Legge di gravitazione universale

Inizio del capitolo sulla gravitazione. Prima: Forza centripeta nel moto curvilineoIn un moto curvilineo l'accelerazione ha una componente normale v²/R verso il centro di curvatura, quindi la risultante delle forze lungo la normale deve valere m v²/R. La "forza centripeta" non è una forza nuova: è il ruolo che giocano attrito, normale, tensione o peso.Forza centripeta nel moto curvilineo → (serve per le orbite circolari) e Momento angolare e momento di una forzaMomento di una forza M = r × F e momento angolare L = r × m v rispetto a un polo. Teorema del momento angolare: dL/dt = M (polo fisso o CM); per un sistema contano solo i momenti esterni. Con forze centrali o momento esterno nullo L si conserva.Momento angolare e momento di una forza → (forze centrali). Seguito: Energia potenziale gravitazionale e orbiteLa gravità è conservativa con energia potenziale U = −GMm/r (zero all'infinito), che vicino al suolo si riduce a mgh. Energia delle orbite (E = −GMm/2r per il cerchio), velocità di fuga √(2GM/R), orbite ellittiche con conservazione di energia e momento angolare tra apogeo e perigeo; campo e potenziale gravitazionale.Energia potenziale gravitazionale e orbite →. Esercizi: Esercizio 51 · gravità e orbite intorno alla Luna, Esercizio 52 · gravità e orbite intorno a Marte, Esercizio 54 · massa della Luna da un lancio e da un'orbita, Esercizio 55 · Apollo 8, massa e raggio della Luna.

La legge

Due punti materiali di masse $m_1$ e $m_2$, a distanza $r$, si attraggono con una forza

Legge di gravitazione universale. $$\boxed{F = G\,\frac{m_1 m_2}{r^2}} \qquad G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$$

Esempio. Due persone di $70$ kg a $1$ m: $F = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{70\cdot70}{1} = 3{,}27\cdot10^{-7}$ N, impercettibile.

• direzione: la retta che unisce i due punti;
• verso: attrattivo, ciascuna massa è tirata verso l'altra;
• le due forze (su $m_1$ e su $m_2$) sono uguali e opposte, come vuole il terzo principio.

In forma vettoriale, la forza su $m_2$ dovuta a $m_1$ è $\vec F_{21} = -G\,\frac{m_1 m_2}{r^2}\,\hat r$, con $\hat r$ il versore che va da $m_1$ verso $m_2$ (il segno meno indica che la forza punta verso $m_1$).

Perché "universale": la stessa legge spiega la caduta di una mela, il moto della Luna attorno alla Terra e quello dei pianeti attorno al Sole. Newton la ricavò proprio confrontando l'accelerazione di un corpo che cade con quella della Luna nella sua orbita.

Quanto è piccola $G$. Due persone di $70$ kg a $1$ m di distanza si attraggono con $6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 70 \cdot 70 \approx 3 \times 10^{-7}$ N, del tutto impercettibile. La gravità diventa importante solo quando almeno una delle masse è enorme (un pianeta, una stella). $G$ fu misurata per la prima volta da Cavendish (1798) con una bilancia di torsione.

Dipendenza da $1/r^2$. Raddoppiando la distanza la forza diventa un quarto; triplicandola, un nono.

Corpi sferici

La legge vale per punti. Per corpi estesi si sommano (con un integrale) i contributi di tutti i pezzetti, perché le forze gravitazionali si sommano come vettori (principio di sovrapposizione). Un risultato importante, dimostrato da Newton:

Proprietà (corpi a simmetria sferica). Una sfera con massa distribuita in modo sfericamente simmetrico attrae un corpo esterno come se tutta la sua massa fosse concentrata nel centro.

Esempio. Un corpo di $1$ kg a distanza $r = 2R_T$ dal centro della Terra è attratto con $F = \frac{9{,}81}{4} = 2{,}45$ N: un quarto del peso al suolo.

Per questo negli esercizi un pianeta di massa $M$ e raggio $R$ si tratta come un punto nel suo centro, e la distanza $r$ si misura dal centro, non dalla superficie: un satellite a quota $h$ sta a $r = R + h$.

