Esercizio 66asta e disco con momento d'inerzia composto

Esame

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Testo (tema d'esame del 7 luglio 2022, problema 2). Un disco omogeneo di massa $M = 3$ kg e raggio $R = 0{,}4$ m può ruotare senza attrito in un piano verticale intorno all'asse fisso orizzontale passante per il suo centro $O$ . Sul disco è incollata una sbarretta omogenea di lunghezza $\ell = 0{,}45$ m e massa $m = 1{,}5$ kg con un estremo coincidente con $O$ . Inizialmente il sistema è fermo con l'asta posta in direzione orizzontale (vedi figura). Dopo una rotazione di $\pi/2$ del sistema, l'asta urta elasticamente con il suo estremo sporgente dal disco un blocchetto di dimensioni trascurabili e massa $m_b$ poggiato su un piano orizzontale (l'asta non tocca il piano nel suo moto). Si verifica che dopo l'urto il sistema disco + asta si ferma. Determinare:

a) l'accelerazione angolare iniziale del sistema; b) la velocità angolare del sistema immediatamente prima dell'urto e la reazione vincolare $\Phi$ in $O$ nello stesso istante; c) la velocità dopo l'urto del blocchetto e la sua massa.

Figura. Il disco ha centro $O$ ; la sbarretta parte da $O$ e va verso destra, in orizzontale, sporgendo di $5$ cm oltre il bordo del disco. Il sistema ruota in verso orario e, dopo un quarto di giro, la sbarretta è verticale verso il basso: la sua estremità libera colpisce il blocchetto, che sta sul piano proprio sotto $O$ .

Impostazione

simbolo	significato	valore
$M$ , $R$	disco: massa e raggio	$3$ kg, $0{,}4$ m
$m$ , $\ell$	sbarretta: massa e lunghezza (un estremo in $O$ )	$1{,}5$ kg, $0{,}45$ m

Il disco è imperniato nel suo centro: il suo peso passa per l'asse e non fa ruotare il sistema. A far ruotare è solo il peso della sbarretta, applicato nel suo centro, a $\ell/2$ da $O$ .

a) Momento d'inerzia e accelerazione angolare iniziale

Momento d'inerzia del sistema. Il momento d'inerzia è additivo: quello di un corpo composto è la somma dei momenti dei pezzi, tutti rispetto allo stesso asse (Momento d'inerzia e teorema di Huygens-Steiner).

Disco rispetto al suo centro: $I_D = \frac12 M R^2 = \frac12 \cdot 3 \cdot 0{,}16 = 0{,}240$ kg·m².
Sbarretta rispetto a un estremo: $I_S = \frac13 m \ell^2 = \frac13 \cdot 1{,}5 \cdot 0{,}2025 = 0{,}101$ kg·m². (Rispetto al suo centro sarebbe $\frac{1}{12} m\ell^2$ ; con Huygens-Steiner, spostando l'asse di $\ell/2$ , si aggiunge $m(\ell/2)^2$ e si ottiene $\frac{1}{12} + \frac14 = \frac13$ .)

$I = I_D + I_S = 0{,}240 + 0{,}101 = 0{,}341\ \text{kg·m}^2$

Accelerazione angolare. Seconda equazione cardinale rispetto all'asse fisso, $M_z = I\alpha$ (Rotazione attorno a un asse fisso). Con la sbarretta orizzontale il braccio del suo peso è tutto $\ell/2$ :

$\alpha = \frac{m g\,\ell/2}{I} = \frac{1{,}5 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}225}{0{,}341} = \frac{3{,}31}{0{,}341} = 9{,}70\ \text{rad/s}^2$

b) Velocità angolare prima dell'urto e reazione in $O$

Velocità angolare. Nessun attrito: l'energia meccanica si conserva (Energia cinetica e lavoro nella rotazione). In un quarto di giro il centro della sbarretta scende di $\ell/2$ (da orizzontale a verticale verso il basso); il disco non cambia quota.

