FormularioFisica Generale 1: definizioni, teoremi e formule delle note, in ordine di capitolo

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I. Grandezze fisiche e moto rettilineo

Grandezze fisiche, unità di misura e dimensioni

Formula (risultato di una misura). $\text{valore} = \text{numero} \times \text{unità}, \qquad \text{per esempio} \quad L = 2{,}5\ \text{m}$

Esempio. La stessa lunghezza si scrive $L = 2{,}5\ \text{m} = 250\ \text{cm}$ : cambiando unità cambia il numero, non la lunghezza. Per questo $L = 2{,}5$ senza unità non è una misura.

Formula (prefissi al quadrato e al cubo). $1\ \text{dm}^3 = (10^{-1}\ \text{m})^3 = 10^{-3}\ \text{m}^3 \qquad 1\ \text{cm}^2 = (10^{-2}\ \text{m})^2 = 10^{-4}\ \text{m}^2$

Esempio. Negli esercizi di termodinamica i volumi sono spesso dati in $\text{dm}^3$ (litri): $50\ \text{dm}^3 = 50 \times 10^{-3}\ \text{m}^3 = 0{,}05\ \text{m}^3$ .

Formula (da km/h a m/s). Regola pratica: da km/h a m/s si divide per $3{,}6$ , da m/s a km/h si moltiplica per $3{,}6$ (perché $\frac{1000}{3600} = \frac{1}{3{,}6}$ ).

Esempio. $54\ \text{km/h} = 54/3{,}6 = 15\ \text{m/s}$ ; al contrario $20\ \text{m/s} = 20 \cdot 3{,}6 = 72\ \text{km/h}$ .

Formula (dimensioni delle grandezze meccaniche). $[v] = [L][T]^{-1} \qquad [a] = [L][T]^{-2} \qquad [F] = [M][L][T]^{-2} \qquad [E] = [M][L]^2[T]^{-2}$

Esempio. Energia cinetica $\frac12 m v^2$ : $[M]\,([L][T]^{-1})^2 = [M][L]^2[T]^{-2} = [E]$ , cioè $1\ \text{J} = 1\ \text{kg}\,\text{m}^2/\text{s}^2$ .

Principio di omogeneità. In ogni formula fisica corretta:

i due membri di un'uguaglianza hanno la stessa dimensione;

si possono sommare o sottrarre solo grandezze della stessa dimensione (non ha senso sommare metri e secondi);

gli argomenti di funzioni come $\sin$ , $\cos$ , $e^{(\cdot)}$ , $\ln$ sono numeri puri (adimensionali). Per questo in $e^{-t/\tau}$ la costante $\tau$ deve essere un tempo, e in $\cos(\omega t)$ la grandezza $\omega$ deve avere dimensione $[T]^{-1}$ .

Esempio. In $x = v\,t$ con $v$ in m/s e $t$ in s: $[v][T] = [L][T]^{-1}[T] = [L]$ , una lunghezza ✓. La formula $x = v\,t^2$ darebbe $[L][T]$ , che non è una lunghezza: errore.

Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazione

Definizione (velocità media). $\bar v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} \qquad [\text{m/s}]$

Esempio. Con $x(t) = 1 + 4t - t^2$ : tra $t=0$ e $t=2$ s si va da $x=1$ m a $x=5$ m, quindi $\bar v = \frac{5-1}{2-0} = 2\ \text{m/s}$ .

Definizione (velocità istantanea). $v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$

Esempio. Con $x(t) = 1 + 4t - t^2$ : $v(t) = 4 - 2t$ , quindi $v(3) = 4 - 6 = -2\ \text{m/s}$ (la pallina sta scendendo).

Grafico interattivo: Velocità v(t) = 4 − 2t (ascissa: t in s, ordinata: v in m/s). Positiva mentre sale, nulla a t = 2 s, negativa mentre scende

Definizione (accelerazione). $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2}$

Esempio. Con $v(t) = 4 - 2t$ : $a = \frac{dv}{dt} = -2\ \text{m/s}^2$ , costante; da $t=1$ s a $t=3$ s la velocità passa da $2$ a $-2$ m/s, $\bar a = \frac{-2-2}{2} = -2\ \text{m/s}^2$ .

Formula (velocità dall'accelerazione). $v(t) = v_0 + \int_{t_0}^{t} a(t')\,dt'$

Esempio. Con $a = -2\ \text{m/s}^2$ e $v_0 = 4\ \text{m/s}$ : $v(t) = 4 + \int_0^t(-2)\,dt' = 4 - 2t$ , quindi $v(3) = -2\ \text{m/s}$ .

Formula (posizione dalla velocità). $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} v(t')\,dt'$

Esempio. Con $v(t') = 4 - 2t'$ e $x_0 = 1$ m: $x(t) = 1 + 4t - t^2$ , quindi $x(2) = 1 + 8 - 4 = 5$ m.

Formula (velocità in funzione della posizione). $\int_{v_0}^{v} v'\,dv' = \int_{x_0}^{x} a(x')\,dx' \quad \Longrightarrow \quad v^2 = v_0^2 + 2\int_{x_0}^{x} a(x')\,dx'$

Esempio. Con $a = -5\ \text{m/s}^2$ costante e $v_0 = 20\ \text{m/s}$ : $v^2 = 400 - 10\,(x-x_0)$ ; dopo $30$ m è $v^2 = 100$ , cioè $v = 10\ \text{m/s}$ .

Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato

Legge oraria (moto rettilineo uniforme). $\boxed{x(t) = x_0 + v\,t}$

Esempio. Un'auto passa per il casello ( $x_0 = 0$ ) a $v = 108\ \text{km/h} = 30\ \text{m/s}$ (diviso $3{,}6$ , vedi Grandezze fisiche, unità di misura e dimensioni). Dopo $t = 20$ s è a $x = 30 \cdot 20 = 600$ m; per arrivare a $x = 9$ km $= 9000$ m impiega $t = \frac{9000}{30} = 300\ \text{s} = 5$ min.

Legge della velocità (moto uniformemente accelerato). $v(t) = v_0 + \int_0^t a\,dt' \quad \Longrightarrow \quad \boxed{v(t) = v_0 + a\,t}$

Esempio. $v_0 = 2\ \text{m/s}$ , $a = 3\ \text{m/s}^2$ : dopo $t = 4$ s è $v = 2 + 3\cdot4 = 14\ \text{m/s}$ .

Legge oraria (moto uniformemente accelerato). $x(t) = x_0 + \int_0^t (v_0 + a\,t')\,dt' = x_0 + \Big[v_0 t' + \tfrac12 a t'^2\Big]_0^t \quad \Longrightarrow \quad \boxed{x(t) = x_0 + v_0\,t + \tfrac12 a\,t^2}$

Esempio. $x_0 = 1$ m, $v_0 = 4\ \text{m/s}$ , $a = -2\ \text{m/s}^2$ : a $t = 3$ s è $x = 1 + 12 - 9 = 4$ m.

Formula (velocità senza il tempo). $\boxed{v^2 = v_0^2 + 2a\,(x - x_0)}$

Esempio. Frenata da $v_0 = 20\ \text{m/s}$ con $a = -5\ \text{m/s}^2$ fino a $v = 0$ : $0 = 400 - 10\,x$ , quindi $x = 40$ m.

Formula (velocità media nel moto uniformemente accelerato). $\bar v = \frac{x(t) - x_0}{t} = v_0 + \frac12 a t = \frac{v_0 + (v_0 + a t)}{2} = \frac{v_0 + v(t)}{2}$

Esempio. $v_0 = 2\ \text{m/s}$ , $a = 3\ \text{m/s}^2$ , $t = 2$ s: $v = 8\ \text{m/s}$ , $\bar v = \frac{2+8}{2} = 5\ \text{m/s}$ , spostamento $5\cdot2 = 10$ m.

Moto verticale dei gravi

Definizione (accelerazione di gravità). $g \approx 9{,}81\ \text{m/s}^2$

Esempio. Un sasso lasciato cadere acquista $9{,}81$ m/s ogni secondo: dopo $3$ s ha $v = 29{,}43\ \text{m/s}$ ( $\approx 106$ km/h), qualunque sia la sua massa.

Legge oraria (moto verticale dei gravi). $v(t) = v_0 - g\,t \qquad\qquad y(t) = y_0 + v_0\,t - \tfrac12 g\,t^2$

e vale la relazione senza il tempo

$v^2 = v_0^2 - 2g\,(y - y_0)$

Esempio. Lancio dal suolo con $v_0 = 15\ \text{m/s}$ : a $t = 1$ s è $v = 15 - 9{,}81 = 5{,}19\ \text{m/s}$ e $y = 15 - 4{,}905 = 10{,}1$ m.

Formula (tempo di salita). $0 = v_0 - g\,t_s \quad \Longrightarrow \quad t_s = \frac{v_0}{g}$

Esempio. $v_0 = 20\ \text{m/s}$ : $t_s = \frac{20}{9{,}81} = 2{,}04$ s.

