Pendolo semplice

Ultima applicazione del capitolo: mette insieme tensione dei fili (Tensione dei fili e carrucoleUn filo ideale (massa nulla, inestensibile) tira con la stessa tensione T in tutti i suoi punti, anche passando su una carrucola ideale, e impone ai corpi collegati accelerazioni di uguale modulo. Si scrive F = m a per ogni corpo e si risolve il sistema in a e T (macchina di Atwood, blocco sul tavolo con massa appesa).Tensione dei fili e carrucole →), moto lungo una circonferenza (Forza centripeta nel moto curvilineoIn un moto curvilineo l'accelerazione ha una componente normale v²/R verso il centro di curvatura, quindi la risultante delle forze lungo la normale deve valere m v²/R. La "forza centripeta" non è una forza nuova: è il ruolo che giocano attrito, normale, tensione o peso.Forza centripeta nel moto curvilineo →) e moto armonico (Moto armonico sempliceMoto rettilineo con legge oraria x = A·sin(ωt + φ): oscilla tra −A e A con periodo T = 2π/ω. È caratterizzato da a = −ω²x, l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico; ampiezza e fase si ricavano dalle condizioni iniziali.Moto armonico semplice →). È anche lo strumento con cui in laboratorio si misura $g$. Il pendolo "vero", un corpo rigido che oscilla, è il Pendolo compostoUn corpo rigido appeso a un asse orizzontale che non passa per il suo CM oscilla come un pendolo: per piccole oscillazioni il moto è armonico con periodo T = 2π √(I/(m g h)), uguale a quello di un pendolo semplice di lunghezza ridotta I/(m h). Impulso angolare e teorema del momento dell'impulso.Pendolo composto →. Esercizio: Esercizio 28 · due pendoli tenuti aperti da una molla.

Il modello

Un punto materiale di massa $m$ è appeso a un punto fisso $O$ con un filo ideale di lunghezza $\ell$, e oscilla in un piano verticale. La posizione si descrive con un solo numero, l'angolo $\theta$ tra il filo e la verticale (positivo da una parte, negativo dall'altra). Il punto percorre un arco di circonferenza di raggio $\ell$: lo spostamento lungo l'arco è $s = \ell\theta$ (con $\theta$ in radianti), la velocità $v = \ell\,\dot\theta$, l'accelerazione tangenziale $a_T = \ell\,\ddot\theta$ ($\dot\theta = d\theta/dt$ è la velocità angolare).

Forze sul punto: il peso $m\vec g$ e la tensione $\vec T$ del filo, diretta lungo il filo verso $O$.

Le due equazioni

Si proietta $\vec F = m\vec a$ lungo la tangente alla traiettoria (verso $\theta$ crescente) e lungo il filo (verso $O$, cioè verso il centro della circonferenza).

Tangente. La tensione è perpendicolare alla traiettoria e non contribuisce; il peso ha componente $-mg\sin\theta$ (riporta sempre il punto verso la verticale: se $\theta > 0$ spinge verso $\theta$ decrescente):

Legge (equazione del moto del pendolo). $$m\ell\,\ddot\theta = -mg\sin\theta \quad \Longrightarrow \quad \ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\sin\theta$$

Esempio. $\ell = 1$ m e $\theta = 20°$: $\ddot\theta = -9{,}81\sin20° = -3{,}36\ \text{rad/s}^2$.

Normale (lungo il filo). La tensione punta verso il centro, la componente del peso lungo il filo punta verso l'esterno e vale $mg\cos\theta$. L'accelerazione verso il centro è quella centripeta $v^2/\ell$:

Formula (tensione del filo del pendolo). $$T - mg\cos\theta = m\frac{v^2}{\ell} \quad \Longrightarrow \quad T = m\left(g\cos\theta + \frac{v^2}{\ell}\right)$$

La prima equazione dà il moto, la seconda la tensione una volta nota la velocità.

Tensione negli estremi e nel punto più basso.

• Negli estremi dell'oscillazione ($\theta = \pm\theta_{\max}$) il punto è fermo un istante, $v = 0$: $T = mg\cos\theta_{\max}$, minore del peso.
• Nel punto più basso ($\theta = 0$) la velocità è massima: $T = mg + mv^2/\ell$, maggiore del peso.

