Valore atteso

Punto 2 del programma ("valore medio: definizione e interpretazione; teorema fondamentale del valor medio e sue proprietà"). Prerequisiti: Variabili aleatorie discrete e densità discretaUna variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta →. Seguito: Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →. Per le v.a. continue la somma diventa un integrale: Variabili aleatorie assolutamente continueX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue →.

L'idea: la media su tante ripetizioni

Si gioca molte volte al gioco dell'urna (2 estrazioni con reinserimento da 8 nere e 6 bianche, +2 euro per nera, −1 per bianca). Dopo $N$ partite si calcola la vincita media:

$$\frac{\text{somma delle vincite}}{N} = \sum_{x} x \cdot \frac{\#\{\text{partite con vincita } x\}}{N}.$$

La frazione $\frac{\#\{\text{partite con vincita } x\}}{N}$ è la frequenza relativa del valore $x$, e per $N$ grande si avvicina a $p_X(x)$ (lo dimostra la legge dei grandi numeriSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ, la media campionaria X̄ₙ = (X₁ + ... + Xₙ)/n converge a μ: in probabilità (legge debole, dimostrata con Chebyshev se la varianza è finita: P(|X̄ₙ − μ| > ε) ≤ σ²/(nε²)) e quasi certamente (legge forte). Metodo Monte Carlo: ∫ g = E[g(U)] si stima con la media di g(U₁), ..., g(Uₙ) per uniformi indipendenti.Legge dei grandi numeri e metodo Monte Carlo →). La vincita media si avvicina quindi a $\sum_x x \, p_X(x)$: è questo numero che si chiama valore atteso. Risponde alla domanda "quanto vinco in media a partita, nel lungo periodo?".

Un'immagine fisica: si mettono masse $p_X(x)$ nei punti $x$ della retta; $E[X]$ è il baricentro, il punto in cui la retta resta in equilibrio. È proprio la formula del Centro di massaIl centro di massa è la media delle posizioni pesata con le masse. La quantità di moto totale è M v_CM e il CM si muove come un punto di massa M soggetto alla sola risultante delle forze esterne. Nel riferimento del CM la quantità di moto totale è zero.Centro di massa → $x_{CM} = \frac{\sum_i m_i x_i}{\sum_i m_i}$ con masse $m_i = p_X(x_i)$, la cui somma è $1$ e quindi sparisce dal denominatore.

Definizione

Definizione (valore atteso). Sia $X$ una v.a. discreta con densità $p_X$. Se $$\sum_{x \in \mathcal X_X} |x| \, p_X(x) < +\infty,$$ si dice che $X$ ha valore atteso (o media, o speranza matematica) finito, e si pone $$E[X] := \sum_{x \in \mathcal X_X} x \, p_X(x).$$

Esempio. Dado equo: $E[X] = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{7}{2}$.

Perché la convergenza assoluta. Se l'alfabeto è infinito, la somma è una serie e i suoi termini non hanno un ordine naturale (l'alfabeto è un insieme, non una lista). Una serie assolutamente convergenteUna serie la cui serie dei moduli converge: la sua somma non dipende dall'ordine in cui si sommano i termini.Serie a termini di segno variabile → dà lo stesso risultato in qualunque ordine si sommino i termini; senza convergenza assoluta riordinando si potrebbero ottenere risultati diversi, e "la media" non sarebbe ben definita.

• Se l'alfabeto è finito la condizione è sempre vera: ogni v.a. discreta finita ha media.
• Se $X \ge 0$ la somma ha senso sempre, eventualmente $+\infty$: si scrive $E[X] = +\infty$. Il motivo è che una serie a termini non negativiUna serie a termini >= 0 converge o diverge a +infinito, mai irregolare. Criterio del confronto (0 <= a_k <= b_k), del confronto asintotico (a_k ~ L b_k) e suo corollario con le serie notevoli: si studia una serie paragonandola a 1/n^alpha o a q^n.Serie a termini non negativi e criteri del confronto → ha somme parziali crescenti, quindi converge oppure diverge a $+\infty$, e non può oscillare.
• $E[X]$ non è necessariamente un valore di $X$: per il dado $E[X] = 3{,}5$.