Formula (quota massima). $0 = v_0^2 - 2g\,h_{\max} \quad \Longrightarrow \quad h_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}$

Esempio. $v_0 = 20\ \text{m/s}$ : $h_{\max} = \frac{400}{19{,}62} = 20{,}4$ m.

Formula (tempo di volo). $v_0\,t - \tfrac12 g\,t^2 = 0 \iff t\left(v_0 - \tfrac12 g\,t\right) = 0 \iff t = 0 \ \text{ oppure } \ t_v = \frac{2v_0}{g}$

Esempio. $v_0 = 20\ \text{m/s}$ , $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ : $t_s = 2{,}04$ s, $h_{\max} = \frac{400}{19{,}62} = 20{,}4$ m, $t_v = 4{,}08$ s.

Grafico interattivo: Lancio verso l'alto con v0 = 20 m/s: y(t) = 20t − 4,905t² (ascissa: t in s, ordinata: quota y in m). Salita e discesa durano 2,04 s ciascuna

Formula (tempo di caduta libera). $h - \tfrac12 g\,t_c^2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t_c = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Esempio. Da $h = 45$ m: $t_c = \sqrt{\frac{90}{9{,}81}} = 3{,}03$ s.

Formula (velocità d'arrivo in caduta libera). $v^2 = 0 - 2g\,(0 - h) = 2gh \quad \Longrightarrow \quad |v| = \sqrt{2gh}$

Esempio. Da $h = 5$ m: $t_c = \sqrt{10/9{,}81} = 1{,}01$ s, $|v| = \sqrt{98{,}1} = 9{,}90\ \text{m/s} \approx 36$ km/h. Da $h = 20$ m (quattro volte tanto) il tempo e la velocità raddoppiano soltanto, perché crescono come $\sqrt{h}$ .

Moto smorzato esponenzialmente

Definizione (moto smorzato esponenzialmente). $a = -k\,v \qquad (k > 0)$

Esempio. Con $k = 0{,}5\ \text{s}^{-1}$ e $v = 10\ \text{m/s}$ : $a = -0{,}5\cdot10 = -5\ \text{m/s}^2$ ; quando $v$ scende a $2\ \text{m/s}$ la frenata è solo $a = -1\ \text{m/s}^2$ .

Definizione (costante di tempo). $\tau = \frac{1}{k} \quad [\text{s}]$

Esempio. $k = 0{,}5\ \text{s}^{-1}$ dà $\tau = 2$ s: ogni $\tau$ la velocità si riduce al $37\%$ , e si dimezza in $\tau\ln2 = 1{,}39$ s.

Legge della velocità (moto smorzato). $\boxed{v(t) = v_0\,e^{-t/\tau}}$

Esempio. $v_0 = 10\ \text{m/s}$ , $\tau = 2$ s: $v(4) = 10\,e^{-2} = 1{,}35\ \text{m/s}$ .

Legge oraria (moto smorzato). $x(t) = x_0 + \int_0^t v_0\,e^{-t'/\tau}\,dt' = x_0 + v_0\Big[-\tau\,e^{-t'/\tau}\Big]_0^t = x_0 + v_0\,\tau\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$

Esempio. $x_0 = 0$ , $v_0 = 10\ \text{m/s}$ , $\tau = 2$ s: $x(4) = 20\,(1 - e^{-2}) = 17{,}3$ m.

Formula (spazio totale percorso). $x_\infty = \lim_{t \to +\infty} x(t) = x_0 + v_0\,\tau$

Esempio. $v_0 = 10\ \text{m/s}$ , $\tau = 2$ s: $x_\infty - x_0 = 20$ m; già a $t = 6$ s ( $3\tau$ ) ha percorso il $1 - e^{-3} = 95\%$ di questa distanza.

Grafico interattivo: Legge oraria x(t) = 20·(1 − e^(−t/2)) con v0 = 10 m/s, τ = 2 s, x0 = 0 (ascissa: t in s, ordinata: x in m). Il corpo si avvicina a 20 m senza raggiungerli

Formula (velocità in funzione della posizione). $v = v_0 - \frac{x - x_0}{\tau}$

Esempio. $v_0 = 10\ \text{m/s}$ , $\tau = 2$ s: dopo $x - x_0 = 12{,}6$ m è $v = 10 - \frac{12{,}6}{2} = 3{,}7\ \text{m/s}$ .

Moto armonico semplice

Legge oraria (moto armonico semplice). $\boxed{x(t) = A\,\sin(\omega t + \varphi)}$

Esempio. $x(t) = 0{,}05\,\sin(4\pi t + \frac\pi6)$ : a $t=0$ è $x = 0{,}05\sin\frac\pi6 = 0{,}025$ m, mentre l'ampiezza è $5$ cm.

Formula (periodo e frequenza). $T = \frac{2\pi}{\omega} \quad [\text{s}] \qquad\qquad \nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} \quad [\text{Hz} = \text{s}^{-1}]$

Esempio. $x(t) = 0{,}05\,\sin(4\pi t)$ (metri, secondi): ampiezza $5$ cm, $\omega = 4\pi\ \text{rad/s} \approx 12{,}6\ \text{rad/s}$ , $T = \frac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5$ s, $\nu = 2$ Hz: due oscillazioni complete al secondo.

Formula (velocità e accelerazione nel moto armonico). $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega\,\cos(\omega t + \varphi)$

$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2\,\sin(\omega t + \varphi)$

Esempio. $A = 0{,}05$ m, $\omega = 4\pi\ \text{rad/s}$ : $v_{\max} = A\omega = 0{,}628\ \text{m/s}$ e $a_{\max} = A\omega^2 = 7{,}9\ \text{m/s}^2$ .

Grafico interattivo: Posizione x(t) = 0,05·sin(4πt) (ascissa: t in s, ordinata: x in m). Periodo T = 0,5 s

Legge (equazione dell'oscillatore armonico). $\boxed{a = -\omega^2\,x} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2\,x = 0$

Esempio. Se $a = -25\,x$ (in unità SI) allora $\omega^2 = 25$ , $\omega = 5\ \text{rad/s}$ e $T = \frac{2\pi}{5} = 1{,}26$ s.

Criterio (moto armonico). Se in un problema si trova che l'accelerazione è $a = -(\text{costante positiva}) \cdot x$ , il moto è armonico, con $\omega = \sqrt{\text{costante}}$ .

Esempio. Una massa $m = 0{,}2$ kg su una molla $k = 80$ N/m ha $a = -400\,x$ , quindi $\omega = 20\ \text{rad/s}$ e $T = 0{,}314$ s.

Formula (ampiezza dalle condizioni iniziali). $A = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}$

Esempio. $x_0 = 0{,}03$ m, $v_0 = 0{,}4\ \text{m/s}$ , $\omega = 10\ \text{rad/s}$ : $A = \sqrt{0{,}03^2 + 0{,}04^2} = 0{,}05$ m.

Formula (velocità in funzione della posizione). $x^2 + \frac{v^2}{\omega^2} = A^2 \quad \Longrightarrow \quad v = \pm\,\omega\sqrt{A^2 - x^2}$

Esempio. $A = 5$ cm, $\omega = 4\pi\ \text{rad/s}$ , $x = 3$ cm: $|v| = 4\pi\sqrt{25-9}\ \text{cm/s} = 50{,}3\ \text{cm/s}$ .

II. Vettori

Vettori - componenti, somma e modulo

Proprietà (disuguaglianza triangolare). $\big|\,|\vec a| - |\vec b|\,\big| \;\le\; |\vec a + \vec b| \;\le\; |\vec a| + |\vec b|$

Esempio. Con $|\vec a| = 3$ e $|\vec b| = 4$ il modulo della somma sta tra $|3-4| = 1$ (vettori opposti) e $3+4 = 7$ (vettori concordi); se sono perpendicolari vale $\sqrt{9+16} = 5$ .

Definizione (versore). $\hat a = \frac{\vec a}{|\vec a|} \qquad \Longrightarrow \qquad \vec a = |\vec a|\,\hat a$

Esempio. $\vec a = (3, 4)$ m ha $|\vec a| = 5$ m, quindi $\hat a = \left(\frac35, \frac45\right) = (0{,}6;\ 0{,}8)$ , adimensionale e di modulo $1$ .

Formula (componenti da modulo e angolo). $a_x = a\cos\theta \qquad a_y = a\sin\theta$

Esempio. $a = 10$ m a $\theta = 30°$ dall'asse $x$ : $a_x = 10\cos30° = 8{,}66$ m, $a_y = 10\sin30° = 5$ m.

Grafico interattivo: Componenti di un vettore di modulo a = 10 e angolo θ = 30° con l'asse x: aₓ = a cosθ = 8,66 (cateto adiacente all'angolo) e a_y = a sinθ = 5,00 (cateto opposto)

Formula (modulo e angolo dalle componenti). $a = |\vec a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \qquad \tan\theta = \frac{a_y}{a_x}$

Esempio. $\vec a = (-3, 4)$ m. Modulo $\sqrt{9 + 16} = 5$ m. $\arctan\frac{4}{-3} = -53{,}1°$ , ma il vettore ha $a_x < 0$ e $a_y > 0$ , quindi sta nel secondo quadrante: $\theta = -53{,}1° + 180° = 126{,}9°$ . Controllo: $5\cos 126{,}9° = -3{,}0$ ✓, $5\sin 126{,}9° = 4{,}0$ ✓.

