Formula di Taylor con resto di Peano

Capitolo 4, "Calcolo differenziale" (lezione 31). Serve a calcolare limiti difficili, a trovare l'ordine di infinitesimi e infiniti e a calcolare derivate alte senza derivare. Tabella degli sviluppi già pronti: Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli →. Versione con l'errore scritto esplicitamente: Formula di Taylor con resto di LagrangeSe f ha n+1 derivate continue su [a,b], l'errore tra f e il suo polinomio di Taylor si scrive esattamente come f^(n+1)(c)(x-x0)^(n+1)/(n+1)! per un c opportuno: serve a stimare l'errore su tutto un intervallo e a scegliere il grado del polinomio.Formula di Taylor con resto di Lagrange →. Esercizi: Esercizio 102 · sviluppo di Mac-Laurin di log(cos x), Esercizio 103 · sviluppo di Mac-Laurin di (1+2x)^sinh x, Esercizio 104 · derivate quinta e sesta in 0 senza derivare.

Cosa serve sapere prima. Le derivateDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione → (anche successiveLa derivata seconda è la derivata di f', la derivata n-esima è la derivata della (n−1)-esima. Se esiste f⁽ⁿ⁾(x0), allora f, f', …, f⁽ⁿ⁻¹⁾ sono continue in x0. Cⁿ(I) = funzioni derivabili n volte su I con f⁽ⁿ⁾ continua; Cⁿ ⊊ Cⁿ⁻¹ ⊊ … ⊊ C¹ ⊊ C⁰.Derivate successive e funzioni di classe Cn →: $f^{(2)} = f''$, $f^{(3)} = f'''$, …), il simbolo $o(\cdot)$ ("o piccolo")Per $x \to x_0$, $g(x) = o(h(x))$ significa che $g(x)/h(x) \to 0$: $g$ diventa trascurabile rispetto a $h$. Per esempio $x^3 = o(x^2)$ per $x \to 0$.Asintoticità e o-piccolo →, il simbolo $\sim$ (asintotico)$g \sim h$ per $x \to x_0$ significa $g(x)/h(x) \to 1$: le due funzioni, vicino a $x_0$, sono "quasi uguali".Asintoticità e o-piccolo → e il teorema di de l'HôpitalSe $f/g$ è una forma $0/0$ (o $\infty/\infty$) e il limite di $f'/g'$ esiste, allora il limite di $f/g$ è lo stesso. Nei passaggi della prof è segnato con una H cerchiata.Teorema di de l'Hôpital →.

La domanda

Data $f$ derivabile $n$ volte in $x_0 = 0$, si può trovare un polinomio $T_n(x)$ di grado $\le n$ tale che

$$f(x) = T_n(x) + o(x^n) \qquad \text{per } x \to 0 \ ?$$

Cioè: vicino a $0$, $f$ è uguale a un polinomio a meno di un errore che va a zero più in fretta di $x^n$. I polinomi sono le funzioni più facili da trattare (si sommano, si moltiplicano, si derivano a mano), quindi sostituire $f$ con un polinomio semplifica moltissimo i conti.

Il caso $n = 1$ lo conosciamo già. Che $f$ sia derivabile in $0$ equivale a dire che

$$f(x) = f(0) + f'(0)\,x + o(x) \qquad \text{per } x \to 0,$$

cioè che la retta tangente $T_1(x) = f(0) + f'(0)\,x$ approssima $f$ con un errore $o(x)$ (è la caratterizzazione della derivabilità con l'o piccolo). La formula di Taylor è lo stesso discorso con polinomi di grado più alto, che approssimano meglio.

L'esempio che fa capire: $f(x) = \sin x$

$n = 1$. $\sin 0 = 0$ e $\cos 0 = 1$, quindi $\sin x = x + o(x)$: $T_1(x) = x$.

$n = 2$. Vogliamo capire quanto vale l'errore $\sin x - T_1(x) = \sin x - x$ confrontato con $x^2$. Calcoliamo il limite del rapporto; è una forma $\frac00$, applichiamo de l'Hôpital (deriviamo sopra e sotto):

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^2} \overset{H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{2x} \overset{H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2} = 0$$

Il rapporto tende a $0$: per definizione di o piccolo, $\sin x - x = o(x^2)$. Quindi $\sin x = x + o(x^2)$ e $T_2(x) = T_1(x) = x$: il termine di grado 2 non c'è (ha coefficiente $0$). Osserviamo che $0 = \frac12 f''(0)$, perché $f''(x) = -\sin x$ vale $0$ in $0$.