Esempi

1. Bernoulli $\text{Be}(p)$: $E[X] = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p$. In particolare, per un evento $A$, $E[\mathbb 1_A] = P(A)$: la probabilità è un caso particolare di media.
2. Dado: $E[X] = \frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5$ (ogni faccia ha peso $\frac16$, che si raccoglie; $1 + \dots + 6 = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21$).
3. Vincita all'urna ($p_X(-2) = \frac9{49}$, $p_X(1) = \frac{24}{49}$, $p_X(4) = \frac{16}{49}$, vedi Variabili aleatorie discrete e densità discretaUna variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta →): $$E[X] = -2 \cdot \frac{9}{49} + 1 \cdot \frac{24}{49} + 4 \cdot \frac{16}{49} = \frac{-18 + 24 + 64}{49} = \frac{70}{49} = \frac{10}{7} \approx 1{,}43 \text{ euro}.$$ Il gioco è favorevole: in media si guadagnano circa 1,43 euro a partita.
4. Una media infinita. $p_X(n) = \frac{1}{n(n + 1)}$ per $n \ge 1$ è una densità: $\frac{1}{n(n+1)} = \frac1n - \frac1{n + 1}$ (si verifica facendo il denominatore comune: $\frac{(n + 1) - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$) e la somma è telescopicaNella somma dei termini (1/n − 1/(n+1)) quasi tutti si cancellano a due a due e resta 1 − 1/(N+1), che tende a 1.Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → e vale $1$: la somma parziale fino a $N$ è $\left(1 - \frac12\right) + \left(\frac12 - \frac13\right) + \dots + \left(\frac1N - \frac1{N+1}\right) = 1 - \frac{1}{N + 1} \to 1$. Ma $$\sum_{n = 1}^\infty n \cdot \frac{1}{n(n + 1)} = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n + 1} = +\infty$$ (serie armonica: con $m = n + 1$ è $\sum_{m \ge 2} \frac1m$, cioè la serie armonica $\sum \frac1m$ senza il primo termine, che diverge). $X$ assume valori finiti, ma la sua media è $+\infty$: i valori grandi sono abbastanza probabili da far divergere la media. Il confine è la velocità con cui $p_X(n)$ va a zero: qui $n \, p_X(n) \sim \frac1n$, mentre servirebbe un termine che va a zero più in fretta (per esempio come $\frac{1}{n^\alpha}$ con $\alpha > 1$).

Teorema fondamentale del valor medio

Spesso serve la media di una funzione di $X$: $E[X^2]$, $E[(3/2)^X]$, $E[e^{i\theta X}]$… Si potrebbe prima trovare la densità di $Y = g(X)$ e poi applicare la definizione, ma non serve:

Teorema (fondamentale del valore atteso). Sia $X$ discreta e $g : \mathbb R \to \mathbb R$. Allora $Y = g(X)$ ha media finita se e solo se $\sum_x |g(x)| \, p_X(x) < \infty$, e in tal caso $$E[g(X)] = \sum_{x \in \mathcal X_X} g(x) \, p_X(x).$$

Dimostrazione. La densità di $Y$ è $p_Y(y) = \sum_{x : g(x) = y} p_X(x)$ (densità di una funzione di v.a.Una variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta →). Allora

$$E[Y] = \sum_y y \, p_Y(y) = \sum_y y \sum_{x : g(x) = y} p_X(x) = \sum_y \sum_{x : g(x) = y} g(x) \, p_X(x) = \sum_x g(x) \, p_X(x).$$

Nel terzo passaggio si è sostituito $y$ con $g(x)$ (sono uguali in ogni termine della somma interna); nell'ultimo si è osservato che raggruppare gli $x$ secondo il valore di $g(x)$ e poi sommare sui gruppi equivale a sommare su tutti gli $x$ (lecito grazie alla convergenza assoluta, che permette di riordinare). ∎

In parole: si pesa ogni valore $g(x)$ con la probabilità di $x$, senza calcolare la legge di $g(X)$.