Grafico interattivo: Il vettore a = (−3; 4) m sta nel secondo quadrante: l'angolo è 126,9°. L'arcotangente dà −53,1°, cioè la direzione del vettore opposto (3; −4), che ha la stessa tangente

Formula (somma e prodotto per un numero con le componenti). $\vec a + \vec b = (a_x + b_x,\ a_y + b_y,\ a_z + b_z) \qquad \lambda\vec a = (\lambda a_x,\ \lambda a_y,\ \lambda a_z)$

Esempio. $\vec a = (2, -1, 3)$ e $\vec b = (1, 4, 0)$ : $\vec a + \vec b = (3, 3, 3)$ e $2\vec a = (4, -2, 6)$ .

Grafico interattivo: Somma delle due forze dell'esempio con la regola del parallelogramma (ascissa: Fx in N, ordinata: Fy in N): F₁ = 10 N a 30°, F₂ = 6 N verso il basso, risultante F = (8,66; −1,00) N, lunga 8,72 N a −6,6°

Formula (spostamento). $\Delta\vec r = \vec r_2 - \vec r_1 = (x_2 - x_1)\,\hat\imath + (y_2 - y_1)\,\hat\jmath + (z_2 - z_1)\,\hat k$

Esempio. Da $P_1 = (1, 2)$ m a $P_2 = (4, 6)$ m: $\Delta\vec r = (3, 4)$ m, di modulo $\sqrt{9+16} = 5$ m.

Grafico interattivo: Vettori posizione r₁ = (1; 2) m ed r₂ = (5; 4) m dall'origine, e spostamento Δr = r₂ − r₁ = (4; 2) m: la freccia dal punto P₁ = (1; 2) al punto P₂ = (5; 4)

Prodotto scalare e prodotto vettoriale

Definizione (prodotto scalare). $\vec a \cdot \vec b = |\vec a|\,|\vec b|\cos\theta = a\,b\cos\theta$

Esempio. Una forza di $10$ N su uno spostamento di $3$ m inclinato di $60°$ rispetto alla forza: $\vec F\cdot\Delta\vec r = 10\cdot3\cos60° = 15\ \text{J}$ .

Criterio (perpendicolarità). due vettori non nulli sono perpendicolari se e solo se $\vec a \cdot \vec b = 0$ . È il criterio più comodo per verificare che due direzioni siano ortogonali.

Esempio. $\vec a = (2, 3)$ e $\vec b = (-3, 2)$ : $\vec a\cdot\vec b = -6 + 6 = 0$ , quindi sono perpendicolari.

Formula (prodotto scalare con le componenti). $\boxed{\vec a \cdot \vec b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}$

Esempio. $\vec a = (1, 2, 3)$ e $\vec b = (4, -5, 6)$ : $\vec a\cdot\vec b = 4 - 10 + 18 = 12$ .

Formula (angolo tra due vettori). $\cos\theta = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\,|\vec b|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{|\vec a|\,|\vec b|}$

Esempio. $\vec a = (2, 1, 0)$ , $\vec b = (1, 3, 0)$ . Allora $\vec a \cdot \vec b = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 0 = 5$ , $|\vec a| = \sqrt 5$ , $|\vec b| = \sqrt{10}$ , e $\cos\theta = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt 2}$ : $\theta = 45°$ .

Grafico interattivo: a = (2; 1) e b = (1; 3) formano un angolo θ = 45° e a·b = 5. La proiezione di b sulla retta di a (segmento tratteggiato perpendicolare) ha lunghezza b cosθ = √10·0,707 = 2,24, che qui coincide con |a| = √5

Definizione (prodotto vettoriale). Il prodotto vettoriale di $\vec a$ e $\vec b$ è il vettore $\vec c = \vec a \times \vec b$ (si legge "a vettor b"; in alcuni testi $\vec a \wedge \vec b$ ) con:

modulo $|\vec a \times \vec b| = a\,b\sin\theta$ ( $0 \le \theta \le 180°$ , quindi il modulo è $\ge 0$ );

direzione perpendicolare sia ad $\vec a$ sia a $\vec b$ , cioè perpendicolare al piano che contiene le due frecce;

verso dato dalla regola della mano destra: si dispone il pollice lungo $\vec a$ , l'indice lungo $\vec b$ , e il medio (piegato a $90°$ rispetto al palmo) indica il verso di $\vec a \times \vec b$ . In modo equivalente: chiudendo le dita della mano destra nel verso che porta $\vec a$ su $\vec b$ per l'angolo più piccolo, il pollice indica il verso del prodotto (regola della vite: una vite che ruota da $\vec a$ verso $\vec b$ avanza nel verso di $\vec a \times \vec b$ ).

Esempio. $a = 3$ m e $b = 4$ m con $\theta = 30°$ : $|\vec a\times\vec b| = 3\cdot4\sin30° = 6\ \text{m}^2$ , direzione perpendicolare al piano dei due vettori.

Formula (prodotti tra i versori). $\hat\imath \times \hat\jmath = \hat k \qquad \hat\jmath \times \hat k = \hat\imath \qquad \hat k \times \hat\imath = \hat\jmath$

Esempio. $(2\hat\imath)\times(3\hat\jmath) = 6\,\hat k$ , mentre invertendo l'ordine $(3\hat\jmath)\times(2\hat\imath) = -6\,\hat k$ .

Formula (prodotto vettoriale con le componenti). $\vec a \times \vec b = (a_y b_z - a_z b_y)\,\hat\imath + (a_z b_x - a_x b_z)\,\hat\jmath + (a_x b_y - a_y b_x)\,\hat k$

Esempio. $\vec a = (1, 2, 3)$ e $\vec b = (4, 5, 6)$ : $\vec a\times\vec b = (2\cdot6 - 3\cdot5,\ 3\cdot4 - 1\cdot6,\ 1\cdot5 - 2\cdot4) = (-3,\ 6,\ -3)$ .

Formula (prodotto vettoriale nel piano). $\vec a \times \vec b = (a_x b_y - a_y b_x)\,\hat k$

Esempio. Con gli stessi vettori di prima, $\vec a = (2, 1, 0)$ , $\vec b = (1, 3, 0)$ : $\vec a \times \vec b = (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1)\,\hat k = 5\,\hat k$ . Controllo con la definizione: $ab\sin\theta = \sqrt{5}\sqrt{10}\sin 45° = \sqrt{50} \cdot \frac{\sqrt2}{2} = 5$ ✓. Il segno è positivo perché $\vec b$ (a $71{,}6°$ dall'asse $x$ ) si raggiunge da $\vec a$ (a $26{,}6°$ ) girando in senso antiorario.

Grafico interattivo: L'area del parallelogramma di lati a = (2; 1) e b = (1; 3) vale |a × b| = ab sinθ = 5, cioè la componente z del prodotto vettoriale (uscente dal foglio, perché da a a b si gira in senso antiorario)

Derivata e integrale di un vettore

Formula (derivata di un vettore). $\boxed{\frac{d\vec a}{dt} = \frac{da_x}{dt}\,\hat\imath + \frac{da_y}{dt}\,\hat\jmath + \frac{da_z}{dt}\,\hat k}$

Esempio. $\vec r(t) = (3t)\,\hat\imath + (4t - 5t^2)\,\hat\jmath$ : $\vec v = 3\,\hat\imath + (4 - 10t)\,\hat\jmath$ , quindi a $t = 2$ s è $\vec v = (3, -16)$ m/s.

Proprietà (derivata di un vettore di modulo costante). $0 = \frac{d}{dt}(\vec a \cdot \vec a) = 2\,\vec a \cdot \frac{d\vec a}{dt} \quad \Longrightarrow \quad \vec a \perp \frac{d\vec a}{dt}$

Esempio. $\vec a = (3\cos t,\ 3\sin t)$ ha modulo $3$ ; la derivata è $(-3\sin t,\ 3\cos t)$ e il prodotto scalare è $-9\sin t\cos t + 9\sin t\cos t = 0$ : sono perpendicolari.

Formula (derivata di un versore). $\boxed{\frac{d\hat u}{dt} = \frac{d\varphi}{dt}\,\hat n}$

Esempio. Un versore che ruota a $\frac{d\varphi}{dt} = 2\ \text{rad/s}$ ha derivata di modulo $2\ \text{s}^{-1}$ ; quando $\hat u = \hat\imath$ vale $\frac{d\hat u}{dt} = 2\,\hat\jmath$ .

Formula (derivata di un vettore scritto come modulo per versore). $\frac{d\vec a}{dt} = \underbrace{\frac{da}{dt}\,\hat u}_{\text{parallela ad } \vec a} + \underbrace{a\,\frac{d\varphi}{dt}\,\hat n}_{\text{perpendicolare ad } \vec a}$

Esempio. $\vec a = 2t\,\hat u$ con $\varphi = 3t$ : a $t=1$ s è $\frac{d\vec a}{dt} = 2\,\hat u + 6\,\hat n$ , di modulo $\sqrt{4+36} = 6{,}32$ .

