Principio di Archimede

Conseguenza diretta della legge di StevinoIn un fluido in quiete la forza sulle superfici è descritta dalla pressione p = F/S, uguale in tutte le direzioni. Con la gravità la pressione cresce con la profondità: p = p0 + ρgh (Stevino). Conseguenze: principio di Pascal, vasi comunicanti, barometro e manometro.Statica dei fluidi - pressione e legge di Stevino →: la pressione cresce con la profondità, quindi su un corpo immerso spinge più forte dal basso che dall'alto. Seguito: Dinamica dei fluidi - continuità e BernoulliPer un fluido ideale in moto stazionario la portata S·v è la stessa in ogni sezione del tubo (continuità), e lungo il tubo p + ρv²/2 + ρgz resta costante (Bernoulli, che è la conservazione dell'energia). Applicazioni: Torricelli e tubo di Venturi.Dinamica dei fluidi - continuità e Bernoulli →. Esercizio: Esercizio 83 · blocco di legno che galleggia.

Enunciato

Principio di Archimede. Un corpo immerso (in tutto o in parte) in un fluido in quiete riceve una forza verticale verso l'alto, detta spinta di Archimede, uguale al peso del fluido spostato: $$F_A = \rho_f\,V_{\text{imm}}\,g$$

dove $\rho_f$ è la densità del fluido (non del corpo!) e $V_{\text{imm}}$ è il volume della parte immersa del corpo, cioè il volume di fluido che il corpo "ha tolto di posto".

Esempio. Cubo di volume $V = 1\ \text{dm}^3$ completamente immerso in acqua: $F_A = 1000\cdot10^{-3}\cdot9{,}81 = 9{,}81$ N, qualunque sia il materiale.

Perché vale: due ragionamenti

1. Con le pressioni (caso di un cilindro). Un cilindro di base $S$ e altezza $L$, con l'asse verticale, completamente immerso: la base superiore sta a profondità $h_1$, quella inferiore a $h_2 = h_1 + L$. Le forze del fluido sulle facce laterali sono orizzontali e si annullano a due a due. Sulle basi:

• base superiore, spinta verso il basso: $(p_0 + \rho_f g h_1)\,S$;
• base inferiore, spinta verso l'alto: $(p_0 + \rho_f g h_2)\,S$.

La risultante, verso l'alto, è

$$F_A = \rho_f g\,(h_2 - h_1)\,S = \rho_f g\,L\,S = \rho_f\,V\,g$$

perché $L\,S$ è il volume del cilindro. La spinta nasce dalla differenza di pressione tra sotto e sopra, e non dipende dalla profondità a cui si trova il corpo (finché è tutto immerso).

2. Con la sostituzione (vale per qualunque forma). Si immagina di togliere il corpo e di riempire il buco con lo stesso fluido. Quella porzione di fluido sta ferma, quindi il fluido circostante la sostiene con una forza uguale e opposta al suo peso, $\rho_f V g$ verso l'alto. Ma il fluido circostante "non sa" cosa c'è dentro il buco: esercita le stesse pressioni anche sul corpo. Quindi il corpo riceve la stessa forza.

Peso apparente

Su un corpo completamente immerso di densità $\rho_c$ e volume $V$ agiscono il peso $mg = \rho_c V g$ verso il basso e la spinta $\rho_f V g$ verso l'alto. La risultante verticale (verso il basso) è

Formula (peso apparente). $$P_{\text{app}} = (\rho_c - \rho_f)\,V\,g$$

detto peso apparente: è quello che segnerebbe un dinamometro a cui il corpo è appeso dentro il fluido.

Esempio. Sasso di $1\ \text{dm}^3$ e $\rho_c = 2500\ \text{kg/m}^3$ in acqua: $P_{\text{app}} = (2500 - 1000)\cdot10^{-3}\cdot9{,}81 = 14{,}7$ N.

