Oscillatore armonico smorzato

Un oscillatore reale perde energia: l'ampiezza diminuisce finché il corpo si ferma. Il modello più semplice aggiunge alla molla una forza di Attrito viscosoUn corpo che si muove lentamente in un fluido subisce una forza F = −b v, opposta e proporzionale alla velocità. In caduta la velocità tende esponenzialmente alla velocità limite mg/b con costante di tempo τ = m/b.Attrito viscoso → $-b v$. Prima: Piccole oscillazioni ed energia dell'oscillatoreNell'oscillatore armonico l'energia E = ½kA² resta costante e passa continuamente tra cinetica e potenziale. Attorno a ogni minimo di un'energia potenziale U(x) il moto, per piccoli spostamenti, è armonico con ω² = U''(x₀)/m: metodo unico per molla verticale, molle in serie e in parallelo, pendoli, guide circolari.Piccole oscillazioni ed energia dell'oscillatore →. Seguito: Oscillazioni forzate e risonanzaUn oscillatore smorzato spinto da una forza F₀cos(Ωt), dopo un transitorio, oscilla alla pulsazione Ω della forza con ampiezza A(Ω) = (F₀/m)/√((ω₀² − Ω²)² + 4γ²Ω²) e sfasamento δ, con tan δ = 2γΩ/(ω₀² − Ω²). Vicino a Ω = ω₀ l'ampiezza e la potenza assorbita sono massime (risonanza); la larghezza della risonanza è 2γ e l'amplificazione vale Q. Lo stesso schema descrive il circuito RLC.Oscillazioni forzate e risonanza →. Esercizio: Esercizio 71 · oscillatore smorzato in un fluido.

L'equazione del moto

Massa $m$, molla $k$, forza viscosa $-b\,\dot x$ (opposta alla velocità). Seconda legge lungo $x$, con l'origine nella posizione di equilibrio:

Legge (equazione dell'oscillatore armonico smorzato). $$m\ddot x = -k x - b\dot x \quad\Longrightarrow\quad \ddot x + 2\gamma\,\dot x + \omega_0^2\,x = 0$$

dove si sono definite due grandezze con le dimensioni di una pulsazione (s$^{-1}$):

Esempio. $m = 0{,}5$ kg, $k = 50$ N/m, $b = 1$ kg/s: $\omega_0 = \sqrt{100} = 10\ \text{rad/s}$ e $\gamma = \frac{1}{2\cdot0{,}5} = 1\ \text{s}^{-1}$.

(il $2$ in $2\gamma$ si mette per avere formule più semplici dopo).

La soluzione: si prova un esponenziale

L'equazione è lineare a coefficienti costanti: si cerca una soluzione della forma $x = e^{\lambda t}$, perché derivare un esponenziale lo moltiplica per una costante. Sostituendo ($\dot x = \lambda e^{\lambda t}$, $\ddot x = \lambda^2 e^{\lambda t}$) e dividendo per $e^{\lambda t}$, che non è mai nullo:

$$\lambda^2 + 2\gamma\lambda + \omega_0^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$$

Tutto dipende dal segno di $\gamma^2 - \omega_0^2$, cioè dal confronto tra smorzamento e pulsazione propria.

Smorzamento debole: $\gamma < \omega_0$ (sottosmorzato)

Il discriminante è negativo: $\lambda = -\gamma \pm i\,\omega_1$ con

Formula (pulsazione dello smorzamento debole). $$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$$

Esempio. $\omega_0 = 10\ \text{rad/s}$ e $\gamma = 1\ \text{s}^{-1}$: $\omega_1 = \sqrt{100 - 1} = 9{,}95\ \text{rad/s}$, quasi uguale a $\omega_0$.

Le due soluzioni complesse si combinano in una reale (formula di Eulero, $e^{i\omega_1 t} = \cos\omega_1 t + i\sin\omega_1 t$):

Legge (oscillazione sottosmorzata). $$\boxed{x(t) = A_0\,e^{-\gamma t}\sin(\omega_1 t + \varphi)}$$

Esempio. Con $A_0 = 0{,}1$ m e $\gamma = 1\ \text{s}^{-1}$ l'ampiezza dopo $1$ s è $0{,}1\,e^{-1} = 0{,}0368$ m.

È un'oscillazione con pulsazione $\omega_1$ (un po' minore di $\omega_0$: l'attrito rallenta anche il ritmo) e ampiezza $A_0 e^{-\gamma t}$ che decresce esponenzialmente. $A_0$ e $\varphi$ si ricavano da posizione e velocità iniziali.

Quanto decade in un periodo. Il periodo è $T_1 = 2\pi/\omega_1$. Dopo un periodo l'ampiezza è moltiplicata per $e^{-\gamma T_1}$: il rapporto tra due massimi successivi è costante, e il suo logaritmo si chiama decremento logaritmico,

Definizione (decremento logaritmico). $$\delta = \ln\frac{A_n}{A_{n+1}} = \gamma\,T_1$$

Esempio. $\gamma = 1\ \text{s}^{-1}$ e $T_1 = 0{,}631$ s: $\delta = \gamma T_1 = 0{,}631$, cioè ogni massimo è $e^{0{,}631} = 1{,}88$ volte più piccolo del precedente.

È il modo pratico di misurare $\gamma$: si contano i massimi e si guarda di quanto calano.

