Serie numeriche

Inizio del capitolo 5, "Serie numeriche" (lezione 32). Proprietà generali e condizione necessaria: lezione 33. Seguito: Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →, Serie a termini non negativi e criteri del confrontoUna serie a termini >= 0 converge o diverge a +infinito, mai irregolare. Criterio del confronto (0 <= a_k <= b_k), del confronto asintotico (a_k ~ L b_k) e suo corollario con le serie notevoli: si studia una serie paragonandola a 1/n^alpha o a q^n.Serie a termini non negativi e criteri del confronto →. Esercizi: Esercizio 109 · serie telescopica con il logaritmo.

Obiettivi

• Definire (e, quando si riesce, calcolare) la somma di infiniti addendi reali $a_0 + a_1 + a_2 + \dots$
• Soprattutto, trovare criteri per stabilire se questa somma è un numero finito, anche quando non si sa calcolarla.

Applicazioni. In fisica le onde si descrivono come somme infinite di funzioni trigonometriche; in matematica molte funzioni (anche esponenziale e funzioni trigonometriche) si possono definire come somme infinite.

L'idea

Non si possono fare infinite somme una dopo l'altra. Si fa allora così: si sommano i primi $n$ addendi (un numero finito, che si sa fare), poi si guarda che cosa succede al limite per $n \to +\infty$. La somma degli infiniti addendi è, per definizione, questo limite.

Definizione

Definizione (somma parziale e serie). Data una successione $(a_k)_{k \in \mathbb{N}}$ di addendi:

1. Somma parziale (o ridotta) $n$-esima: $$s_0 = a_0, \quad s_1 = a_0 + a_1, \quad s_2 = a_0 + a_1 + a_2, \quad \dots, \quad s_n = a_0 + a_1 + \dots + a_n = \sum_{k=0}^n a_k$$ (è una sommatoriaIl simbolo $\sum_{k=0}^n a_k$ indica la somma $a_0 + a_1 + \dots + a_n$; $k$ è l'indice muto, che varia da $0$ a $n$.Sommatorie → finita).
2. Serie: è la successione delle somme parziali $(s_n)_{n \in \mathbb{N}} = \left(\sum_{k=0}^n a_k\right)_{n \in \mathbb{N}}$. Per indicarla si usa la scrittura $$\sum_{k=0}^{+\infty} a_k$$

Esempio. $a_k = k$: $s_0 = 0$, $s_1 = 1$, $s_2 = 3$, $s_3 = 6$, e in generale $s_n = \frac{n(n+1)}{2}$, quindi $\sum k = +\infty$.

Somma della serie e carattere

Definizione (somma e carattere di una serie). Data la serie $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k$ (cioè la successione $(s_n)$), si pone

$$S = \lim_{n \to +\infty} s_n = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n a_k$$

e si scrive anche $S = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k$. Ci sono tre possibilità (le stesse di ogni limite di successioneUna successione ha limite l se, da un certo indice in poi, i suoi termini stanno vicini a l quanto si vuole; definizioni con epsilon, limiti infiniti e unicità.Limiti di successioni →):

Limite di $s_n$	Si dice che la serie è	Si scrive
esiste ed è $S \in \mathbb{R}$	convergente (a $S$), e $S$ è la somma	$\sum_{k=0}^{+\infty} a_k = S$
esiste ed è $+\infty$ (o $-\infty$)	divergente a $+\infty$ (o a $-\infty$)	$\sum_{k=0}^{+\infty} a_k = +\infty$
non esiste	irregolare

Esempio. $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k}$ ha $s_n = 2 - \frac{1}{2^n} \to 2$: converge e la somma è $2$. $\sum_{k=0}^{+\infty} k = +\infty$ diverge. $\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k$ è irregolare.

Stabilire in quale dei tre casi si è si dice studiare il carattere della serie.

Attenzione alla notazione

1. In $\sum_{k=0}^n a_k$ ci sono due indici con ruoli diversi: $k$ è l'indice muto di sommatoria (scorre gli addendi), $n$ dice quanti addendi si sommano (fino a quale).
2. Il simbolo $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k$ è ambiguo: si usa sia per la serie (la successione $(s_n)_n$) sia per la somma della serie ($\lim_n s_n$, un numero o $\pm\infty$). Dal contesto si capisce quale dei due.

