Moto circolare

Il moto su una traiettoria circolare: ruote, pianeti (in prima approssimazione), un sasso legato a una fune, ogni punto di un corpo che ruota. È il caso più semplice di moto curvilineo e rende concrete l'accelerazione tangenziale e normale di Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazioneNel piano la posizione è il vettore r(t); la velocità v = dr/dt è sempre tangente alla traiettoria, con modulo ds/dt. L'accelerazione a = dv/dt si scompone in tangenziale dv/dt (cambia la rapidità) e normale v²/R verso il centro di curvatura (cambia la direzione).Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazione →, con raggio di curvatura costante. Prima: Moto parabolicoUn corpo lanciato vicino al suolo, trascurando l'aria, ha accelerazione costante g verso il basso: moto uniforme in orizzontale, uniformemente accelerato in verticale. Traiettoria parabolica, quota massima v0y²/2g, gittata v0² sin2θ/g (massima a 45°); lancio da un'altezza h con un'equazione di secondo grado.Moto parabolico →. Si userà in dinamica (Forza centripeta nel moto curvilineoIn un moto curvilineo l'accelerazione ha una componente normale v²/R verso il centro di curvatura, quindi la risultante delle forze lungo la normale deve valere m v²/R. La "forza centripeta" non è una forza nuova: è il ruolo che giocano attrito, normale, tensione o peso.Forza centripeta nel moto curvilineo →) e per il corpo rigido (Rotazione attorno a un asse fissoPer un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso L_z = I ω e la seconda equazione cardinale diventa M_z = I α, l'analogo di F = ma. Se il momento esterno lungo l'asse è nullo, I ω si conserva. Le reazioni del vincolo si trovano con la prima equazione cardinale; carrucole con massa.Rotazione attorno a un asse fisso →). Esercizi: Esercizio 16 · disco che accelera e poi gira a velocità costante, Esercizio 14 · gittata di un cannoncino sulla Luna (parte sull'orbita).

Coordinate angolari

Il punto si muove su una circonferenza di centro $O$ e raggio $R$. Con l'origine degli assi nel centro, la sua posizione è individuata da un solo numero: l'angolo $\theta(t)$ che il raggio vettore $\vec r$ forma con l'asse $x$ (positivo in senso antiorario). Le coordinate cartesiane sono

$$x = R\cos\theta \qquad y = R\sin\theta$$

L'angolo si misura in radianti: per definizione l'angolo in radianti è il rapporto tra l'arco e il raggio, quindi l'ascissa curvilinea (l'arco percorso a partire dall'asse $x$) è

Formula (lunghezza d'arco). $$s = R\,\theta$$

Esempio. $R = 2$ m e $\theta = 1{,}5$ rad: $s = R\theta = 3$ m.

Un giro completo è $\theta = 2\pi$ rad, cioè un arco $2\pi R$ (la circonferenza intera).

Velocità angolare

La velocità angolare è la rapidità con cui cambia l'angolo:

Definizione (velocità angolare). $$\omega = \frac{d\theta}{dt} \qquad [\text{rad/s}]$$

Esempio. Un motore a $120$ giri/min fa $2$ giri al secondo: $\omega = 2\pi\cdot2 = 12{,}57\ \text{rad/s}$.

(il radiante è adimensionale, quindi in termini di dimensioni $[\omega] = [T]^{-1}$ e si scrive anche $\text{s}^{-1}$). Derivando $s = R\theta$ con $R$ costante si ottiene il modulo della velocità ("velocità lineare" o tangenziale):

Formula (velocità nel moto circolare). $$\boxed{v = \frac{ds}{dt} = R\,\frac{d\theta}{dt} = \omega R}$$

Esempio. $R = 0{,}5$ m e $\omega = 10\ \text{rad/s}$: $v = \omega R = 5\ \text{m/s}$.

Tutti i punti di un disco che ruota hanno la stessa $\omega$ (girano dello stesso angolo nello stesso tempo), ma la velocità lineare $\omega R$ cresce con la distanza dal centro: il bordo va più veloce del mozzo.

La velocità, come sempre, è tangente alla traiettoria, cioè perpendicolare al raggio.