$n = 3$. Ora confrontiamo l'errore con $x^3$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} \overset{H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2} \overset{H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{3 \cdot 2\, x} \overset{H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{3!} = -\frac{1}{3!}$$

Il limite è un numero diverso da zero: vuol dire che $\sin x - x \sim -\frac{1}{3!}x^3$, cioè

$$\sin x - x = -\frac{1}{3!}x^3 + o(x^3) \quad\Longrightarrow\quad \sin x = \underbrace{x - \frac{1}{3!}x^3}_{T_3(x)} + o(x^3)$$

E di nuovo il coefficiente trovato è $-\frac{1}{3!} = \frac{1}{3!}f'''(0)$, perché $f'''(x) = -\cos x$ vale $-1$ in $0$.

Lo schema che emerge. Ogni volta il nuovo coefficiente di $x^k$ è $\frac{1}{k!}f^{(k)}(0)$. Andando avanti (confrontando con $x^4$, $x^5$, …) si continua allo stesso modo. Questo è il contenuto del teorema.

Teorema (formula di Taylor in $x_0 = 0$, o sviluppo di Mac-Laurin)

Teorema (formula di Taylor di Mac-Laurin con resto di Peano). Se $f$ è derivabile $n$ volte in $x_0 = 0$, esiste uno e un solo polinomio $T_n(x)$ di grado $\le n$ tale che $$f(x) = T_n(x) + o(x^n) \qquad \text{per } x \to 0,$$ ed è $$T_n(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac{1}{2}f''(0)\,x^2 + \frac{1}{3!}f'''(0)\,x^3 + \dots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)\,x^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k$$ (con la convenzione $f^{(0)} = f$).

Esempio. Per $f(x) = e^x$ tutte le derivate in $0$ valgono $1$, quindi $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ per $x \to 0$.

Nomi.

• $T_n(x)$ è il polinomio di Taylor di ordine $n$ di $f$ (in $0$; detto anche polinomio di Mac-Laurin).
• $R_n(x) = f(x) - T_n(x) = o(x^n)$ è il resto $n$-esimo di Peano: è l'errore che si commette sostituendo $f$ con $T_n$, e la formula dice solo che è trascurabile rispetto a $x^n$, senza dire quanto vale.
• $T_n$ è anche l'unico polinomio di grado $\le n$ che ha le stesse derivate di $f$ in $0$ fino all'ordine $n$: $T_n^{(k)}(0) = f^{(k)}(0)$ per $k = 0, 1, \dots, n$.

Come si legge la formula. Il coefficiente di $x^k$ è "derivata $k$-esima in $0$ divisa per $k!$Il fattoriale: $k! = 1 \cdot 2 \cdots k$, con $0! = 1$. Per esempio $3! = 6$, $4! = 24$, $5! = 120$.Fattoriale e coefficienti binomiali →". Il fattoriale cresce molto in fretta, quindi i coefficienti di solito diventano piccoli.

Dimostrazione (per induzione su $n$)

Il ragionamento è quello fatto sopra con $\sin x$, ripetuto per una $f$ qualsiasi.

$n = 1$. È la caratterizzazione della derivabilità: $f(x) = f(0) + f'(0)\,x + o(x)$, quindi $T_1(x) = f(0) + f'(0)\,x$.

$n = 2$. Si calcola

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - T_1(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0) - f'(0)\,x}{x^2} \overset{H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{f'(x) - f'(0)}{2x} = \frac12 f''(0)$$

Perché si può usare de l'Hôpital: siccome esiste $f''(0)$, le funzioni $f$ e $f'$ sono derivabili (quindi continue) in $0$; allora sopra si ha $f(x) - f(0) - f'(0)x \to 0$ e sotto $x^2 \to 0$, forma $\frac00$. L'ultimo limite è $\frac12$ per il rapporto incrementale di $f'$$\frac{f'(x) - f'(0)}{x - 0}$: il suo limite per $x \to 0$ è, per definizione, la derivata di $f'$ in $0$, cioè $f''(0)$.Derivate successive e funzioni di classe Cn →, che tende a $f''(0)$ per definizione di derivata seconda.

Quindi $f(x) - T_1(x) \sim \frac12 f''(0)\,x^2$ (se $f''(0) \neq 0$; se è $0$ il limite dice comunque che la differenza è $o(x^2)$). In entrambi i casi:

$$f(x) - T_1(x) = \frac12 f''(0)\,x^2 + o(x^2) \ \Longrightarrow\ f(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac12 f''(0)\,x^2 + o(x^2)$$

$n = 3$. Stessa cosa con un passaggio di de l'Hôpital in più (esiste $f'''(0)$, quindi $f, f', f''$ sono continue in $0$ e ogni volta si ha $\frac00$):

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0) - f'(0)\,x - \frac12 f''(0)\,x^2}{x^3} \overset{H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{f'(x) - f'(0) - f''(0)\,x}{3x^2} \overset{H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{f''(x) - f''(0)}{3 \cdot 2\,x} = \frac{1}{3!}f'''(0)$$

e quindi $f(x) = T_2(x) + \frac{1}{3!}f'''(0)\,x^3 + o(x^3)$.

