Esercizio 18vettore gaussiano con covarianza diagonale

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Lettura dei dati

Nella matrice di covarianzaDiagonale: le varianze; fuori diagonale: le covarianze.Covarianza e coefficiente di correlazione →:

• sulla diagonale: $\text{Var}(X) = 2$, $\text{Var}(Y) = 2$;
• fuori diagonale: $\text{Cov}(X, Y) = 0$.

Medie: $E[X] = E[Y] = 0$. Le marginali di un vettore gaussiano sono gaussiane (Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →), quindi $X \sim N(0, 2)$ e $Y \sim N(0, 2)$.

(a) Indipendenza e densità congiunta

Indipendenza

$\text{Cov}(X, Y) = 0$: $X$ e $Y$ sono non correlate. In generale questo non basta per l'indipendenza, ma per un vettore gaussiano sì: le componenti di un vettore gaussiano sono indipendenti se e solo se la matrice di covarianza è diagonale (Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →).

$$\boxed{X \text{ e } Y \text{ sono indipendenti}}$$

Densità congiunta

Per l'indipendenza è il prodotto delle marginali $N(0, 2)$. La densità di $N(0, \sigma^2)$ con $\sigma^2 = 2$ è $\frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 2}}e^{-x^2/(2\cdot 2)} = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-x^2/4}$, quindi

$$f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-x^2/4}\cdot\frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-y^2/4} = \frac{1}{4\pi}e^{-\frac14(x^2 + y^2)}.$$

$$\boxed{f(x, y) = \frac{1}{4\pi}\exp\left(-\frac{x^2 + y^2}{4}\right), \qquad (x, y) \in \mathbb R^2}$$

Controllo con la formula generale $\frac{1}{2\pi\sqrt{\det\Sigma}}\exp\left(-\frac12 v^T\Sigma^{-1}v\right)$: $\det\Sigma = 4$, $\Sigma^{-1} = \frac12 I$, quindi $\frac{1}{2\pi\cdot 2}\exp\left(-\frac12\cdot\frac{x^2 + y^2}{2}\right)$ ✓. In dettaglio: $\det\Sigma = 2 \cdot 2 - 0 \cdot 0 = 4$ e $\sqrt{\det\Sigma} = 2$; l'inversaL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa → di una matrice diagonale si ottiene invertendo gli elementi della diagonale, $\Sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$; con $v = (x, y)$ la forma quadratica è $v^T\Sigma^{-1}v = \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2}$, e $-\frac12 \cdot \frac{x^2 + y^2}{2} = -\frac{x^2 + y^2}{4}$.

La densità dipende solo da $x^2 + y^2$, cioè dalla distanza dall'origine: le curve di livello $f = \text{cost}$ sono le circonferenze $x^2 + y^2 = r^2$ centrate nell'origine (varianze uguali e covarianza nulla). Per questo gli integrali di questa densità su dischi si fanno comodamente in coordinate polariSe Φ(u, v) = (x, y) è C¹, iniettiva (salvo insiemi di area nulla) con det JΦ ≠ 0, allora ∬D f dx dy = ∬D' f(Φ(u, v)) |det JΦ(u, v)| du dv: il fattore |det J| misura come Φ dilata le aree. Trasformazioni lineari: |det A| costante (ellisse: area πab). Coordinate polari x = r cos θ, y = r sin θ: dx dy = r dr dθ, adatte a dischi, corone e settori. Applicazioni: area, massa, baricentro, momento d'inerzia.Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polari →.

(b) Legge di $V = X + Y$ e $P(|V| > 2)$

Legge di $V$

$V$ è una combinazione lineare di un vettore gaussiano (equivalentemente: somma di due gaussiane indipendenti), quindi è gaussiana (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →). Bastano media e varianza:

$$E[V] = E[X] + E[Y] = 0, \qquad \text{Var}(V) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\,\text{Cov}(X, Y) = 2 + 2 + 0 = 4.$$

Quindi $V \sim N(0, 4)$, con deviazione standard $\sigma_V = \sqrt 4 = 2$ e densità $f_V(v) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot 4}}e^{-v^2/(2 \cdot 4)} = \frac{1}{\sqrt{8\pi}}e^{-v^2/8}$. La varianza viene dalla formula $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\,\text{Cov}(X, Y)$ di Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →.

