Serie a termini di segno variabile

Lezioni 35 e 36 (paragrafo 1.3 del capitolo 5). Prerequisiti: Serie a termini non negativi e criteri del confrontoUna serie a termini >= 0 converge o diverge a +infinito, mai irregolare. Criterio del confronto (0 <= a_k <= b_k), del confronto asintotico (a_k ~ L b_k) e suo corollario con le serie notevoli: si studia una serie paragonandola a 1/n^alpha o a q^n.Serie a termini non negativi e criteri del confronto →, Criteri del rapporto e della radice per le seriePer una serie a termini positivi, se il limite di a_(n+1)/a_n (criterio del rapporto) o di radice n-esima di a_n (criterio della radice) è L < 1 la serie converge, se è L > 1 diverge; con L = 1 il criterio non dice nulla.Criteri del rapporto e della radice per le serie →. Esercizi: Esercizio 118 · convergenza assoluta con arcotangente e seno, Esercizio 119 · convergenza assoluta e semplice al variare di a, Esercizio 120 · criterio di Leibniz con l'arcotangente, Esercizio 121 · serie con αⁿ, arcotangente e logaritmo, Esercizio 122 · serie con (-1)ⁿ²+1) e potenze del logaritmo, Esercizio 123 · serie con sin(nπ/2) e 2^(α log n).

Il problema

Quando gli addendi $a_n$ oscillano tra valori positivi e negativi anche per $n$ grande, nessuno dei criteri visti finora (confronto, confronto asintotico, rapporto, radice) si può usare: valgono solo se $a_n \ge 0$ definitivamente (o $a_n \le 0$ definitivamente). Per queste serie resta solo la condizione necessariaSe la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche → $a_n \to 0$.

Perché sono diverse: un esempio

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^\alpha}, \quad \alpha > 0: \qquad a_1 = -1, \ a_2 = \frac{1}{2^\alpha}, \ a_3 = -\frac{1}{3^\alpha}, \ \dots$$

Si pensa ogni $a_n$ come l'area con segno di un rettangolo di base $1$ e altezza $a_n$: i rettangoli stanno alternativamente sopra e sotto l'asse $x$, tra le curve $y = \frac{1}{x^\alpha}$ e $y = -\frac{1}{x^\alpha}$. La somma parziale è

$$s_n = s_n^+ - s_n^-$$

dove $s_n^+$ è la somma delle aree dei rettangoli sopra l'asse e $s_n^-$ quella (presa positiva) dei rettangoli sotto. Osservazioni:

• $s_n$ non è monotona (sale e scende): il limite potrebbe non esistere (serie irregolare), cosa impossibile per le serie a termini positivi.
• Se $s_n^+$ e $s_n^-$ hanno entrambe limite finito (qui succede se $a_n \to 0$ velocemente, come $\frac{1}{n^\alpha}$ con $\alpha > 1$), la serie converge.
• Ma $s_n$ potrebbe convergere anche se $s_n^+ \to +\infty$ e $s_n^- \to +\infty$: è una forma $+\infty - \infty$, e le cancellazioni tra positivi e negativi possono dare un limite finito.

Quindi: (1) se $a_n \to 0$ "velocemente" ($\alpha > 1$) la serie dovrebbe convergere; (2) però potrebbe convergere anche quando $a_n \to 0$ lentamente ($\alpha \le 1$).

Convergenza assoluta

Definizione (convergenza assoluta). La serie $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ converge assolutamente se converge la serie dei moduli $\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|$.

Per distinguerla, la convergenza "normale" ($s_n$ ha limite finito) si chiama convergenza semplice.

Il vantaggio: $\sum |a_n|$ ha termini $|a_n| \ge 0$, quindi per studiare la convergenza assoluta si possono usare tutti i criteri delle serie a termini non negativi.

Esempio. $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ converge assolutamente se e solo se converge $\sum \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum \frac{1}{n^\alpha}$, cioè (armonica generalizzata) se e solo se $\alpha > 1$.

