Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche e inverse

Prerequisito: Funzioni - definizione, dominio e graficoUna funzione associa a ogni elemento del dominio un solo valore: dominio naturale, grafico, immagine, antimmagine e metodo grafico.Funzioni - definizione, dominio e grafico →. Lezione 7. Esercizio svolto: Esercizio 17 · verificare se una funzione è l'inversa di un'altra.

Iniettività

Definizione (funzione iniettiva). $f : X \to Y$ è iniettiva (abbreviato IN) se vale una delle seguenti proprietà, equivalenti tra loro:

1. $\forall x_1, x_2 \in X$: $x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$ (punti diversi hanno immagini diverse);
2. $\forall x_1, x_2 \in X$: $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$ (se due punti hanno la stessa immagine, sono lo stesso punto);
3. per ogni $y \in Y$, l'antimmagine $f^{\leftarrow}(\{y\})$ è vuota oppure contiene un solo elemento (ogni $y$ è raggiunto al più una volta).

Esempio. $f(x) = 2x + 1$ è iniettiva: $2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 \Rightarrow x_1 = x_2$. $f(x) = x^2$ su $\mathbb{R}$ non lo è: $f(-1) = f(1) = 1$.

Perché 1 e 2 sono la stessa cosa. La 2 è la contronominale della 1 (vedi Tecniche di dimostrazioneDimostrazione diretta, per contronominale e per assurdo di un teorema del tipo ipotesi implica tesi.Tecniche di dimostrazione →): "$x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$" equivale a "$f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$". Nei conti si usa quasi sempre la 2, perché parte da un'uguaglianza, con cui si può calcolare.

Esempi

$f(x) = 3x + 4$, $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$: è iniettiva. Uso la 2: supponiamo $f(x_1) = f(x_2)$, cioè $3x_1 + 4 = 3x_2 + 4$. Togliendo $4$: $3x_1 = 3x_2$; dividendo per $3$: $x_1 = x_2$ ✓.

$f(x) = 1 - x^2$, $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$: non è iniettiva. Uso la 3 con $y = 0$: $1 - x^2 = 0 \iff x = \pm 1$, quindi $f^{\leftarrow}(\{0\}) = \{-1, 1\}$ ha due elementi. (Basta un controesempio: $f(-1) = f(1) = 0$ con $-1 \ne 1$.)

Test delle rette orizzontali

Per $f : X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ l'iniettività si legge sul grafico. La proprietà 3 dice che per ogni $y$ c'è al più un $x$ con $f(x) = y$, cioè:

Proprietà (test delle rette orizzontali). $f$ è iniettiva $\iff$ ogni retta orizzontale interseca $\Gamma_f$ al più una volta.

Esempio. La retta $y = 4$ taglia $y = x^2$ in due punti ($x = \pm 2$): $x^2$ non è iniettiva su $\mathbb{R}$. Ogni retta orizzontale taglia $y = x^3$ una sola volta: $x^3$ è iniettiva.

• $y = 3x + 4$ è una retta non orizzontale: ogni retta orizzontale la taglia in un solo punto, quindi è iniettiva.
• $y = 1 - x^2$ è una parabola rivolta verso il basso con vertice in $(0, 1)$: le rette $y = r$ con $r < 1$ la tagliano in due punti, quindi non è iniettiva (quelle con $r > 1$ non la incontrano, ed è permesso).

(Non confondere con il test delle rette verticali, che serve a capire se una curva è il grafico di una funzione.)

Inversa di una funzione iniettiva

Se $f : X \to Y$ è iniettiva, ogni $y \in f(X)$ (ogni valore effettivamente raggiunto) proviene da uno e un solo $x \in X$. Si può quindi definire una nuova funzione che fa il percorso al contrario:

Definizione (funzione inversa). $$f^{-1} : f(X) \to X, \qquad y \mapsto x \ \text{ tale che } f(x) = y$$

cioè $f^{-1}(y)$ = l'unico $x$ con $f(x) = y$. Si chiama inversa di $f$ (sull'immagine).

Esempio. $f(x) = 3x - 6$ ha inversa $f^{-1}(y) = \frac{y + 6}{3}$: infatti $f\!\left(\frac{y+6}{3}\right) = y + 6 - 6 = y$.

Perché serve l'iniettività: se due punti $x_1 \ne x_2$ avessero la stessa immagine $y$, non si saprebbe se $f^{-1}(y)$ debba valere $x_1$ o $x_2$, e una funzione deve dare un solo valore.

