Funzioni di una variabile aleatoria

Punto 3 del programma. Prerequisiti: Variabili aleatorie assolutamente continueX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue →, Funzione di distribuzioneLa funzione di distribuzione (FdD) F_X(x) = P(X ≤ x) è definita per ogni v.a., è crescente, continua a destra, va da 0 a 1 e determina la legge; per una v.a. discreta è a gradini, con salti in corrispondenza dei valori e di altezza pari alla densità.Funzione di distribuzione →. Esempi con le leggi di Distribuzioni uniforme continua ed esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale → e Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →.

Il problema

Si conosce la legge di $X$ e si vuole quella di $Y = g(X)$: la potenza $Y = X^2$ dissipata da una corrente $X$, il tempo $Y = \sqrt X$, la versione quantizzata $Y = \lfloor X \rfloor$ di un segnale. Se serve solo la media non c'è bisogno della legge di $Y$: basta il teorema fondamentale $E[g(X)] = \int g(x) f_X(x) dx$ (Variabili aleatorie assolutamente continueX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue →). Se serve la legge (densità, FdD, probabilità di eventi su $Y$), si usa il metodo seguente.

Il metodo generale: passare per la FdD

Principio (metodo generale: passare per la funzione di distribuzione).

1. Scrivere $F_Y(y) = P(Y \le y) = P(g(X) \le y)$.
2. Per ogni $y$, trovare l'insieme $A_y = \{x : g(x) \le y\} = g^{-1}((-\infty, y])$ dei valori di $X$ che rendono vero l'evento. Aiutarsi col grafico di $g$: si traccia la retta orizzontale di altezza $y$ e si guarda dove il grafico sta sotto.
3. Calcolare $F_Y(y) = P(X \in A_y)$ con la FdD o la densità di $X$.
4. Guardare $F_Y$: se è continua e derivabile a tratti, $f_Y = F_Y'$; se è a gradini, $Y$ è discreta; se ha salti e tratti crescenti, è mistaUna v.a. mista ha una FdD con salti (parte discreta, masse p_i nei punti x_i) e tratti crescenti continui (parte con densità f): E[g(X)] = Σ g(x_i) p_i + ∫ g(x) f(x) dx, con Σ p_i + ∫ f = 1; varianza come sempre E[X²] − E[X]².Variabili aleatorie miste →.

Esempio. $X \sim U(0,1)$ e $Y = X^2$: $F_Y(y) = P(X^2 \le y) = P(X \le \sqrt{y}) = \sqrt{y}$ per $y \in [0,1]$, quindi $f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}$ su $(0, 1)$. I passaggi: $X \ge 0$, quindi $X^2 \le y$ equivale a $X \le \sqrt y$ (sui numeri non negativi la radice è crescente e non serve il $-\sqrt y$); poi si usa la FdD dell'uniforme, $P(X \le t) = t$ per $t \in [0, 1]$; infine $\frac{d}{dy}\sqrt y = \frac{1}{2\sqrt y}$. Fuori da $[0, 1]$: $F_Y = 0$ per $y < 0$ (un quadrato non è negativo) e $F_Y = 1$ per $y > 1$ (perché $X^2 \le 1$ sempre).

Il metodo funziona sempre, anche quando le formule pronte non si applicano. Il passo critico è il secondo, e di solito $A_y$ cambia forma a seconda di dove si trova $y$: bisogna distinguere i casi.

Esempio 1: radice quadrata (g crescente)

(III appello 24.06.2026, Esercizio 15 · densità c(1+x) e radice quadrata.) $X$ ha densità $\frac23(1 + x)$ su $[0, 1]$, $Z = \sqrt X$.