Relazione con la convergenza semplice

• Se $a_n \ge 0$ per ogni $n$: $|a_n| = a_n$, quindi le due serie coincidono e convergenza semplice = convergenza assoluta.
• Se $a_n \le 0$ per ogni $n$: $|a_n| = -a_n$ e $\sum |a_n| = -\sum a_n$, stesso carattere: di nuovo coincidono.
• Lo stesso vale se $a_n \ge 0$ o $a_n \le 0$ solo definitivamente.

In generale, però, vale solo un'implicazione.

Teorema (la convergenza assoluta implica la convergenza semplice)

Teorema (la convergenza assoluta implica la convergenza semplice). Se $\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|$ converge, allora $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ converge.

Esempio. $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$ converge assolutamente, perché $\sum \frac{1}{n^2}$ converge; quindi converge.

Dimostrazione. Per ogni $n$, per le proprietà del valore assolutoPer ogni numero reale $x$ vale $-\lvert x \rvert \le x \le \lvert x \rvert$.Valore assoluto (modulo) →, $-|a_n| \le a_n \le |a_n|$. Sommando $|a_n|$ a tutti i membri:

$$0 \le a_n + |a_n| \le 2|a_n|$$

La serie $\sum (a_n + |a_n|)$ ha termini $\ge 0$ ed è minore di $\sum 2|a_n|$, che converge per ipotesi: per il criterio del confronto converge; chiamiamo $S_1$ la sua somma, e $S_2 = \sum |a_n|$. Allora, per la proprietà della somma di serie convergenti,

$$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \sum_{n=0}^{+\infty} \big((a_n + |a_n|) - |a_n|\big) = \sum_{n=0}^{+\infty} (a_n + |a_n|) - \sum_{n=0}^{+\infty} |a_n| = S_1 - S_2 \in \mathbb{R}$$

quindi $\sum a_n$ converge ∎.

Il trucco è scrivere $a_n$ come differenza di due cose positive: $a_n = (a_n + |a_n|) - |a_n|$.

Un'osservazione utile per la non convergenza

$$\lim_n a_n = 0 \iff \lim_n |a_n| = 0$$

(la distanza da $0$ è la stessa). Quindi se $|a_n| \not\to 0$, anche $a_n \not\to 0$, e la serie non converge nemmeno semplicemente. È il modo di concludere quando il criterio del rapporto applicato a $|a_n|$ dà $L > 1$ (e quindi $|a_n| \to +\infty$): Esercizio 119 · convergenza assoluta e semplice al variare di a.

Il viceversa è falso

La convergenza assoluta è solo una condizione sufficiente: ci sono serie che convergono semplicemente ma non assolutamente ($\sum |a_n| = +\infty$ ma $\sum a_n$ converge). L'esempio tipico è $\sum \frac{(-1)^n}{n}$, come si vede subito sotto con il criterio di Leibniz.

Serie alternate e criterio di Leibniz

Una serie è alternata (o a segni alterni) se gli addendi di posto pari sono tutti $\ge 0$ e quelli di posto dispari tutti $\le 0$, o viceversa. Si scrive $\sum (-1)^n a_n$ con $a_n \ge 0$.

Criterio di Leibniz. Sia $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_n$ con $a_n \ge 0$ per ogni $n$. Se

1. $\lim_n a_n = 0$, e
2. $(a_n)$ è decrescente,

allora la serie converge.

Esempio. $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}$: $\frac{1}{n} \to 0$ ed è decrescente, quindi la serie converge (anche se non converge assolutamente).

• Vale allo stesso modo per $\sum (-1)^{n+1} a_n$ o $\sum (-1)^{n-1} a_n$ (cambia solo il segno di tutti gli addendi).
• Basta che $a_n \ge 0$ e decrescente valgano definitivamente (i primi termini non contano).

Esempio 1: $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$, $\alpha > 0$

È alternata con $a_n = \frac{1}{n^\alpha} > 0$. (1) $\frac{1}{n^\alpha} \to 0$; (2) $\frac{1}{n^\alpha}$ è decrescente per ogni $\alpha > 0$ (denominatore crescente). Per Leibniz converge per ogni $\alpha > 0$.