Funzione di distribuzione. Standardizzando ($\frac{V - 0}{2} \sim N(0, 1)$, e dividere entrambi i membri per $2 > 0$ non cambia il verso della disuguaglianza):

$$\boxed{F_V(v) = P(V \le v) = P\left(\frac V2 \le \frac v2\right) = \Phi\left(\frac v2\right)}$$

dove $\Phi$ è la FdD della gaussiana standard (non ha espressione elementare, si lascia indicata).

$P(|V| > 2)$

$|V| > 2$ significa $V > 2$ oppure $V < -2$ (due code). Dividendo per $\sigma_V = 2$, con $Z = \frac V2 \sim N(0, 1)$:

$$P(|V| > 2) = P(|Z| > 1) = P(Z > 1) + P(Z < -1) = (1 - \Phi(1)) + \Phi(-1).$$

Per la simmetria $\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$: la densità standard è una funzione pariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →, quindi l'area a sinistra di $-1$ è uguale all'area a destra di $1$, cioè $P(Z < -1) = P(Z > 1) = 1 - \Phi(1)$. Il valore $\Phi(1) \approx 0{,}8413$ si legge dalle tavole (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →).

$$\boxed{P(|V| > 2) = 2\big(1 - \Phi(1)\big) \approx 2(1 - 0{,}8413) \approx 0{,}317}$$

È la regola "68%": una gaussiana sta entro una deviazione standard dalla media con probabilità circa $0{,}683$, quindi ne esce con probabilità circa $0{,}317$.

(c) Funzione caratteristica di $W = 2 + V$

Funzione caratteristica della gaussiana (Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →): per $N(\mu, \sigma^2)$, $\varphi(\theta) = e^{i\mu\theta - \frac{\sigma^2}{2}\theta^2}$. Per $V \sim N(0, 4)$:

$$\varphi_V(\theta) = e^{-\frac42\theta^2} = e^{-2\theta^2}.$$

(con $\mu = 0$ il termine $i\mu\theta$ sparisce e resta $-\frac{\sigma^2}{2}\theta^2$ con $\sigma^2 = 4$).

Traslazione. Per la proprietà affine $\varphi_{V + b}(\theta) = e^{ib\theta}\varphi_V(\theta)$, con $b = 2$:

$$\varphi_W(\theta) = E[e^{i\theta(2 + V)}] = e^{2i\theta}E[e^{i\theta V}] = e^{2i\theta}e^{-2\theta^2}.$$

Il passaggio centrale usa $e^{i\theta(2 + V)} = e^{2i\theta} \cdot e^{i\theta V}$ (la regola $e^{a + b} = e^a e^b$ vale anche per esponenti complessi, Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessiUn numero complesso si scrive in forma cartesiana a+jb o polare |x|e^{jφ}; il prodotto moltiplica i moduli e somma le fasi. La formula di Eulero e^{jα}=cos α + j sin α lega esponenziali e sinusoidi e permette di trattare tutti i segnali del corso come somme di esponenziali complessi e^{(σ+jω)t}.Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessi →) e il fatto che $e^{2i\theta}$ è un numero, non aleatorio, che esce dalla media per linearità.

$$\boxed{\varphi_W(\theta) = e^{2i\theta - 2\theta^2}}$$

Controllo diretto. $W = 2 + V \sim N(2, 4)$ (traslare non cambia la varianza), e la formula con $\mu = 2$, $\sigma^2 = 4$ dà $e^{2i\theta - 2\theta^2}$ ✓.

Lettura. Il modulo $|\varphi_W(\theta)| = e^{-2\theta^2}$ è quello di $V$: la traslazione aggiunge solo una fase $e^{2i\theta}$ (come un ritardo nel dominio del tempo produce una fase nella trasformata di Fourier, vedi Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →). Infatti $|e^{2i\theta}| = 1$ per ogni $\theta$ reale.

Errori comuni

• Dire "non correlate quindi indipendenti" senza citare la gaussianità: è il punto che il testo vuole vedere giustificato.
• Usare $\sigma = 2$ invece di $\sigma^2 = 2$ nella densità di $X$: $N(0, 2)$ ha varianza $2$ e deviazione standard $\sqrt2$.
• Standardizzare $V$ dividendo per $4$: si divide per $\sigma_V = 2$.
• Calcolare solo una coda in $P(|V| > 2)$.
• Scrivere $\varphi_W(\theta) = 2 + \varphi_V(\theta)$: una costante additiva in $W$ diventa un fattore $e^{ib\theta}$, non un addendo.