Formula (velocità e posizione dall'accelerazione). $\vec v(t) = \vec v_0 + \int_{t_0}^{t} \vec a(t')\,dt' \qquad \vec r(t) = \vec r_0 + \int_{t_0}^{t} \vec v(t')\,dt'$

Esempio. $\vec a = (0, -9{,}81)\ \text{m/s}^2$ , $\vec v_0 = (3, 4)$ m/s, $\vec r_0 = \vec 0$ , $t = 0{,}5$ s: $\vec v = (3;\ -0{,}91)$ m/s e $\vec r = (1{,}5;\ 0{,}77)$ m.

III. Cinematica nel piano

Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazione

Definizione (vettore posizione). $\vec r(t) = x(t)\,\hat\imath + y(t)\,\hat\jmath$

Esempio. Con $x = 3t$ e $y = 4t - 5t^2$ : a $t = 1$ s è $\vec r = (3, -1)$ m, a distanza $\sqrt{9+1} = 3{,}16$ m dall'origine.

Grafico interattivo: Traiettoria dell'esempio guida, y = (4/3)x − (5/9)x² (ascissa: x in m, ordinata: y in m). Non è un diagramma orario: qui in ascissa c'è una posizione, non il tempo

Definizione (velocità media nel piano). $\vec v_m = \frac{\Delta\vec r}{\Delta t}$

Esempio. Da $\vec r(0) = (0, 0)$ a $\vec r(1) = (3, -1)$ m: $\vec v_m = \frac{(3, -1)}{1} = (3, -1)$ m/s.

Definizione (velocità nel piano). $\vec v = \frac{d\vec r}{dt} = \frac{dx}{dt}\,\hat\imath + \frac{dy}{dt}\,\hat\jmath = v_x\,\hat\imath + v_y\,\hat\jmath$

Esempio. Con $v_x = 3$ e $v_y = 4 - 10t$ : a $t = 0{,}2$ s è $\vec v = (3,\ 2)$ m/s, di modulo $\sqrt{13} = 3{,}61$ m/s.

Definizione (accelerazione nel piano). $\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d^2\vec r}{dt^2} = a_x\,\hat\imath + a_y\,\hat\jmath, \qquad a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2},\quad a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d^2y}{dt^2}$

Esempio. Da $\vec v = (3,\ 4-10t)$ : $a_x = 0$ , $a_y = -10\ \text{m/s}^2$ , quindi $\vec a = (0, -10)$ m/s² in ogni istante.

Formula (accelerazione tangenziale e normale). $\boxed{\vec a = \frac{dv}{dt}\,\hat u_T + \frac{v^2}{R}\,\hat u_N} \qquad a_T = \frac{dv}{dt}, \qquad a_N = \frac{v^2}{R}, \qquad |\vec a| = \sqrt{a_T^2 + a_N^2}$

Esempio. $\vec v = (3, 4)$ m/s e $\vec a = (0, -10)$ m/s²: $a_T = \frac{0\cdot3 + (-10)\cdot4}{5} = -8\ \text{m/s}^2$ , $a_N = \frac{|3\cdot(-10) - 0|}{5} = 6\ \text{m/s}^2$ e $R = \frac{v^2}{a_N} = \frac{25}{6} = 4{,}17$ m.

Formula (moto con accelerazione costante nel piano). $\vec v(t) = \vec v_0 + \vec a\,t \qquad \vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0\,t + \tfrac12\,\vec a\,t^2$

Esempio. $\vec a = (0, -10)$ m/s², $\vec v_0 = (3, 4)$ m/s, $\vec r_0 = \vec 0$ , $t = 0{,}4$ s: $\vec v = (3,\ 0)$ m/s e $\vec r = (1{,}2;\ 0{,}8)$ m.

Principio di indipendenza dei moti. Lungo $x$ conta solo $a_x$ , lungo $y$ solo $a_y$ : i due moti proiettati non si influenzano. Un proiettile lanciato orizzontalmente e un sasso lasciato cadere dalla stessa altezza nello stesso istante arrivano a terra insieme, perché lungo $y$ fanno esattamente lo stesso moto. È l'idea su cui si basa il Moto parabolico.

Esempio. Da $h = 20$ m una pallina lasciata cadere e una lanciata orizzontalmente a $10$ m/s toccano terra insieme dopo $\sqrt{40/9{,}81} = 2{,}02$ s: lungo $y$ il moto è lo stesso.

Moto parabolico

Formula (traiettoria del moto parabolico). $\boxed{y = x\tan\theta - \frac{g}{2 v_0^2\cos^2\theta}\,x^2}$

Esempio. $v_0 = 20$ m/s, $\theta = 30°$ : $y = 0{,}577\,x - 0{,}0163\,x^2$ (in metri).

Formula (quota massima del proiettile). $\boxed{H = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}}$

Esempio. $v_0 = 20$ m/s, $\theta = 30°$ : $H = \frac{100}{19{,}62} = 5{,}1$ m.

Formula (tempo di volo). $t_v = \frac{2 v_0\sin\theta}{g} = 2\,t_H$

Esempio. $v_0 = 20$ m/s, $\theta = 30°$ : $t_v = \frac{2\cdot20\cdot0{,}5}{9{,}81} = 2{,}04$ s.

Formula (gittata). $x_G = v_0\cos\theta \cdot t_v = \frac{2 v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g} \quad \Longrightarrow \quad \boxed{x_G = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}}$

Esempio. $v_0 = 20$ m/s, $\theta = 30°$ . Componenti: $v_{0x} = 17{,}32$ m/s, $v_{0y} = 10{,}00$ m/s. Quota massima $H = \frac{10^2}{2 \cdot 9{,}81} = 5{,}10$ m dopo $t_H = 1{,}02$ s; tempo di volo $2{,}04$ s; gittata $x_G = \frac{400 \cdot \sin 60°}{9{,}81} = 35{,}3$ m. A $45°$ si arriverebbe a $\frac{400}{9{,}81} = 40{,}8$ m; a $60°$ di nuovo a $35{,}3$ m.

Grafico interattivo: Traiettoria con v0 = 20 m/s e θ = 30°: y = 0,577x − 0,01635x² (ascissa: x in m, ordinata: y in m)

Formula (tempo di impatto da un'altezza h). $\tfrac12 g\,t^2 - v_0\sin\theta\; t - h = 0 \quad \Longrightarrow \quad t_{\text{imp}} = \frac{v_0\sin\theta + \sqrt{v_0^2\sin^2\theta + 2gh}}{g}$

Esempio. $h = 20$ m, $v_0 = 10$ m/s, $\theta = 30°$ : $t_{\text{imp}} = \frac{5 + \sqrt{25 + 392{,}4}}{9{,}81} = 2{,}59$ s.

Formula (lancio orizzontale). $h = \tfrac12 g\,t^2 \quad \Longrightarrow \quad t_{\text{imp}} = \sqrt{\frac{2h}{g}}, \qquad x_{\text{imp}} = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$

Esempio. Una pallina viene lanciata da una terrazza alta $h = 20$ m con $v_0 = 10$ m/s orizzontale. Tempo di caduta $\sqrt{40/9{,}81} = 2{,}02$ s (indipendente da $v_0$ ); arriva a $x = 10 \cdot 2{,}02 = 20{,}2$ m dalla base.

Formula (velocità all'impatto). $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \qquad \tan\alpha = \frac{v_y}{v_x}$

Esempio. Terrazza di $20$ m, $v_0 = 10$ m/s orizzontale: $v_y = -19{,}8$ m/s, $v = \sqrt{10^2 + 392} = 22{,}2$ m/s.

Moto circolare

Formula (lunghezza d'arco). $s = R\,\theta$

Esempio. $R = 2$ m e $\theta = 1{,}5$ rad: $s = R\theta = 3$ m.

Definizione (velocità angolare). $\omega = \frac{d\theta}{dt} \qquad [\text{rad/s}]$

Esempio. Un motore a $120$ giri/min fa $2$ giri al secondo: $\omega = 2\pi\cdot2 = 12{,}57\ \text{rad/s}$ .

Formula (velocità nel moto circolare). $\boxed{v = \frac{ds}{dt} = R\,\frac{d\theta}{dt} = \omega R}$

Esempio. $R = 0{,}5$ m e $\omega = 10\ \text{rad/s}$ : $v = \omega R = 5\ \text{m/s}$ .

Formula (periodo e frequenza). $T = \frac{2\pi}{\omega} \ [\text{s}] \qquad f = \frac1T = \frac{\omega}{2\pi} \ [\text{Hz} = \text{s}^{-1}] \qquad \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$

Esempio. $f = 20$ Hz: $T = \frac{1}{20} = 0{,}05$ s e $\omega = 2\pi\cdot20 = 125{,}7\ \text{rad/s}$ .

