Centro di massa

Prima: Sistemi di punti - forze interne ed esterneUn sistema è un insieme di punti materiali scelto da noi; le forze si dividono in interne (tra punti del sistema, a coppie opposte per il terzo principio) ed esterne. Le interne si annullano nella somma: il moto d'insieme dipende solo dalle esterne.Sistemi di punti - forze interne ed esterne →. Seguito: Conservazione della quantità di motoSe la risultante delle forze esterne è nulla la quantità di moto totale di un sistema resta costante (anche solo lungo un asse, se lì la forza esterna è nulla). Nelle esplosioni e negli urti si conserva perché le forze esterne non impulsive sono trascurabili nel brevissimo intervallo.Conservazione della quantità di moto →, Momento angolare e momento di una forzaMomento di una forza M = r × F e momento angolare L = r × m v rispetto a un polo. Teorema del momento angolare: dL/dt = M (polo fisso o CM); per un sistema contano solo i momenti esterni. Con forze centrali o momento esterno nullo L si conserva.Momento angolare e momento di una forza →. Per i corpi estesi: Corpo rigido e suo centro di massaUn corpo rigido è un sistema di punti a distanze reciproche fisse. Il suo centro di massa si calcola con integrali sulla densità (e con le simmetrie); il moto più generale è una traslazione del centro di massa più una rotazione attorno a un asse.Corpo rigido e suo centro di massa →. Esercizi: Esercizio 45 · pendolo appeso a una piattaforma libera, Esercizio 47 · pendolo che urta un blocchetto.

Definizione

Il centro di massa (CM) di un sistema di $N$ punti, con masse $m_i$ e posizioni $\vec r_i$, è il punto di posizione

Definizione (centro di massa). $$\vec r_{CM} = \frac{\sum_i m_i\,\vec r_i}{\sum_i m_i} = \frac{m_1 \vec r_1 + m_2 \vec r_2 + \dots + m_N \vec r_N}{M}$$

cioè la media delle posizioni pesata con le masse: i punti più pesanti "contano di più". In componenti, una formula per ogni coordinata:

$$x_{CM} = \frac{\sum_i m_i x_i}{M} \qquad y_{CM} = \frac{\sum_i m_i y_i}{M} \qquad z_{CM} = \frac{\sum_i m_i z_i}{M}$$

Esempio. $m_1 = 1$ kg in $x_1 = 0$ e $m_2 = 3$ kg in $x_2 = 4$ m: $x_{CM} = \frac{1\cdot0 + 3\cdot4}{4} = 3$ m, più vicino alla massa maggiore.

Il CM è un punto geometrico: non deve per forza coincidere con un punto materiale (il CM di un anello sta al centro, dove non c'è materia).

Due punti

Con due masse $m_1$ in $x_1$ e $m_2$ in $x_2$:

Formula (centro di massa di due punti). $$x_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$$

Il CM sta sul segmento che unisce i due punti, più vicino alla massa maggiore. Se si mette l'origine in $m_1$ ($x_1 = 0$) e si chiama $d$ la distanza, $x_{CM} = \frac{m_2}{m_1 + m_2}\,d$: le distanze del CM dalle due masse stanno nel rapporto inverso delle masse,

$$\frac{d_1}{d_2} = \frac{m_2}{m_1}$$

Esempio. Terra ($5{,}97 \times 10^{24}$ kg) e Luna ($7{,}35 \times 10^{22}$ kg) a distanza $3{,}84 \times 10^8$ m: il CM dista dal centro della Terra $\frac{7{,}35 \times 10^{22}}{6{,}04 \times 10^{24}} \cdot 3{,}84 \times 10^8 \approx 4{,}7 \times 10^6$ m, cioè sta dentro la Terra (il raggio terrestre è $6{,}4 \times 10^6$ m).