Messo insieme alla convergenza assoluta:

In particolare $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ converge, anche se $\sum \frac1n$ diverge: le cancellazioni tra positivi e negativi bastano, anche con $a_n$ che va a zero lentamente.

Esempio 2: la decrescenza è essenziale

$$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \cdot \frac{2 + (-1)^n}{n}$$

È alternata: $a_n = \frac{2 + (-1)^n}{n}$ vale $\frac3n$ per $n$ pari e $\frac1n$ per $n$ dispari, sempre $> 0$.

• Non converge assolutamente: $\frac1n \le a_n \le \frac3n$, e $\sum a_n \ge \sum \frac1n = +\infty$.
• (1) $a_n \to 0$ ✓ (su pari e dispari tende a $0$).
• (2) $a_n$ non è decrescente: salta tra la curva $\frac3x$ e la curva $\frac1x$ ($a_1 = 1$, $a_2 = \frac32$, $a_3 = \frac13$, $a_4 = \frac34$, …).

Leibniz non si applica, e infatti la serie diverge. Si vede spezzandola ($(-1)^n \cdot (-1)^n = 1$):

$$(-1)^n \cdot \frac{2 + (-1)^n}{n} = (-1)^n \cdot \frac2n + \frac1n \quad \Longrightarrow \quad \sum_{n=1}^{+\infty} a_n = \underbrace{\sum (-1)^n \frac2n}_{\text{converge (Leibniz)}} + \underbrace{\sum \frac1n}_{= +\infty} = +\infty$$

(proprietà della somma di serie: convergente $+$ divergente $=$ divergente.)

Attenzione: la decrescenza va dimostrata sulla $a_n$ data

Se $a_n \sim b_n$ e $b_n$ è decrescente, non segue che $a_n$ sia decrescente (l'asintotico non vede le piccole oscillazioni). Bisogna sempre dimostrare che la $a_n$ data è definitivamente decrescente. Il metodo tipico: si considera la funzione $f(x)$ ottenuta mettendo $x$ al posto di $n$ e si mostra che $f'(x) < 0$ definitivamente per $x \to +\infty$. Esempio: Esercizio 120 · criterio di Leibniz con l'arcotangente.

Come dimostrare la decrescenza

Due strade (lezione 36):

1. Senza derivate, quando $a_n = \frac{1}{C_n}$ e $C_n$ è costruito con funzioni positive e crescenti:

   • una somma di crescenti è crescente;
   • un prodotto di funzioni positive e crescenti è crescente: se $0 < u_n \le u_{n+1}$ e $0 < v_n \le v_{n+1}$, allora $u_n v_n \le u_n v_{n+1} \le u_{n+1} v_{n+1}$ (si cambia un fattore alla volta, moltiplicando sempre per numeri positivi). Con le derivate: $(fg)' = f'g + fg' \ge 0$, perché tutti e quattro i fattori sono $\ge 0$;
   • il reciproco di una quantità positiva crescente è decrescente.

   Quindi $a_n = \frac{1}{\text{(somme e prodotti di positive crescenti)}}$ è decrescente. Esempi: $\frac{1}{5\arctan n + \sqrt n\log n + 6\sqrt[3]{n+1}}$ in Esercizio 121 · serie con αⁿ, arcotangente e logaritmo, $\frac{1}{(2k+1)^{\beta}\log^7(2k+1)}$ con $\beta \ge 0$ in Esercizio 123 · serie con sin(nπ/2) e 2^(α log n).

   Attenzione: per un prodotto serve che i fattori siano positivi. E se a numeratore e denominatore ci sono due quantità che crescono entrambe (come $\frac{\log^\alpha n}{n}$ con $\alpha > 0$) questo metodo non basta.

2. Con la derivata, negli altri casi: $f(x)$ con $x$ al posto di $n$, e si mostra $f'(x) < 0$ per $x \to +\infty$, spesso trovando un asintotico di $f'(x)$ di segno negativo. Esempi: Esercizio 120 · criterio di Leibniz con l'arcotangente, Esercizio 122 · serie con (-1)ⁿ²+1) e potenze del logaritmo.

