Oscillazioni forzate e risonanza

Che cosa succede se un oscillatore smorzato viene spinto periodicamente: un'altalena spinta a ogni passaggio, un ponte sollecitato dal passo dei pedoni, un circuito di sintonia di una radio. Prima: Oscillatore armonico smorzatoMassa, molla e attrito viscoso: m x'' + b x' + k x = 0. Con γ = b/(2m) e ω₀ = √(k/m) ci sono tre regimi: sottosmorzato (γ < ω₀, oscillazioni con ampiezza che decade come e^(−γt) e pulsazione ω₁ = √(ω₀² − γ²)), critico (γ = ω₀, ritorno più rapido senza oscillare) e sovrasmorzato (γ > ω₀). L'energia decade come e^(−2γt); il fattore di qualità è Q = ω₀/(2γ).Oscillatore armonico smorzato →. Esercizio: Esercizio 72 · risonanza di un oscillatore forzato.

L'equazione e la sua soluzione

All'oscillatore smorzato (massa $m$, molla $k$, attrito viscoso $b$) si applica una forza esterna sinusoidale di ampiezza $F_0$ e pulsazione $\Omega$, scelta da chi spinge e in generale diversa da $\omega_0$:

Legge (equazione dell'oscillatore forzato). $$m\ddot x + b\dot x + k x = F_0\cos(\Omega t) \quad\Longrightarrow\quad \ddot x + 2\gamma\dot x + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m}\cos(\Omega t)$$

con $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ e $\gamma = b/(2m)$ come nell'oscillatore smorzato.

Esempio. $m = 0{,}5$ kg, $k = 50$ N/m, $b = 1$ kg/s e forza $F_0 = 2$ N: $\ddot x + 2\dot x + 100\,x = 4\cos(\Omega t)$, con $F_0/m = 4\ \text{m/s}^2$.

Struttura della soluzione. È un'equazione lineare non omogenea: la soluzione generale è la somma di

• la soluzione dell'equazione omogenea (senza forza), cioè l'oscillazione smorzata libera, che si spegne come $e^{-\gamma t}$: è il transitorio, dipende dalle condizioni iniziali e dopo qualche $1/\gamma$ è sparito;
• una soluzione particolare, che resta: è il regime, un'oscillazione alla pulsazione $\Omega$ della forza.

Dopo il transitorio, quindi, l'oscillatore dimentica la sua pulsazione propria e oscilla al ritmo imposto da fuori.

Il regime: ampiezza e sfasamento

Si cerca una soluzione $x = A\cos(\Omega t - \delta)$, con $A > 0$ e $\delta$ (ritardo della risposta rispetto alla forza) da determinare. Con $\theta = \Omega t - \delta$:

$$\dot x = -A\Omega\sin\theta, \qquad \ddot x = -A\Omega^2\cos\theta$$

Sostituendo, il primo membro diventa $A\big[(\omega_0^2 - \Omega^2)\cos\theta - 2\gamma\Omega\sin\theta\big]$. Il secondo membro, scritto con lo stesso angolo ($\Omega t = \theta + \delta$), è $\frac{F_0}{m}(\cos\theta\cos\delta - \sin\theta\sin\delta)$. L'uguaglianza deve valere a ogni istante, quindi i coefficienti di $\cos\theta$ e di $\sin\theta$ devono coincidere:

$$A\,(\omega_0^2 - \Omega^2) = \frac{F_0}{m}\cos\delta, \qquad 2\gamma\Omega\,A = \frac{F_0}{m}\sin\delta$$

Elevando al quadrato e sommando ($\cos^2 + \sin^2 = 1$) si ottiene l'ampiezza; dividendo la seconda per la prima, lo sfasamento:

Formula (ampiezza e sfasamento a regime). $$\boxed{A(\Omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\gamma^2\Omega^2}}}, \qquad \tan\delta = \frac{2\gamma\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}$$

Esempio. Stessi dati con $\Omega = 9\ \text{rad/s}$: $A = \frac{4}{\sqrt{19^2 + 4\cdot81}} = 0{,}153$ m e $\tan\delta = \frac{18}{19}$, cioè $\delta = 43°$.

($\delta$ va da $0$ a $\pi$: $\sin\delta > 0$ sempre, quindi per $\Omega > \omega_0$ si prende l'angolo nel secondo quadrante.)