Esempio da esame (tema del 2 settembre 2022). Un pendolo di massa $m = 0{,}1$ kg, con filo $l = 0{,}8$ m inclinato di $\vartheta = 41{,}4°$ sulla verticale, è appeso sopra il centro ($x = 0$) di una piattaforma di massa $M = 0{,}5$ kg. La pallina sta in $x = -l\sin\vartheta = -0{,}529$ m, il CM della piattaforma in $x = 0$:

$$x_{CM} = \frac{m\,(-l\sin\vartheta) + M \cdot 0}{m + M} = \frac{0{,}1 \cdot (-0{,}529)}{0{,}6} = -0{,}088\ \text{m}$$

Lo svolgimento completo è nell'Esercizio 45 · pendolo appeso a una piattaforma libera.

Proprietà di raggruppamento

Se si divide il sistema in due parti, con masse $M_A$ e $M_B$ e centri di massa $\vec r_A$ e $\vec r_B$, il CM totale è il CM dei due punti "fittizi" $M_A$ in $\vec r_A$ e $M_B$ in $\vec r_B$:

$$\vec r_{CM} = \frac{M_A \vec r_A + M_B \vec r_B}{M_A + M_B}$$

È quello che si è fatto sopra con la piattaforma: invece di sommare su tutti i suoi atomi la si è sostituita con la sua massa concentrata nel suo centro.

Velocità del CM e quantità di moto totale

Derivando la definizione rispetto al tempo (le masse sono costanti):

$$\vec v_{CM} = \frac{d\vec r_{CM}}{dt} = \frac{\sum_i m_i\,\vec v_i}{M}$$

Il numeratore è la quantità di moto totale del sistema, $\vec P = \sum_i m_i \vec v_i$ (somma delle quantità di motoLa quantità di moto è p = m v; la seconda legge si scrive F = dp/dt. L'impulso di una forza è il suo integrale nel tempo e uguaglia la variazione della quantità di moto (teorema dell'impulso): serve per gli urti e le forze brevi e intense.Quantità di moto e impulso → dei singoli punti). Quindi

Formula (quantità di moto totale). $$\boxed{\vec P = M\,\vec v_{CM}}$$

Esempio. $m_1 = 2$ kg con $v_1 = 3$ m/s e $m_2 = 1$ kg con $v_2 = -6$ m/s: $P = 6 - 6 = 0$, quindi $v_{CM} = 0$.

La quantità di moto di un sistema è quella che avrebbe un unico punto di massa $M$ che si muove con il CM.

Teorema del moto del centro di massa

Derivando ancora, $\vec a_{CM} = \frac{\sum_i m_i \vec a_i}{M}$. Ma nella nota precedente si è visto che, sommando le leggi di Newton di tutti i punti, le forze interne si annullano a coppie e resta $\sum_i m_i \vec a_i = \vec R^{(E)}$. Quindi

Teorema del moto del centro di massa. $$\boxed{M\,\vec a_{CM} = \vec R^{(E)}} \qquad \text{equivalentemente} \qquad \frac{d\vec P}{dt} = \vec R^{(E)}$$

Esempio. Un proiettile da $3$ kg che esplode in volo: finché agisce solo il peso, $M\vec a_{CM} = M\vec g$, quindi il CM dei frammenti continua a descrivere la stessa parabola ($a_{CM} = g$).

Il CM si muove come un punto materiale di massa $M$ su cui agisce soltanto la risultante delle forze esterne. È la prima equazione cardinale dei sistemi.

Che cosa significa in pratica:

• un proiettile che esplode in volo: le schegge volano in tutte le direzioni, ma (finché nessuna tocca terra) il loro CM continua a percorrere la stessa parabola del proiettile intatto, perché le forze dell'esplosione sono interne e l'unica forza esterna è sempre il peso totale $M\vec g$;
• una persona ferma su una barca, in acqua senza attrito, cammina verso prua: la barca si sposta verso poppa in modo che il CM "persona + barca" resti fermo;
• il pendolo sulla piattaforma liscia: le forze esterne (pesi e reazione del piano) sono tutte verticali, quindi $a_{CM,x} = 0$; partendo da fermo, il CM non si sposta mai in orizzontale.

