo).

Versione ripasso

Testo. Calcolare lim⁡n3 n−6cos⁡n3n\displaystyle \lim_n \frac{\sqrt3\,n - 6\cos n}{3n}.

Passo 1: manipolazione algebrica

Si spezza la frazione: 3 n−6cos⁡n3n=33−2ncos⁡n\frac{\sqrt3\,n - 6\cos n}{3n} = \frac{\sqrt3}{3} - \frac{2}{n}\cos n La successione cos⁡n\cos n è irregolarenon ammette limite poiché oscilla tra -1 e 1 senza stabilizzarsi.

Metodo 1: Teorema dei carabinieri

Si parte da −1≤cos⁡n≤1-1 \le \cos n \le 1. Moltiplicando per −2n<0-\frac{2}{n} < 0: −2n≤−2ncos⁡n≤2n-\frac{2}{n} \le -\frac{2}{n}\cos n \le \frac{2}{n} Aggiungendo 33\frac{\sqrt3}{3}: 33−2n⏟an≤3 n−6cos⁡n3n≤33+2n⏟bn\underbrace{\frac{\sqrt3}{3} - \frac{2}{n}}_{a_n} \le \frac{\sqrt3\,n - 6\cos n}{3n} \le \underbrace{\frac{\sqrt3}{3} + \frac{2}{n}}_{b_n} Poiché lim⁡nan=lim⁡nbn=33\lim_n a_n = \lim_n b_n = \frac{\sqrt3}{3}, per il Teorema 4 dei carabinieriSe an≤cn≤bna_n \le c_n \le b_n definitivamente e an,bna_n, b_n hanno lo stesso limite finito, allora anche cnc_n ha quel limiteCalcolo dei limiti di successioni →, il limite è 33\frac{\sqrt3}{3}.

Metodo 2: Infinitesima per limitata

Si usa il Teorema 5Infinitesima per limitata: se an→0a_n \to 0 e bnb_n è limitata, il prodotto anbn→0a_n b_n \to 0Calcolo dei limiti di successioni →:

  • 1n→0\frac{1}{n} \to 0 (infinitesima);
  • 2cos⁡n2\cos n è limitata (∣2cos⁡n∣≤2|2\cos n| \le 2). Dunque 1n⋅2cos⁡n→0\frac{1}{n} \cdot 2\cos n \to 0, e il limite dell'intera espressione è 33−0=33\frac{\sqrt3}{3} - 0 = \frac{\sqrt3}{3}.

Errori tipici: Assumere che lim⁡cos⁡n\lim \cos n esista; dimenticare di invertire il verso della disuguaglianza moltiplicando per termini negativi; concludere erroneamente che il limite non esiste solo perché cos⁡n\cos n non converge.

Teoria collegata