L'accelerazione di gravità

Un corpo di massa $m$ sulla superficie di un pianeta di massa $M$ e raggio $R$ è attratto con forza $G\frac{Mm}{R^2}$. Questa forza è il suo peso $mg$ (trascurando la rotazione del pianeta), quindi

Formula (accelerazione di gravità su un pianeta). $$mg = G\,\frac{Mm}{R^2} \quad \Longrightarrow \quad \boxed{g = \frac{GM}{R^2}}$$

Esempio. Terra: $g = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{(6{,}371\cdot10^6)^2} = 9{,}81\ \text{m/s}^2$.

La massa $m$ del corpo si semplifica: tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, qualunque sia la loro massa. Per la Terra ($M_T = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg, $R_T = 6{,}37 \times 10^6$ m) si ottiene $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$.

Al contrario, dalla misura di $g$ e di $R$ si ricava la massa del pianeta: $M = \frac{g R^2}{G}$. Con i valori terrestri $M_T = \frac{9{,}81 \cdot (6{,}37 \times 10^6)^2}{6{,}67 \times 10^{-11}} = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg ("pesare la Terra").

Esempio da esame (14 aprile 2025). La Luna ha $M_L = 7{,}3 \times 10^{22}$ kg e $R_L = 1740$ km:

$$g_L = \frac{6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 7{,}3 \times 10^{22}}{(1{,}74 \times 10^6)^2} = 1{,}61\ \text{m/s}^2$$

circa un sesto di quella terrestre. Una persona di $80$ kg sulla Luna pesa $80 \cdot 1{,}61 = 129$ N (sulla Terra $785$ N). Seguito nell'Esercizio 51 · gravità e orbite intorno alla Luna.

Come cambia $g$ con la quota

A quota $h$ sopra la superficie la distanza dal centro è $R + h$:

Formula (accelerazione di gravità in funzione della quota). $$g(h) = \frac{GM}{(R + h)^2} = \frac{g_0}{(1 + h/R)^2}$$

dove $g_0$ è il valore al suolo. Finché $h \ll R$ la variazione è piccolissima (a $10$ km di quota $g$ cala dello $0{,}3\%$): per questo nei problemi di meccanica "vicino al suolo" si prende $g$ costante. Alla quota della Stazione Spaziale Internazionale ($h = 400$ km) $g \approx 8{,}7\ \text{m/s}^2$, ancora l'$89\%$ del valore al suolo: gli astronauti non galleggiano perché la gravità sia sparita, ma perché sono in caduta libera insieme alla stazione.

Esempio. A $h = 400$ km (Stazione Spaziale): $g = \frac{9{,}81}{(1 + 400/6371)^2} = 8{,}69\ \text{m/s}^2$.

Massa inerziale e massa gravitazionale

La massa compare in due leggi con due ruoli diversi:

• in $\vec F = m\vec a$ misura l'inerzia, cioè quanto il corpo resiste a cambiare velocità (massa inerziale $m_i$);
• in $F = G\frac{M m}{r^2}$ misura quanto il corpo è attratto dalla gravità (massa gravitazionale $m_g$).

A priori sono due proprietà diverse. Ma un corpo in caduta libera ha $a = \frac{m_g}{m_i}\,\frac{GM}{R^2}$, e l'esperienza (da Galileo a esperimenti moderni con precisione di una parte su $10^{15}$) dice che tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione: quindi $m_g / m_i$ è lo stesso per tutti i corpi e, scegliendo bene le unità, $m_g = m_i$. Questa uguaglianza è il principio di equivalenza, alla base della relatività generale di Einstein.

Le leggi di Keplero

Prima di Newton, Keplero aveva ricavato dalle osservazioni dei pianeti tre leggi empiriche. La gravitazione universale le spiega tutte.

Legge (leggi di Keplero).

