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Note per Studenti Esercizio 149 · convergenza di integrali impropri al variare di a

Esercizio 149convergenza di integrali impropri al variare di a

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Testo. Discutere la convergenza di

2. ∫1+∞3+cos⁡xxa dx(a∈R)3. ∫1+∞(x+5)sin⁡(1xa)dx(a>0)2. \ \int_1^{+\infty}\frac{3 + \cos x}{x^a}\,dx \quad (a \in \mathbb{R}) \qquad\qquad 3. \ \int_1^{+\infty}(\sqrt x + 5)\sin\left(\frac{1}{x^a}\right) dx \quad (a > 0)

Strumenti: Criteri di convergenza per gli integrali impropriPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri → (confronto, confronto asintotico, funzioni test 1xα\frac{1}{x^\alpha}, che su [1,+∞[[1, +\infty[ sono integrabili se e solo se α>1\alpha > 1).

2. ∫1+∞3+cos⁡xxa dx\int_1^{+\infty}\frac{3 + \cos x}{x^a}\,dx

Ipotesi. f(x)=3+cos⁡xxaf(x) = \frac{3 + \cos x}{x^a} è continua su [1,+∞[[1, +\infty[, quindi integrabile su ogni [1,x][1, x]: l'unico problema è l'estremo +∞+\infty.

Segno. cos⁡x≥−1\cos x \ge -1, quindi 3+cos⁡x≥23 + \cos x \ge 2 e f(x)≥2xa>0f(x) \ge \frac{2}{x^a} > 0: si possono usare i criteri per f≥0f \ge 0.

Il problema: 3+cos⁡x3 + \cos x non ha limite per x→+∞x \to +\infty, quindi ff non è asintotica a nessuna Lxa\frac{L}{x^a} (il rapporto f(x)1/xa=3+cos⁡x\frac{f(x)}{1/x^a} = 3 + \cos x oscilla). Si usa il confronto con una doppia disuguaglianza: da 2≤3+cos⁡x≤42 \le 3 + \cos x \le 4, 0<2xa≤f(x)≤4xa∀x≥10 < \frac{2}{x^a} \le f(x) \le \frac{4}{x^a} \qquad \forall x \ge 1

  • Se a>1a > 1: 4xa\frac{4}{x^a} è integrabile in s.g. (funzione test con α=a>1\alpha = a > 1, moltiplicata per 44), quindi per il confronto (punto 1) lo è ff.
  • Se a≤1a \le 1: 2xa\frac{2}{x^a} non è integrabile in s.g., quindi per il confronto (punto 2) non lo è ff.

Conclusione: l'integrale converge se e solo se a>1a > 1 (e diverge a +∞+\infty per a≤1a \le 1).

3. ∫1+∞(x+5)sin⁡(1xa)dx\int_1^{+\infty}(\sqrt x + 5)\sin\left(\frac{1}{x^a}\right) dx, a>0a > 0

Ipotesi. ff è continua su [1,+∞[[1, +\infty[. Siccome a>0a > 0, 1xa→0+\frac{1}{x^a} \to 0^+ per x→+∞x \to +\infty, quindi sin⁡1xa>0\sin\frac{1}{x^a} > 0 definitivamente e f>0f > 0 definitivamente.

Asintotico. sin⁡y∼y\sin y \sim y per y→0y \to 0, con y=1xay = \frac{1}{x^a}; e x+5∼x1/2\sqrt x + 5 \sim x^{1/2}. Il prodotto conserva l'asintoticità: f(x)∼x1/2⋅1xa=1xa−1/2f(x) \sim x^{1/2}\cdot\frac{1}{x^a} = \frac{1}{x^{a - 1/2}} Confronto asintotico con la funzione test di esponente α=a−12\alpha = a - \frac12: converge se e solo se a−12>1a - \frac12 > 1, cioè a>32a > \frac32

Conclusione: l'integrale converge se e solo se a>32a > \frac32; per 0<a≤320 < a \le \frac32 diverge a +∞+\infty.

Errori comuni

  • In 2, scrivere f∼3xaf \sim \frac{3}{x^a}: cos⁡x\cos x non tende a 00, quindi 3+cos⁡x3 + \cos x non è asintotico a 33. Serve la doppia disuguaglianza.
  • In 3, usare sin⁡y∼y\sin y \sim y se l'argomento non tende a 00: qui va bene solo perché a>0a > 0.

Versione ripasso

Testo. Discutere la convergenza di: 2. ∫1+∞3+cos⁡xxa dx(a∈R)\int_1^{+\infty}\frac{3 + \cos x}{x^a}\,dx \quad (a \in \mathbb{R}) 3. ∫1+∞(x+5)sin⁡(1xa)dx(a>0)\int_1^{+\infty}(\sqrt x + 5)\sin\left(\frac{1}{x^a}\right) dx \quad (a > 0)

Strumenti: Criteri di convergenza per gli integrali impropriPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →. Funzione test 1xα\frac{1}{x^\alpha} convergente su [1,+∞[[1, +\infty[ sse α>1\alpha > 1.

2. ∫1+∞3+cos⁡xxa dx\int_1^{+\infty}\frac{3 + \cos x}{x^a}\,dx

Metodo: Confronto con doppia disuguaglianza (poiché lim⁡x→+∞(3+cos⁡x)\lim_{x\to+\infty} (3+\cos x) non esiste).

  1. Data 2≤3+cos⁡x≤42 \le 3 + \cos x \le 4, si ha: 0<2xa≤f(x)≤4xa0 < \frac{2}{x^a} \le f(x) \le \frac{4}{x^a}.
  2. Per il criterio del confrontoPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →:
    • Se a>1a > 1: ∫4xa\int \frac{4}{x^a} converge ⇒f\Rightarrow f converge.
    • Se a≤1a \le 1: ∫2xa\int \frac{2}{x^a} diverge ⇒f\Rightarrow f diverge.

Conclusione: Converge sse a>1a > 1.

Errore tipico (2): Scrivere f∼3xaf \sim \frac{3}{x^a}; il confronto asintotico non si può applicare perché 3+cos⁡x3+\cos x oscilla.

3. ∫1+∞(x+5)sin⁡(1xa)dx\int_1^{+\infty}(\sqrt x + 5)\sin\left(\frac{1}{x^a}\right) dx (a>0a > 0)

Metodo: Confronto asintoticoPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →.

  1. Asintotico: per x→+∞x \to +\infty, sin⁡(1xa)∼1xa\sin\left(\frac{1}{x^a}\right) \sim \frac{1}{x^a} e x+5∼x1/2\sqrt{x}+5 \sim x^{1/2}.
  2. f(x)∼x1/2⋅1xa=1xa−1/2f(x) \sim x^{1/2} \cdot \frac{1}{x^a} = \frac{1}{x^{a - 1/2}}.
  3. L'integrale converge se l'esponente α=a−1/2>1⇒a>3/2\alpha = a - 1/2 > 1 \Rightarrow a > 3/2.

Conclusione: Converge sse a>3/2a > 3/2.

Errore tipico (3): Usare sin⁡y∼y\sin y \sim y se l'argomento non tende a 00 (qui possibile solo perché a>0a > 0).

Teoria collegata