Esercizio 12lancio orizzontale contro un'asta

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Impostazione

Grandezze e riferimento

Tutto è già in unità SI. Il riferimento è quello della figura: $y$ verso l'alto, quindi l'accelerazione della sferetta è $\vec a = -g\,\hat\jmath$.

Che moto è

Dopo il lancio sulla sferetta agisce solo il peso: è un lancio orizzontaleMoto parabolico con velocità iniziale orizzontale: in orizzontale moto uniforme, in verticale caduta da ferma.Moto parabolico →. Per l'indipendenza dei moti:

$$x(t) = v_0\,t \qquad y(t) = h - \tfrac12 g\,t^2$$ $$v_x(t) = v_0 \qquad\quad v_y(t) = -g\,t$$

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a) Punto d'impatto

L'asta è orizzontale, di sezione trascurabile, sulla retta $y = 0$. La sferetta la raggiunge quando la sua quota si annulla:

$$h - \tfrac12 g\,t_P^2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t_P = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3}{9{,}81}} = \sqrt{0{,}6116} = 0{,}782\ \text{s}$$

(si tiene la radice positiva: l'impatto avviene dopo il lancio). È lo stesso tempo che impiegherebbe un sasso lasciato cadere da fermo da $3$ m: la velocità orizzontale non influisce sulla caduta.

In questo tempo la sferetta avanza in orizzontale di

$$x_P = v_0\,t_P = 2 \cdot 0{,}782 = 1{,}56\ \text{m}$$

Controllo indispensabile: la sferetta colpisce davvero l'asta? L'asta va da $d - \frac{\ell}{2} = 2 - 0{,}6 = 1{,}4$ m a $d + \frac{\ell}{2} = 2{,}6$ m. Poiché $1{,}4 < 1{,}56 < 2{,}6$, sì: l'impatto è sull'asta, a sinistra del centro, a distanza

$$a = x_O - x_P = 2 - 1{,}56 = 0{,}436\ \text{m}$$

da $O$.

Velocità prima dell'urto

$$v_x = v_0 = 2\ \text{m/s} \qquad v_y = -g\,t_P = -9{,}81 \cdot 0{,}782 = -7{,}67\ \text{m/s}$$

La componente verticale si poteva trovare anche senza il tempo: $v_y^2 = 2gh$, $|v_y| = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 3} = 7{,}67$ m/s, con il segno meno perché la sferetta scende.

a) Energia cinetica

L'energia cineticaEk = m v²/2: l'energia legata al moto, in joule. Dipende solo dal modulo della velocità, non dalla direzione.Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica → è $E_k = \frac12 m v^2$, con $v^2 = v_x^2 + v_y^2$ (Pitagora sulle componenti):

$$E_k = \tfrac12 \cdot 0{,}1 \cdot (2^2 + 7{,}67^2) = 0{,}05 \cdot (4 + 58{,}86) = 3{,}14\ \text{J}$$

Unità: $\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2 = \text{J}$.

a) Momento angolare rispetto a $O$

Il momento angolareL = r × m v: per un punto materiale, il prodotto vettoriale tra il vettore che va dal polo al punto e la quantità di moto.Momento angolare e momento di una forza → della sferetta rispetto a $O$ è

$$\vec L_O = \vec r \times m\vec v$$

dove $\vec r$ è il vettore da $O$ alla sferetta. Al momento dell'impatto la sferetta è in $(x_P, 0)$, quindi

$$\vec r = (x_P - x_O)\,\hat\imath = -0{,}436\,\hat\imath\ \text{m}$$

Entrambi i vettori stanno nel piano $xy$, quindi il prodotto ha solo la componente zPer vettori del piano xy: r × p = (rx py − ry px) k.Prodotto scalare e prodotto vettoriale →:

$$L_{Oz} = m\,(r_x v_y - r_y v_x) = 0{,}1 \cdot \big[(-0{,}436)(-7{,}67) - 0 \cdot 2\big] = 0{,}1 \cdot 3{,}345 = 0{,}334\ \text{kg}\,\text{m}^2/\text{s}$$

Segno e significato. $L_{Oz} > 0$: il vettore esce dal foglio. Fisicamente, la sferetta cade a sinistra di $O$ andando verso il basso: rispetto a $O$ "gira" in senso antiorario, come una lancetta che dalle 9 scende verso le 6. Solo la componente verticale della velocità contribuisce, perché la componente orizzontale $v_x$ è diretta lungo la retta che passa per $O$ (braccio nullo). Formula equivalente: $L_{Oz} = m\,|v_y|\,a$, quantità di moto verticale per braccio.

Confronto con la soluzione ufficiale

La soluzione del tema riporta $t = 0{,}78$ s, $v_y = -7{,}64$ m/s, $E_k = 3{,}12$ J, $L_{Oz} = 0{,}336\ \text{kg}\,\text{m}^2/\text{s}$: le piccole differenze nascono dall'aver arrotondato il tempo a $0{,}78$ s prima di proseguire. Tenendo tutte le cifre si ottengono i valori sopra ($7{,}67$ m/s, $3{,}14$ J, $0{,}334$). Le differenze sono sotto l'1% e all'esame entrambi i risultati sono accettabili; conviene però arrotondare solo alla fine.

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Risultati

Errori comuni

• Non controllare che il punto d'impatto stia sull'asta: se fosse uscito $x_P < 1{,}4$ m la sferetta sarebbe passata accanto all'asta.
• Usare la posizione della sferetta rispetto all'origine invece che rispetto a $O$ nel momento angolare: il polo è il centro dell'asta, e $\vec r$ parte da lì.
• Calcolare $E_k$ con la sola $v_0$ o con la sola $v_y$: serve il modulo della velocità totale.
• Sbagliare il segno di $L_{Oz}$: $r_x$ e $v_y$ sono entrambi negativi, il prodotto è positivo.