Passo induttivo. Si suppone che $T_{n-1}(x) = f(0) + f'(0)\,x + \dots + \frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(0)\,x^{n-1}$ e si calcola, applicando de l'Hôpital $n - 1$ volte,

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - T_{n-1}(x)}{x^n} = \dots = \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)$$

da cui $f(x) = T_{n-1}(x) + \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)\,x^n + o(x^n) = T_n(x) + o(x^n)$ ∎.

Perché il polinomio è unico (quello con le stesse derivate)

Prendiamo un polinomio qualsiasi di grado $\le n$, $P_n(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n$, e imponiamo che abbia in $0$ le stesse derivate di $f$: $P_n^{(k)}(0) = f^{(k)}(0)$ per $k = 0, \dots, n$. Vediamo che cosa obbliga a fare.

• $k = 0$: $P_n(0) = a_0$ (tutti gli altri termini contengono $x$ e si annullano). Quindi $a_0 = f(0)$.
• $k = 1$: $P_n'(x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \dots + n\,a_n x^{n-1}$, quindi $P_n'(0) = a_1$. Imponendo $a_1 = f'(0)$.
• $k = 2$: $P_n''(x) = 2a_2 + 3 \cdot 2\, a_3 x + \dots$, quindi $P_n''(0) = 2a_2 = f''(0)$, cioè $a_2 = \frac12 f''(0)$.
• $k = 3$: $P_n'''(0) = 3 \cdot 2 \cdot a_3 = 3!\,a_3 = f'''(0)$, cioè $a_3 = \frac{1}{3!}f'''(0)$.
• In generale (per induzione): derivando $k$ volte $a_k x^k$ resta $k!\,a_k$, i termini di grado più basso spariscono (derivati troppe volte) e quelli di grado più alto contengono ancora $x$ (valgono $0$ in $0$). Quindi $a_k = \frac{1}{k!}f^{(k)}(0)$.

I coefficienti sono obbligati: $P_n = T_n$ ∎.

Conseguenza pratica fondamentale. Se in qualunque modo (anche senza derivare!) si riesce a scrivere

$$f(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n + o(x^n) \qquad \text{per } x \to 0,$$

allora quello è il polinomio di Taylor, e quindi $a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}$. È il motivo per cui gli sviluppi si costruiscono componendo quelli noti invece di derivare: Esercizio 102 · sviluppo di Mac-Laurin di log(cos x), e per cui si possono ricavare le derivate dai coefficienti: $f^{(k)}(0) = k!\,a_k$ (Esercizio 104 · derivate quinta e sesta in 0 senza derivare).

Primi esempi

$f(x) = e^x$

Tutte le derivate di $e^x$ sono $e^x$, e $e^0 = 1$: $f^{(k)}(0) = 1$ per ogni $k$. Quindi ogni coefficiente è $\frac{1}{k!}$:

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \qquad \text{per } x \to 0$$

Verifica numerica con $x = 0{,}1$: $T_3(0{,}1) = 1 + 0{,}1 + 0{,}005 + 0{,}000167 = 1{,}105167$, mentre $e^{0{,}1} = 1{,}105171\ldots$: errore circa $4 \cdot 10^{-6}$, molto più piccolo di $x^3 = 0{,}001$.

$f(x) = \sin x$

Le derivate si ripetono ogni quattro:

• Derivate pari ($k = 2h$): valgono $\pm\sin 0 = 0$, quindi le potenze pari non compaiono.
• Derivate dispari ($k = 2h + 1$): valgono alternativamente $+1$ ($h = 0$), $-1$ ($h = 1$), $+1$, …, cioè $(-1)^h$.

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1})$$

Finezza utile. Il termine successivo, di grado $2n + 2$, ha coefficiente $0$ (è una derivata pari). Quindi si può scrivere anche $+\,0 \cdot x^{2n+2} + o(x^{2n+2})$: lo stesso polinomio approssima con errore $o(x^{2n+2})$, un ordine meglio. Per esempio $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)$. Vale per ogni funzione dispari (sviluppo con sole potenze dispari); per una funzione pari (come $\cos x$) ci sono solo potenze pari.

Gli altri sviluppi da sapere ($\cos x$, $\log(1+x)$, $(1+x)^\alpha$, $\arctan x$, $\sinh x$, $\cosh x$) sono raccolti in Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli →.

Teorema (formula di Taylor in un punto $x_0 \in \mathbb{R}$ qualsiasi)

Lo stesso si può fare attorno a qualunque punto, usando le potenze di $(x - x_0)$ al posto di quelle di $x$.