• $Z$ prende valori in $[0, 1]$, quindi $F_Z(z) = 0$ per $z < 0$ e $F_Z(z) = 1$ per $z \ge 1$.
• Per $z \in [0, 1]$: $\sqrt X \le z \iff X \le z^2$ (elevare al quadrato numeri non negativi conserva l'ordine), quindi $F_Z(z) = F_X(z^2)$.
• Derivando con la regola della catenaDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione → ($F_X' = f_X$ e la derivata di $z^2$ è $2z$): $f_Z(z) = f_X(z^2) \cdot 2z = \frac23(1 + z^2) \cdot 2z = \frac43 z(1 + z^2)$ su $[0, 1]$. In esplicito: con $F_X(x) = \frac23\left(x + \frac{x^2}{2}\right)$ (vedi Variabili aleatorie assolutamente continueX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue →) si ha $F_Z(z) = \frac23\left(z^2 + \frac{z^4}{2}\right)$, la cui derivata è $\frac23(2z + 2z^3) = \frac43 z(1 + z^2)$, lo stesso risultato.
• Controllo dell'area: $\int_0^1 \frac43 (z + z^3)\,dz = \frac43\left(\frac12 + \frac14\right) = \frac43 \cdot \frac34 = 1$ ✓.

Per le probabilità non serve nemmeno la densità: $P(Z > \frac12) = P(X > \frac14) = 1 - F_X(\frac14) = 1 - \frac23\left(\frac14 + \frac{1}{32}\right) = 1 - \frac23 \cdot \frac{9}{32} = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$.

La formula per g strettamente monotona

Teorema (densità di g(X) per g strettamente monotona). Sia $X$ a.c. con densità $f_X$, e sia $g$ strettamente monotona e derivabile sull'insieme dove $f_X > 0$, con inversa $h = g^{-1}$ derivabile. Allora $Y = g(X)$ è a.c. con densità $$f_Y(y) = f_X(h(y)) \, |h'(y)| \qquad \text{per } y \text{ nell'immagine di } g,$$ e $f_Y(y) = 0$ fuori dall'immagine.

Una funzione strettamente monotona è iniettiva, quindi ha un'inversaIniettività (test delle rette orizzontali), suriettività, biunivocità e funzione inversa con il suo grafico simmetrico rispetto a y = x.Funzioni iniettive, suriettive e inverse → $h$ definita sull'immagine, monotona dello stesso tipo; dove $g' \ne 0$ la sua derivata è $h'(y) = \frac{1}{g'(h(y))}$ (derivata della funzione inversa, Regole di derivazioneDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →).

Dimostrazione. Se $g$ è crescente: $g(X) \le y \iff X \le h(y)$ (si applica ai due membri la funzione crescente $h$, che conserva le disuguaglianze), quindi $F_Y(y) = F_X(h(y))$ e derivando con la regola della catena $f_Y(y) = f_X(h(y)) h'(y)$, con $h' > 0$.

Se $g$ è decrescente: applicare $h$ (decrescente) inverte la disuguaglianza, $g(X) \le y \iff X \ge h(y)$, quindi $F_Y(y) = 1 - F_X(h(y))$ (usando $P(X = h(y)) = 0$) e $f_Y(y) = -f_X(h(y)) h'(y)$, con $h' < 0$. In entrambi i casi il fattore è $|h'(y)|$. ∎

Perché il fattore $|h'(y)|$. La probabilità in un intervallino deve conservarsi: $f_Y(y)\,|dy| = f_X(x)\,|dx|$. Se $g$ stira gli intervalli (|g'| grande), la stessa probabilità si spalma su un intervallo più lungo e la densità diminuisce; se li comprime, la densità aumenta.

Esempio: trasformazione affine. $Y = aX + b$, $h(y) = \frac{y - b}{a}$, $|h'(y)| = \frac{1}{|a|}$: $f_Y(y) = \frac{1}{|a|} f_X\left(\frac{y - b}{a}\right)$. Da qui viene che una gaussiana trasformata in modo affine resta gaussiana (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →).