Esempio. Un sasso di volume $V = 1\ \text{dm}^3 = 10^{-3}\ \text{m}^3$ e densità $\rho_c = 2500\ \text{kg/m}^3$, immerso in acqua:

• peso: $2500 \cdot 10^{-3} \cdot 9{,}81 = 24{,}5\ \text{N}$;
• spinta: $1000 \cdot 10^{-3} \cdot 9{,}81 = 9{,}81\ \text{N}$;
• peso apparente: $24{,}5 - 9{,}81 = 14{,}7\ \text{N}$. In acqua il sasso "pesa" il $60\%$ di quanto pesa in aria.

Il confronto tra peso in aria e peso in acqua permette di misurare il volume (e quindi la densità) di un oggetto di forma irregolare: è il metodo con cui, secondo la tradizione, Archimede scoprì se la corona del re era d'oro puro.

Tre casi: affonda, sale, galleggia

Per un corpo completamente immerso, il confronto tra le densità decide il moto:

Galleggiamento

Un corpo meno denso del fluido emerge finché la spinta, che diminuisce perché diminuisce il volume immerso, non uguaglia il peso:

Formula (frazione immersa di un corpo che galleggia). $$\rho_f\,V_{\text{imm}}\,g = \rho_c\,V\,g \quad \Longrightarrow \quad \boxed{\frac{V_{\text{imm}}}{V} = \frac{\rho_c}{\rho_f}}$$

La frazione immersa è il rapporto tra le densità (non dipende da $g$ né dalla forma del corpo).

Esempio: l'iceberg. Ghiaccio $\rho_c = 917\ \text{kg/m}^3$ in acqua di mare $\rho_f = 1025\ \text{kg/m}^3$: $\frac{V_{\text{imm}}}{V} = \frac{917}{1025} = 0{,}895$. Circa il $90\%$ dell'iceberg è sott'acqua: da qui "la punta dell'iceberg".

Esempio: un cubo di legno. Lato $20$ cm, densità $600\ \text{kg/m}^3$, in acqua: frazione immersa $0{,}6$, quindi la faccia inferiore sta $0{,}6 \cdot 20 = 12$ cm sotto il pelo dell'acqua e $8$ cm emergono. Lo sviluppo completo, con la forza necessaria per affondarlo, è nell'Esercizio 83 · blocco di legno che galleggia.

Dove si applica la spinta

La spinta di Archimede si applica nel centro di spinta, cioè nel baricentro del volume di fluido spostato (che coincide con il baricentro del corpo solo se il corpo è omogeneo e tutto immerso). Questo conta per la stabilità delle navi: se peso e spinta non sono sulla stessa verticale formano una coppia che fa ruotare lo scafo (Statica del corpo rigidoUn corpo rigido fermo resta fermo se la somma delle forze esterne e la somma dei loro momenti (rispetto a un polo qualsiasi) sono nulle. Metodo: scegliere il polo dove passano le forze incognite; esempi della scala appoggiata, del gradino e del portacarichi.Statica del corpo rigido →).

Archimede anche nei gas

Il principio vale per qualunque fluido, aria compresa. Un pallone di volume $V$ riempito di elio riceve dall'aria la spinta $\rho_{\text{aria}}\,V\,g$ e sale se questa supera il peso dell'elio più quello dell'involucro. In quasi tutti i problemi di meccanica la spinta dell'aria su un corpo solido si trascura, perché $\rho_{\text{aria}} \approx 1{,}3\ \text{kg/m}^3$ è circa mille volte più piccola della densità dei solidi.

Riassunto

Errori comuni

• Usare la densità del corpo nella spinta: la spinta dipende dalla densità del fluido e dal volume immerso; la densità del corpo entra solo nel peso.
• Usare il volume totale per un corpo che galleggia: per un corpo parzialmente emerso conta solo $V_{\text{imm}}$.
• Pensare che la spinta aumenti con la profondità: per un corpo tutto immerso in un liquido incomprimibile è costante; cresce solo mentre il corpo si immerge, perché aumenta il volume immerso.
• Dimenticare il peso apparente nei problemi con fili e dinamometri: la tensione di un filo che regge un corpo immerso è il peso apparente, non il peso.