Conseguenza importante per le componenti. Il teorema vale componente per componente. Se la risultante esterna ha componente nulla lungo un asse ($R_x^{(E)} = 0$), lungo quell'asse $v_{CM,x}$ resta costante (e $P_x$ si conserva) anche se lungo gli altri assi le forze esterne ci sono.

Il sistema di riferimento del centro di massa

Il sistema del CM è il riferimento con l'origine nel CM e gli assi che traslano (non ruotano) rispetto al riferimento del laboratorio. In esso le posizioni e le velocità dei punti sono

$$\vec r_i' = \vec r_i - \vec r_{CM} \qquad \vec v_i' = \vec v_i - \vec v_{CM}$$

(la seconda è la regola di composizione delle velocità tra riferimenti in traslazione: Moti relativi - velocità e accelerazione di trascinamentoLo stesso moto visto da due riferimenti, uno fisso e uno mobile: la velocità assoluta è velocità relativa più velocità di trascinamento; l'accelerazione assoluta è relativa più trascinamento più Coriolis (2ω×v'). Se il riferimento mobile trasla a velocità costante si hanno le trasformazioni di Galileo e le accelerazioni coincidono.Moti relativi - velocità e accelerazione di trascinamento →).

Proprietà fondamentale: nel sistema del CM la quantità di moto totale è nulla.

$$\vec P' = \sum_i m_i \vec v_i' = \sum_i m_i \vec v_i - \Big(\sum_i m_i\Big)\vec v_{CM} = \vec P - M\vec v_{CM} = \vec 0$$

Con due punti questo vuol dire $m_1 \vec v_1' = -m_2 \vec v_2'$: nel sistema del CM i due punti hanno sempre quantità di moto uguali e opposte. Visto dal CM, un urto tra due palline è un "avvicinarsi e allontanarsi" simmetrico: per questo il sistema del CM semplifica molto lo studio degli urtiIn un urto due corpi si scambiano forze impulsive per un tempo brevissimo: la quantità di moto totale si conserva (se non ci sono vincoli impulsivi), l'energia cinetica solo negli urti elastici. Classificazione degli urti, coefficiente di restituzione, urti nel piano e impulso ricevuto.Urti tra punti materiali →.

Esempio (tema del 17 giugno 2021). Un punto $m_1 = 0{,}15$ kg a $v_1 = 1{,}45$ m/s urta un punto fermo $m_2 = 0{,}09$ kg. Prima dell'urto

$$v_{CM} = \frac{m_1 v_1 + m_2 \cdot 0}{m_1 + m_2} = \frac{0{,}15 \cdot 1{,}45}{0{,}24} = 0{,}906\ \text{m/s}$$

e nel sistema del CM $v_1' = 1{,}45 - 0{,}906 = 0{,}544$ m/s, $v_2' = -0{,}906$ m/s. Controllo: $m_1 v_1' = 0{,}0816$ e $m_2 v_2' = -0{,}0816$ kg·m/s, opposte ✓. Seguito nell'Esercizio 47 · pendolo che urta un blocchetto.

Il sistema del CM in generale non è inerziale (lo è se $\vec a_{CM} = 0$, cioè se la risultante esterna è nulla). Tuttavia in esso valgono lo stesso il teorema del momento angolare rispetto al CM e i teoremi di KönigTeoremi di König: energia cinetica e momento angolare di un sistema si dividono in una parte del centro di massa (come un punto di massa M) e una parte del moto relativo al CM. Teorema dell'energia cinetica per i sistemi: ΔK = lavoro delle forze esterne + lavoro delle forze interne.Teoremi di König ed energia di un sistema →, che dividono il moto in "moto del CM" più "moto attorno al CM".

Riassunto

Errori comuni

• Dimenticare di pesare con le masse: il CM di due punti non è il punto medio, a meno che le masse siano uguali.
• Mettere nella risultante anche le forze interne (la tensione di un filo tra due corpi del sistema, la forza di una molla tra due blocchi del sistema).
• Pensare che il CM debba stare dentro la materia.
• Usare il sistema del CM come se fosse sempre inerziale: lo è solo se la risultante delle forze esterne è nulla.