$m g\,\frac{\ell}{2} = \tfrac12 I\omega^2 \quad\Longrightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{m g \ell}{I}} = \sqrt{\frac{1{,}5 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}45}{0{,}341}} = \sqrt{19{,}4} = 4{,}40\ \text{rad/s}$

Reazione vincolare. Si usa la prima equazione cardinale: la risultante delle forze esterne fa accelerare il centro di massa del sistema (Corpo rigido e suo centro di massa):

$\vec\Phi + (M + m)\,\vec g = (M + m)\,\vec a_{CM}$

Il CM del sistema sta sulla sbarretta (il CM del disco è in $O$ ), a distanza

$d_{CM} = \frac{M \cdot 0 + m\,\ell/2}{M + m} = \frac{1{,}5 \cdot 0{,}225}{4{,}5} = 0{,}075\ \text{m}$

da $O$ . Nell'istante considerato la sbarretta è verticale verso il basso, quindi anche il CM è sotto $O$ . Il CM percorre una circonferenza di raggio $d_{CM}$ :

l'accelerazione tangenziale è $\alpha\,d_{CM}$ , ma qui $\alpha = 0$ : con la sbarretta verticale il peso passa per l'asse e non ha momento;
resta l'accelerazione centripeta $\omega^2 d_{CM}$ , diretta verso $O$ , cioè verso l'alto.

Proiettando in verticale (positivo verso l'alto):

$\Phi - (M + m)\,g = (M + m)\,\omega^2 d_{CM}$

$\Phi = (M + m)\,(g + \omega^2 d_{CM}) = 4{,}5 \cdot (9{,}81 + 19{,}4 \cdot 0{,}075) = 4{,}5 \cdot 11{,}27 = 50{,}7\ \text{N}$

Il perno deve reggere il peso ( $44{,}1$ N) e in più fornire la forza centripeta al CM ( $6{,}5$ N).

c) L'urto elastico con il blocchetto

Che cosa si conserva.

Momento angolare rispetto a $O$ : durante l'urto il perno esercita una forza impulsiva, ma applicata in $O$ , quindi con momento nullo rispetto a $O$ . Il peso non è impulsivo. Si conserva $L_O$ del sistema disco + sbarretta + blocchetto (Urti con corpi rigidi). (La quantità di moto invece non si conserva, per l'impulso del perno.)
Energia cinetica: l'urto è elastico.

Le equazioni. Prima dell'urto ruota solo il sistema ( $L = I\omega$ ), il blocchetto è fermo. Dopo, il sistema è fermo e il blocchetto si muove orizzontalmente con velocità $v_b$ , a distanza $\ell$ sotto $O$ (l'urto avviene all'estremità della sbarretta): il suo momento angolare rispetto a $O$ è $m_b v_b \ell$ .

$I\omega = m_b\,v_b\,\ell \tag{1}$

$\tfrac12 I\omega^2 = \tfrac12 m_b v_b^2 \tag{2}$

Risoluzione. Dividendo la (2) per la (1) membro a membro (dopo aver semplificato gli $\frac12$ ):

$\omega = \frac{v_b}{\ell} \quad\Longrightarrow\quad v_b = \omega\,\ell = 4{,}40 \cdot 0{,}45 = 1{,}98\ \text{m/s}$

Il blocchetto parte con la stessa velocità che aveva l'estremità della sbarretta. Dalla (1):

$m_b = \frac{I\omega}{v_b\,\ell} = \frac{I}{\ell^2} = \frac{0{,}341}{0{,}2025} = 1{,}68\ \text{kg}$

Il significato di $I/\ell^2$ . È la "massa equivalente" del sistema rotante vista dall'estremità della sbarretta: un punto di massa $I/\ell^2$ a distanza $\ell$ dall'asse ha lo stesso momento d'inerzia del sistema. L'urto elastico tra due masse uguali, una ferma, scambia le velocità: il corpo che urta si ferma e l'altro parte con la sua velocità. È esattamente quello che succede qui.

