Dinamica dei fluidi: continuità e Bernoulli

Dopo la statica (Statica dei fluidi - pressione e legge di StevinoIn un fluido in quiete la forza sulle superfici è descritta dalla pressione p = F/S, uguale in tutte le direzioni. Con la gravità la pressione cresce con la profondità: p = p0 + ρgh (Stevino). Conseguenze: principio di Pascal, vasi comunicanti, barometro e manometro.Statica dei fluidi - pressione e legge di Stevino →, Principio di ArchimedeUn corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto uguale al peso del fluido spostato, F = ρ_fluido V_imm g. Il corpo galleggia se è meno denso del fluido, e la frazione immersa è il rapporto tra le densità.Principio di Archimede →) si studia il fluido in moto. Le due leggi di questa nota sono la conservazione della massa e la Conservazione dell'energia meccanicaL'energia meccanica E = K + U resta costante se compiono lavoro solo forze conservative. Se lavorano anche forze non conservative (attrito), la variazione di E è uguale al loro lavoro: W_nc = E_B − E_A. Il grafico di U(x) con la retta E mostra dove il moto è possibile e i punti di inversione.Conservazione dell'energia meccanica → applicate a un fluido. Esercizio: Esercizio 84 · serbatoio che si svuota da un foro.

Il fluido ideale

Il moto di un fluido reale è complicato (vortici, attriti interni). Si studia un modello semplificato, il fluido ideale, con quattro ipotesi:

1. incomprimibile: densità $\rho$ costante (buona approssimazione per i liquidi);
2. non viscoso: niente attrito interno, quindi niente energia dissipata;
3. moto stazionario: in ogni punto fisso dello spazio la velocità del fluido non cambia nel tempo (cambia invece passando da un punto all'altro);
4. moto irrotazionale (nessun vortice).

Linee di flusso. In moto stazionario ogni particella di fluido segue una linea fissa, la linea di flusso, e la velocità è tangente a essa. Un fascio di linee di flusso forma un tubo di flusso: il fluido non ne attraversa le pareti, e si comporta come un liquido che scorre in un tubo.

Equazione di continuità

In un tubo con sezione variabile, in un tempo $dt$ attraverso la sezione $S_1$ passa il volume di fluido $S_1\,v_1\,dt$ (un cilindretto di base $S_1$ e altezza $v_1\,dt$). Il fluido è incomprimibile e non si accumula da nessuna parte, quindi lo stesso volume deve uscire nello stesso tempo dalla sezione $S_2$:

Legge (equazione di continuità). $$S_1\,v_1\,dt = S_2\,v_2\,dt \quad \Longrightarrow \quad \boxed{S_1\,v_1 = S_2\,v_2}$$

La grandezza $Q = S\,v$ si chiama portata (volumetrica) e si misura in $\text{m}^3/\text{s}$: è il volume che attraversa una sezione in un secondo, ed è la stessa in ogni sezione.

Conseguenza: dove il tubo si stringe il fluido va più veloce. È quello che succede quando si stringe con il dito l'uscita di una canna da giardino.

Esempio. Un rubinetto con uscita di diametro $2$ cm ($r = 0{,}01$ m) da cui l'acqua esce a $1{,}5\ \text{m/s}$: $Q = \pi r^2 v = \pi \cdot 10^{-4} \cdot 1{,}5 = 4{,}71 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}$, cioè $0{,}471$ litri al secondo, circa $28$ litri al minuto.

Teorema di Bernoulli

Enunciato. Lungo una linea di flusso di un fluido ideale in moto stazionario

Teorema di Bernoulli. $$\boxed{p + \frac12 \rho v^2 + \rho g z = \text{costante}}$$

dove $z$ è la quota (asse verticale verso l'alto), $v$ la velocità e $p$ la pressione nel punto.

Esempio. Acqua in un tubo orizzontale che passa da $v_1 = 1$ m/s a $v_2 = 3$ m/s: $p_1 - p_2 = \frac12\cdot1000\,(9 - 1) = 4000$ Pa.

Dimostrazione con il teorema dell'energia cinetica. Si considera la porzione di fluido compresa, all'istante $t$, tra la sezione 1 (area $S_1$, quota $z_1$, pressione $p_1$, velocità $v_1$) e la sezione 2 (area $S_2$, quota $z_2$, pressione $p_2$, velocità $v_2$). In un tempo $dt$ questa porzione avanza: la sezione 1 si sposta di $v_1 dt$, la sezione 2 di $v_2 dt$. Per la continuità il volume "entrato" e quello "uscito" sono uguali: $dV = S_1 v_1 dt = S_2 v_2 dt$, di massa $dm = \rho\,dV$.

Tutto il fluido nel mezzo non cambia stato (moto stazionario), quindi il bilancio si fa come se la massetta $dm$ fosse passata dalla sezione 1 alla sezione 2. Si applica il teorema dell'energia cineticaL'energia cinetica di un punto è K = mv²/2. Il teorema dell'energia cinetica dice che il lavoro di tutte le forze agenti tra due posizioni è uguale alla variazione di K: W_tot = K_B − K_A. Dà la velocità in un punto senza passare dal tempo.Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica → (lavoro totale $=$ variazione di energia cinetica):

• lavoro delle forze di pressione: dietro, il fluido spinge nel verso del moto con forza $p_1 S_1$ per un tratto $v_1 dt$, lavoro $p_1 S_1 v_1 dt = p_1\,dV$; davanti, il fluido spinge contro il moto, lavoro $-p_2\,dV$;
• lavoro del peso: la massetta scende dalla quota $z_1$ alla quota $z_2$, lavoro $-dm\,g\,(z_2 - z_1)$;
• variazione di energia cinetica: $\frac12 dm\,(v_2^2 - v_1^2)$.

