Moti relativi: velocità e accelerazione di trascinamento

Inizio del capitolo sui moti relativi. Serve la derivata dei vettori e dei versori (Derivata e integrale di un vettoreUn vettore che dipende dal tempo si deriva e si integra componente per componente. La derivata di un versore è perpendicolare al versore e vale dφ/dt per il versore normale: per questo la derivata di un vettore ha una parte parallela (cambia il modulo) e una perpendicolare (cambia la direzione).Derivata e integrale di un vettore →) e il Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare →. Seguito: Sistemi di riferimento non inerziali e forze apparentiIn un riferimento accelerato o rotante la legge di Newton vale solo aggiungendo forze apparenti: −m·a_t (trascinamento, con la centrifuga) e −2m·ω×v' (Coriolis). Non sono interazioni tra corpi e non hanno reazione. Esempi: ascensore, pendolo su un vagone, blocco su una piattaforma, giostra, Terra.Sistemi di riferimento non inerziali e forze apparenti →. Esercizi: Esercizio 40 · blocchetto su una piattaforma che scende lungo un piano inclinato, Esercizio 41 · blocchetto su una piattaforma frenata da una molla, Esercizio 45 · pendolo appeso a una piattaforma libera.

Il problema

Il moto di un corpo dipende dal riferimento da cui lo si osserva. Una valigia appoggiata sul pavimento di un treno è ferma per il passeggero e si muove a $30\ \text{m/s}$ per chi è sulla banchina. Negli esercizi capita spesso di conoscere il moto in un riferimento (il blocchetto scivola sulla piattaforma) e di doverlo descrivere in un altro (il blocchetto rispetto al piano su cui la piattaforma si muove), o viceversa. Servono le formule per passare da uno all'altro.

Si usano due riferimenti:

• $S$ (assi $x, y, z$, origine $O$), detto fisso o assoluto: di solito il suolo;
• $S'$ (assi $x', y', z'$, origine $O'$), detto mobile o relativo: il treno, la piattaforma, il disco che ruota.

Il tempo è lo stesso nei due riferimenti ($t' = t$): in meccanica classica gli orologi non dipendono da come ci si muove.

Le grandezze misurate in $S$ si chiamano assolute ($\vec r, \vec v, \vec a$), quelle misurate in $S'$ relative ($\vec r', \vec v', \vec a'$).

Posizione

Se $\vec r_{O'}$ è la posizione dell'origine mobile $O'$ vista da $S$, la posizione del punto $P$ è

$$\vec r = \vec r_{O'} + \vec r'$$

(per andare da $O$ a $P$ si passa da $O'$).

Caso 1: $S'$ trasla senza ruotare

Gli assi di $S'$ restano sempre paralleli a quelli di $S$ (come un vagone su un binario dritto, o una piattaforma che scivola su un piano). Allora i versori di $S'$ sono costanti e derivando la relazione delle posizioni si ottiene semplicemente

Formula (composizione di velocità e accelerazioni con $S'$ in traslazione). $$\boxed{\vec v = \vec v' + \vec v_{O'}} \qquad\qquad \boxed{\vec a = \vec a' + \vec a_{O'}}$$

Esempio. Un passeggero cammina nel vagone a $v' = 1{,}5$ m/s nel verso di marcia; il treno va a $v_{O'} = 20$ m/s rispetto ai binari: $v = 1{,}5 + 20 = 21{,}5$ m/s.

• $\vec v_{O'}$ è la velocità di trascinamento: la velocità che il punto avrebbe se fosse fermo in $S'$ e venisse solo "trascinato" dal riferimento mobile;
• $\vec a_{O'}$ è l'accelerazione di trascinamento.

In parole: velocità assoluta = velocità relativa + velocità di trascinamento, e lo stesso per le accelerazioni. Rigirando: $\vec v' = \vec v - \vec v_{O'}$ e $\vec a' = \vec a - \vec a_{O'}$, cioè la grandezza relativa è "assoluta del punto meno assoluta del riferimento".