Esempio: $-\ln U$. $U \sim U(0, 1)$, $Y = -\ln U$. Qui $g(u) = -\ln u$ è decrescente da $(0, 1)$ su $(0, +\infty)$ (il logaritmoLa funzione esponenziale a^x (base positiva diversa da 1) e la sua inversa, il logaritmo in base a, con grafici e proprietà.Esponenziale e logaritmo → è crescente e negativo su $(0, 1)$, con $\ln u \to -\infty$ per $u \to 0^+$ e $\ln 1 = 0$). Invertendo, $y = -\ln u \iff u = e^{-y}$, quindi $h(y) = e^{-y}$, $h'(y) = -e^{-y}$ e $|h'(y)| = e^{-y}$. Per $y > 0$ il punto $h(y) = e^{-y}$ sta in $(0, 1)$, dove $f_U = 1$, quindi $f_Y(y) = 1 \cdot e^{-y}$ per $y > 0$: $Y \sim \text{Exp}(1)$. Controllo con la FdD: $P(-\ln U \le y) = P(\ln U \ge -y) = P(U \ge e^{-y}) = 1 - e^{-y}$, la FdD di $\text{Exp}(1)$. È il modo in cui un computer genera numeri esponenziali partendo da numeri uniformi.

Esempio 2: quadrato (g non iniettiva)

$z \mapsto z^2$ non è monotona su $\mathbb R$: valori opposti hanno lo stesso quadrato. La formula non si applica direttamente, il metodo della FdD sì.

Quadrato di una gaussiana standard. $Z \sim N(0, 1)$, $Y = Z^2 \ge 0$. Per $y \le 0$, $F_Y(y) = 0$ (per $y = 0$: $P(Z^2 \le 0) = P(Z = 0) = 0$). Per $y > 0$:

$$F_Y(y) = P(Z^2 \le y) = P(-\sqrt y \le Z \le \sqrt y) = \Phi(\sqrt y) - \Phi(-\sqrt y) = 2\Phi(\sqrt y) - 1.$$

Il secondo passaggio estrae la radice: $Z^2 \le y \iff |Z| \le \sqrt y$ (vedi Valore assoluto (modulo)Il valore assoluto è la distanza di un numero da zero: definizione, proprietà, disuguaglianza triangolare e disequazioni con i moduli.Valore assoluto (modulo) →); il terzo è la differenza della FdD agli estremi; il quarto usa la simmetria $\Phi(-t) = 1 - \Phi(t)$ di Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →. Derivando, con $\Phi' = \varphi$ e $\frac{d}{dy}\sqrt y = \frac{1}{2\sqrt y}$ (regola della catena):

$$f_Y(y) = 2\varphi(\sqrt y) \cdot \frac{1}{2\sqrt y} = \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-y/2}, \qquad y > 0,$$

perché $\varphi(\sqrt y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-(\sqrt y)^2/2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2}$, e il $2$ si semplifica.

Confrontando con la Distribuzione gammaΓ(α, λ) ha densità λ^α x^(α−1) e^(−λx) / Γ(α) per x > 0, dove Γ(α) = ∫ x^(α−1) e^(−x) dx è la funzione Gamma (Γ(n) = (n − 1)!, Γ(1/2) = √π); media α/λ, varianza α/λ²; Γ(1, λ) = Exp(λ), e la somma di n esponenziali Exp(λ) indipendenti è Γ(n, λ), il tempo d'attesa dell'n-esimo evento.Distribuzione gamma →: $\frac{(1/2)^{1/2}}{\Gamma(1/2)} y^{-1/2} e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt 2 \sqrt\pi} y^{-1/2} e^{-y/2}$, la stessa (si è usato $\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi$ e $y^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt y}$). Quindi $Z^2 \sim \Gamma(\frac12, \frac12)$, il chi-quadro con un grado di libertà. Nota: la densità esplode in $0$ ma resta integrabile, perché vicino a $0$ si comporta come $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} y^{-1/2}$ e $\int_0^1 y^{-1/2}\,dy = \big[2\sqrt y\big]_0^1 = 2$ è finito (Criteri di convergenza per gli integrali impropriPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →).