Moto circolare uniforme

Definizione: $\omega$ costante (quindi anche $v = \omega R$ costante). L'angolo cresce linearmente:

$$\theta(t) = \theta_0 + \omega\,t$$

Periodo e frequenza

Il moto si ripete uguale a ogni giro. Il periodo $T$ è il tempo di un giro: in un tempo $T$ l'angolo aumenta di $2\pi$, quindi $\omega T = 2\pi$. La frequenza $f$ è il numero di giri al secondo:

Formula (periodo e frequenza). $$T = \frac{2\pi}{\omega} \ [\text{s}] \qquad f = \frac1T = \frac{\omega}{2\pi} \ [\text{Hz} = \text{s}^{-1}] \qquad \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$

Esempio. $f = 20$ Hz: $T = \frac{1}{20} = 0{,}05$ s e $\omega = 2\pi\cdot20 = 125{,}7\ \text{rad/s}$.

E dato che in un periodo si percorre la circonferenza: $v = \frac{2\pi R}{T}$.

Giri al minuto. I motori si misurano spesso in giri/min (rpm): si moltiplica per $2\pi$ (radianti per giro) e si divide per $60$ (secondi per minuto). Esempio: il cestello di una lavatrice a $1200$ giri/min ha $\omega = \frac{1200 \cdot 2\pi}{60} = 125{,}7$ rad/s, $f = 20$ Hz, $T = 0{,}05$ s.

Accelerazione centripeta

Il modulo della velocità è costante, quindi l'accelerazione tangenziale è nulla: $a_T = \frac{dv}{dt} = 0$. Ma la direzione della velocità cambia continuamente, e c'è l'accelerazione normale (con raggio di curvatura uguale al raggio $R$ della circonferenza):

Formula (accelerazione centripeta). $$\boxed{a_N = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R = \omega v}$$

diretta verso il centro (per questo si chiama centripeta).

Esempio. Un'auto fa una curva di raggio $R = 50$ m a $v = 20$ m/s: $a_N = \frac{400}{50} = 8\ \text{m/s}^2$, diretta verso il centro.

Verifica con le componenti. Con $\theta = \omega t$ (prendendo $\theta_0 = 0$):

$$\vec r = R\cos\omega t\,\hat\imath + R\sin\omega t\,\hat\jmath$$ $$\vec v = \frac{d\vec r}{dt} = -\omega R\sin\omega t\,\hat\imath + \omega R\cos\omega t\,\hat\jmath$$ $$\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = -\omega^2 R\cos\omega t\,\hat\imath - \omega^2 R\sin\omega t\,\hat\jmath = -\omega^2\,\vec r$$

• $|\vec v| = \omega R\sqrt{\sin^2 + \cos^2} = \omega R$ ✓, e $\vec v \cdot \vec r = 0$: la velocità è perpendicolare al raggio;
• $\vec a = -\omega^2\vec r$: opposta al vettore posizione (che va dal centro al punto), cioè rivolta verso il centro, con modulo $\omega^2 R$ ✓.

Esempi numerici.

Le proiezioni sono moti armonici

Le coordinate $x(t) = R\cos(\omega t + \theta_0)$ e $y(t) = R\sin(\omega t + \theta_0)$ sono funzioni sinusoidali del tempo: la proiezione di un moto circolare uniforme su un diametro è un Moto armonico sempliceMoto rettilineo con legge oraria x = A·sin(ωt + φ): oscilla tra −A e A con periodo T = 2π/ω. È caratterizzato da a = −ω²x, l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico; ampiezza e fase si ricavano dalle condizioni iniziali.Moto armonico semplice →, con ampiezza $R$ e pulsazione $\omega$. Per questo nel moto armonico la costante $\omega$ si chiama ancora "pulsazione" e si misura in rad/s, anche se non c'è niente che ruota. E infatti $a_x = -\omega^2 x$, la legge del moto armonico.

Moto circolare non uniforme

Se la velocità angolare cambia nel tempo si definisce l'accelerazione angolare

Definizione (accelerazione angolare). $$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2} \qquad [\text{rad/s}^2]$$

Esempio. Una ruota passa da $0$ a $12\ \text{rad/s}$ in $4$ s: $\alpha = \frac{12}{4} = 3\ \text{rad/s}^2$.

