Attrito viscoso

Forza che agisce su un corpo in moto dentro un fluido (aria, acqua, olio). A differenza dell'attrito radente (Forze di attrito radenteL'attrito radente è la componente della reazione vincolare parallela alla superficie. Statico: impedisce lo scivolamento e vale quanto serve, fino a μs N. Dinamico: agisce durante lo strisciamento, vale μd N ed è opposto alla velocità relativa.Forze di attrito radente →) dipende dalla velocità, e per questo il moto che produce non è uniformemente accelerato ma esponenziale: è il Moto smorzato esponenzialmenteSe l'accelerazione è proporzionale alla velocità e opposta (a = −v/τ), la velocità decresce come v0·e^(−t/τ): dopo un tempo τ si riduce al 37%. Il corpo si ferma solo asintoticamente, dopo aver percorso lo spazio finito v0·τ.Moto smorzato esponenzialmente → visto in cinematica. Prima: Piano inclinatoSul piano inclinato si prendono gli assi lungo il piano e perpendicolare: il peso si scompone in mg sinθ (lungo il piano) e mg cosθ (contro il piano), N = mg cosθ. Senza attrito a = g sinθ; con attrito dinamico a = g(sinθ − μ cosθ) in discesa, −g(sinθ + μ cosθ) in salita; resta fermo se tanθ ≤ μs.Piano inclinato →. Seguito: Forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica →. Con una molla in più si ottiene l'Oscillatore armonico smorzatoMassa, molla e attrito viscoso: m x'' + b x' + k x = 0. Con γ = b/(2m) e ω₀ = √(k/m) ci sono tre regimi: sottosmorzato (γ < ω₀, oscillazioni con ampiezza che decade come e^(−γt) e pulsazione ω₁ = √(ω₀² − γ²)), critico (γ = ω₀, ritorno più rapido senza oscillare) e sovrasmorzato (γ > ω₀). L'energia decade come e^(−2γt); il fattore di qualità è Q = ω₀/(2γ).Oscillatore armonico smorzato →. Esercizio: Esercizio 31 · caduta in un fluido viscoso.

La legge

Per velocità non troppo grandi, la forza che il fluido esercita su un corpo in moto è

Legge (attrito viscoso). $$\vec F = -b\,\vec v$$

Esempio. Con $b = 0{,}5\ \text{kg/s}$ e $v = 4\ \text{m/s}$ la forza frenante è $F = 0{,}5\cdot4 = 2$ N, opposta alla velocità; se $v = 0$ la forza è nulla.

• opposta alla velocità (il segno meno): frena sempre;
• proporzionale alla velocità: ferma, il corpo non subisce nessuna forza viscosa; più va veloce, più è frenato;
• $b > 0$ è il coefficiente di attrito viscoso, che dipende dalla forma e dimensione del corpo e dalla viscosità del fluido. Unità: $[b] = \frac{[F]}{[v]} = \frac{\text{N}}{\text{m/s}} = \text{kg/s}$.

Per una sfera di raggio $r$ in un fluido di viscosità $\eta$ vale $b = 6\pi\eta r$ (legge di Stokes). A velocità alte (un'auto, un paracadutista) la resistenza cresce invece circa come $v^2$; in questo corso si usa la legge lineare.

Moto orizzontale: frenata viscosa

Un corpo lanciato con velocità $v_0$ lungo $x$, su cui agisce solo la forza viscosa (per esempio una barca a motore spento, trascurando tutto il resto):

$$m\frac{dv}{dt} = -b\,v$$

È un'equazione differenziale: la derivata di $v$ è proporzionale a $v$ stessa. Si separano le variabili (tutto ciò che contiene $v$ a sinistra, tutto ciò che contiene $t$ a destra) e si integra dalla condizione iniziale:

$$\frac{dv}{v} = -\frac{b}{m}\,dt \quad \Longrightarrow \quad \int_{v_0}^{v}\frac{dv'}{v'} = -\frac{b}{m}\int_0^t dt' \quad \Longrightarrow \quad \ln\frac{v}{v_0} = -\frac{t}{\tau}$$

dove si è posto

Definizione (costante di tempo dell'attrito viscoso). $$\tau = \frac{m}{b} \qquad [\text{s}]$$

Esempio. $m = 2$ kg e $b = 0{,}5\ \text{kg/s}$: $\tau = \frac{2}{0{,}5} = 4$ s.

la costante di tempo (dimensioni: $\frac{\text{kg}}{\text{kg/s}} = \text{s}$ ✓). Quindi