Serie che partono da un indice $N$

Gli addendi possono partire da un indice $N \in \mathbb{N}$ fissato: $(a_k)_{k \ge N}$. Allora $s_0 = a_N$, $s_1 = a_N + a_{N+1}$, …, $s_n = a_N + \dots + a_{N+n}$, e con il cambio di indiceSi pone $h = N + k$: quando $k$ va da $0$ a $n$, $h$ va da $N$ a $N + n$. Il nome dell'indice è muto, quindi lo si può richiamare $k$. $h = N + k$:

$$s_n = \sum_{k=0}^n a_{N+k} = \sum_{h=N}^{N+n} a_h$$

Quindi le scritture

$$\sum_{k=0}^{+\infty} a_{N+k} \qquad \text{e} \qquad \sum_{k=N}^{+\infty} a_k$$

indicano la stessa serie, con la stessa somma. Per esempio $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac1k$ e $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k+1}$ sono la stessa cosa.

Primi esempi

Esempio 1: una serie divergente, $\sum_{k=0}^{+\infty} k$

Le somme parziali sono $s_n = 0 + 1 + 2 + \dots + n$. Ogni addendo è $\ge 0$ e l'ultimo è $n$, quindi $s_n \ge n$. Poiché $n \to +\infty$, per il teorema del confrontoSe $s_n \ge b_n$ e $b_n \to +\infty$, allora anche $s_n \to +\infty$.Calcolo dei limiti di successioni → anche $s_n \to +\infty$:

$$\sum_{k=0}^{+\infty} k = +\infty$$

(Si può anche usare la formula esatta $s_n = \frac{n(n+1)}{2}$, vedi Esercizio 10 · somma dei primi n numeri per induzione.)

Esempio 2: una serie irregolare, $\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k$

$$s_0 = 1, \quad s_1 = 1 - 1 = 0, \quad s_2 = 1 - 1 + 1 = 1, \quad s_3 = 0, \ \dots \qquad s_n = \begin{cases} 1 & n \text{ pari} \\ 0 & n \text{ dispari} \end{cases}$$

Le somme parziali oscillano tra $1$ e $0$: la sottosuccessione dei pari tende a $1$, quella dei dispari a $0$, quindi (per il criterio delle SottosuccessioniUna sottosuccessione si ottiene prendendo infiniti termini di una successione con indici crescenti; se due sottosuccessioni hanno limiti diversi, il limite non esiste.Sottosuccessioni →) $\lim_n s_n$ non esiste. La serie è irregolare.

Esempio 3: una serie convergente, la lunghezza di $[0, 2]$

Si divide $[0, 2]$ così: un primo pezzo lungo $a_0 = 1$ (da $0$ a $1$), poi metà di quel che resta, $a_1 = \frac12$, poi metà di quel che resta, $a_2 = \frac14$, e così via: $a_k = \frac{1}{2^k}$. Rimpiazzando sempre metà del pezzo rimasto si copre tutto l'intervallo, quindi l'intuizione dice

$$\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = 1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots = 2$$

Le somme parziali $s_n = \sum_{k=0}^n \left(\frac12\right)^k$ sono una progressione geometrica di ragione $q = \frac12$; il conto esatto, in Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →, conferma che la somma è $2$.

Proprietà generali delle serie

1. I primi termini non cambiano il carattere

Proprietà (i primi termini non cambiano il carattere). Per $N \in \mathbb{N}$ fissato, $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k$ ha lo stesso carattere di $\sum_{k=N}^{+\infty} a_k = \sum_{k=0}^{+\infty} a_{N+k}$.

Esempio. $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = 2$ e $\sum_{k=3}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = \frac{1}{4}$: convergono entrambe (cambia solo la somma).

Dimostrazione. Chiamiamo $s_n^1 = \sum_{k=0}^n a_k$ le somme parziali della prima serie e $s_n^2 = a_N + a_{N+1} + \dots + a_n$ quelle della seconda (fino allo stesso indice $n$). Per $n > N$:

$$s_n^1 = \underbrace{a_0 + a_1 + \dots + a_{N-1}}_{= c, \text{ costante}} + \underbrace{a_N + a_{N+1} + \dots + a_n}_{= s_n^2} = c + s_n^2$$

Il primo pezzo è la somma di un numero fisso di termini, quindi è una costante $c$ (non dipende da $n$). Passando al limite, $S^1 = c + S^2$: o entrambe le serie divergono, o sono entrambe irregolari, o sono entrambe convergenti ∎.

Attenzione: se convergono, non hanno in generale la stessa somma: $S^1 = c + S^2$. Per esempio $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = 2$ mentre $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = 2 - 1 = 1$.

2. Si può portare fuori una costante

Proprietà (costante moltiplicativa). Per ogni $c \in \mathbb{R}$, $c \neq 0$: $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} c\,a_k = c\sum_{k=0}^{+\infty} a_k$ (stesso carattere; se converge, somma moltiplicata per $c$).