Esempio. $m = 0{,}2$ kg, $\ell = 1$ m, $\theta_{\max} = 20°$. In basso la velocità è $1{,}09$ m/s (si calcola con l'energia, Conservazione dell'energia meccanicaL'energia meccanica E = K + U resta costante se compiono lavoro solo forze conservative. Se lavorano anche forze non conservative (attrito), la variazione di E è uguale al loro lavoro: W_nc = E_B − E_A. Il grafico di U(x) con la retta E mostra dove il moto è possibile e i punti di inversione.Conservazione dell'energia meccanica →: $v = \sqrt{2g\ell(1 - \cos\theta_{\max})}$), quindi $T_{\text{basso}} = 1{,}96 + 0{,}2 \cdot 1{,}18 = 2{,}20$ N; agli estremi $T = 1{,}96 \cos 20° = 1{,}84$ N. Il peso è $1{,}96$ N.

Piccole oscillazioni

L'equazione $\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\sin\theta$ non si risolve con funzioni elementari, per via del seno. Ma per angoli piccoli $\sin\theta \approx \theta$ (in radianti), con errori minimi:

Con questa approssimazione l'equazione diventa

$$\ddot\theta + \frac{g}{\ell}\,\theta = 0$$

che è l'equazione del moto armonico (Moto armonico sempliceMoto rettilineo con legge oraria x = A·sin(ωt + φ): oscilla tra −A e A con periodo T = 2π/ω. È caratterizzato da a = −ω²x, l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico; ampiezza e fase si ricavano dalle condizioni iniziali.Moto armonico semplice →, la stessa della Forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica →) con

Formula (periodo del pendolo). $$\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}, \qquad T_{\text{periodo}} = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$$

e soluzione $\theta(t) = \theta_0\sin(\omega t + \varphi)$, dove l'ampiezza angolare $\theta_0$ e la fase $\varphi$ vengono dalle condizioni iniziali esattamente come per la molla: $\theta_0 = \sqrt{\theta(0)^2 + (\dot\theta(0)/\omega)^2}$.

Esempio. $\ell = 0{,}25$ m: $T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}25}{9{,}81}} = 1$ s; con $\ell = 1$ m si ha $T = 2{,}01$ s.

Attenzione a non confondere $\omega$ con $\dot\theta$. $\omega = \sqrt{g/\ell}$ è la pulsazione, una costante; $\dot\theta(t) = \theta_0\omega\cos(\omega t + \varphi)$ è la velocità angolare del filo, che varia nel tempo (massima in basso, nulla agli estremi). Se il pendolo parte dalla verticale con velocità $v_0$: $\dot\theta(0) = v_0/\ell$ e quindi $\theta_0 = \frac{v_0}{\ell\,\omega}$.

Proprietà del periodo:

• non dipende dalla massa (la massa si semplifica: compare nel peso e nell'inerzia);
• non dipende dall'ampiezza, purché piccola (isocronismo delle piccole oscillazioni, osservato da Galileo);
• dipende solo da $\ell$ e $g$: un pendolo lungo $1$ m ha $T = 2\pi\sqrt{1/9{,}81} = 2{,}01$ s; per dimezzare il periodo bisogna ridurre la lunghezza a un quarto ($0{,}25$ m: $T = 1{,}00$ s).

Per ampiezze grandi il periodo cresce un po' (a $30°$ è circa l'$1{,}7\%$ in più), e l'isocronismo vale solo approssimativamente.

Misura di $g$ con il pendolo

Dalla formula del periodo, $T^2 = \frac{4\pi^2}{g}\,\ell$: il quadrato del periodo è proporzionale alla lunghezza. In laboratorio si misura $T$ (cronometrando molte oscillazioni e dividendo, per ridurre l'errore) per diverse lunghezze $\ell$, si riportano i punti $(\ell, T^2)$ in un grafico e si fa un fit lineare: la pendenza della retta è $\frac{4\pi^2}{g}$ (circa $4{,}02\ \text{s}^2/\text{m}$), da cui $g = \frac{4\pi^2}{\text{pendenza}}$. Usare tutti i punti insieme dà una stima di $g$ migliore di quella ricavata da una sola lunghezza, e il fit su $T^2$ (non su $T$) serve perché la relazione da verificare è lineare in quelle variabili.

Riassunto

Errori comuni

• Porre $T = mg$ (tensione uguale al peso): vale solo per il pendolo fermo in verticale. In moto la tensione cambia lungo l'oscillazione.
• Usare l'approssimazione $\sin\theta \approx \theta$ con l'angolo in gradi: vale solo in radianti.
• Confondere la pulsazione $\omega$ con la velocità angolare $\dot\theta$ del filo.
• Usare il periodo delle piccole oscillazioni per ampiezze grandi senza dirlo: i temi lo precisano ("nell'approssimazione di piccole oscillazioni").