Formula (accelerazione centripeta). $\boxed{a_N = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R = \omega v}$

Esempio. Un'auto fa una curva di raggio $R = 50$ m a $v = 20$ m/s: $a_N = \frac{400}{50} = 8\ \text{m/s}^2$ , diretta verso il centro.

Grafico interattivo: Moto circolare uniforme: in ogni punto la velocità v è tangente alla circonferenza (perpendicolare al raggio) e ha modulo costante, l'accelerazione a = −ω²r punta verso il centro

Definizione (accelerazione angolare). $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2} \qquad [\text{rad/s}^2]$

Esempio. Una ruota passa da $0$ a $12\ \text{rad/s}$ in $4$ s: $\alpha = \frac{12}{4} = 3\ \text{rad/s}^2$ .

Formula (accelerazione tangenziale e centripeta nel moto circolare). $a_T = \frac{dv}{dt} = R\,\frac{d\omega}{dt} = \alpha R \qquad\qquad a_N = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$

$|\vec a| = \sqrt{a_T^2 + a_N^2} = R\sqrt{\alpha^2 + \omega^4}$

Esempio. $R = 0{,}5$ m, $\alpha = 4\ \text{rad/s}^2$ , $\omega = 3\ \text{rad/s}$ : $a_T = 2\ \text{m/s}^2$ , $a_N = 4{,}5\ \text{m/s}^2$ , $|\vec a| = 4{,}92\ \text{m/s}^2$ .

Formula (velocità come prodotto vettoriale). $\boxed{\vec v = \vec\omega \times \vec r}$

Esempio. $\vec\omega = 2\,\hat k$ rad/s e $\vec r = (0{,}3;\ 0{,}4;\ 0)$ m: $\vec v = \vec\omega\times\vec r = (-0{,}8;\ 0{,}6;\ 0)$ m/s, di modulo $1$ m/s $= \omega R$ con $R = 0{,}5$ m.

IV. Dinamica del punto materiale

Quantità di moto e impulso

Definizione (quantità di moto). $\vec p = m\,\vec v \qquad [\text{kg}\,\text{m/s}]$

Esempio. Un'auto di $m = 1200$ kg a $v = 15$ m/s ha $p = 1200\cdot15 = 18\,000\ \text{kg m/s}$ , nel verso della velocità.

Legge (seconda legge di Newton con la quantità di moto). $\vec F = \frac{d\vec p}{dt}$

Esempio. Se in $3$ s la quantità di moto di un corpo passa da $2$ a $8\ \text{kg m/s}$ nello stesso verso, la forza risultante vale $F = \frac{8-2}{3} = 2$ N.

Definizione (impulso di una forza). $\vec J = \int_{t_1}^{t_2} \vec F\,dt \qquad [\text{N}\,\text{s} = \text{kg}\,\text{m/s}]$

Esempio. Una forza costante di $50$ N che agisce per $0{,}2$ s dà un impulso $J = 50\cdot0{,}2 = 10\ \text{N s}$ .

Teorema dell'impulso. L'impulso della forza risultante in un intervallo di tempo è uguale alla variazione della quantità di moto in quell'intervallo: $\vec J = \Delta\vec p = m\vec v_2 - m\vec v_1$

Esempio. Un corpo di $m = 2$ kg passa da $3$ a $7$ m/s: $J = 2\cdot7 - 2\cdot3 = 8\ \text{N s}$ .

Formula (forza media). $\vec F_{\text{media}} = \frac{\vec J}{\Delta t} = \frac{\Delta\vec p}{\Delta t}$

Esempio. Se l'impulso di $8\ \text{N s}$ viene dato in $\Delta t = 0{,}04$ s, la forza media è $F_{\text{media}} = \frac{8}{0{,}04} = 200$ N.

Reazioni vincolari, forza peso e peso apparente

Legge (forza peso). $\vec P = m\,\vec g, \qquad |\vec g| = g \approx 9{,}81\ \text{m/s}^2, \ \text{diretta verso il basso (verso il centro della Terra)}$

Esempio. Una persona di $m = 70$ kg pesa $P = 70\cdot9{,}81 = 686{,}7$ N; sulla Luna ( $g = 1{,}62\ \text{m/s}^2$ ) pesa 113 N, ma la massa resta $70$ kg.

Formula (reazione normale su un piano orizzontale). $N - mg = m a_y = 0 \quad \Longrightarrow \quad N = mg$

Esempio. Un libro di $m = 5$ kg fermo su un tavolo: $N = mg = 49{,}1$ N, uguale al peso perché $a_y = 0$ .

Formula (peso apparente in ascensore). $N - mg = m a \quad \Longrightarrow \quad N = m(g + a)$

Esempio. Persona di $70$ kg in un ascensore che parte verso l'alto con $a = 1{,}5\ \text{m/s}^2$ : $N = 70\,(9{,}81+1{,}5) = 792$ N, contro i 687 N del peso.

Forze di attrito radente

Legge (attrito statico). $F_s \le \mu_s\,N$

Esempio. Blocco di $m = 1$ kg su un piano con $\mu_s = 0{,}5$ : $F_{s,\max} = 0{,}5\cdot1\cdot9{,}81 = 4{,}91$ N; una spinta di $3$ N viene compensata esattamente da $F_s = 3$ N.

Formula (coefficiente di attrito statico minimo). $\mu_{s,\min} = \frac{|F_s|}{N}$

Esempio. Se per tenere fermo un corpo serve $F_s = 3$ N e la normale vale $N = 10$ N, il coefficiente minimo è $\mu_{s,\min} = \frac{3}{10} = 0{,}3$ .

Legge (attrito dinamico). $F_d = \mu_d\,N$

Esempio. Blocco di $m = 1$ kg con $\mu_d = 0{,}3$ che striscia su un piano orizzontale: $F_d = 0{,}3\cdot9{,}81 = 2{,}94$ N, costante qualunque sia la velocità.

Piano inclinato

Formula (componenti del peso su un piano inclinato). $P_x = mg\sin\theta \ \ \text{(lungo il piano, verso il basso)} \qquad P_y = -mg\cos\theta \ \ \text{(contro il piano)}$

Esempio. $m = 2$ kg, $\theta = 30°$ : $P_x = 2\cdot9{,}81\cdot0{,}5 = 9{,}81$ N lungo il piano e $P_y = -2\cdot9{,}81\cdot0{,}866 = -16{,}99$ N.

Grafico interattivo: Piano inclinato di θ = 30°: il peso mg (verticale, qui lungo 3 unità) si scompone in mg sinθ = 1,5 lungo il piano verso il basso e mg cosθ = 2,6 perpendicolare al piano, contro cui spinge la normale N = mg cosθ

Formula (reazione normale su un piano inclinato). $N - mg\cos\theta = 0 \quad \Longrightarrow \quad N = mg\cos\theta$

Esempio. $m = 0{,}5$ kg, $\theta = 45°$ : $N = 0{,}5\cdot9{,}81\cdot\cos45° = 3{,}47$ N.

Formula (accelerazione su un piano inclinato liscio). $m a = mg\sin\theta \quad \Longrightarrow \quad a = g\sin\theta$

Esempio. $\theta = 30°$ : $a = 9{,}81\cdot0{,}5 = 4{,}91\ \text{m/s}^2$ , metà della caduta libera e indipendente dalla massa.

Criterio (equilibrio su piano scabro). $mg\sin\theta \le \mu_s\,mg\cos\theta \quad \Longleftrightarrow \quad \tan\theta \le \mu_s$

Esempio. Con $\mu_s = 0{,}3$ il blocchetto resta fermo solo se $\tan\theta \le 0{,}3$ , cioè $\theta \le 16{,}7°$ .

Formula (accelerazione in discesa con attrito). $m a = mg\sin\theta - \mu_d mg\cos\theta \quad \Longrightarrow \quad a = g(\sin\theta - \mu_d\cos\theta)$

Esempio. $\theta = 30°$ , $\mu_d = 0{,}2$ : $a = 9{,}81\,(0{,}5 - 0{,}2\cdot0{,}866) = 3{,}21\ \text{m/s}^2$ .

Formula (accelerazione in salita con attrito). $m a = -mg\sin\theta - \mu_d mg\cos\theta \quad \Longrightarrow \quad a = -g(\sin\theta + \mu_d\cos\theta)$

Esempio. $\theta = 30°$ , $\mu_d = 0{,}2$ , lancio verso l'alto a $v_0 = 4$ m/s: $a = -6{,}6\ \text{m/s}^2$ e si ferma dopo $\frac{16}{2\cdot6{,}6} = 1{,}21$ m.

Grafico interattivo: Accelerazione in discesa a = g(sinθ − 0,2 cosθ) in m/s² (ordinata) in funzione dell'inclinazione θ in gradi (ascissa): sotto θ ≈ 11,3° è negativa, cioè un corpo che scende rallenta

Attrito viscoso

Legge (attrito viscoso). $\vec F = -b\,\vec v$

Esempio. Con $b = 0{,}5\ \text{kg/s}$ e $v = 4\ \text{m/s}$ la forza frenante è $F = 0{,}5\cdot4 = 2$ N, opposta alla velocità; se $v = 0$ la forza è nulla.

