Reazioni vincolari, forza peso e peso apparente

Le forze che compaiono in quasi ogni diagramma di corpo libero (Leggi di NewtonLe tre leggi della dinamica: un corpo senza forze mantiene la sua velocità (nei sistemi inerziali), F = m a, e a ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta. Metodo per risolvere i problemi: diagramma di corpo libero, assi, proiezioni.Leggi di Newton →). Prima: Quantità di moto e impulsoLa quantità di moto è p = m v; la seconda legge si scrive F = dp/dt. L'impulso di una forza è il suo integrale nel tempo e uguaglia la variazione della quantità di moto (teorema dell'impulso): serve per gli urti e le forze brevi e intense.Quantità di moto e impulso →. Seguito: Forze di attrito radenteL'attrito radente è la componente della reazione vincolare parallela alla superficie. Statico: impedisce lo scivolamento e vale quanto serve, fino a μs N. Dinamico: agisce durante lo strisciamento, vale μd N ed è opposto alla velocità relativa.Forze di attrito radente →, che è la parte della reazione vincolare parallela alla superficie. Esercizi: Esercizio 30 · bilancia in ascensore, Esercizio 24 · blocchetto su un cuneo fermo e molla.

Classificazione delle forze

Tutte le forze della natura derivano da poche interazioni fondamentali: gravitazionale (tra masse, Legge di gravitazione universaleDue masse si attraggono con forza G m1 m2 / r² lungo la congiungente. Da qui l'accelerazione di gravità g = GM/R² e come cambia con la quota, l'uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale, le tre leggi di Keplero e le orbite circolari (v = √(GM/r), T² ∝ r³).Legge di gravitazione universale →), elettromagnetica (tra cariche), e le due interazioni nucleari (forte e debole), che agiscono solo dentro i nuclei. In meccanica si usano invece forze fenomenologiche, descritte da leggi empiriche valide in certi intervalli:

Altra distinzione utile: forze a distanza (il peso agisce anche senza contatto) e forze di contatto (tutte le altre: ci vuole qualcosa che tocchi il corpo).

La forza peso

Vicino alla superficie terrestre ogni corpo di massa $m$ è attirato dalla Terra con la forza

Legge (forza peso). $$\vec P = m\,\vec g, \qquad |\vec g| = g \approx 9{,}81\ \text{m/s}^2, \ \text{diretta verso il basso (verso il centro della Terra)}$$

Esempio. Una persona di $m = 70$ kg pesa $P = 70\cdot9{,}81 = 686{,}7$ N; sulla Luna ($g = 1{,}62\ \text{m/s}^2$) pesa 113 N, ma la massa resta $70$ kg.

Se il peso è l'unica forza, la seconda legge dà $m\vec a = m\vec g$, cioè $\vec a = \vec g$: tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, indipendentemente dalla massa, come visto in Moto verticale dei graviSenza aria ogni corpo vicino al suolo cade con la stessa accelerazione g = 9,81 m/s² verso il basso: è un moto uniformemente accelerato. Tempo di salita v0/g, quota massima v0²/2g, velocità d'arrivo sqrt(2gh).Moto verticale dei gravi →. La massa si semplifica perché compare sia nella forza sia nell'inerzia.

$g$ non è esattamente costante: dipende dalla quota e dal pianeta. Sulla Luna $g_L \approx 1{,}6\ \text{m/s}^2$; da dove venga il valore di $g$ lo si vede in Legge di gravitazione universaleDue masse si attraggono con forza G m1 m2 / r² lungo la congiungente. Da qui l'accelerazione di gravità g = GM/R² e come cambia con la quota, l'uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale, le tre leggi di Keplero e le orbite circolari (v = √(GM/r), T² ∝ r³).Legge di gravitazione universale →.

Vincoli e reazioni vincolari

Un vincolo è qualcosa che limita i movimenti possibili di un corpo: un piano su cui è appoggiato, una guida lungo cui scorre, un perno attorno a cui ruota, un filo. Il vincolo agisce sul corpo con una reazione vincolare $\vec R$ (nei temi d'esame indicata spesso con $\vec\Phi$), che ha due caratteristiche:

1. Non è nota a priori: non c'è una formula per $\vec R$. Il vincolo esercita esattamente la forza che serve a impedire il movimento vietato. Il suo valore si ricava da $\vec F = m\vec a$ usando ciò che si sa del moto (per esempio: il corpo non affonda nel piano).
2. Si scompone in una componente normale $\vec N$, perpendicolare alla superficie, e una componente tangenziale, parallela alla superficie, che è l'attrito. Un vincolo liscio (senza attrito) esercita solo la componente normale; un vincolo scabro anche quella tangenziale.