Formula generale per $X^2$. Per $y > 0$: $F_{X^2}(y) = F_X(\sqrt y) - F_X(-\sqrt y)$ e $$f_{X^2}(y) = \frac{f_X(\sqrt y) + f_X(-\sqrt y)}{2\sqrt y}.$$ I due addendi corrispondono ai due valori di $x$ che hanno quadrato $y$. Derivando $F_X(\sqrt y)$ si ottiene $f_X(\sqrt y) \cdot \frac{1}{2\sqrt y}$; derivando $F_X(-\sqrt y)$ si ottiene $f_X(-\sqrt y) \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt y}\right)$, e il segno meno davanti a questo termine nella FdD lo fa diventare un $+$.

Quadrato di un'esponenziale (I appello 15.01.2026, Esercizio 16 · due esponenziali indipendenti, quadrato e somma). $X \sim \text{Exp}(2)$, $W = X^2$. Qui $X \ge 0$, quindi su $[0, +\infty)$ il quadrato è crescente e il termine $f_X(-\sqrt w)$ è nullo. Per $w > 0$:

$$F_W(w) = P(X \le \sqrt w) = 1 - e^{-2\sqrt w}, \qquad f_W(w) = 2e^{-2\sqrt w} \cdot \frac{1}{2\sqrt w} = \frac{e^{-2\sqrt w}}{\sqrt w}.$$

La FdD è quella di $\text{Exp}(2)$, $1 - e^{-2x}$, calcolata in $x = \sqrt w$. Per la densità si deriva $-e^{-2\sqrt w}$ con la regola della catena: la derivata dell'esponente $-2\sqrt w$ è $-\frac{2}{2\sqrt w}$, e i due segni meno si annullano.

Esempio 3: g costante a tratti (Y discreta)

(II appello 12.02.2026, Esercizio 14 · funzione a gradini di una esponenziale.) $X \sim \text{Exp}(\lambda)$ e $g$ vale $0$ per $x < 0$, $1$ per $0 \le x < 1$, $2$ per $x \ge 1$.

$Y = g(X)$ può valere solo $0, 1, 2$: è discreta, anche se $X$ è continua. Non ha senso cercarne una densità continua; si calcolano le masse:

$$p_Y(0) = P(X < 0) = 0, \quad p_Y(1) = P(0 \le X < 1) = 1 - e^{-\lambda}, \quad p_Y(2) = P(X \ge 1) = e^{-\lambda}.$$

Le masse vengono dalla FdD dell'esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale →: $P(0 \le X < 1) = F_X(1) - F_X(0) = (1 - e^{-\lambda}) - 0$, e $P(X \ge 1) = 1 - F_X(1) = e^{-\lambda}$ (l'estremo $1$ incluso o escluso non conta, perché $X$ è continua). Controllo: $0 + (1 - e^{-\lambda}) + e^{-\lambda} = 1$ ✓.

La FdD, costante a tratti con salti in $1$ e $2$, conferma che $Y$ è discreta. In generale: una funzione di una v.a. continua non è necessariamente continua, e una funzione costante a tratti produce sempre una v.a. discreta. (Qui la $g$ stessa non è continua: ha due salti. Ma, come si vede nell'esempio seguente, anche una $g$ continua può dare una $Y$ non continua, se è costante su un intervallo.)

