Forza centripeta nel moto curvilineo

Applicazione della seconda legge (Leggi di NewtonLe tre leggi della dinamica: un corpo senza forze mantiene la sua velocità (nei sistemi inerziali), F = m a, e a ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta. Metodo per risolvere i problemi: diagramma di corpo libero, assi, proiezioni.Leggi di Newton →) ai moti su traiettorie curve, la cui cinematica è in Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare → e Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazioneNel piano la posizione è il vettore r(t); la velocità v = dr/dt è sempre tangente alla traiettoria, con modulo ds/dt. L'accelerazione a = dv/dt si scompone in tangenziale dv/dt (cambia la rapidità) e normale v²/R verso il centro di curvatura (cambia la direzione).Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazione →. Prima: Forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica →. Seguito: Tensione dei fili e carrucoleUn filo ideale (massa nulla, inestensibile) tira con la stessa tensione T in tutti i suoi punti, anche passando su una carrucola ideale, e impone ai corpi collegati accelerazioni di uguale modulo. Si scrive F = m a per ogni corpo e si risolve il sistema in a e T (macchina di Atwood, blocco sul tavolo con massa appesa).Tensione dei fili e carrucole →, Pendolo semplicePunto materiale appeso a un filo: lungo la tangente m l θ'' = −m g sinθ, lungo il filo T − m g cosθ = m v²/l. Per piccole oscillazioni sinθ ≈ θ e il moto è armonico con periodo T = 2π√(l/g), indipendente da massa e ampiezza.Pendolo semplice →. Esercizio: Esercizio 35 · forza tangente su una guida circolare.

Accelerazione tangenziale e normale

Dalla cinematica: un punto che percorre una curva con velocità di modulo $v$ ha un'accelerazione con due componenti,

• tangenziale $a_T = \frac{dv}{dt}$, lungo la velocità: cambia il modulo della velocità;
• normale (o centripeta) $a_N = \frac{v^2}{R}$, perpendicolare alla velocità e diretta verso il centro di curvatura: cambia la direzione della velocità. $R$ è il raggio di curvatura (per una circonferenza, il suo raggio).

Anche a velocità costante in modulo, su una curva l'accelerazione non è nulla: è tutta normale.

La seconda legge lungo la normale e la tangente

Si proietta $\vec F = m\vec a$ sulla direzione tangente e su quella normale (verso il centro):

Legge (seconda legge lungo tangente e normale). $$F_T = m\,\frac{dv}{dt} \qquad\qquad F_N = m\,\frac{v^2}{R}$$

dove $F_N$ è la somma delle componenti di tutte le forze lungo la direzione verso il centro (positive se puntano verso il centro, negative se puntano verso l'esterno).

Esempio. Auto di $m = 1000$ kg che percorre una curva di raggio $R = 50$ m a $v = 10$ m/s costante: $F_T = 0$ e $F_N = 1000\cdot\frac{100}{50} = 2000$ N verso il centro.

Il punto concettuale. "Forza centripeta" è il nome della componente normale della risultante, non una forza in più da aggiungere al diagramma di corpo libero. Nel diagramma ci sono solo le forze vere (peso, normale, attrito, tensione…); la seconda legge dice che la loro somma lungo la normale deve valere $mv^2/R$ perché il corpo curvi. Se le forze disponibili non bastano, il corpo non riesce a curvare così stretto ed esce di strada (o si stacca dal vincolo).

Non esiste una "forza centrifuga" in un riferimento inerziale: la sensazione di essere spinti verso l'esterno in curva è l'inerzia (il corpo tenderebbe ad andare dritto). La forza centrifuga compare solo nel riferimento che ruota insieme al corpo, come forza apparente (Sistemi di riferimento non inerziali e forze apparentiIn un riferimento accelerato o rotante la legge di Newton vale solo aggiungendo forze apparenti: −m·a_t (trascinamento, con la centrifuga) e −2m·ω×v' (Coriolis). Non sono interazioni tra corpi e non hanno reazione. Esempi: ascensore, pendolo su un vagone, blocco su una piattaforma, giostra, Terra.Sistemi di riferimento non inerziali e forze apparenti →).

Esempi

Auto in curva su strada piana

Un'auto percorre una curva di raggio $R$ a velocità costante. Le forze sono il peso, la normale ($N = mg$) e l'attrito statico laterale delle gomme, diretto verso il centro della curva (statico perché le gomme non slittano lateralmente). È l'unica forza con componente normale, quindi

Formula (velocità massima in una curva piana). $$F_s = m\frac{v^2}{R} \le \mu_s mg \quad \Longrightarrow \quad v \le \sqrt{\mu_s g R}$$

Esempio. Con $R = 50$ m e $\mu_s = 0{,}8$: $v_{\max} = \sqrt{0{,}8 \cdot 9{,}81 \cdot 50} = 19{,}8$ m/s $\approx 71$ km/h. Su strada bagnata ($\mu_s$ minore) la velocità massima cala; non dipende dalla massa dell'auto.

