Moto parabolico

Il moto di un proiettile: un corpo lanciato in una direzione qualsiasi, soggetto solo alla gravità. È il caso più importante di moto con accelerazione costante nel piano, e applica le idee di Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazioneNel piano la posizione è il vettore r(t); la velocità v = dr/dt è sempre tangente alla traiettoria, con modulo ds/dt. L'accelerazione a = dv/dt si scompone in tangenziale dv/dt (cambia la rapidità) e normale v²/R verso il centro di curvatura (cambia la direzione).Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazione → (in particolare l'indipendenza dei moti). Prima, in una dimensione: Moto verticale dei graviSenza aria ogni corpo vicino al suolo cade con la stessa accelerazione g = 9,81 m/s² verso il basso: è un moto uniformemente accelerato. Tempo di salita v0/g, quota massima v0²/2g, velocità d'arrivo sqrt(2gh).Moto verticale dei gravi →. Seguito: Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare →. Esercizi: Esercizio 12 · lancio orizzontale contro un'asta, Esercizio 13 · blocchetto che vola su un piano inclinato, Esercizio 14 · gittata di un cannoncino sulla Luna, Esercizio 15 · lancio obliquo da un'altezza.

Ipotesi e impostazione

Ipotesi: si trascura la resistenza dell'aria e si considera un moto vicino alla superficie terrestre, in una regione abbastanza piccola da poter prendere l'accelerazione di gravità costante: modulo $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$, direzione verticale, verso il basso. Il corpo è un punto materiale.

Riferimento: asse $x$ orizzontale nel verso del lancio, asse $y$ verticale verso l'alto, origine nel punto di lancio, $t = 0$ all'istante del lancio. Allora

$$\vec a = -g\,\hat\jmath \qquad a_x = 0, \quad a_y = -g$$

Condizioni iniziali: il corpo parte dall'origine con velocità $\vec v_0$ di modulo $v_0$, inclinata di un angolo $\theta$ sopra l'orizzontale (angolo di alzo). Le sue componenti sono (Vettori - componenti, somma e moduloUn vettore ha modulo, direzione e verso. In un riferimento cartesiano si scrive con le sue componenti lungo i versori i, j, k: somma, differenza e prodotto per un numero si fanno componente per componente, il modulo con Pitagora.Vettori - componenti, somma e modulo →):

$$v_{0x} = v_0\cos\theta \qquad v_{0y} = v_0\sin\theta$$

Leggi orarie: due moti indipendenti

Poiché $a_x = 0$ e $a_y = -g$ sono costanti, su ciascun asse vale la legge del Moto rettilineo uniforme e uniformemente acceleratoVelocità costante: x = x0 + v t, diagramma orario rettilineo. Accelerazione costante: v = v0 + a t, x = x0 + v0 t + a t²/2 e v² = v0² + 2a(x − x0), diagramma orario parabolico.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato →:

In orizzontale il proiettile avanza a velocità costante: nessuna forza lo spinge o lo frena in quella direzione. In verticale si comporta esattamente come un sasso lanciato in su con velocità $v_0\sin\theta$: sale rallentando, si ferma un istante, ridiscende.

Traiettoria

Si elimina il tempo: dalla legge orizzontale $t = \frac{x}{v_0\cos\theta}$, e sostituendo nella verticale

$$y = v_0\sin\theta \cdot \frac{x}{v_0\cos\theta} - \frac12 g\,\frac{x^2}{v_0^2\cos^2\theta}$$

Formula (traiettoria del moto parabolico). $$\boxed{y = x\tan\theta - \frac{g}{2 v_0^2\cos^2\theta}\,x^2}$$

Esempio. $v_0 = 20$ m/s, $\theta = 30°$: $y = 0{,}577\,x - 0{,}0163\,x^2$ (in metri).

È una parabola con la concavità verso il basso (coefficiente di $x^2$ negativo) che passa per l'origine con pendenza $\tan\theta$, cioè tangente alla velocità iniziale. Da qui il nome del moto.