Definizione (costante di tempo dell'attrito viscoso). $\tau = \frac{m}{b} \qquad [\text{s}]$

Esempio. $m = 2$ kg e $b = 0{,}5\ \text{kg/s}$ : $\tau = \frac{2}{0{,}5} = 4$ s.

Legge della velocità (frenata viscosa). $v(t) = v_0\,e^{-t/\tau}$

Esempio. $v_0 = 10\ \text{m/s}$ e $\tau = 4$ s: $v(8\ \text{s}) = 10\,e^{-2} = 1{,}35\ \text{m/s}$ .

Formula (velocità limite). $v_{\lim} = \frac{mg}{b} = g\,\tau$

Esempio. Una pallina di $m = 10$ g con $b = 0{,}05\ \text{kg/s}$ ha $v_{\lim} = \frac{0{,}01\cdot9{,}81}{0{,}05} = 1{,}96\ \text{m/s}$ e $\tau = 0{,}2$ s.

Legge della velocità (caduta in un fluido). $\int_0^v \frac{dv'}{v_{\lim} - v'} = \int_0^t \frac{dt'}{\tau} \quad \Longrightarrow \quad -\ln\frac{v_{\lim} - v}{v_{\lim}} = \frac{t}{\tau} \quad \Longrightarrow \quad v(t) = v_{\lim}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$

Esempio. Con $v_{\lim} = 1{,}96\ \text{m/s}$ e $\tau = 0{,}2$ s: $v(0{,}4\ \text{s}) = 1{,}96\,(1 - e^{-2}) = 1{,}7\ \text{m/s}$ .

Grafico interattivo: Caduta con attrito viscoso, m = 0,05 kg e b = 0,2 kg/s (τ = 0,25 s): velocità v(t) in m/s (ordinata) in funzione del tempo t in s (ascissa)

Forza elastica

Legge di Hooke. $F = -k\,\Delta x$

Esempio. Molla con $k = 200$ N/m allungata di $\Delta x = 5$ cm: $F = -200\cdot0{,}05 = -10$ N, cioè $10$ N di modulo, diretta verso il lato opposto all'allungamento.

Legge (moto di una massa attaccata a una molla). $m\frac{d^2x}{dt^2} = -k\,x \quad \Longrightarrow \quad \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0, \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Esempio. $m = 2$ kg e $k = 50$ N/m: $\omega = \sqrt{25} = 5\ \text{rad/s}$ e $T = \frac{2\pi}{5} = 1{,}26$ s.

Formula (ampiezza e fase di una massa su molla). $A = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}, \qquad \tan\varphi = \frac{\omega x_0}{v_0}$

Esempio. $m = 0{,}5$ kg, $k = 8$ N/m: $\omega = \sqrt{16} = 4$ rad/s, $T = \frac{2\pi}{4} = 1{,}57$ s. Il corpo parte da $x_0 = 0{,}1$ m con $v_0 = 0{,}6$ m/s: $A = \sqrt{0{,}01 + 0{,}15^2} = 0{,}180$ m, $\varphi = \arctan\frac{0{,}4}{0{,}6} = 0{,}588$ rad. Velocità massima $A\omega = 0{,}72$ m/s, accelerazione massima $A\omega^2 = 2{,}88\ \text{m/s}^2$ .

Grafico interattivo: Oscillatore con m = 0,5 kg e k = 8 N/m: posizione x(t) = 0,180 sin(4t + 0,588) in m (ordinata), tempo t in s (ascissa). Periodo 1,57 s

Formula (velocità in funzione della posizione per la molla). $\left(\frac{x}{A}\right)^2 + \left(\frac{v}{A\omega}\right)^2 = 1 \quad \Longrightarrow \quad v^2 = \omega^2\left(A^2 - x^2\right)$

Esempio. $A = 0{,}1$ m e $\omega = 4\ \text{rad/s}$ : a $x = 0{,}06$ m è $|v| = 4\sqrt{0{,}01 - 0{,}0036} = 0{,}32\ \text{m/s}$ .

Proprietà (molla più forza costante). Il moto è ancora armonico, con la stessa $\omega = \sqrt{k/m}$ , ma attorno alla posizione di equilibrio invece che attorno alla lunghezza di riposo. La forza costante sposta il centro delle oscillazioni e non cambia il periodo.

Esempio. Massa $m = 0{,}5$ kg appesa a una molla con $k = 50$ N/m: l'equilibrio è allungato di $\frac{mg}{k} = 0{,}098$ m e si oscilla con $\omega = \sqrt{100} = 10\ \text{rad/s}$ , come senza peso.

Forza centripeta nel moto curvilineo

Legge (seconda legge lungo tangente e normale). $F_T = m\,\frac{dv}{dt} \qquad\qquad F_N = m\,\frac{v^2}{R}$

Esempio. Auto di $m = 1000$ kg che percorre una curva di raggio $R = 50$ m a $v = 10$ m/s costante: $F_T = 0$ e $F_N = 1000\cdot\frac{100}{50} = 2000$ N verso il centro.

Formula (velocità massima in una curva piana). $F_s = m\frac{v^2}{R} \le \mu_s mg \quad \Longrightarrow \quad v \le \sqrt{\mu_s g R}$

Esempio. Con $R = 50$ m e $\mu_s = 0{,}8$ : $v_{\max} = \sqrt{0{,}8 \cdot 9{,}81 \cdot 50} = 19{,}8$ m/s $\approx 71$ km/h. Su strada bagnata ( $\mu_s$ minore) la velocità massima cala; non dipende dalla massa dell'auto.

Formula (velocità di progetto di una curva sopraelevata). $\tan\theta = \frac{v^2}{gR} \quad \Longrightarrow \quad v = \sqrt{gR\tan\theta}$

Esempio. è la velocità "di progetto" a cui si curva senza bisogno di attrito. Con $R = 50$ m e $\theta = 20°$ : $v = 13{,}4$ m/s $\approx 48$ km/h. Notare che qui la normale non vale $mg$ ma $mg/\cos\theta$ : ancora una volta la normale si ricava dalle equazioni.

Grafico interattivo: Curva sopraelevata di θ = 20° vista in sezione (il centro della curva è a sinistra): il peso mg (3 unità) e la normale N = mg/cosθ = 3,2 hanno per somma una forza orizzontale mg tanθ = 1,1 verso il centro, che è la forza centripeta mv²/R

Formula (reazione normale in una guida circolare verticale). $N - mg\cos\theta = m\frac{v^2}{R} \quad \Longrightarrow \quad N = m\left(\frac{v^2}{R} + g\cos\theta\right)$

Esempio. $m = 0{,}5$ kg, $R = 0{,}8$ m, $v = 4$ m/s nel punto più basso ( $\theta = 0$ ): $N = 0{,}5\,(9{,}81 + 20) = 14{,}9$ N.

Grafico interattivo: Guida circolare verticale: a θ = 60° dalla verticale verso il basso la normale N punta al centro; il peso mg si scompone in mg cosθ verso l'esterno (si sottrae a N nella normale) e mg sinθ lungo la tangente, che frena il blocchetto in salita

Criterio (velocità minima in cima alla guida circolare). $v_{\text{alto}} \ge \sqrt{gR}$

Esempio. Giro della morte con $R = 0{,}8$ m: $v_{\text{alto}} \ge \sqrt{9{,}81\cdot0{,}8} = 2{,}8$ m/s.

Formula (reazione normale su un dosso). $mg - N = m\frac{v^2}{R} \quad \Longrightarrow \quad N = m\left(g - \frac{v^2}{R}\right)$

Esempio. Auto di $1000$ kg su un dosso con $R = 40$ m a $v = 15$ m/s: $N = 1000\,(9{,}81 - 5{,}625) = 4185$ N, meno del peso ( $9810$ N).

Tensione dei fili e carrucole

Formula (macchina di Atwood). $a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\,g, \qquad T = m_1(g + a) = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2}\,g$

Esempio. $m_1 = 2$ kg, $m_2 = 3$ kg: $a = \frac{1}{5}\,9{,}81 = 1{,}96\ \text{m/s}^2$ , $T = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3}{5}\,9{,}81 = 23{,}5$ N (tra $19{,}6$ N e $29{,}4$ N ✓). Il supporto della carrucola regge $2T = 47{,}1$ N, meno del peso totale $49{,}1$ N: il sistema sta accelerando, il suo centro di massa scende accelerando.

Formula (blocco sul tavolo e massa appesa). $a = \frac{m_2 - \mu_d m_1}{m_1 + m_2}\,g, \qquad T = m_2(g - a)$

Esempio. $m_1 = 2$ kg, $\mu_d = 0{,}2$ , $m_2 = 1$ kg: $a = \frac{1 - 0{,}4}{3}\,9{,}81 = 1{,}96\ \text{m/s}^2$ , $T = 1 \cdot (9{,}81 - 1{,}96) = 7{,}85$ N. La tensione è minore del peso di $m_2$ ( $9{,}81$ N): se fosse uguale, $m_2$ non accelererebbe.

