Moto verticale dei gravi

Il primo esempio importante di moto uniformemente acceleratoVelocità costante: x = x0 + v t, diagramma orario rettilineo. Accelerazione costante: v = v0 + a t, x = x0 + v0 t + a t²/2 e v² = v0² + 2a(x − x0), diagramma orario parabolico.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato →: un corpo lanciato in verticale o lasciato cadere. Esercizio: Esercizio 1 · due sassi sulla stessa verticale. Il caso con velocità iniziale obliqua è il Moto parabolicoUn corpo lanciato vicino al suolo, trascurando l'aria, ha accelerazione costante g verso il basso: moto uniforme in orizzontale, uniformemente accelerato in verticale. Traiettoria parabolica, quota massima v0y²/2g, gittata v0² sin2θ/g (massima a 45°); lancio da un'altezza h con un'equazione di secondo grado.Moto parabolico →.

L'accelerazione di gravità

Un fatto sperimentale (Galileo): in assenza di aria, tutti i corpi vicino alla superficie terrestre cadono con la stessa accelerazione, diretta verso il basso (verso il centro della Terra), qualunque sia la loro massa, forma o materiale. Il suo modulo si indica con $g$:

Definizione (accelerazione di gravità). $$g \approx 9{,}81\ \text{m/s}^2$$

Esempio. Un sasso lasciato cadere acquista $9{,}81$ m/s ogni secondo: dopo $3$ s ha $v = 29{,}43\ \text{m/s}$ ($\approx 106$ km/h), qualunque sia la sua massa.

Una piuma e una pallina di piombo, nel vuoto, cadono insieme. Nell'aria la piuma cade più lentamente per colpa della resistenza dell'aria (si vedrà in Attrito viscosoUn corpo che si muove lentamente in un fluido subisce una forza F = −b v, opposta e proporzionale alla velocità. In caduta la velocità tende esponenzialmente alla velocità limite mg/b con costante di tempo τ = m/b.Attrito viscoso →), che negli esercizi si trascura salvo avviso contrario.

Il valore di $g$ varia un po' con il luogo (circa $9{,}78$ all'equatore, $9{,}83$ ai poli) e diminuisce salendo di quota: il perché si capirà con la Legge di gravitazione universaleDue masse si attraggono con forza G m1 m2 / r² lungo la congiungente. Da qui l'accelerazione di gravità g = GM/R² e come cambia con la quota, l'uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale, le tre leggi di Keplero e le orbite circolari (v = √(GM/r), T² ∝ r³).Legge di gravitazione universale →. Per altezze piccole rispetto al raggio terrestre ($6370$ km) lo si considera costante.

Attenzione: $g$ è un modulo, sempre positivo. Il segno dell'accelerazione dipende dall'asse che si sceglie.

Leggi orarie

Si sceglie un asse $y$ verticale orientato verso l'alto, con origine al suolo. L'accelerazione è allora $a = -g$ (verso il basso, opposta all'asse). Un corpo che all'istante $t = 0$ si trova alla quota $y_0$ con velocità $v_0$ (positiva se lanciato verso l'alto, negativa se lanciato verso il basso, nulla se lasciato cadere) si muove secondo

Legge oraria (moto verticale dei gravi). $$v(t) = v_0 - g\,t \qquad\qquad y(t) = y_0 + v_0\,t - \tfrac12 g\,t^2$$

e vale la relazione senza il tempo

$$v^2 = v_0^2 - 2g\,(y - y_0)$$

Esempio. Lancio dal suolo con $v_0 = 15\ \text{m/s}$: a $t = 1$ s è $v = 15 - 9{,}81 = 5{,}19\ \text{m/s}$ e $y = 15 - 4{,}905 = 10{,}1$ m.

Con l'asse verso il basso tutto cambia segno: $a = +g$, e una velocità verso il basso è positiva. Va bene comunque; conviene scegliere il verso in cui i numeri vengono più comodi (per un corpo che cade e basta, l'asse verso il basso evita i segni meno).

Lancio verso l'alto

Corpo lanciato dal suolo ($y_0 = 0$) verso l'alto con velocità $v_0 > 0$.