Risultati

punto	grandezza	valore
a	momento d'inerzia	$0{,}341$ kg·m²
a	accelerazione angolare iniziale	$9{,}70$ rad/s²
b	velocità angolare prima dell'urto	$4{,}40$ rad/s
b	reazione in $O$	$50{,}7$ N, verso l'alto
c	velocità del blocchetto	$1{,}98$ m/s
c	massa del blocchetto	$1{,}68$ kg

Errori comuni

Usare $\frac{1}{12} m\ell^2$ per la sbarretta: quello è rispetto al centro; l'asse passa per un estremo, quindi $\frac13 m\ell^2$ .
Mettere il peso del disco nel momento delle forze: è applicato in $O$ , sull'asse.
Scrivere $\Phi = (M + m) g$ : nell'istante dell'urto il CM sta girando e serve anche la forza centripeta.
Conservare la quantità di moto nell'urto: il perno dà un impulso; si conserva il momento angolare rispetto al perno.

Versione ripasso

Testo. Un disco omogeneo di massa $M = 3$ kg e raggio $R = 0{,}4$ m può ruotare senza attrito in un piano verticale intorno all'asse fisso orizzontale passante per il suo centro $O$ . Sul disco è incollata una sbarretta omogenea di lunghezza $\ell = 0{,}45$ m e massa $m = 1{,}5$ kg con un estremo coincidente con $O$ . Inizialmente il sistema è fermo con l'asta posta in direzione orizzontale (vedi figura). Dopo una rotazione di $\pi/2$ del sistema, l'asta urta elasticamente con il suo estremo sporgente dal disco un blocchetto di dimensioni trascurabili e massa $m_b$ poggiato su un piano orizzontale (l'asta non tocca il piano nel suo moto). Si verifica che dopo l'urto il sistema disco + asta si ferma. Determinare:

Metodo: teorema di Steiner e seconda equazione cardinale per la dinamica rotazionale; conservazione dell'energia e moto del centro di massa per la reazione vincolare; conservazione del momento angolare ed energia cinetica nell'urto elastico.

Momento d'inerzia e accelerazione angolare iniziale: $I = I_D + I_S = \tfrac12 M R^2 + \tfrac13 m \ell^2 = 0{,}240 + 0{,}101 = 0{,}341\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ Il disco ha baricentro in $O$ ( $M_{O,D} = 0$ ). Il momento motore è dato solo dalla sbarretta orizzontale: $\alpha = \frac{M_z}{I} = \frac{m g\,\ell/2}{I} = \frac{1{,}5 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}225}{0{,}341} = 9{,}70\ \text{rad/s}^2$
Velocità angolare e reazione in $O$ prima dell'urto: Conservazione dell'energia meccanica (il CM dell'asta scende di $\ell/2$ ): $m g\,\frac{\ell}{2} = \tfrac12 I\omega^2 \implies \omega = \sqrt{\frac{m g \ell}{I}} = \sqrt{\frac{1{,}5 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}45}{0{,}341}} = 4{,}40\ \text{rad/s}$ Distanza del baricentro del sistema da $O$ : $d_{CM} = \frac{m\,\ell/2}{M + m} = \frac{1{,}5 \cdot 0{,}225}{4{,}5} = 0{,}075\ \text{m}$ Con asta verticale $\alpha = 0$ , l'accelerazione del CM è solo centripeta diretta verso $O$ (in alto): $\Phi - (M+m)g = (M+m)\omega^2 d_{CM} \implies \Phi = (M+m)(g + \omega^2 d_{CM}) = 4{,}5 \cdot (9{,}81 + 19{,}4 \cdot 0{,}075) = 50{,}7\ \text{N}$
Urto elastico con il blocchetto: Il perno applica forze impulsive in $O$ , quindi si conserva il momento angolare rispetto a $O$ e l'energia cinetica: $\begin{cases} I\omega = m_b v_b \ell \\ \tfrac12 I\omega^2 = \tfrac12 m_b v_b^2 \end{cases}$ Dividendo membro a membro: $v_b = \omega\ell = 4{,}40 \cdot 0{,}45 = 1{,}98\ \text{m/s}$ $m_b = \frac{I}{\ell^2} = \frac{0{,}341}{0{,}2025} = 1{,}68\ \text{kg}$

Errori tipici: usare $I_S = \frac{1}{12}m\ell^2$ dimenticando che l'asse è all'estremo; omettere l'accelerazione centripeta del centro di massa nel calcolo di $\Phi$ ; tentare di conservare la quantità di moto invece del momento angolare durante l'urto vincolato.