Composizione e operazioni tra funzioni

Prerequisito: Funzioni - definizione, dominio e graficoUna funzione associa a ogni elemento del dominio un solo valore: dominio naturale, grafico, immagine, antimmagine e metodo grafico.Funzioni - definizione, dominio e grafico →. Lezione 7.

Composizione

Definizione (funzione composta). Siano $f : X \to Y$ e $g : V \to W$ (tutti insiemi non vuoti). Se $f(X) \subseteq V$, cioè se tutti i valori di $f$ stanno nel dominio di $g$, si può definire la funzione $g$ composto $f$:

$$g \circ f : X \to W, \qquad x \mapsto g(f(x))$$

Si applica prima $f$, poi $g$ (si legge da destra a sinistra, come nella scrittura $g(f(x))$): $x$ va in $f(x)$, che a sua volta va in $g(f(x))$.

Perché serve $f(X) \subseteq V$: $g$ si può applicare solo a elementi del suo dominio $V$. Se qualche $f(x)$ cadesse fuori da $V$, $g(f(x))$ non avrebbe senso.

Esempio a parole. $f$ = "eleva al quadrato", $g$ = "aggiungi $1$". Allora $g \circ f$ = "prima eleva al quadrato, poi aggiungi $1$": $x \mapsto x^2 + 1$. Invece $f \circ g$ = "prima aggiungi $1$, poi eleva al quadrato": $x \mapsto (x + 1)^2$. Già qui si vede che l'ordine conta.

Come si trova il dominio di una composta (in pratica)

Negli esercizi non si verifica mai direttamente $f(X) \subseteq V$. Si procede così:

1. si scrive la formula di $g(f(x))$ e si trova il suo dominio (dove la formula ha senso);
2. si interseca con il dominio di $f$ (perché $x$ deve poter entrare in $f$).

Il risultato $X'$ è il dominio di $g \circ f$.

Esempio della prof

$f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = x^2 - 1$, con i domini naturali: $f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Trovare $f \circ g$ e $g \circ f$.

$f \circ g$ (prima $g$, poi $f$):

1. $f(g(x)) = \sqrt{g(x)} = \sqrt{x^2 - 1}$. È definita quando $x^2 - 1 \ge 0$, cioè $x \le -1$ oppure $x \ge 1$ (valori esterni alle radici $\pm 1$).
2. Si interseca con $\mathrm{Dom}(g) = \mathbb{R}$: non cambia nulla.

$$f \circ g(x) = \sqrt{x^2 - 1}, \qquad \mathrm{Dom}(f \circ g) = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \subsetneq \mathbb{R} = \mathrm{Dom}(g)$$

$g \circ f$ (prima $f$, poi $g$):

1. $g(f(x)) = (\sqrt{x})^2 - 1 = x - 1$. La formula finale $x - 1$ avrebbe senso per ogni $x \in \mathbb{R}$…
2. …ma si deve intersecare con $\mathrm{Dom}(f) = [0, +\infty)$, perché per calcolarla si passa da $\sqrt{x}$.

$$g \circ f(x) = x - 1, \qquad \mathrm{Dom}(g \circ f) = [0, +\infty) = \mathrm{Dom}(f)$$

Attenzione: $g \circ f$ non è la funzione $x - 1$ su tutto $\mathbb{R}$. Per esempio $g(f(-4))$ non esiste, perché $\sqrt{-4}$ non è un numero reale. Semplificare la formula non allarga il dominio.

Conseguenze

• $\mathrm{Dom}(g \circ f) \subseteq \mathrm{Dom}(f)$, e può essere strettamente più piccolo (nel primo esempio, $\mathrm{Dom}(f \circ g) \subsetneq \mathrm{Dom}(g)$).
• La composizione non è commutativa: in generale $g \circ f \ne f \circ g$ (nell'esempio, $\sqrt{x^2 - 1}$ e $x - 1$ sono funzioni completamente diverse).

Collegamento con l'inversa

Se $f$ è iniettiva, la caratterizzazione dell'inversa (vedi Funzioni iniettive, suriettive e inverseIniettività (test delle rette orizzontali), suriettività, biunivocità e funzione inversa con il suo grafico simmetrico rispetto a y = x.Funzioni iniettive, suriettive e inverse →) si scrive con la composizione: $f^{-1} \circ f(x) = x$ e $f \circ f^{-1}(y) = y$. Comporre una funzione con la sua inversa "non fa niente".

Operazioni tra funzioni reali

Per $f, g : X \to \mathbb{R}$ (stesso dominio, valori reali) si definiscono, punto per punto:

"Punto per punto" significa: per calcolare $(f + g)$ in $x$, si calcolano $f(x)$ e $g(x)$ (due numeri) e li si somma.

Esempio. $f(x) = x^2$, $g(x) = x - 1$ su $\mathbb{R}$: $(f + g)(x) = x^2 + x - 1$; $(f \cdot g)(x) = x^3 - x^2$; $\frac{f}{g}(x) = \frac{x^2}{x - 1}$ per $x \ne 1$.

Grafici che si ricavano da quello di $f$

Lezioni 12 e 13. Conoscendo il grafico di $f$, si disegnano senza fare conti i grafici di alcune funzioni costruite con $f$. Esercizio completo: Esercizio 32 · traslazioni e valori assoluti nei grafici.

Traslazione orizzontale $f(x + a)$. Il valore che $f$ assumeva in un punto $x_0$, la nuova funzione lo assume dove $x + a = x_0$, cioè in $x = x_0 - a$: ogni punto del grafico si sposta di $-a$. Il segno "al contrario" sorprende spesso: $f(x + 2)$ si sposta a sinistra di $2$. Esempio della prof: $y = \cosh(x + a)$ ha il minimo in $x = -a$ invece che in $0$. Allo stesso modo $e^{x - 1}$ è il grafico di $e^x$ spostato a destra di $1$.

Traslazione verticale $f(x) + a$. Ogni valore aumenta di $a$: tutto il grafico sale di $a$ (scende se $a < 0$). Esempio: $\sinh x + a$ passa per $(0, a)$ invece che per l'origine.

$f(|x|)$. Per $x \ge 0$ si ha $|x| = x$, quindi $f(|x|) = f(x)$: il grafico non cambia. Per $x < 0$ si ha $f(|x|) = f(-x)$, il valore che $f$ assume nel punto opposto. Quindi $f(|x|)$ è sempre una funzione pariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari → (infatti $f(|-x|) = f(|x|)$), e la parte di $\Gamma_f$ con $x < 0$ si butta via.

$|f(x)|$. Dove $f(x) \ge 0$ non cambia niente; dove $f(x) < 0$ il valore diventa $-f(x) > 0$: i pezzi di grafico sotto l'asse $x$ si ribaltano sopra. Il risultato non è mai negativo.

Perché tutto questo è utile

Le operazioni e la composizione permettono di costruire infinite funzioni partendo da poche funzioni elementari: potenze, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche. Per esempio la prof mostra

$$f(x) = \sqrt{e^{3 \sin^2 x - 8x^3} + 1 + \sin(3x)} \qquad z = f(x, y) = \log_e\left(\frac{x^2 + y^2 + 1}{e^{\sqrt{xy + 3}} + 1}\right)$$

che sono ottenute componendo e combinando funzioni elementari. Per studiare una funzione complicata si riconosce come è "montata" a partire da quelle semplici.

Errori comuni

• Invertire l'ordine: $g \circ f$ significa applicare prima $f$.
• Trovare il dominio della composta solo dalla formula semplificata, dimenticando di intersecare con il dominio della funzione interna.
• Pensare che $g \circ f = f \circ g$.