1. Prima legge (orbite ellittiche). I pianeti percorrono ellissi, e il Sole occupa uno dei due fuochi. Il punto più vicino al Sole si chiama perielio (per un satellite della Terra perigeo), il più lontano afelio (apogeo). Il cerchio è il caso particolare di ellisse con i due fuochi coincidenti.
2. Seconda legge (delle aree). Il raggio vettore Sole-pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. È la conservazione del momento angolare, perché la gravità è una forza centraleMomento di una forza M = r × F e momento angolare L = r × m v rispetto a un polo. Teorema del momento angolare: dL/dt = M (polo fisso o CM); per un sistema contano solo i momenti esterni. Con forze centrali o momento esterno nullo L si conserva.Momento angolare e momento di una forza →: la velocità areolare è $\frac{L}{2m}$, costante. Conseguenza: il pianeta va più veloce al perielio e più lento all'afelio, con $v_P r_P = v_A r_A$.
3. Terza legge. Il quadrato del periodo è proporzionale al cubo del semiasse maggiore $a$: $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\,a^3$, con la stessa costante per tutti i pianeti dello stesso Sole (dipende solo dalla massa $M$ del corpo centrale).

Esempio. Marte ha semiasse $a = 1{,}52$ UA: dalla terza legge $T^2 \propto a^3$ si ha $T = 1{,}52^{3/2} = 1{,}87$ anni.

Orbite circolari

Un satellite di massa $m$ su un'orbita circolare di raggio $r$ attorno a un corpo di massa $M \gg m$ si muove di moto circolare uniformeSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare →. L'unica forza è la gravità, che fa da forza centripeta (Forza centripeta nel moto curvilineoIn un moto curvilineo l'accelerazione ha una componente normale v²/R verso il centro di curvatura, quindi la risultante delle forze lungo la normale deve valere m v²/R. La "forza centripeta" non è una forza nuova: è il ruolo che giocano attrito, normale, tensione o peso.Forza centripeta nel moto curvilineo →):

Formula (velocità di un satellite in orbita circolare). $$G\,\frac{Mm}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r} \quad \Longrightarrow \quad \boxed{v = \sqrt{\frac{GM}{r}}}$$

Esempio. Stazione Spaziale, $r = 6{,}77\cdot10^6$ m: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = 7{,}67$ km/s.

Anche qui la massa del satellite si semplifica. Più l'orbita è alta, più il satellite è lento.

Periodo. In un giro il satellite percorre $2\pi r$ a velocità $v$, quindi $T = \frac{2\pi r}{v}$. Elevando al quadrato e sostituendo $v^2 = \frac{GM}{r}$:

Legge (terza legge di Keplero per orbite circolari). $$T^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{v^2} = \frac{4\pi^2}{GM}\,r^3$$

che è la terza legge di Keplero per le orbite circolari.

Esempio. Luna, $r = 3{,}84\cdot10^8$ m: $T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} = 27{,}4$ giorni.

Uso al contrario: misurare la massa del corpo centrale. Se si conoscono raggio e periodo di un'orbita, $M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2}$. È così che si "pesano" il Sole (dall'orbita della Terra) e i pianeti con satelliti. Negli esercizi d'esame si trova la massa della Luna dall'orbita di una navicella: Esercizio 54 · massa della Luna da un lancio e da un'orbita, Esercizio 55 · Apollo 8, massa e raggio della Luna.

Esempi numerici (Terra).

L'orbita geostazionaria ha periodo uguale a quello di rotazione della Terra: un satellite sopra l'equatore resta fermo sopra lo stesso punto, per questo la usano i satelliti per le telecomunicazioni e la TV. Il suo raggio si ricava da $r = \left(\frac{G M_T T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$.

Riassunto

Errori comuni

• Misurare la distanza dalla superficie invece che dal centro: in tutte le formule $r = R + h$.
• Dimenticare le unità: i raggi sono spesso dati in km e vanno convertiti in metri prima di usare $G$; i periodi in ore o minuti vanno convertiti in secondi.
• Pensare che in orbita non ci sia gravità: c'è eccome, ed è proprio lei che tiene il satellite in orbita; l'assenza di peso percepita è dovuta alla caduta libera.
• Usare $mg$ con $g = 9{,}81$ lontano dalla superficie: a quote paragonabili al raggio del pianeta serve la legge completa.