Esempio. $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{3}{2^k} = 3 \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = 3 \cdot 2 = 6$.

Viene dalla linearità delle sommatorie finite ($\sum_{k=0}^n c\,a_k = c\,s_n$) e dalle proprietà dei limiti di successioni.

3. Somma di serie convergenti

Proprietà (somma di serie convergenti). Se $\sum a_k$ e $\sum b_k$ convergono, allora $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} (a_k \pm b_k) = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k \pm \sum_{k=0}^{+\infty} b_k$.

Esempio. $\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2^k} + \frac{1}{3^k}\right) = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$.

Le somme parziali sono $s_n = \sum_{k=0}^n (a_k + b_k) = s_n^a + s_n^b$ (linearità delle sommatorie), e si passa al limite. L'uguaglianza $\lim s_n = \lim s_n^a + \lim s_n^b$ vale anche quando una diverge e l'altra converge ($+\infty + b = +\infty$) o quando divergono entrambe allo stesso infinito ($+\infty + \infty = +\infty$). L'unico caso in cui non vale è la forma indeterminata $+\infty - \infty$.

Esempi.

• $\sum_{k=0}^{+\infty}\left(k - \frac{1}{2^k}\right) = \sum k - \sum \frac{1}{2^k} = +\infty - 2 = +\infty$ ✓ (una diverge, l'altra converge).
• $\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\left(k + \frac{1}{2^k}\right) - k\right) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = 2$: converge. Ma non si può spezzare in $\sum\left(k + \frac1{2^k}\right) - \sum k = +\infty - \infty$: forma indeterminata, il calcolo non dice niente.

Condizione necessaria di convergenza

Teorema (condizione necessaria di convergenza). Se la serie $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k = S \in \mathbb{R}$ (cioè converge), allora $\displaystyle\lim_{k \to +\infty} a_k = 0$.

Esempio. $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k}{k+1}$: poiché $\frac{k}{k+1} \to 1 \ne 0$, la serie non converge.

Dimostrazione. Per ogni $n \ge 1$ la somma parziale si scrive $s_n = (a_0 + \dots + a_{n-1}) + a_n = s_{n-1} + a_n$, quindi

$$a_n = s_n - s_{n-1}$$

La serie converge, quindi $s_n \to S$; e anche $s_{n-1} \to S$ (è la stessa successione spostata di un posto: il limite non cambia, vedi Limiti di successioniUna successione ha limite l se, da un certo indice in poi, i suoi termini stanno vicini a l quanto si vuole; definizioni con epsilon, limiti infiniti e unicità.Limiti di successioni →). Per l'algebra dei limiti, $a_n = s_n - s_{n-1} \to S - S = 0$ ∎.

A che cosa serve: riconoscere serie che non convergono. Se $a_k \not\to 0$ (non tende a zero, o non ha limite), la serie non converge.

• $\sum_{k=0}^{+\infty} k$: $a_k = k \to +\infty \neq 0$, non converge (diverge).
• $\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k$: $\lim (-1)^k$ non esiste, non converge (è irregolare).

La condizione non distingue tra "diverge" e "irregolare": dice solo "non converge".

Purtroppo è solo necessaria, non sufficiente. Esistono serie con $a_k \to 0$ che divergono o sono irregolari. L'esempio principale è la serie armonica $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac1n$: $\frac1n \to 0$, ma diverge (Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →). Un altro: Esercizio 109 · serie telescopica con il logaritmo.

Per avere condizioni sufficienti servono i criteri: Serie a termini non negativi e criteri del confrontoUna serie a termini >= 0 converge o diverge a +infinito, mai irregolare. Criterio del confronto (0 <= a_k <= b_k), del confronto asintotico (a_k ~ L b_k) e suo corollario con le serie notevoli: si studia una serie paragonandola a 1/n^alpha o a q^n.Serie a termini non negativi e criteri del confronto →.

Errori comuni

• Confondere gli addendi $a_k$ con le somme parziali $s_n$: la serie converge se converge $s_n$, non se converge $a_k$ (per esempio $a_k = \frac1k \to 0$, ma la serie $\sum \frac1k$ diverge).
• Trattare $\sum_{k=0}^{+\infty}$ come una somma finita (riordinare, raccogliere, separare) senza giustificazione: ogni operazione va motivata con le proprietà delle serie e dei limiti.
• Dimenticare che il limite può non esistere: le serie hanno tre caratteri possibili, non due.
• Usare la condizione necessaria al contrario: da $a_k \to 0$ non segue che la serie converge.
• Spezzare una serie in due quando si ottiene $+\infty - \infty$.