Come si calcola la normale

Corpo appoggiato su un piano orizzontale, fermo o in moto orizzontale. Asse $y$ verso l'alto; il corpo non si stacca e non affonda, quindi $a_y = 0$:

Formula (reazione normale su un piano orizzontale). $$N - mg = m a_y = 0 \quad \Longrightarrow \quad N = mg$$

Esempio. Un libro di $m = 5$ kg fermo su un tavolo: $N = mg = 49{,}1$ N, uguale al peso perché $a_y = 0$.

Attenzione: $N = mg$ non è una regola generale. Vale solo in questo caso. Se qualcuno spinge il corpo verso il basso con una forza $F$, $N = mg + F$; se lo tira verso l'alto, $N = mg - F$; su un piano inclinato $N = mg\cos\theta$ (Piano inclinatoSul piano inclinato si prendono gli assi lungo il piano e perpendicolare: il peso si scompone in mg sinθ (lungo il piano) e mg cosθ (contro il piano), N = mg cosθ. Senza attrito a = g sinθ; con attrito dinamico a = g(sinθ − μ cosθ) in discesa, −g(sinθ + μ cosθ) in salita; resta fermo se tanθ ≤ μs.Piano inclinato →); su una guida curva entra anche l'accelerazione centripeta (Forza centripeta nel moto curvilineoIn un moto curvilineo l'accelerazione ha una componente normale v²/R verso il centro di curvatura, quindi la risultante delle forze lungo la normale deve valere m v²/R. La "forza centripeta" non è una forza nuova: è il ruolo che giocano attrito, normale, tensione o peso.Forza centripeta nel moto curvilineo →). Ogni volta va ricavata dalla seconda legge.

Condizione di distacco

Un piano d'appoggio può solo spingere, non tirare: deve essere $N \ge 0$. Se dai conti esce $N < 0$, significa che il corpo si è staccato dal vincolo e le equazioni scritte supponendo il contatto non valgono più. Il distacco avviene nell'istante in cui $N$ diventa zero. Esempio classico: un'auto che passa troppo veloce sulla cima di un dosso, o un blocchetto nella parte alta di una guida circolare (giro della morte, Forza centripeta nel moto curvilineoIn un moto curvilineo l'accelerazione ha una componente normale v²/R verso il centro di curvatura, quindi la risultante delle forze lungo la normale deve valere m v²/R. La "forza centripeta" non è una forza nuova: è il ruolo che giocano attrito, normale, tensione o peso.Forza centripeta nel moto curvilineo →).

(Un vincolo bilatero, come un manicotto infilato in un'asta o un blocchetto dentro una scanalatura, può invece spingere in entrambi i versi.)

Peso apparente

Il peso apparente è la forza con cui il corpo preme sul suo appoggio, cioè (per la terza legge) il modulo della reazione normale $N$. È quello che misura una bilancia, e quello che "sentiamo" sotto i piedi. Coincide con il peso $mg$ solo se l'appoggio non accelera verticalmente.

Persona in ascensore. Asse $y$ verso l'alto, ascensore con accelerazione $a$ (positiva verso l'alto). Sulla persona agiscono il peso $-mg$ e la normale $N$ del pavimento:

Formula (peso apparente in ascensore). $$N - mg = m a \quad \Longrightarrow \quad N = m(g + a)$$

Esempio. Persona di $70$ kg in un ascensore che parte verso l'alto con $a = 1{,}5\ \text{m/s}^2$: $N = 70\,(9{,}81+1{,}5) = 792$ N, contro i 687 N del peso.

Conta l'accelerazione, non la velocità: a velocità costante, anche altissima, la bilancia segna il peso vero. Numeri in Esercizio 30 · bilancia in ascensore.

Caduta libera e "assenza di peso". Con $a = -g$ si ha $N = 0$: la persona e il pavimento cadono insieme e non si spingono. È la situazione degli astronauti in orbita: la gravità c'è eccome (li tiene in orbita), ma loro e la stazione cadono insieme verso la Terra, quindi il peso apparente è nullo.

Riassunto

Errori comuni

• Scrivere sempre $N = mg$: è vero solo su un piano orizzontale senza altre forze verticali e senza accelerazione verticale.
• Considerare peso e normale una coppia azione-reazione: agiscono sullo stesso corpo; si bilanciano (quando lo fanno) per la seconda legge.
• Accettare una normale negativa: vuol dire che il corpo si è staccato.
• Pensare che in ascensore conti la velocità: conta solo l'accelerazione.