Curva sopraelevata

Se la strada è inclinata verso l'interno di un angolo $\theta$, la normale (perpendicolare alla strada) ha una componente orizzontale verso il centro, $N\sin\theta$, e una verticale, $N\cos\theta$. Senza contare sull'attrito: in verticale $N\cos\theta = mg$, in orizzontale $N\sin\theta = mv^2/R$; dividendo membro a membro

Formula (velocità di progetto di una curva sopraelevata). $$\tan\theta = \frac{v^2}{gR} \quad \Longrightarrow \quad v = \sqrt{gR\tan\theta}$$

Esempio. è la velocità "di progetto" a cui si curva senza bisogno di attrito. Con $R = 50$ m e $\theta = 20°$: $v = 13{,}4$ m/s $\approx 48$ km/h. Notare che qui la normale non vale $mg$ ma $mg/\cos\theta$: ancora una volta la normale si ricava dalle equazioni.

Guida circolare verticale (giro della morte)

Un blocchetto percorre l'interno di una guida circolare liscia di raggio $R$ in un piano verticale. Si indica con $\theta$ l'angolo tra il raggio che va al blocchetto e la verticale verso il basso. Lungo la normale (verso il centro) agiscono la reazione $N$ della guida (sempre verso il centro, perché la guida spinge il blocchetto dall'esterno) e la componente del peso $-mg\cos\theta$:

Formula (reazione normale in una guida circolare verticale). $$N - mg\cos\theta = m\frac{v^2}{R} \quad \Longrightarrow \quad N = m\left(\frac{v^2}{R} + g\cos\theta\right)$$

Esempio. $m = 0{,}5$ kg, $R = 0{,}8$ m, $v = 4$ m/s nel punto più basso ($\theta = 0$): $N = 0{,}5\,(9{,}81 + 20) = 14{,}9$ N.

• In basso ($\theta = 0$): $N = m\left(g + \frac{v^2}{R}\right)$, più del peso.
• In alto ($\theta = 180°$, $\cos\theta = -1$): $N = m\left(\frac{v^2}{R} - g\right)$. Deve essere $N \ge 0$ (condizione di distaccoLa guida può solo spingere: se dai conti la normale esce negativa il blocchetto si è staccato.Reazioni vincolari, forza peso e peso apparente →), quindi

Criterio (velocità minima in cima alla guida circolare). $$v_{\text{alto}} \ge \sqrt{gR}$$

Esempio. Giro della morte con $R = 0{,}8$ m: $v_{\text{alto}} \ge \sqrt{9{,}81\cdot0{,}8} = 2{,}8$ m/s.

Se in cima la velocità è minore, il peso da solo è più che sufficiente a farlo curvare e il blocchetto si stacca prima, cadendo. Con $R = 0{,}5$ m serve $v_{\text{alto}} \ge 2{,}21$ m/s.

Lungo la tangente, su una guida liscia, agisce solo la componente del peso $mg\sin\theta$, che rallenta il blocchetto in salita: per collegare le velocità in punti diversi della guida serve l'energia (Conservazione dell'energia meccanicaL'energia meccanica E = K + U resta costante se compiono lavoro solo forze conservative. Se lavorano anche forze non conservative (attrito), la variazione di E è uguale al loro lavoro: W_nc = E_B − E_A. Il grafico di U(x) con la retta E mostra dove il moto è possibile e i punti di inversione.Conservazione dell'energia meccanica →).

Dosso

Un'auto passa sulla cima di un dosso di raggio $R$ (sopra la curva, non dentro). Il centro di curvatura sta sotto: lungo la normale verso il centro il peso è positivo e la normale negativa,

Formula (reazione normale su un dosso). $$mg - N = m\frac{v^2}{R} \quad \Longrightarrow \quad N = m\left(g - \frac{v^2}{R}\right)$$

Esempio. Auto di $1000$ kg su un dosso con $R = 40$ m a $v = 15$ m/s: $N = 1000\,(9{,}81 - 5{,}625) = 4185$ N, meno del peso ($9810$ N).

Il peso apparente diminuisce, e si annulla per $v = \sqrt{gR}$: oltre, l'auto si stacca dalla strada. Con $R = 20$ m succede a $14$ m/s $\approx 50$ km/h. Un passeggero di $70$ kg che passa a $10$ m/s "pesa" $N = 70(9{,}81 - 5) = 337$ N invece di $687$ N; in fondo a una valletta dello stesso raggio peserebbe $70(9{,}81 + 5) = 1037$ N.

Sasso legato a un filo

Un sasso fatto girare su un tavolo liscio, legato a un filo di lunghezza $\ell$: l'unica forza orizzontale è la tensione del filo, diretta verso il centro, quindi $T = mv^2/\ell$. Se il filo si rompe il sasso prosegue lungo la tangente (non radialmente verso l'esterno), di moto rettilineo uniforme.

Riassunto

Errori comuni

• Aggiungere la "forza centripeta" al diagramma di corpo libero insieme alle altre forze: è la loro risultante normale, non una forza in più.
• Sbagliare i segni lungo la normale: si prende positivo il verso verso il centro; una forza che punta verso l'esterno entra con il meno.
• Dimenticare che su una curva l'accelerazione non è nulla anche se il modulo della velocità è costante.
• Ignorare la condizione $N \ge 0$ nelle guide e sui dossi.