Quindi

$$(p_1 - p_2)\,dV - \rho\,dV\,g\,(z_2 - z_1) = \frac12 \rho\,dV\,(v_2^2 - v_1^2)$$

e dividendo per $dV$ e separando gli indici:

$$p_1 + \frac12 \rho v_1^2 + \rho g z_1 = p_2 + \frac12 \rho v_2^2 + \rho g z_2$$

Significato dei tre termini. Hanno tutti le dimensioni di una pressione, che è anche un'energia per unità di volume ($1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2 = 1\ \text{J/m}^3$):

• $\frac12 \rho v^2$ è l'energia cinetica per unità di volume;
• $\rho g z$ è l'energia potenziale gravitazionale per unità di volume;
• $p$ è il lavoro fatto dalle forze di pressione per unità di volume.

Bernoulli dice che, senza attriti, l'energia per unità di volume si conserva lungo il tubo.

Caso statico. Se il fluido è fermo ($v = 0$) resta $p + \rho g z =$ costante, cioè la legge di StevinoIn un fluido in quiete la forza sulle superfici è descritta dalla pressione p = F/S, uguale in tutte le direzioni. Con la gravità la pressione cresce con la profondità: p = p0 + ρgh (Stevino). Conseguenze: principio di Pascal, vasi comunicanti, barometro e manometro.Statica dei fluidi - pressione e legge di Stevino →.

Caso orizzontale. Se $z$ è lo stesso: $p + \frac12 \rho v^2 =$ costante. Dove il fluido va più veloce, la pressione è più bassa. Unito alla continuità: nelle strozzature la velocità aumenta e la pressione diminuisce.

Applicazione 1: teorema di Torricelli

Un serbatoio aperto, pieno di liquido fino a un'altezza $h$ sopra un piccolo foro laterale. Con quale velocità esce il liquido?

Si applica Bernoulli tra un punto della superficie libera (1) e un punto del getto appena uscito dal foro (2):

• entrambi sono a contatto con l'atmosfera: $p_1 = p_2 = p_0$;
• il foro è piccolo rispetto alla sezione del serbatoio, quindi per la continuità la superficie scende lentissima: $v_1 \approx 0$;
• quote: $z_1 - z_2 = h$.

Teorema di Torricelli. $$p_0 + 0 + \rho g h = p_0 + \frac12 \rho v^2 + 0 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{v = \sqrt{2gh}}$$

È la stessa velocità di un sasso che cade da fermo per un'altezza $h$ (Moto verticale dei graviSenza aria ogni corpo vicino al suolo cade con la stessa accelerazione g = 9,81 m/s² verso il basso: è un moto uniformemente accelerato. Tempo di salita v0/g, quota massima v0²/2g, velocità d'arrivo sqrt(2gh).Moto verticale dei gravi →): l'energia potenziale persa dal liquido che "scende" dalla superficie al foro diventa energia cinetica del getto.

Esempio. Con $h = 5$ m: $v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 5} = 9{,}90\ \text{m/s}$. Con $h = 0{,}8$ m: $v = 3{,}96\ \text{m/s}$.

Applicazione 2: tubo di Venturi

Un tubo orizzontale con una strozzatura: sezione $S_1$ nel tratto largo e $S_2 < S_1$ nella strozzatura. Due tubicini verticali (o un manometro) misurano la differenza di pressione. Dalla continuità $v_2 = v_1 \frac{S_1}{S_2}$, e da Bernoulli a quota costante

Formula (tubo di Venturi). $$p_1 - p_2 = \frac12 \rho\,(v_2^2 - v_1^2) = \frac12 \rho\,v_1^2 \left(\frac{S_1^2}{S_2^2} - 1\right)$$

Esempio. $S_1 = 20\ \text{cm}^2$, $S_2 = 5\ \text{cm}^2$, $v_1 = 0{,}5$ m/s: $v_2 = 2$ m/s e $p_1 - p_2 = 500\,(4 - 0{,}25) = 1875$ Pa.

Misurando $p_1 - p_2$ si ricava la velocità, e quindi la portata: è un misuratore di portata (venturimetro).

Esempio. Acqua con $v_1 = 0{,}5\ \text{m/s}$, $S_1 = 20\ \text{cm}^2$, $S_2 = 5\ \text{cm}^2$. Continuità: $v_2 = 0{,}5 \cdot \frac{20}{5} = 2\ \text{m/s}$. Bernoulli:

$$p_1 - p_2 = \frac12 \cdot 1000 \cdot (2^2 - 0{,}5^2) = 500 \cdot 3{,}75 = 1875\ \text{Pa}$$

Nei tubicini verticali l'acqua si dispone con un dislivello $\Delta h = \frac{p_1 - p_2}{\rho g} = \frac{1875}{9810} = 0{,}19\ \text{m}$ (più bassa sopra la strozzatura).

Altri esempi dello stesso effetto: la portanza di un'ala (l'aria sopra va più veloce e preme di meno), il nebulizzatore di un profumo, il foglio di carta che si solleva se ci si soffia sopra.

Riassunto

Errori comuni

• Pensare che nella strozzatura la pressione aumenti perché "il fluido è più compresso": succede il contrario, la velocità aumenta e la pressione diminuisce.
• Dimenticare la continuità: in Bernoulli ci sono due velocità incognite, e la seconda equazione è quasi sempre $S_1 v_1 = S_2 v_2$.
• Applicare Bernoulli a fluidi viscosi o a moti turbolenti: in un tubo reale lungo la pressione cala anche a sezione costante, a causa dell'attrito.
• Usare la pressione relativa da una parte e quella assoluta dall'altra: va bene l'una o l'altra, purché la stessa in tutti i termini dell'equazione.