Pendolo semplice

Legge (equazione del moto del pendolo). $m\ell\,\ddot\theta = -mg\sin\theta \quad \Longrightarrow \quad \ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\sin\theta$

Esempio. $\ell = 1$ m e $\theta = 20°$ : $\ddot\theta = -9{,}81\sin20° = -3{,}36\ \text{rad/s}^2$ .

Formula (tensione del filo del pendolo). $T - mg\cos\theta = m\frac{v^2}{\ell} \quad \Longrightarrow \quad T = m\left(g\cos\theta + \frac{v^2}{\ell}\right)$

Esempio. $m = 0{,}2$ kg, $\ell = 1$ m, $\theta_{\max} = 20°$ . In basso la velocità è $1{,}09$ m/s (si calcola con l'energia, Conservazione dell'energia meccanica: $v = \sqrt{2g\ell(1 - \cos\theta_{\max})}$ ), quindi $T_{\text{basso}} = 1{,}96 + 0{,}2 \cdot 1{,}18 = 2{,}20$ N; agli estremi $T = 1{,}96 \cos 20° = 1{,}84$ N. Il peso è $1{,}96$ N.

Grafico interattivo: Pendolo semplice all'estremo dell'oscillazione (m = 0,2 kg, ℓ = 1 m, θ = 20°; frecce: 0,5 unità per newton): il peso mg = 1,96 N si scompone in mg cosθ = 1,84 N lungo il filo, equilibrata dalla tensione T (qui v = 0), e mg sinθ = 0,67 N lungo la tangente, che riporta il punto verso la verticale

Formula (periodo del pendolo). $\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}, \qquad T_{\text{periodo}} = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$

Esempio. $\ell = 0{,}25$ m: $T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}25}{9{,}81}} = 1$ s; con $\ell = 1$ m si ha $T = 2{,}01$ s.

Grafico interattivo: Periodo delle piccole oscillazioni T = 2π√(ℓ/g) in s (ordinata) in funzione della lunghezza ℓ in m (ascissa)

V. Lavoro ed energia

Lavoro e potenza

Definizione (lavoro di una forza costante). $W = \vec F \cdot \Delta\vec r = F\,\Delta r\,\cos\alpha$

Esempio. $F = 20$ N, $\Delta r = 5$ m, $\alpha = 60°$ : $W = 20\cdot5\cos60° = 50\ \text{J}$ .

Definizione (lavoro come integrale di linea). $\boxed{W_{A \to B} = \int_A^B \vec F \cdot d\vec r}$

Esempio. Forza lungo $x$ con $F_x = 3x$ (N, con $x$ in metri) da $x=0$ a $x=2$ m: $W = \int_0^2 3x\,dx = \left[\tfrac32x^2\right]_0^2 = 6\ \text{J}$ .

Formula (lavoro della forza elastica). $W_{\text{el}} = \int_{x_A}^{x_B} (-kx)\,dx = \Big[-\tfrac12 k x^2\Big]_{x_A}^{x_B} = \tfrac12 k x_A^2 - \tfrac12 k x_B^2$

Esempio. $k = 200\ \text{N/m}$ , si allunga la molla da $x_A = 0$ a $x_B = 0{,}1\ \text{m}$ . La molla compie $W_{\text{el}} = 0 - \frac12 \cdot 200 \cdot 0{,}01 = -1\ \text{J}$ : negativo, perché la molla tira indietro mentre il corpo va avanti. Quando la molla torna da $0{,}1\ \text{m}$ a $0$ compie $+1\ \text{J}$ .

Grafico interattivo: Forza elastica F = −kx con k = 200 N/m (ascissa: allungamento x in m, ordinata: F in N). Il lavoro tra due posizioni è l'area con segno sotto la retta

Formula (lavoro del peso). $W_{\text{peso}} = \int_{y_A}^{y_B} (-mg)\,dy = -mg\,(y_B - y_A) = mg\,(y_A - y_B)$

Esempio. $m = 2$ kg che scende da $y_A = 5$ m a $y_B = 2$ m: $W = 2\cdot9{,}81\cdot(5-2) = 58{,}9$ J, qualunque sia il percorso.

Definizione (potenza). $\bar P = \frac{W}{\Delta t} \quad (\text{potenza media}) \qquad\qquad P = \frac{dW}{dt} \quad (\text{potenza istantanea})$

Esempio. Un motore che compie $W = 3000$ J in $\Delta t = 10$ s ha potenza media $\bar P = 300$ W.

Formula (potenza di una forza). $\boxed{P = \frac{\vec F \cdot d\vec r}{dt} = \vec F \cdot \vec v}$

Esempio. Un'auto viaggia a velocità costante $v = 30\ \text{m/s}$ (108 km/h) e le forze resistenti (aria e rotolamento) valgono in tutto $500\ \text{N}$ . Per mantenere la velocità il motore deve spingere con $500\ \text{N}$ nel verso del moto, quindi sviluppa $P = 500 \cdot 30 = 15\,000\ \text{W} = 15\ \text{kW}$ .

Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica

Definizione (energia cinetica). $\boxed{K = \tfrac12 m v^2}$

Esempio. Un'auto di $1000\ \text{kg}$ a $72\ \text{km/h} = 20\ \text{m/s}$ ha $K = \frac12 \cdot 1000 \cdot 400 = 2 \times 10^5\ \text{J}$ .

Teorema dell'energia cinetica. Il lavoro compiuto da tutte le forze che agiscono su un punto materiale, mentre questo va dalla posizione $A$ alla posizione $B$ lungo un percorso qualsiasi, è uguale alla variazione della sua energia cinetica: $W_{\text{tot}, A \to B} = K_B - K_A = \tfrac12 m v_B^2 - \tfrac12 m v_A^2$

Esempio. Un'auto di $1000$ kg frena da $20$ m/s a $10$ m/s: $W_{\text{tot}} = \frac12\cdot1000\,(10^2 - 20^2) = -150\,000$ J, il lavoro delle forze frenanti.

Formula (potenza ed energia cinetica). $P_{\text{tot}} = \vec F \cdot \vec v = \frac{dK}{dt}$

Esempio. Se la risultante è $F = 500$ N, nel verso del moto, su un corpo che va a $v = 10$ m/s, l'energia cinetica cresce di $\frac{dK}{dt} = 500\cdot10 = 5000$ J ogni secondo.

Forze conservative ed energia potenziale

Definizione (forza conservativa). Una forza $\vec F$ (che dipende solo dalla posizione) è conservativa se il suo lavoro tra due punti $A$ e $B$ dipende solo da $A$ e da $B$ , e non dal percorso seguito per andare da $A$ a $B$ .

Esempio. Il peso di $m = 2$ kg tra due punti con dislivello $3$ m compie sempre $W = 58{,}9$ J, su rampa o su scala. L'attrito dinamico $F_d = 5$ N su un giro chiuso di $10$ m compie invece $-50$ J, quindi non è conservativo.

Definizione (energia potenziale). $U(P) = -W_{O \to P}$

Esempio. Per portare dal riferimento $O$ a quota $3$ m un corpo di $2$ kg il peso compie $W_{O\to P} = -58{,}9$ J, quindi $U(P) = +58{,}9$ J.

Formula (lavoro e variazione di energia potenziale). $\boxed{W_{A \to B} = U(A) - U(B) = -\Delta U}$

Esempio. Un corpo di $2$ kg sale da $y=1$ m a $y=4$ m: $\Delta U = 2\cdot9{,}81\cdot3 = 58{,}9$ J e il peso compie $W = -\Delta U = -58{,}9$ J.

Formula (energia potenziale del peso). $U_{\text{peso}}(y) = m g\,y \quad (+\ \text{costante})$

Esempio. $m = 0{,}5$ kg: a $y = 4$ m è $U = 19{,}6$ J, a $y = 6$ m è $U = 29{,}4$ J (zero a quota $0$ ).

Formula (energia potenziale elastica). $U_{\text{el}} = \tfrac12 k\,x^2 = \tfrac12 k\,(\ell - \ell_0)^2$

Esempio. $k = 200$ N/m e deformazione $x = 0{,}1$ m: $U_{\text{el}} = \frac12\cdot200\cdot0{,}01 = 1$ J.

Formula (forza dall'energia potenziale). $\boxed{F_x = -\frac{dU}{dx}}$

Esempio. $U = \frac12 k x^2$ con $k = 200$ N/m: $F_x = -kx$ ; a $x = 0{,}1$ m è $F_x = -20$ N, verso la zona a $U$ minore.

Criterio (equilibrio e stabilità). $\text{equilibrio in } x_0 \iff U'(x_0) = 0$

Esempio. $U(x) = 2x^3 - 6x$ (in joule, con $x$ in metri). La forza è $F_x = -U'(x) = -6x^2 + 6$ , nulla per $x = \pm 1\ \text{m}$ . La derivata seconda $U''(x) = 12x$ vale $+12$ in $x = 1$ (minimo: stabile) e $-12$ in $x = -1$ (massimo: instabile).