Quota massima

Nel punto più alto la velocità è orizzontale: la componente verticale si annulla (ma $v_x$ no, quindi la velocità non è nulla: vale $v_0\cos\theta$). Da $v_y = 0$:

$$v_0\sin\theta - g\,t_H = 0 \quad \Longrightarrow \quad t_H = \frac{v_0\sin\theta}{g}$$

e con la formula senza il tempo applicata all'asse $y$, $0 = (v_0\sin\theta)^2 - 2g\,H$:

Formula (quota massima del proiettile). $$\boxed{H = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}}$$

Esempio. $v_0 = 20$ m/s, $\theta = 30°$: $H = \frac{100}{19{,}62} = 5{,}1$ m.

È la quota massima di un lancio verticale con velocità $v_{0y} = v_0\sin\theta$: conta solo la componente verticale.

Tempo di volo e gittata (lancio e arrivo alla stessa quota)

Il proiettile torna alla quota di partenza quando $y = 0$:

$$v_0\sin\theta\; t - \tfrac12 g t^2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t\left(v_0\sin\theta - \tfrac12 g t\right) = 0$$

La soluzione $t = 0$ è l'istante del lancio; l'altra è il tempo di volo

Formula (tempo di volo). $$t_v = \frac{2 v_0\sin\theta}{g} = 2\,t_H$$

Esempio. $v_0 = 20$ m/s, $\theta = 30°$: $t_v = \frac{2\cdot20\cdot0{,}5}{9{,}81} = 2{,}04$ s.

(salita e discesa durano lo stesso tempo, per simmetria). La gittata è la distanza orizzontale percorsa in questo tempo:

Formula (gittata). $$x_G = v_0\cos\theta \cdot t_v = \frac{2 v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g} \quad \Longrightarrow \quad \boxed{x_G = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}}$$

usando la formula di duplicazione $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$.

Conseguenze:

• a parità di $v_0$, la gittata è massima per $\theta = 45°$ (dove $\sin 2\theta = 1$) e vale $\frac{v_0^2}{g}$;
• due angoli complementari ($\theta$ e $90° - \theta$, per esempio $30°$ e $60°$) danno la stessa gittata, perché $\sin(180° - 2\theta) = \sin 2\theta$; il tiro più alto ci mette però più tempo e sale di più;
• la gittata è inversamente proporzionale a $g$: sulla Luna, dove $g$ è circa un sesto, lo stesso lancio va circa sei volte più lontano (vedi Esercizio 14 · gittata di un cannoncino sulla Luna).

Esempio. $v_0 = 20$ m/s, $\theta = 30°$. Componenti: $v_{0x} = 17{,}32$ m/s, $v_{0y} = 10{,}00$ m/s. Quota massima $H = \frac{10^2}{2 \cdot 9{,}81} = 5{,}10$ m dopo $t_H = 1{,}02$ s; tempo di volo $2{,}04$ s; gittata $x_G = \frac{400 \cdot \sin 60°}{9{,}81} = 35{,}3$ m. A $45°$ si arriverebbe a $\frac{400}{9{,}81} = 40{,}8$ m; a $60°$ di nuovo a $35{,}3$ m.

Attenzione: le formule di $t_v$ e $x_G$ valgono solo se il punto di arrivo è alla stessa quota del lancio. Se si lancia da un'altezza o si arriva su un pendio, si torna alle leggi orarie.

Lancio da un'altezza $h$

Se il proiettile parte da quota $h$ sopra il suolo (origine al suolo, sotto il punto di lancio), la legge verticale diventa $y = h + v_0\sin\theta\; t - \frac12 g t^2$. L'istante d'impatto con il suolo si trova da $y = 0$:

Formula (tempo di impatto da un'altezza h). $$\tfrac12 g\,t^2 - v_0\sin\theta\; t - h = 0 \quad \Longrightarrow \quad t_{\text{imp}} = \frac{v_0\sin\theta + \sqrt{v_0^2\sin^2\theta + 2gh}}{g}$$

Esempio. $h = 20$ m, $v_0 = 10$ m/s, $\theta = 30°$: $t_{\text{imp}} = \frac{5 + \sqrt{25 + 392{,}4}}{9{,}81} = 2{,}59$ s.

