Conservazione della quantità di moto

Prima: Centro di massaIl centro di massa è la media delle posizioni pesata con le masse. La quantità di moto totale è M v_CM e il CM si muove come un punto di massa M soggetto alla sola risultante delle forze esterne. Nel riferimento del CM la quantità di moto totale è zero.Centro di massa → (dove si è visto che $\frac{d\vec P}{dt} = \vec R^{(E)}$). Per un singolo punto: Quantità di moto e impulsoLa quantità di moto è p = m v; la seconda legge si scrive F = dp/dt. L'impulso di una forza è il suo integrale nel tempo e uguaglia la variazione della quantità di moto (teorema dell'impulso): serve per gli urti e le forze brevi e intense.Quantità di moto e impulso →. Seguito: Urti tra punti materialiIn un urto due corpi si scambiano forze impulsive per un tempo brevissimo: la quantità di moto totale si conserva (se non ci sono vincoli impulsivi), l'energia cinetica solo negli urti elastici. Classificazione degli urti, coefficiente di restituzione, urti nel piano e impulso ricevuto.Urti tra punti materiali →. Esercizi: Esercizio 45 · pendolo appeso a una piattaforma libera, Esercizio 46 · esplosione su un piano inclinato, Esercizio 50 · proiettile incastrato in un blocco con molla.

L'enunciato

La quantità di moto totale di un sistema è $\vec P = \sum_i m_i \vec v_i = M \vec v_{CM}$, e la prima equazione cardinale dice

$$\frac{d\vec P}{dt} = \vec R^{(E)}$$

Quindi:

Principio di conservazione della quantità di moto. Se la risultante delle forze esterne è nulla, la quantità di moto totale del sistema è costante: $\vec P_{\text{iniziale}} = \vec P_{\text{finale}}$. Equivalentemente il CM si muove di moto rettilineo uniforme (o resta fermo).

Esempio. Un vagone da $2000$ kg a $3$ m/s si aggancia a uno fermo da $1000$ kg: $2000\cdot3 = 3000\,v$, quindi $v = 2$ m/s dopo l'aggancio.

Un sistema su cui non agiscono forze esterne si dice isolato. Le forze interne possono essere fortissime e cambiare completamente le velocità dei singoli punti, ma non cambiano $\vec P$: quello che un punto guadagna in quantità di moto, gli altri lo perdono.

Conservazione lungo un asse

L'equazione vale per componenti: $\frac{dP_x}{dt} = R_x^{(E)}$. Se le forze esterne hanno componente nulla lungo un asse, lungo quell'asse la quantità di moto si conserva, anche se le forze esterne non sono nulle in generale. È il caso più frequente negli esercizi: sistemi appoggiati su un piano orizzontale liscio, dove le forze esterne (pesi e reazioni del piano) sono tutte verticali e quindi

$$P_x = \text{costante}$$

mentre $P_y$ può cambiare (per esempio un pendolo che oscilla su un carrello: la pallina sale e scende, la sua quantità di moto verticale cambia perché peso e reazione del piano non si bilanciano in ogni istante).

Esplosioni e urti: forze impulsive

In un'esplosione (una molla che scatta tra due corpi, un meccanismo interno, una carica esplosiva) o in un urto, due corpi si scambiano forze molto intense per un tempo molto breve $\Delta t$. Queste si chiamano forze impulsive: il loro impulsoLa quantità di moto è p = m v; la seconda legge si scrive F = dp/dt. L'impulso di una forza è il suo integrale nel tempo e uguaglia la variazione della quantità di moto (teorema dell'impulso): serve per gli urti e le forze brevi e intense.Quantità di moto e impulso → $\vec J = \int \vec F\,dt$ è finito anche se $\Delta t$ è piccolissimo, perché $\vec F$ è enorme.

Le forze esterne "normali" (il peso, l'attrito dinamico, la forza di una molla attaccata a un muro) restano invece finite. Nel tempo $\Delta t$ il loro impulso è al più $F\,\Delta t$, che tende a zero quando $\Delta t \to 0$. Quindi:

Principio (quantità di moto negli urti e nelle esplosioni). Durante un urto o un'esplosione la quantità di moto totale si conserva, anche se ci sono forze esterne, purché queste non siano impulsive. Si confronta la quantità di moto immediatamente prima con quella immediatamente dopo.

Esempio. Un fucile da $4$ kg spara un proiettile da $10$ g a $400$ m/s: $0 = 0{,}01\cdot400 + 4\,v$, quindi il fucile rincula a $v = -1$ m/s.

Quando la conservazione NON vale durante l'urto: se c'è una forza esterna impulsiva, cioè un vincolo che deve reagire bruscamente per impedire un movimento. Esempi: un corpo attaccato a un perno fisso (il perno esercita un impulso), una pallina che urta un muro (il muro esercita un impulso), un filo che si tende di colpo. In questi casi si conserva al più la componente di $\vec P$ lungo la quale il vincolo non agisce, oppure il momento angolare rispetto al perno (Urti con corpi rigidiNegli urti con un corpo rigido imperniato si conserva il momento angolare rispetto al perno (la reazione impulsiva del perno ha momento nullo), non la quantità di moto; l'impulso del vincolo si ricava dalla variazione di quantità di moto. Per un corpo libero si conservano quantità di moto e momento angolare.Urti con corpi rigidi →).