Esempio (III appello 24.06.2026). $X \sim \text{Geo}(\frac12)$, cioè $p_X(n) = \frac1{2^n}$ per $n \ge 1$, e $W = \left(\frac32\right)^X$:

$$E[W] = \sum_{n = 1}^\infty \left(\frac32\right)^n \frac{1}{2^n} = \sum_{n = 1}^\infty \left(\frac34\right)^n = \frac{3/4}{1 - 3/4} = 3.$$

Qui $g(n) = \left(\frac32\right)^n$; si raccolgono le potenze con lo stesso esponente, $\frac{3^n}{2^n} \cdot \frac{1}{2^n} = \frac{3^n}{4^n}$, e si usa la serie geometricaPer abs(q) < 1 vale Σ_{n≥1} q^n = q/(1−q).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → che parte da $n = 1$, $\sum_{n \ge 1} q^n = \frac{q}{1 - q}$, con $q = \frac34$. La serie converge (ed è a termini positivi, quindi anche assolutamente) perché $\frac34 < 1$: la condizione del teorema è verificata.

Attenzione: in generale $E[g(X)] \ne g(E[X])$. Nell'esempio $E[X] = 2$ e $g(E[X]) = \left(\frac32\right)^2 = 2{,}25 \ne 3$. L'uguaglianza vale per $g$ affine (proprietà sotto); per $g$ convessaf è convessa se ogni corda sta sopra il grafico (concava se sta sotto). Una funzione convessa è continua e ha derivate destra e sinistra in ogni punto interno. Per f derivabile: convessa ⇔ grafico sopra ogni tangente ⇔ f' crescente ⇔ (se esiste) f'' ≥ 0. f'' > 0 ⇒ strettamente convessa, non viceversa (x⁴). Flesso: punto in cui f passa da convessa a concava; lì, se esiste, f''(x0) = 0, ma non basta (x⁴ in 0).Funzioni convesse, concave e punti di flesso → vale la disuguaglianza di JensenMarkov: per X ≥ 0, P(X ≥ a) ≤ E[X]/a; Chebyshev: P(|X − μ| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε²; Jensen: per φ convessa, φ(E[X]) ≤ E[φ(X)]. Stimano probabilità e medie conoscendo solo media e varianza.Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e Jensen → $g(E[X]) \le E[g(X)]$, ed è il caso dell'esempio: $g(x) = \left(\frac32\right)^x = e^{x \ln(3/2)}$ è un esponenziale, convesso, e infatti $2{,}25 \le 3$.

Versione sugli esiti. Se $\Omega$ è discreto, lo stesso ragionamento (raggruppare gli esiti secondo il valore di $X$) dà $$E[X] = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \, P(\{\omega\}),$$ utile per dimostrare le proprietà.

Proprietà

Proprietà (del valore atteso).

1. Costanti: $E[c] = c$.
2. Linearità: $E[aX + b] = aE[X] + b$, e più in generale $E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]$ per v.a. $X, Y$ con media finita (definite sullo stesso spazio), anche non indipendenti.
3. Positività e monotonia: se $X \ge 0$ allora $E[X] \ge 0$; se $X \le Y$ allora $E[X] \le E[Y]$.
4. Indicatrici: $E[\mathbb 1_A] = P(A)$.

Dimostrazioni (caso $\Omega$ discreto, con la versione sugli esiti):

• $E[c] = c$: la costante $c$ è una v.a. con un solo valore, preso con probabilità $1$, quindi $E[c] = c \cdot 1$.
• $E[aX + bY] = \sum_\omega (aX(\omega) + bY(\omega)) P(\{\omega\}) = a \sum_\omega X(\omega)P(\{\omega\}) + b\sum_\omega Y(\omega) P(\{\omega\}) = aE[X] + bE[Y]$: è la linearità della somma, come in SommatorieIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie → (con infiniti termini la convergenza assoluta permette di spezzare la serie in due serie convergenti, vedi Serie numericheUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche →). Con $Y = 1$ (costante) si ottiene $E[aX + b] = aE[X] + b$.
• Indicatrici: $\mathbb 1_A$ vale $1$ con probabilità $P(A)$ e $0$ con probabilità $1 - P(A)$, quindi $E[\mathbb 1_A] = 1 \cdot P(A) + 0 \cdot (1 - P(A)) = P(A)$.
• Se $X \ge 0$, tutti i termini $X(\omega)P(\{\omega\})$ sono $\ge 0$ e la somma pure. Se $X \le Y$, applicando questo a $Y - X \ge 0$ e usando la linearità: $E[Y] - E[X] = E[Y - X] \ge 0$.