Smorzamento critico: $\gamma = \omega_0$

Le due radici coincidono, $\lambda = -\gamma$. La soluzione generale (la seconda soluzione indipendente è $t\,e^{-\gamma t}$, si verifica per sostituzione) è

$$x(t) = (c_1 + c_2 t)\,e^{-\gamma t}$$

Non oscilla: torna all'equilibrio, superandolo al massimo una volta. È il caso in cui torna all'equilibrio nel tempo più breve senza oscillare: per questo gli ammortizzatori delle auto e gli strumenti di misura ad ago sono progettati vicino allo smorzamento critico, $b = 2\sqrt{km}$.

Smorzamento forte: $\gamma > \omega_0$ (sovrasmorzato)

Due radici reali negative, $\lambda_{1,2} = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$:

$$x(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t}$$

Somma di due esponenziali decrescenti, nessuna oscillazione. Il ritorno è più lento che nel caso critico, perché il termine con $\lambda_1 = -\gamma + \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$ (piccolo in modulo) decade lentamente: è come una porta con un chiudiporta troppo frenato. Con $k = 0$ (niente molla) si ritrova il Moto smorzato esponenzialmenteSe l'accelerazione è proporzionale alla velocità e opposta (a = −v/τ), la velocità decresce come v0·e^(−t/τ): dopo un tempo τ si riduce al 37%. Il corpo si ferma solo asintoticamente, dopo aver percorso lo spazio finito v0·τ.Moto smorzato esponenzialmente →.

Energia e fattore di qualità

La potenza dissipata. L'energia meccanica $E = \frac12 m\dot x^2 + \frac12 k x^2$ non si conserva. Derivandola e usando l'equazione del moto ($m\ddot x + kx = -b\dot x$):

$$\frac{dE}{dt} = m\dot x\ddot x + k x\dot x = \dot x\,(m\ddot x + kx) = -b\,\dot x^2 \le 0$$

L'energia diminuisce sempre, con una potenza pari al lavoro (negativo) della forza viscosa per unità di tempo (Lavoro e potenzaIl lavoro di una forza lungo uno spostamento è il prodotto scalare F·Δr (forza costante) o l'integrale di linea di F·dr (caso generale); si misura in joule e può essere positivo, negativo o nullo. La potenza è il lavoro per unità di tempo, P = F·v.Lavoro e potenza →); diventa calore nel fluido.

Come decade. Per smorzamento debole l'energia è circa quella di un oscillatore con l'ampiezza del momento, $\frac12 k A^2$ con $A = A_0 e^{-\gamma t}$:

Formula (decadimento dell'energia). $$E(t) \approx \tfrac12 k A_0^2\,e^{-2\gamma t}$$

Esempio. $E_0 = \frac12\cdot50\cdot0{,}1^2 = 0{,}25$ J e $\gamma = 1\ \text{s}^{-1}$: dopo $1$ s $E = 0{,}25\,e^{-2} = 0{,}034$ J.

L'energia decade due volte più in fretta dell'ampiezza (dipende dal suo quadrato), con tempo caratteristico $\tau_E = \frac{1}{2\gamma} = \frac{m}{b}$.

Fattore di qualità. Si definisce

Definizione (fattore di qualità). $$Q = \frac{\omega_0}{2\gamma}$$

Esempio. $\omega_0 = 10\ \text{rad/s}$ e $\gamma = 1\ \text{s}^{-1}$: $Q = \frac{10}{2} = 5$.

Un $Q$ grande vuol dire poco smorzamento: l'oscillatore compie molte oscillazioni prima di spegnersi. Il significato concreto: in un periodo l'energia si moltiplica per $e^{-2\gamma T_1}$, quindi se ne perde la frazione $1 - e^{-2\gamma T_1}$; quando $Q$ è grande (diciamo oltre $20$) l'esponente è piccolo e la frazione persa è circa $2\gamma T_1 \approx \frac{2\pi}{Q}$. Ordini di grandezza: un'altalena $Q \sim 10$, un diapason $Q \sim 1000$, un cristallo di quarzo di un orologio $Q \sim 10^5$.

Esempio numerico

$m = 0{,}5$ kg, $k = 50$ N/m, $b = 1$ kg/s, lasciato fermo a $x_0 = 0{,}1$ m.

• $\omega_0 = \sqrt{50/0{,}5} = 10$ rad/s, $\gamma = \frac{1}{2 \cdot 0{,}5} = 1$ s$^{-1}$: $\gamma < \omega_0$, sottosmorzato.
• $\omega_1 = \sqrt{100 - 1} = 9{,}95$ rad/s, $T_1 = 0{,}631$ s: quasi uguale al caso senza attrito ($0{,}628$ s).
• Ogni periodo l'ampiezza si moltiplica per $e^{-1 \cdot 0{,}631} = 0{,}53$: dopo $5$ periodi resta $0{,}1 \cdot 0{,}53^5 = 0{,}0043$ m.
• $Q = 10/2 = 5$; smorzamento critico con $b = 2\sqrt{50 \cdot 0{,}5} = 10$ kg/s.

Riassunto

Errori comuni

• Usare $\omega_0$ come pulsazione dell'oscillazione smorzata: è $\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ (la differenza è piccola solo se lo smorzamento è debole).
• Scrivere $\gamma = b/m$: con la convenzione $2\gamma$ nell'equazione, $\gamma = b/(2m)$. Conviene sempre riscrivere l'equazione e confrontare.
• Far decadere l'energia come l'ampiezza: l'energia va come $e^{-2\gamma t}$.
• Pensare che più smorzamento faccia sempre fermare prima: oltre il valore critico il ritorno all'equilibrio torna a rallentare.