Esempi

Esplosione da fermo

Due corpi inizialmente fermi, $m_A = 8$ kg e $m_B = 2$ kg, sono separati di colpo da un meccanismo interno; $B$ parte a $v_B = 5$ m/s. Con che velocità parte $A$?

Prima: $P = 0$. Dopo: $P = m_A v_A + m_B v_B$. Conservazione (sull'asse del moto):

$$0 = m_A v_A + m_B v_B \quad \Longrightarrow \quad v_A = -\frac{m_B}{m_A}\,v_B = -\frac{2}{8} \cdot 5 = -1{,}25\ \text{m/s}$$

Il segno meno dice che $A$ parte in verso opposto, e più lentamente perché è più pesante. Le velocità sono in rapporto inverso alle masse. Questa è la prima parte dell'Esercizio 46 · esplosione su un piano inclinato, dove i due corpi stanno su un piano inclinato scabro: peso e attrito sono esterni ma non impulsivi, quindi nell'istante dell'esplosione si possono ignorare.

Rinculo. Un fucile di $4$ kg spara un proiettile di $10$ g a $400$ m/s: il fucile rincula a $\frac{0{,}01 \cdot 400}{4} = 1$ m/s.

La persona sulla barca

Una persona di $70$ kg sta a poppa di una barca di $140$ kg ferma in acqua (attrito dell'acqua trascurabile) e cammina di $3$ m verso prua. Di quanto si sposta la barca?

Le forze esterne orizzontali sono nulle e il sistema parte da fermo, quindi $P_x = 0$ sempre e il CM non si sposta. Se la persona si sposta di $\Delta x_p$ e la barca di $\Delta x_b$ (rispetto all'acqua), $m\,\Delta x_p + M\,\Delta x_b = 0$. Lo spostamento della persona rispetto alla barca è $3$ m: $\Delta x_p - \Delta x_b = 3$ m. Risolvendo:

$$\Delta x_b = -\frac{m}{m + M} \cdot 3 = -\frac{70}{210} \cdot 3 = -1\ \text{m} \qquad \Delta x_p = +2\ \text{m}$$

La barca arretra di $1$ m e la persona avanza di $2$ m rispetto all'acqua.

Il pendolo sulla piattaforma

Un pendolo appeso a una piattaforma libera di scorrere su un piano liscio viene lasciato oscillare. Forze esterne: i pesi e la reazione del piano, tutte verticali. Quindi $P_x$ si conserva; se il sistema parte da fermo, in ogni istante

$$m\,v_{m,x} + M\,v_{M,x} = 0$$

Quando la pallina passa per la verticale va in un verso e la piattaforma nell'altro. Insieme alla conservazione dell'energia questo permette di trovare entrambe le velocità: Esercizio 45 · pendolo appeso a una piattaforma libera.

Come si usa negli esercizi

1. Scegliere il sistema in modo che le forze "scomode" (quelle che si scambiano i corpi) siano interne.
2. Elencare le forze esterne e chiedersi: hanno risultante nulla? Lungo quale asse? Sono impulsive?
3. Scrivere $\vec P_i = \vec P_f$ (oppure solo $P_{x,i} = P_{x,f}$) tra due istanti ben precisi, con tutte le velocità nello stesso riferimento inerziale e con i segni.
4. Se le incognite sono due, serve una seconda equazione: di solito la conservazione dell'energia (se non ci sono dissipazioni) o una condizione cinematica (i corpi restano attaccati, una velocità relativa nota).

Errori comuni

• Applicare la conservazione quando una forza esterna non è nulla lungo l'asse considerato (per esempio lungo un piano inclinato, dove agisce la componente del peso): vale solo durante l'istante dell'urto, non per tutto il moto successivo.
• Mescolare velocità relative e assolute: se il testo dà la velocità di un corpo rispetto a un altro, prima va convertita nel riferimento fisso (Moti relativi - velocità e accelerazione di trascinamentoLo stesso moto visto da due riferimenti, uno fisso e uno mobile: la velocità assoluta è velocità relativa più velocità di trascinamento; l'accelerazione assoluta è relativa più trascinamento più Coriolis (2ω×v'). Se il riferimento mobile trasla a velocità costante si hanno le trasformazioni di Galileo e le accelerazioni coincidono.Moti relativi - velocità e accelerazione di trascinamento →).
• Dimenticare i segni: la quantità di moto è un vettore; due corpi che si allontanano hanno velocità di segno opposto.
• Confondere conservazione della quantità di moto e dell'energia: la prima vale in ogni urto (se non ci sono vincoli impulsivi), la seconda solo negli urti elastici.