Esempio d'esame. (I parziale 17.11.2025.) Vincita $X = 3Y - 2$ con $Y \sim \text{Bin}(2, \frac47)$, $E[Y] = 2 \cdot \frac47 = \frac87$. Per linearità, senza ricalcolare nulla:

$$E[X] = 3 E[Y] - 2 = \frac{24}{7} - 2 = \frac{24 - 14}{7} = \frac{10}{7}, \ \text{come nel calcolo diretto.}$$

La linearità rende facili medie difficili. Numero medio di 6 in 10 lanci di un dado: $X = \mathbb 1_{A_1} + \dots + \mathbb 1_{A_{10}}$ con $A_i =$ "il lancio $i$ dà 6" (ogni lancio con 6 aggiunge $1$ alla somma, gli altri $0$), quindi $E[X] = \sum_{i=1}^{10} E[\mathbb 1_{A_i}] = \sum_{i=1}^{10} P(A_i) = 10 \cdot \frac16 = \frac53$. Non serve né la densità di $X$ né l'indipendenza dei lanci (è la stessa idea della media della binomialeBernoulli Be(p): un solo tentativo, vale 1 con probabilità p; binomiale Bin(n, p): numero di successi in n prove indipendenti, P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), media np e varianza np(1−p); uniforme discreta: n valori equiprobabili.Bernoulli, binomiale e uniforme discreta →).

Prodotto. In generale $E[XY] \ne E[X]E[Y]$; l'uguaglianza vale se $X$ e $Y$ sono indipendenti (Vettori aleatori discretiUn vettore aleatorio discreto (X, Y) è descritto dalla densità congiunta p(x, y) = P(X = x, Y = y); le marginali si ottengono sommando sull'altra variabile, X e Y sono indipendenti se p(x, y) = p_X(x) p_Y(y) per ogni coppia, e E[g(X, Y)] = Σ g(x, y) p(x, y).Vettori aleatori discreti →, Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →).

Formula delle code (v.a. a valori interi non negativi)

Formula (delle code). Se $X$ assume valori in $\{0, 1, 2, \dots\}$: $$E[X] = \sum_{n = 0}^\infty P(X > n).$$

Perché. Si scrive $k = \sum_{n = 0}^{k - 1} 1$ (il numero $k$ è la somma di $k$ uni) e si scambiano le somme (termini positivi, lecito):

$$E[X] = \sum_{k = 1}^\infty k \, p_X(k) = \sum_{k = 1}^\infty \sum_{n = 0}^{k - 1} p_X(k) = \sum_{n = 0}^\infty \sum_{k = n + 1}^\infty p_X(k) = \sum_{n = 0}^\infty P(X > n).$$

Lo scambio delle somme. La doppia somma è estesa a tutte le coppie $(k, n)$ di interi con $0 \le n < k$. Si possono sommare "per righe" (fissato $k$, $n$ va da $0$ a $k - 1$) o "per colonne" (fissato $n$, $k$ va da $n + 1$ a $\infty$): con termini $\ge 0$ il risultato è lo stesso, anche se è $+\infty$. Per colonne, $\sum_{k > n} p_X(k) = P(X > n)$. Il termine $k = 0$ della prima somma vale $0 \cdot p_X(0) = 0$, per questo si parte da $k = 1$. Con pochi valori si vede a mano: se $X \in \{0, 1, 2\}$, $P(X > 0) + P(X > 1) = (p_X(1) + p_X(2)) + p_X(2) = 1 \cdot p_X(1) + 2 \cdot p_X(2) = E[X]$.

Esempio: per $X \sim \text{Geo}(p)$, $P(X > n) = (1 - p)^n$ e quindi $E[X] = \sum_{n \ge 0} (1 - p)^n = \frac{1}{1 - (1 - p)} = \frac1p$ (serie geometrica di ragione $1 - p < 1$), senza derivare serie (Distribuzione geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica →).

Riepilogo

Errori comuni

• $E[g(X)] = g(E[X])$: falso in generale ($E[X^2] \ne E[X]^2$, $E[1/X] \ne 1/E[X]$); vale solo per $g$ affine.
• Credere che la linearità richieda l'indipendenza: $E[X + Y] = E[X] + E[Y]$ vale sempre; è $E[XY] = E[X]E[Y]$ che la richiede.
• Calcolare la densità di $g(X)$ quando non serve: per la media basta il teorema fondamentale.
• Dimenticare di controllare la convergenza con alfabeti infiniti: la media può essere infinita.