Esempio 4: funzione che è costante su un intervallo (Y mista)

Se $g$ è costante su un intervallo dove $X$ ha probabilità positiva, $Y$ prende quel valore con probabilità positiva e ha un salto nella FdD. Esempio: un raddrizzatore $Y = \max(X, 0)$ con $X \sim N(0, 1)$ ha $P(Y = 0) = P(X \le 0) = \Phi(0) = \frac12$ (tutti i valori negativi di $X$ vengono schiacciati in $0$) e una parte continua su $(0, \infty)$: per $y > 0$, $F_Y(y) = P(X \le y) = \Phi(y)$. Si tratta in Variabili aleatorie misteUna v.a. mista ha una FdD con salti (parte discreta, masse p_i nei punti x_i) e tratti crescenti continui (parte con densità f): E[g(X)] = Σ g(x_i) p_i + ∫ g(x) f(x) dx, con Σ p_i + ∫ f = 1; varianza come sempre E[X²] − E[X]².Variabili aleatorie miste →. Il testo del I appello parla di "densità eventualmente generalizzata" proprio per coprire questo caso (la parte discreta si rappresenta con delta di DiracLa derivata generalizzata di un gradino di altezza c è c δ: un impulso di area c concentrato in un punto.Delta di Dirac e derivate generalizzate →: qui $f_Y(y) = \frac12\delta(y) + \varphi(y)\mathbb 1_{(0, \infty)}(y)$).

Massimo e minimo di v.a. indipendenti

Due funzioni di più v.a. che si trattano con lo stesso metodo della FdD e compaiono negli appelli. Siano $X_1, \dots, X_n$ indipendenti con la stessa FdD $F$.

• Massimo $M = \max(X_1, \dots, X_n)$: $M \le x$ se e solo se tutte le $X_k \le x$, quindi per l'indipendenza $$F_M(x) = P(X_1 \le x, \dots, X_n \le x) = P(X_1 \le x) \cdots P(X_n \le x) = F(x)^n.$$ L'indipendenza delle v.a. dice proprio che la probabilità che si verifichino insieme eventi $\{X_k \le x\}$ è il prodotto delle probabilità, come per gli eventi indipendentiA e B sono indipendenti se P(A ∩ B) = P(A) P(B), cioè se sapere che uno si è verificato non cambia la probabilità dell'altro; l'indipendenza passa ai complementari, non va confusa con l'incompatibilità, e per più eventi va richiesta su ogni sottofamiglia.Indipendenza di eventi →.
• Minimo $m = \min(X_1, \dots, X_n)$: $m > x$ se e solo se tutte le $X_k > x$, quindi (stesso prodotto, con $P(X_k > x) = 1 - F(x)$) $$P(m > x) = (1 - F(x))^n, \qquad F_m(x) = 1 - (1 - F(x))^n.$$

Esempio (II parziale 15.01.2026, Esercizio 27 · media campionaria e massimo di uniformi): $X_k \sim U(0, 1)$, $F(x) = x$ su $[0, 1]$, quindi $F_{Z_n}(x) = x^n$ su $[0, 1]$ per il massimo $Z_n$. Derivando, la densità è $n x^{n-1}$ su $[0, 1]$: cresce verso $1$, perché il massimo di tante uniformi tende a stare vicino all'estremo destro. Con lo stesso conto, il minimo di $n$ esponenziali $\text{Exp}(\lambda)$ indipendenti ha $P(m > x) = (e^{-\lambda x})^n = e^{-n\lambda x}$, cioè è $\text{Exp}(n\lambda)$.

Riepilogo

Errori comuni

• Dimenticare il valore assoluto di $h'$ quando $g$ è decrescente: la densità verrebbe negativa.
• Applicare la formula monotona a $X^2$ con $X$ che prende anche valori negativi: si perde il contributo di $-\sqrt y$.
• Non indicare il supporto: $f_Z(z) = \frac43 z(1 + z^2)$ vale solo su $[0, 1]$.
• Invertire la disuguaglianza nel modo sbagliato: con $g$ decrescente $g(X) \le y$ diventa $X \ge h(y)$.
• Cercare una densità per una $Y$ discreta: se $g$ è a gradini, $Y$ ha una densità discreta, non una funzione $f_Y$.