Tempo di salita. Nel punto più alto il corpo inverte il moto, quindi lì $v = 0$:

Formula (tempo di salita). $$0 = v_0 - g\,t_s \quad \Longrightarrow \quad t_s = \frac{v_0}{g}$$

Esempio. $v_0 = 20\ \text{m/s}$: $t_s = \frac{20}{9{,}81} = 2{,}04$ s.

Quota massima. Dalla relazione senza il tempo con $v = 0$:

Formula (quota massima). $$0 = v_0^2 - 2g\,h_{\max} \quad \Longrightarrow \quad h_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}$$

Esempio. $v_0 = 20\ \text{m/s}$: $h_{\max} = \frac{400}{19{,}62} = 20{,}4$ m.

Tempo di volo. Il corpo torna al suolo quando $y(t) = 0$:

Formula (tempo di volo). $$v_0\,t - \tfrac12 g\,t^2 = 0 \iff t\left(v_0 - \tfrac12 g\,t\right) = 0 \iff t = 0 \ \text{ oppure } \ t_v = \frac{2v_0}{g}$$

($t = 0$ è la partenza.) Il tempo di volo è il doppio del tempo di salita: salita e discesa durano uguale.

Velocità di ritorno. $v(t_v) = v_0 - g \cdot \frac{2v_0}{g} = -v_0$: torna al suolo con la stessa velocità in modulo con cui era partito, ma verso il basso. Più in generale, il moto è simmetrico: a ogni quota il corpo passa due volte, in salita e in discesa, con velocità opposte.

Esempio. $v_0 = 20\ \text{m/s}$, $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$: $t_s = 2{,}04$ s, $h_{\max} = \frac{400}{19{,}62} = 20{,}4$ m, $t_v = 4{,}08$ s.

Caduta libera da un'altezza $h$

Corpo lasciato cadere da fermo ($v_0 = 0$) dalla quota $y_0 = h$.

Tempo di caduta. Arriva al suolo quando $y = 0$:

Formula (tempo di caduta libera). $$h - \tfrac12 g\,t_c^2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t_c = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Esempio. Da $h = 45$ m: $t_c = \sqrt{\frac{90}{9{,}81}} = 3{,}03$ s.

(si prende la radice positiva perché il tempo di arrivo è dopo la partenza).

Velocità d'arrivo. Dalla relazione senza tempo con $v_0 = 0$ e $y - y_0 = -h$:

Formula (velocità d'arrivo in caduta libera). $$v^2 = 0 - 2g\,(0 - h) = 2gh \quad \Longrightarrow \quad |v| = \sqrt{2gh}$$

diretta verso il basso. È la stessa formula del lancio verso l'alto letta al contrario: per salire fino a $h$ serve proprio $v_0 = \sqrt{2gh}$.

Esempio. Da $h = 5$ m: $t_c = \sqrt{10/9{,}81} = 1{,}01$ s, $|v| = \sqrt{98{,}1} = 9{,}90\ \text{m/s} \approx 36$ km/h. Da $h = 20$ m (quattro volte tanto) il tempo e la velocità raddoppiano soltanto, perché crescono come $\sqrt{h}$.

Metodo per i problemi di moto verticale

1. Scegliere l'asse (verso e origine) e scriverlo. Decidere l'istante $t = 0$.
2. Scrivere i dati con il segno giusto: $y_0$, $v_0$ e $a = \mp g$ rispetto all'asse scelto.
3. Scrivere le leggi orarie $y(t)$ e $v(t)$ per ogni corpo (se due corpi partono in istanti diversi, nella legge del secondo compare $t - t_1$).
4. Tradurre la domanda in un'equazione: "punto più alto" → $v = 0$; "arriva al suolo" → $y = 0$; "si incontrano" → $y_A = y_B$.
5. Controllare dimensioni, segni e che la soluzione abbia senso fisico (tempo positivo, corpo ancora in volo).

Riassunto

Errori comuni

• Pensare che nel punto più alto l'accelerazione sia nulla: è nulla la velocità, l'accelerazione è $-g$ per tutto il volo (altrimenti il corpo resterebbe lassù fermo).
• Pensare che i corpi più pesanti cadano più in fretta: senza aria cadono tutti con la stessa $g$.
• Usare $+g$ con l'asse verso l'alto (o $-g$ con l'asse verso il basso).
• Prendere la radice negativa del tempo o una soluzione che corrisponde a un istante in cui il corpo è già a terra.