Teorema (formula di Taylor in un punto x₀). Se $f$ è derivabile $n$ volte in $x_0 \in \mathbb{R}$, esiste uno e un solo polinomio $T_{n,x_0}(x)$ di grado $\le n$ tale che $f(x) = T_{n,x_0}(x) + o\big((x - x_0)^n\big)$ per $x \to x_0$, ed è $$T_{n,x_0}(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac12 f''(x_0)(x - x_0)^2 + \dots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^n$$

Esempio. $f(x) = \log x$ in $x_0 = 1$, ordine $2$: $f(1) = 0$, $f'(1) = 1$, $f''(1) = -1$, quindi $\log x = (x - 1) - \frac{1}{2}(x - 1)^2 + o\big((x - 1)^2\big)$.

$T_{n,x_0}$ è il polinomio di Taylor di ordine $n$ di $f$ in $x_0$, $R_{n,x_0}(x) = o\big((x - x_0)^n\big)$ il resto di Peano; $T_{n,x_0}$ è l'unico polinomio con $T_{n,x_0}^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0)$ per $k = 0, \dots, n$.

Attenzione. I polinomi di Taylor in due punti diversi $x_0 \neq x_1$ sono indipendenti: non si può ricavare l'uno dall'altro in nessun modo (in particolare, non "spostando" quello in $0$).

Esempio: $\sin x$ in $x_0 = \frac{\pi}{4}$, ordine 3

Servono le derivate fino alla terza, calcolate in $\frac\pi4$ (dove seno e coseno valgono $\frac{\sqrt2}{2}$, vedi Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →):

• $f(\frac\pi4) = \sin\frac\pi4 = \frac{\sqrt2}{2}$;
• $f'(x) = \cos x$, $f'(\frac\pi4) = \frac{\sqrt2}{2}$;
• $f''(x) = -\sin x$, $f''(\frac\pi4) = -\frac{\sqrt2}{2}$;
• $f'''(x) = -\cos x$, $f'''(\frac\pi4) = -\frac{\sqrt2}{2}$.

Sostituendo (con $\frac12$ e $\frac{1}{3!} = \frac16$ davanti al secondo e terzo termine) e raccogliendo $\frac{\sqrt2}{2}$:

$$\sin x = \frac{\sqrt2}{2}\left(1 + \left(x - \tfrac\pi4\right) - \frac12\left(x - \tfrac\pi4\right)^2 - \frac16\left(x - \tfrac\pi4\right)^3\right) + o\!\left(\left(x - \tfrac\pi4\right)^3\right) \quad \text{per } x \to \tfrac\pi4$$

Errore tipico. Partire da $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ e sostituire $x$ con $x - \frac\pi4$ dà lo sviluppo di $\sin\left(x - \frac\pi4\right)$, non quello di $\sin x$ attorno a $\frac\pi4$: è un'altra funzione (il grafico di $\sin$ traslato a destra di $\frac\pi4$).

A che cosa serve

1. Calcolare limiti. Sostituendo ogni funzione con il suo polinomio di Taylor (fino all'ordine giusto) le forme indeterminate diventano confronti tra potenze. Esempio: $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0}\frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = -\frac16$, senza de l'Hôpital.
2. Trovare l'ordine di infinitesimo di una funzione (il primo termine non nullo dello sviluppo dice a quale potenza è asintotica): Esercizio 106 · ordine di infinito al variare di α.
3. Calcolare derivate alte in un punto leggendo i coefficienti: Esercizio 104 · derivate quinta e sesta in 0 senza derivare.

È un'approssimazione locale. Il resto di Peano dice che l'errore è piccolo solo per $x$ vicino a $x_0$ e non dà nessuna stima numerica. Per sapere quanto vale l'errore su un intervallo intero serve la Formula di Taylor con resto di LagrangeSe f ha n+1 derivate continue su [a,b], l'errore tra f e il suo polinomio di Taylor si scrive esattamente come f^(n+1)(c)(x-x0)^(n+1)/(n+1)! per un c opportuno: serve a stimare l'errore su tutto un intervallo e a scegliere il grado del polinomio.Formula di Taylor con resto di Lagrange →.

Errori comuni

• Dimenticare l'$o(x^n)$: scrivere $\sin x = x - \frac{x^3}{6}$ è falso; è vero solo con $+\,o(x^3)$.
• Fermarsi all'ordine sbagliato: in un limite bisogna sviluppare finché il primo termine che non si cancella è visibile (vedi Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli →, "quanti termini tenere").
• Usare lo sviluppo in $0$ quando $x \to x_0 \neq 0$: per $x \to x_0$ serve il polinomio in $x_0$, oppure una sostituzione $t = x - x_0 \to 0$ applicata alla funzione giusta.
• Confondere $T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$ con $\sum f^{(k)}(x)\ldots$: le derivate vanno calcolate nel punto $x_0$, poi si moltiplicano per le potenze di $(x - x_0)$.