Esempio: la barca sul fiume. Una barca punta perpendicolarmente alla riva e si muove rispetto all'acqua a $v' = 2\ \text{m/s}$; la corrente trascina l'acqua parallelamente alla riva a $v_{O'} = 1{,}5\ \text{m/s}$. Rispetto alla riva la barca ha velocità $\vec v = \vec v' + \vec v_{O'}$, somma di due vettori perpendicolari:

$$v = \sqrt{2^2 + 1{,}5^2} = 2{,}5\ \text{m/s}, \qquad \text{inclinata di } \arctan\frac{1{,}5}{2} \approx 36{,}9° \text{ rispetto alla perpendicolare alla riva}$$

Se il fiume è largo $40\ \text{m}$, la barca impiega $40 / 2 = 20\ \text{s}$ (conta solo la componente perpendicolare alla riva) e approda $1{,}5 \cdot 20 = 30\ \text{m}$ più a valle.

Esempio: la pioggia vista dal treno. La pioggia cade verticalmente a $8\ \text{m/s}$, il treno corre a $20\ \text{m/s}$. Per il passeggero $\vec v' = \vec v - \vec v_{\text{treno}}$: componente orizzontale $-20\ \text{m/s}$ (all'indietro), verticale $-8\ \text{m/s}$. Le gocce sul finestrino scendono inclinate di $\arctan(20/8) \approx 68°$ rispetto alla verticale.

Esempio: blocchetto su una piattaforma. Una piattaforma scende lungo un piano inclinato con accelerazione $a_M$; sopra di essa un blocchetto scivola senza attrito con accelerazione assoluta $a_m$ (lungo la stessa direzione). Rispetto alla piattaforma il blocchetto ha accelerazione $a'_m = a_m - a_M$, ed è questa che serve per sapere quando arriva in fondo alla piattaforma: Esercizio 40 · blocchetto su una piattaforma che scende lungo un piano inclinato.

Le trasformazioni di Galileo

Caso particolare: $S'$ trasla con velocità costante $\vec V$ rispetto a $S$, e le origini coincidono a $t = 0$. Scegliendo gli assi $x$ e $x'$ nella direzione di $\vec V$:

Formula (trasformazioni di Galileo). $$x = x' + V t, \qquad y = y', \qquad z = z', \qquad t = t'$$

e quindi $v_x = v'_x + V$, mentre $\vec a = \vec a'$ perché $\vec a_{O'} = 0$.

Esempio. $S'$ si muove a $V = 20$ m/s: un punto con $x' = 5$ m all'istante $t = 3$ s ha $x = 5 + 20\cdot3 = 65$ m in $S$.

Conseguenza fondamentale: due riferimenti in moto relativo rettilineo uniforme misurano la stessa accelerazione. Siccome le forze (interazioni tra corpi) sono le stesse, la legge $\vec F = m\vec a$ vale identica in entrambi. Se un riferimento è inerziale (vale il primo principio, Leggi di NewtonLe tre leggi della dinamica: un corpo senza forze mantiene la sua velocità (nei sistemi inerziali), F = m a, e a ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta. Metodo per risolvere i problemi: diagramma di corpo libero, assi, proiezioni.Leggi di Newton →), lo è anche ogni altro riferimento che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a lui. Nessun esperimento di meccanica fatto dentro un treno che viaggia a velocità costante su un binario dritto può rivelare se il treno si muove (principio di relatività galileiana).

Caso 2: $S'$ ruota

Se $S'$ ruota con velocità angolare $\vec\omega$ (vettore lungo l'asse di rotazione, verso dato dalla regola della mano destra, modulo = angolo percorso al secondo), i suoi versori $\hat\imath', \hat\jmath', \hat k'$ cambiano direzione nel tempo. La derivata di un versore che ruota con velocità angolare $\vec\omega$ è (formula di Poisson)

$$\frac{d\hat\imath'}{dt} = \vec\omega \times \hat\imath', \qquad \frac{d\hat\jmath'}{dt} = \vec\omega \times \hat\jmath', \qquad \frac{d\hat k'}{dt} = \vec\omega \times \hat k'$$

Velocità

Si scrive $\vec r = \vec r_{O'} + x'\hat\imath' + y'\hat\jmath' + z'\hat k'$ e si deriva tutto, anche i versori (prodotto di funzioni):

$$\vec v = \vec v_{O'} + \underbrace{(\dot x'\hat\imath' + \dot y'\hat\jmath' + \dot z'\hat k')}_{\vec v'} + \underbrace{(x'\,\vec\omega \times \hat\imath' + y'\,\vec\omega \times \hat\jmath' + z'\,\vec\omega \times \hat k')}_{\vec\omega \times \vec r'}$$

(il punto sopra indica la derivata rispetto al tempo). Quindi

Formula (velocità con riferimento rotante). $$\boxed{\vec v = \vec v' + \underbrace{\vec v_{O'} + \vec\omega \times \vec r'}_{\text{velocità di trascinamento}}}$$

Esempio. Un punto fermo su un disco con $\omega = 2\ \text{rad/s}$ a $r' = 0{,}1$ m dal centro ha velocità di trascinamento $\omega r' = 0{,}2$ m/s, tangente al disco.