Come risponde al variare di $\Omega$

La risonanza. L'ampiezza è massima dove il denominatore è minimo. Derivando $(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\gamma^2\Omega^2$ rispetto a $\Omega^2$ e ponendo zero si trova

Formula (pulsazione di risonanza dell'ampiezza). $$\Omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$$

Esempio. $\omega_0 = 10\ \text{rad/s}$ e $\gamma = 1\ \text{s}^{-1}$: $\Omega_r = \sqrt{100 - 2} = 9{,}9\ \text{rad/s}$.

che per smorzamento debole coincide praticamente con $\omega_0$. Amplificazione: il rapporto tra l'ampiezza a $\omega_0$ e quella statica è

Formula (amplificazione alla risonanza). $$\frac{A(\omega_0)}{A(0)} = \frac{F_0/(b\omega_0)}{F_0/k} = \frac{k}{b\,\omega_0} = \frac{\omega_0}{2\gamma} = Q$$

il fattore di qualità: un oscillatore poco smorzato, spinto alla sua pulsazione propria, risponde $Q$ volte più che in statica. È il motivo per cui un ponte può oscillare pericolosamente sotto una forza periodica piccola ma "accordata", e per cui un cantante può rompere un bicchiere.

Esempio. $F_0 = 2$ N, $k = 50$ N/m: $A(0) = 0{,}04$ m e $A(\omega_0) = Q\cdot0{,}04 = 5\cdot0{,}04 = 0{,}2$ m.

Potenza assorbita e larghezza della risonanza

A regime l'energia dell'oscillatore non cambia: in ogni periodo la forza esterna fornisce esattamente l'energia che l'attrito dissipa. La potenza dissipata istantanea è $b\dot x^2$; la velocità ha ampiezza $A\Omega$ e la media di $\sin^2$ su un periodo è $\frac12$, quindi la potenza media assorbita è

Formula (potenza media assorbita a regime). $$\langle P\rangle = \tfrac12\,b\,(A\Omega)^2$$

Esempio. A risonanza $A = 0{,}2$ m e $\Omega = 10\ \text{rad/s}$: $A\Omega = 2$ m/s e $\langle P\rangle = \frac12\cdot1\cdot4 = 2$ W.

È massima esattamente a $\Omega = \omega_0$ (la velocità, a differenza dello spostamento, risuona proprio a $\omega_0$), dove vale $\langle P\rangle_{\max} = \frac{F_0^2}{2b}$. In quel caso $\delta = \pi/2$: la velocità è in fase con la forza, che spinge sempre nel verso del moto, come chi spinge un'altalena nel momento giusto.

La potenza scende a metà del massimo per $\Omega \approx \omega_0 \pm \gamma$ (smorzamento debole). La larghezza della risonanza è quindi $\Delta\Omega = 2\gamma$, e

Formula (larghezza della risonanza). $$Q = \frac{\omega_0}{\Delta\Omega}$$

Esempio. $Q = 5$ e $\omega_0 = 10\ \text{rad/s}$: $\Delta\Omega = \frac{10}{5} = 2\ \text{rad/s}$ (circa $\omega_0 \pm \gamma$).

Un $Q$ alto vuol dire una risonanza stretta e alta: l'oscillatore risponde molto, ma solo in una banda ristretta attorno a $\omega_0$. È la selettività di un filtro.

Lo stesso schema nei circuiti

Un circuito con induttanza $L$, resistenza $R$ e condensatore $C$ in serie, alimentato da una tensione $V_0\cos(\Omega t)$, obbedisce per la carica $q$ all'equazione

$$L\ddot q + R\dot q + \frac{q}{C} = V_0\cos(\Omega t)$$

identica a quella meccanica con la corrispondenza $m \leftrightarrow L$, $b \leftrightarrow R$, $k \leftrightarrow 1/C$, $F_0 \leftrightarrow V_0$. Quindi $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$, $\gamma = R/(2L)$ e tutte le formule di questa nota valgono anche lì. Sintonizzare una radio vuol dire variare $C$ (o $L$) per portare $\omega_0$ sulla frequenza della stazione: il circuito risponde alla stazione voluta e quasi niente alle altre, tanto meglio quanto più è alto $Q$.

Esempio numerico

$m = 0{,}5$ kg, $k = 50$ N/m, $b = 1$ kg/s ($\omega_0 = 10$ rad/s, $\gamma = 1$ s$^{-1}$, $Q = 5$), $F_0 = 2$ N, quindi $F_0/m = 4$ N/kg.

A risonanza l'ampiezza è $Q = 5$ volte quella statica; a $\Omega = 9$ e $11$ rad/s (cioè a $\omega_0 \mp \gamma$) la potenza è circa metà del massimo, come previsto.

Riassunto

Errori comuni

• Dare al regime la pulsazione propria $\omega_0$: a regime l'oscillatore segue la pulsazione $\Omega$ della forza.
• Dimenticare il transitorio quando si chiede il moto subito dopo l'accensione della forza: la formula di regime vale solo dopo qualche $1/\gamma$.
• Dire che senza attrito a risonanza l'ampiezza è "infinita" subito: cresce linearmente nel tempo, senza limite; l'attrito è ciò che la fissa a un valore finito.
• Confondere la risonanza dell'ampiezza ($\sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$) con quella della potenza ($\omega_0$): coincidono solo per smorzamento debole.