Forme equivalenti di $(-1)^n$

Una serie alternata non sempre si presenta con $(-1)^n$ scritto in chiaro. Le forme più comuni:

Nell'ultimo caso gli addendi di posto pari sono nulli: si tolgono (non cambiano le somme parziali) e si riscrive la serie con l'indice $k$ dei soli dispari, $n = 2k+1$. Esempio: Esercizio 123 · serie con sin(nπ/2) e 2^(α log n).

Cenno: le serie di potenze (lezione 37)

Una serie della forma $$\sum_{n=0}^{+\infty} c_n\, x^n$$ con $c_n$ numeri fissati e $x \in \mathbb{R}$ variabile si chiama serie di potenze. Per ogni $x$ è una serie numerica, di solito di segno variabile (se $x < 0$, $x^n$ cambia segno): si studia con la convergenza assoluta e poi con Leibniz agli estremi, come in Esercizio 124 · serie con xⁿ e 9ⁿ al variare di x. L'insieme degli $x$ per cui converge è il dominio della funzione $$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n\, x^n.$$ Per esempio $f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{9^n(\sqrt[3]n + 4)}$ è definita esattamente per $x \in [-9, 9[$.

Alcune funzioni elementari si possono definire così (sono le serie di TaylorUna funzione derivabile n volte in x0 si scrive, vicino a x0, come un polinomio di grado al più n (il polinomio di Taylor, costruito con le derivate in x0) più un errore o((x-x0)^n); il polinomio è unico. Per x0 = 0 si chiama sviluppo di Mac-Laurin.Formula di Taylor con resto di Peano →, cioè sviluppi di Mac-Laurin "fino all'infinito"), e la serie converge per ogni $x \in \mathbb{R}$: $$e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}, \qquad \sin x = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.$$

Dimostrazione del criterio di Leibniz (non in programma)

Si studiano separatamente le somme parziali di indice pari e di indice dispari.

• I pari decrescono. $s_{2n} = s_{2n-2} - a_{2n-1} + a_{2n} = s_{2n-2} - (a_{2n-1} - a_{2n}) \le s_{2n-2}$, perché $a_{2n-1} - a_{2n} \ge 0$ ($a_n$ decrescente). Quindi $s_{2n} \le s_0 = a_0$.
• I dispari crescono. $s_{2n+1} = s_{2n-1} + (a_{2n} - a_{2n+1}) \ge s_{2n-1}$. Quindi $s_{2n+1} \ge s_1 = a_0 - a_1$.
• Legame. $s_{2n+1} = s_{2n} - a_{2n+1} \le s_{2n}$.

Mettendo insieme: $a_0 - a_1 \le s_{2n+1} \le s_{2n} \le a_0$. Le due sottosuccessioni sono monotone e limitate, quindi hanno limiti finiti $S_1$ (dispari) e $S_2$ (pari). Inoltre $s_{2n} - s_{2n+1} = a_{2n+1} \to 0$ per l'ipotesi 1, quindi $S_2 - S_1 = 0$. Pari e dispari hanno lo stesso limite $S$, e quindi (vedi SottosuccessioniUna sottosuccessione si ottiene prendendo infiniti termini di una successione con indici crescenti; se due sottosuccessioni hanno limiti diversi, il limite non esiste.Sottosuccessioni →) tutta la successione $s_n$ tende a $S$: la serie converge ∎.

Schema per studiare una serie di segno variabile

1. Convergenza assoluta: si studia $\sum |a_n|$ con i criteri per serie positive. Se converge, la serie converge (anche semplicemente). Fine.
2. Se $|a_n| \not\to 0$: la serie non converge (né assolutamente né semplicemente).
3. Se $\sum |a_n|$ diverge ma $|a_n| \to 0$: se la serie è alternata, si prova con Leibniz (controllando la decrescenza definitiva sulla $a_n$ data).

Errori comuni

• Applicare confronto, rapporto o radice direttamente a una serie di segno variabile: vanno applicati a $|a_n|$.
• Concludere "non converge" perché non converge assolutamente: può convergere semplicemente (Leibniz).
• Usare Leibniz senza verificare la decrescenza, o verificandola solo sull'asintotico.