Il trascinamento è ancora "la velocità che avrebbe il punto se fosse fermo in $S'$": quella dell'origine più quella dovuta alla rotazione, come un punto di un disco che gira (Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare →: $v = \omega r$).

Accelerazione

Derivando ancora (con la stessa regola: ogni volta che si deriva un vettore scritto con i versori mobili compare un termine $\vec\omega \times$) si ottiene il teorema di Coriolis:

Formula (accelerazione con riferimento rotante: trascinamento e Coriolis). $$\boxed{\vec a = \vec a' + \underbrace{\vec a_{O'} + \frac{d\vec\omega}{dt} \times \vec r' + \vec\omega \times (\vec\omega \times \vec r')}_{\vec a_t \ \text{(trascinamento)}} + \underbrace{2\,\vec\omega \times \vec v'}_{\vec a_c \ \text{(Coriolis)}}}$$

Esempio. Disco con $\omega = 2\ \text{rad/s}$ e formica a $r' = 0{,}1$ m che cammina verso l'esterno a $v' = 0{,}05$ m/s: centripeta $\omega^2 r' = 0{,}4\ \text{m/s}^2$ e Coriolis $2\omega v' = 0{,}2\ \text{m/s}^2$.

Il significato dei termini:

I primi tre termini dopo $\vec a'$ formano l'accelerazione di trascinamento: è l'accelerazione che avrebbe il punto se fosse fermo in $S'$. Il termine di Coriolis è la novità: non dipende da dove si trova il punto, ma da come si muove rispetto al riferimento che ruota.

Da dove viene il fattore 2. Il termine $\vec\omega \times \vec v'$ compare due volte: una derivando i versori dentro $\vec v'$, una derivando $\vec r'$ dentro $\vec\omega \times \vec r'$.

Esempio: la formica sul giradischi. Un disco ruota con $\omega = 2\ \text{rad/s}$ costante; una formica cammina lungo un raggio verso l'esterno a $v' = 0{,}05\ \text{m/s}$ rispetto al disco. Quando è a $r' = 0{,}1\ \text{m}$ dal centro:

• accelerazione relativa: $\vec a' = 0$ (cammina a velocità costante lungo il raggio);
• trascinamento: solo il termine centripeto, $\omega^2 r' = 4 \cdot 0{,}1 = 0{,}4\ \text{m/s}^2$ verso il centro ($\vec a_{O'} = 0$, $\omega$ costante);
• Coriolis: $\vec\omega \perp \vec v'$, quindi $|2\vec\omega \times \vec v'| = 2 \cdot 2 \cdot 0{,}05 = 0{,}2\ \text{m/s}^2$, perpendicolare al raggio, nel verso di rotazione del disco.

Perché c'è Coriolis: allontanandosi dal centro la formica passa in zone del disco che si muovono più veloci ($\omega r$ cresce), quindi rispetto al suolo la sua velocità tangenziale deve aumentare, e per questo serve un'accelerazione nel verso della rotazione.

Riassunto

Errori comuni

• Sbagliare il verso della sottrazione: la relativa è $\vec v' = \vec v - \vec v_{O'}$ (assoluta del punto meno quella del riferimento), non il contrario.
• Sommare i moduli invece dei vettori: $2\ \text{m/s}$ e $1{,}5\ \text{m/s}$ perpendicolari danno $2{,}5\ \text{m/s}$, non $3{,}5$.
• Dimenticare Coriolis quando il punto si muove su un riferimento che ruota.
• Pensare che il moto relativo dia l'accelerazione relativa "gratis": le leggi di Newton danno le accelerazioni assolute (in un riferimento inerziale); quelle relative si ottengono dopo, per differenza.