Delle due soluzioni dell'equazione di secondo grado si tiene quella positiva (l'altra, negativa, corrisponde a un istante prima del lancio, in cui la parabola prolungata all'indietro avrebbe attraversato il suolo: non ha significato fisico). La distanza orizzontale dell'impatto è $x_{\text{imp}} = v_0\cos\theta\; t_{\text{imp}}$.

Caso particolare: lancio orizzontale

Con $\theta = 0$ (velocità iniziale orizzontale, $v_{0y} = 0$) i conti si semplificano molto: lungo $y$ il corpo cade da fermo. Il tempo di caduta è lo stesso di un sasso lasciato cadere da $h$:

Formula (lancio orizzontale). $$h = \tfrac12 g\,t^2 \quad \Longrightarrow \quad t_{\text{imp}} = \sqrt{\frac{2h}{g}}, \qquad x_{\text{imp}} = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

e la traiettoria è $y = h - \frac{g}{2v_0^2}\,x^2$.

Esempio. Una pallina viene lanciata da una terrazza alta $h = 20$ m con $v_0 = 10$ m/s orizzontale. Tempo di caduta $\sqrt{40/9{,}81} = 2{,}02$ s (indipendente da $v_0$); arriva a $x = 10 \cdot 2{,}02 = 20{,}2$ m dalla base.

Velocità all'impatto

In qualsiasi istante la velocità ha componenti $v_x = v_0\cos\theta$ e $v_y = v_0\sin\theta - g t$: all'impatto si sostituisce $t_{\text{imp}}$ e si calcolano modulo e angolo:

Formula (velocità all'impatto). $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \qquad \tan\alpha = \frac{v_y}{v_x}$$

Esempio. Terrazza di $20$ m, $v_0 = 10$ m/s orizzontale: $v_y = -19{,}8$ m/s, $v = \sqrt{10^2 + 392} = 22{,}2$ m/s.

($\alpha$ negativo: la velocità punta sotto l'orizzontale). In alternativa, il modulo si trova senza il tempo: $v_y^2 = v_{0y}^2 + 2g\,h$ (formula senza il tempo sull'asse $y$, con una discesa complessiva di $h$), quindi $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}$. Il modulo della velocità d'impatto non dipende dall'angolo di lancio, solo da $v_0$ e dal dislivello: è un'anticipazione della conservazione dell'energiaSenza attriti, energia cinetica più energia potenziale della gravità restano costanti: la velocità dipende solo dalla quota, non dal percorso fatto.Conservazione dell'energia meccanica →.

Nell'esempio della terrazza: $v_y = -9{,}81 \cdot 2{,}02 = -19{,}8$ m/s, $v = \sqrt{10^2 + 19{,}8^2} = 22{,}2$ m/s, a $63°$ sotto l'orizzontale.

Impatto su un piano inclinato

Se il proiettile atterra su un pendio, il punto d'impatto si trova intersecando la traiettoria con la retta del pendio: si scrivono le due equazioni $y = y_{\text{traiettoria}}(x)$ e $y = y_{\text{pendio}}(x)$ e si risolve il sistema. Esempio svolto: Esercizio 13 · blocchetto che vola su un piano inclinato.

Riassunto

Errori comuni

• Usare la formula della gittata quando lancio e arrivo sono a quote diverse (lancio da un'altezza, arrivo su un pendio o su un gradino).
• Pensare che nel punto più alto la velocità sia nulla: è nulla solo la componente verticale; la velocità vale $v_0\cos\theta$.
• Mettere un'accelerazione orizzontale "perché il proiettile va avanti": senza aria, lungo $x$ non c'è nessuna forza e il moto è uniforme.
• Scambiare seno e coseno quando l'angolo è dato rispetto alla verticale invece che all'orizzontale.
• Tenere la radice negativa dell'equazione di secondo grado per il tempo d'impatto.
• Calcolatrice in radianti con angoli dati in gradi (o viceversa).