Caratterizzazione dell'inversa

$g$ è l'inversa di $f$ se e solo se valgono entrambe:

1. $g(f(x)) = x$ per ogni $x \in X$ (applicando prima $f$ e poi $g$ si torna al punto di partenza);
2. $f(g(y)) = y$ per ogni $y \in f(X)$ (applicando prima $g$ e poi $f$ si torna al punto di partenza).

Bisogna verificarle tutte e due: l'Esercizio 17 · verificare se una funzione è l'inversa di un'altra mostra un caso in cui vale la 1 ma non la 2.

Come si trova l'inversa (funzioni reali)

Esempio: $f(x) = \frac{1}{3}x + 1$, $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

1. Esiste l'inversa? Il grafico è una retta non orizzontale: per il test delle rette orizzontali $f$ è iniettiva, e $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$. Quindi esiste $f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.
2. Esplicitare $x$ in funzione di $y$. Da $y = \frac{1}{3}x + 1$: $\frac{1}{3}x = y - 1$, quindi $x = 3(y - 1)$. Questa è la legge $f^{-1}(y) = 3(y - 1)$.
3. Scambiare i nomi delle variabili. Per disegnare $\Gamma_f$ e $\Gamma_{f^{-1}}$ nello stesso piano, con $x$ come variabile indipendente (asse orizzontale) e $y$ come dipendente, si scambiano le lettere: $y = f^{-1}(x) = 3(x - 1)$.

Verifica: $f^{-1}(f(x)) = 3\left(\frac13 x + 1 - 1\right) = x$ ✓ e $f(f^{-1}(x)) = \frac13 \cdot 3(x - 1) + 1 = x$ ✓.

Il grafico dell'inversa

Proprietà (grafico dell'inversa). $\Gamma_{f^{-1}}$ è il simmetrico di $\Gamma_f$ rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, $y = x$.

Esempio. $f(x) = 2x$ passa per $(1, 2)$; la sua inversa $f^{-1}(y) = \frac{y}{2}$ passa per $(2, 1)$, il simmetrico rispetto alla retta $y = x$.

Perché: $(a, b) \in \Gamma_f$ significa $f(a) = b$, cioè $f^{-1}(b) = a$, cioè $(b, a) \in \Gamma_{f^{-1}}$. Scambiare le coordinate di un punto equivale a rifletterlo rispetto alla retta $y = x$.

Nell'esempio: $\Gamma_f$ passa per $(0, 1)$ e $(-3, 0)$; $\Gamma_{f^{-1}}$ passa per i punti scambiati $(1, 0)$ e $(0, -3)$. Le due rette si incontrano sulla bisettrice, nel punto $\left(\frac32, \frac32\right)$ (dove $\frac13 x + 1 = x$).

Suriettività e biunivocità

$f : X \to Y$ è:

• suriettiva (SU) se $f(X) = Y$: ogni elemento del codominio è raggiunto (ogni retta orizzontale $y = y_0$, con $y_0 \in Y$, incontra il grafico almeno una volta);
• biunivoca (o biiettiva) se è iniettiva e suriettiva: ogni $y \in Y$ è raggiunto da esattamente un $x$. In questo caso esiste $f^{-1} : Y \to X$, detta semplicemente inversa di $f$.

(Le biiezioni sono le "corrispondenze uno a uno" usate per contare in Insiemi e insieme delle partiCome si descrive un insieme, sottoinsiemi, uguaglianza, insieme delle parti e insiemi finiti e infiniti.Insiemi e insieme delle parti →.)

Una funzione è data solo insieme a dominio e codominio

La stessa formula può dare funzioni con proprietà diverse, a seconda di $X$ e $Y$. Esempio con $f(x) = x^2 + 1$ (una parabola con vertice in $(0, 1)$):

Morale: restringendo il dominio si può rendere una funzione iniettiva; restringendo il codominio all'immagine la si rende suriettiva.

Errori comuni

• Verificare solo una delle due condizioni $g(f(x)) = x$ e $f(g(y)) = y$.
• Dimenticare i domini: $\sqrt{x^2} = |x|$, non $x$ (vedi l'esercizio 17).
• Confondere $f^{-1}(x)$ con $\frac{1}{f(x)}$: l'inversa non è il reciproco. Per $f(x) = 2x$: $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$, mentre $\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{2x}$.
• Dire "non iniettiva" perché alcune rette orizzontali non incontrano il grafico: quello riguarda la suriettività.