Ora il modulo della velocità $v = \omega R$ varia, e l'accelerazione ha due componenti:

Formula (accelerazione tangenziale e centripeta nel moto circolare). $$a_T = \frac{dv}{dt} = R\,\frac{d\omega}{dt} = \alpha R \qquad\qquad a_N = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$$

$$|\vec a| = \sqrt{a_T^2 + a_N^2} = R\sqrt{\alpha^2 + \omega^4}$$

Esempio. $R = 0{,}5$ m, $\alpha = 4\ \text{rad/s}^2$, $\omega = 3\ \text{rad/s}$: $a_T = 2\ \text{m/s}^2$, $a_N = 4{,}5\ \text{m/s}^2$, $|\vec a| = 4{,}92\ \text{m/s}^2$.

La tangenziale cambia la rapidità, la centripeta cambia la direzione; l'accelerazione totale non punta più verso il centro.

Moto circolare uniformemente accelerato

Con $\alpha$ costante valgono, per l'angolo, le stesse formule del moto rettilineo uniformemente accelerato, con $\theta$ al posto di $x$, $\omega$ al posto di $v$ e $\alpha$ al posto di $a$ (si ottengono integrando allo stesso modo):

Il numero di giri compiuti è $\frac{\theta - \theta_0}{2\pi}$.

Notazione vettoriale

La velocità angolare si può trattare come un vettore $\vec\omega$:

• modulo $|\omega| = \left|\frac{d\theta}{dt}\right|$;
• direzione: l'asse di rotazione (perpendicolare al piano della circonferenza, passante per il centro);
• verso: dato dalla regola della mano destra, chiudendo le dita nel verso della rotazione il pollice indica $\vec\omega$. Per una rotazione antioraria nel piano $xy$, $\vec\omega = \omega\,\hat k$ è uscente dal foglio.

Con questa definizione la velocità del punto si scrive con un prodotto vettorialeIl prodotto vettoriale ω × r è perpendicolare sia all'asse sia al raggio, ha modulo ωr sinφ e verso dato dalla mano destra.Prodotto scalare e prodotto vettoriale →:

Formula (velocità come prodotto vettoriale). $$\boxed{\vec v = \vec\omega \times \vec r}$$

Esempio. $\vec\omega = 2\,\hat k$ rad/s e $\vec r = (0{,}3;\ 0{,}4;\ 0)$ m: $\vec v = \vec\omega\times\vec r = (-0{,}8;\ 0{,}6;\ 0)$ m/s, di modulo $1$ m/s $= \omega R$ con $R = 0{,}5$ m.

Verifica nel piano: $\omega\hat k \times (x\hat\imath + y\hat\jmath) = \omega x\,\hat\jmath - \omega y\,\hat\imath$, che coincide con il $\vec v$ trovato sopra ($x = R\cos\omega t$, $y = R\sin\omega t$). Il modulo è $\omega R$ e la direzione è tangente, nel verso della rotazione.

La formula vale anche se l'origine è un punto qualsiasi sull'asse (non necessariamente il centro): $|\vec\omega \times \vec r| = \omega\,r\sin\varphi$, e $r\sin\varphi$ è proprio la distanza del punto dall'asse, cioè il raggio della circonferenza descritta.

Derivando $\vec v = \vec\omega \times \vec r$ (con origine nel centro e asse fisso) si ritrova l'accelerazione:

$$\vec a = \frac{d\vec\omega}{dt} \times \vec r + \vec\omega \times \frac{d\vec r}{dt} = \underbrace{\vec\alpha \times \vec r}_{\text{tangenziale, } \alpha R} + \underbrace{\vec\omega \times (\vec\omega \times \vec r)}_{\text{centripeta, } -\omega^2\vec r}$$

Riassunto

Errori comuni

• Dire che nel moto circolare uniforme l'accelerazione è nulla: è nulla solo quella tangenziale; c'è sempre $\omega^2 R$ verso il centro.
• Usare i gradi o i giri in $v = \omega R$ o in $a_N = \omega^2 R$: $\omega$ va in rad/s.
• Confondere frequenza e velocità angolare: $\omega = 2\pi f$, differiscono di un fattore $2\pi \approx 6{,}28$.
• Dimenticare l'accelerazione centripeta nel moto non uniforme: l'accelerazione totale ha modulo $R\sqrt{\alpha^2 + \omega^4}$, non $\alpha R$.
• Scrivere $\vec r \times \vec\omega$: ha il verso opposto alla velocità vera.