Legge della velocità (frenata viscosa). $$v(t) = v_0\,e^{-t/\tau}$$

esattamente la legge del Moto smorzato esponenzialmenteSe l'accelerazione è proporzionale alla velocità e opposta (a = −v/τ), la velocità decresce come v0·e^(−t/τ): dopo un tempo τ si riduce al 37%. Il corpo si ferma solo asintoticamente, dopo aver percorso lo spazio finito v0·τ.Moto smorzato esponenzialmente →: la velocità si riduce di un fattore $e \approx 2{,}72$ ogni $\tau$ secondi, senza mai annullarsi del tutto. Lo spazio percorso in un tempo infinito è però finito:

$$x_\infty = \int_0^\infty v_0\,e^{-t/\tau}\,dt = v_0\,\tau$$

Esempio. $v_0 = 10\ \text{m/s}$ e $\tau = 4$ s: $v(8\ \text{s}) = 10\,e^{-2} = 1{,}35\ \text{m/s}$.

Significato di $\tau$: è grande per corpi pesanti (molta inerzia) e poco frenati, piccola per corpi leggeri e molto frenati.

Caduta in un fluido: la velocità limite

Un corpo lasciato cadere da fermo in un fluido. Asse $y$ verso il basso (così la velocità è positiva): agiscono il peso $mg$ (verso il basso, positivo) e la forza viscosa $-bv$.

$$m\frac{dv}{dt} = mg - b\,v$$

Ragionamento qualitativo, prima dei conti. All'inizio $v = 0$: c'è solo il peso e il corpo accelera con $g$. Man mano che la velocità cresce, la forza viscosa cresce e l'accelerazione diminuisce. Quando $bv = mg$ la risultante è nulla e la velocità smette di crescere: si è raggiunta la velocità limite

Formula (velocità limite). $$v_{\lim} = \frac{mg}{b} = g\,\tau$$

Esempio. Una pallina di $m = 10$ g con $b = 0{,}05\ \text{kg/s}$ ha $v_{\lim} = \frac{0{,}01\cdot9{,}81}{0{,}05} = 1{,}96\ \text{m/s}$ e $\tau = 0{,}2$ s.

Da lì in poi il corpo scende di moto uniforme. (È il motivo per cui le gocce di pioggia non arrivano a terra a velocità enormi.)

Soluzione esatta. Si riscrive l'equazione come $\frac{dv}{dt} = \frac{1}{\tau}(v_{\lim} - v)$ e si separano le variabili:

Legge della velocità (caduta in un fluido). $$\int_0^v \frac{dv'}{v_{\lim} - v'} = \int_0^t \frac{dt'}{\tau} \quad \Longrightarrow \quad -\ln\frac{v_{\lim} - v}{v_{\lim}} = \frac{t}{\tau} \quad \Longrightarrow \quad v(t) = v_{\lim}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$

Esempio. Con $v_{\lim} = 1{,}96\ \text{m/s}$ e $\tau = 0{,}2$ s: $v(0{,}4\ \text{s}) = 1{,}96\,(1 - e^{-2}) = 1{,}7\ \text{m/s}$.

Integrando ancora (con $y(0) = 0$) si ha la legge oraria

$$y(t) = v_{\lim}\left[t - \tau\left(1 - e^{-t/\tau}\right)\right]$$

che per $t \gg \tau$ diventa $y \approx v_{\lim}(t - \tau)$: moto uniforme, con un "ritardo" $\tau$ rispetto a un corpo che fosse partito subito a velocità $v_{\lim}$.

Quanto ci vuole per arrivare alla velocità limite? In teoria un tempo infinito, in pratica pochi $\tau$:

Controlli.

• Per $t$ molto piccolo, $e^{-t/\tau} \approx 1 - t/\tau$ e quindi $v \approx v_{\lim}\,t/\tau = g\,t$: all'inizio il corpo cade come in assenza di fluido ✓.
• Se il corpo viene lanciato verso il basso con $v_0 > v_{\lim}$, la forza viscosa supera il peso e il corpo rallenta fino a $v_{\lim}$: in generale $v(t) = v_{\lim} + (v_0 - v_{\lim})\,e^{-t/\tau}$, che vale per qualunque $v_0$ (vedi Esercizio 31 · caduta in un fluido viscoso).

Riassunto

Errori comuni

• Usare le formule del moto uniformemente accelerato: la forza non è costante, quindi l'accelerazione non lo è.
• Confondere $b$ con un coefficiente d'attrito radente: $\mu$ è un numero puro, $b$ si misura in kg/s.
• Pensare che la velocità limite venga raggiunta in un tempo finito: ci si avvicina esponenzialmente; dopo $3\tau$ si è al $95\%$.