Grafico interattivo: Energia potenziale U(x) = 2x³ − 6x (ascissa: x in m, ordinata: U in J). Minimo in x = 1 (equilibrio stabile, U = −4 J), massimo in x = −1 (instabile, U = 4 J)

Formula (pulsazione delle piccole oscillazioni attorno a un minimo). $\omega = \sqrt{\frac{U''(x_0)}{m}}$

Esempio. $U = 2x^3 - 6x$ con $m = 1$ kg: in $x = 1$ m è $U'' = 12$ , quindi $\omega = \sqrt{12} = 3{,}46\ \text{rad/s}$ e $T = 1{,}81$ s.

Conservazione dell'energia meccanica

Definizione (energia meccanica). $\boxed{E = K + U = \tfrac12 m v^2 + U}$

Esempio. $m = 2$ kg con $v = 3$ m/s a quota $1{,}5$ m: $E = \frac12\cdot2\cdot9 + 2\cdot9{,}81\cdot1{,}5 = 38{,}4$ J.

Teorema (bilancio dell'energia meccanica). $\ W_{\text{nc}} = E_B - E_A = \Delta E$ .

Conservazione dell'energia meccanica: se le forze non conservative non compiono lavoro ( $W_{\text{nc}} = 0$ ), l'energia meccanica si conserva: $\ E_A = E_B$ , cioè $\ \frac12 m v_A^2 + U_A = \frac12 m v_B^2 + U_B$ .

Esempio. Un blocchetto parte da fermo a $h = 2$ m su uno scivolo liscio ( $W_{\text{nc}} = 0$ ): $mgh = \frac12 mv^2$ , quindi $v = \sqrt{2\cdot9{,}81\cdot2} = 6{,}26$ m/s in fondo.

Criterio (altezza minima per il giro della morte). $h \ge \tfrac52 R$

Esempio. Con $R = 0{,}4\ \text{m}$ serve $h \ge 1\ \text{m}$ . Non basta partire dalla quota $2R$ della cima: serve un margine di energia cinetica per "girare" lassù.

Criterio (zone permesse dal diagramma dell'energia). $U(x) \le E$

Esempio: molla. Un blocchetto di massa $m = 0{,}3\ \text{kg}$ attaccato a una molla di costante $k = 12\ \text{N/m}$ su un piano liscio viene spostato di $A = 0{,}2\ \text{m}$ dalla posizione di riposo e lasciato andare. L'energia è $E = \frac12 k A^2 = \frac12 \cdot 12 \cdot 0{,}04 = 0{,}24\ \text{J}$ . Il moto è confinato tra $x = -A$ e $x = +A$ (dove $\frac12 k x^2 = E$ ); la velocità è massima in $x = 0$ , dove tutta l'energia è cinetica: $\frac12 m v_{\max}^2 = E \Rightarrow v_{\max} = A\sqrt{k/m} = 0{,}2 \cdot \sqrt{40} \approx 1{,}26\ \text{m/s}$ .

Grafico interattivo: Molla: U(x) = 6x² in J (ascissa: x in m). Con E = 0,24 J il moto è possibile solo dove U ≤ E, cioè tra −0,2 m e +0,2 m (punti di inversione)

VI. Moti relativi

Moti relativi - velocità e accelerazione di trascinamento

Formula (composizione di velocità e accelerazioni con $S'$ in traslazione). $\boxed{\vec v = \vec v' + \vec v_{O'}} \qquad\qquad \boxed{\vec a = \vec a' + \vec a_{O'}}$

Esempio. Un passeggero cammina nel vagone a $v' = 1{,}5$ m/s nel verso di marcia; il treno va a $v_{O'} = 20$ m/s rispetto ai binari: $v = 1{,}5 + 20 = 21{,}5$ m/s.

Grafico interattivo: La barca sul fiume (ascissa: velocità lungo la riva in m/s, ordinata: velocità perpendicolare alla riva in m/s): v′ = 2 m/s rispetto all'acqua, v_O′ = 1,5 m/s della corrente e, sommandole, v = 2,5 m/s rispetto alla riva, inclinata di 36,9° dalla perpendicolare

Formula (trasformazioni di Galileo). $x = x' + V t, \qquad y = y', \qquad z = z', \qquad t = t'$

Esempio. $S'$ si muove a $V = 20$ m/s: un punto con $x' = 5$ m all'istante $t = 3$ s ha $x = 5 + 20\cdot3 = 65$ m in $S$ .

Formula (velocità con riferimento rotante). $\boxed{\vec v = \vec v' + \underbrace{\vec v_{O'} + \vec\omega \times \vec r'}_{\text{velocità di trascinamento}}}$

Esempio. Un punto fermo su un disco con $\omega = 2\ \text{rad/s}$ a $r' = 0{,}1$ m dal centro ha velocità di trascinamento $\omega r' = 0{,}2$ m/s, tangente al disco.

Formula (accelerazione con riferimento rotante: trascinamento e Coriolis). $\boxed{\vec a = \vec a' + \underbrace{\vec a_{O'} + \frac{d\vec\omega}{dt} \times \vec r' + \vec\omega \times (\vec\omega \times \vec r')}_{\vec a_t \ \text{(trascinamento)}} + \underbrace{2\,\vec\omega \times \vec v'}_{\vec a_c \ \text{(Coriolis)}}}$

Esempio. Disco con $\omega = 2\ \text{rad/s}$ e formica a $r' = 0{,}1$ m che cammina verso l'esterno a $v' = 0{,}05$ m/s: centripeta $\omega^2 r' = 0{,}4\ \text{m/s}^2$ e Coriolis $2\omega v' = 0{,}2\ \text{m/s}^2$ .

Sistemi di riferimento non inerziali e forze apparenti

Legge (seconda legge in un riferimento non inerziale). $\boxed{m\vec a' = \vec F + \vec F_t + \vec F_c, \qquad \vec F_t = -m\vec a_t, \qquad \vec F_c = -2m\,\vec\omega \times \vec v'}$

Esempio. Pallina di $m = 0{,}1$ kg in un vagone che accelera a $a = 3\ \text{m/s}^2$ : la forza di trascinamento è $F_t = -ma$ , di modulo $0{,}3$ N e diretta all'indietro.

VII. Sistemi di punti materiali

Sistemi di punti - forze interne ed esterne

Definizione (massa totale di un sistema). $M = \sum_{i=1}^{N} m_i$

Esempio. Tre punti di $2$ , $3$ e $5$ kg: $M = 2 + 3 + 5 = 10$ kg.

Legge (le forze interne si presentano a coppie). $\vec F_{ij} = -\vec F_{ji}$

Esempio. Due pattinatori fermi su ghiaccio liscio: se il primo spinge il secondo con $30$ N, il secondo spinge il primo con $-30$ N, e la risultante interna è $30 - 30 = 0$ .

Formula (somma delle equazioni di Newton: solo forze esterne). $\sum_i m_i\,\vec a_i = \sum_i \vec F_i^{(E)} = \vec R^{(E)}$

Esempio. Due blocchi da $2$ e $3$ kg uniti da un filo su un piano liscio e tirati da $F = 10$ N: $\sum m_i a_i = 10$ N, cioè $a = \frac{10}{5} = 2\ \text{m/s}^2$ per entrambi.

Centro di massa

Definizione (centro di massa). $\vec r_{CM} = \frac{\sum_i m_i\,\vec r_i}{\sum_i m_i} = \frac{m_1 \vec r_1 + m_2 \vec r_2 + \dots + m_N \vec r_N}{M}$

Esempio. $m_1 = 1$ kg in $x_1 = 0$ e $m_2 = 3$ kg in $x_2 = 4$ m: $x_{CM} = \frac{1\cdot0 + 3\cdot4}{4} = 3$ m, più vicino alla massa maggiore.

Formula (centro di massa di due punti). $x_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

Esempio. Terra ( $5{,}97 \times 10^{24}$ kg) e Luna ( $7{,}35 \times 10^{22}$ kg) a distanza $3{,}84 \times 10^8$ m: il CM dista dal centro della Terra $\frac{7{,}35 \times 10^{22}}{6{,}04 \times 10^{24}} \cdot 3{,}84 \times 10^8 \approx 4{,}7 \times 10^6$ m, cioè sta dentro la Terra (il raggio terrestre è $6{,}4 \times 10^6$ m).

Formula (quantità di moto totale). $\boxed{\vec P = M\,\vec v_{CM}}$

Esempio. $m_1 = 2$ kg con $v_1 = 3$ m/s e $m_2 = 1$ kg con $v_2 = -6$ m/s: $P = 6 - 6 = 0$ , quindi $v_{CM} = 0$ .

Teorema del moto del centro di massa. $\boxed{M\,\vec a_{CM} = \vec R^{(E)}} \qquad \text{equivalentemente} \qquad \frac{d\vec P}{dt} = \vec R^{(E)}$

Esempio. Un proiettile da $3$ kg che esplode in volo: finché agisce solo il peso, $M\vec a_{CM} = M\vec g$ , quindi il CM dei frammenti continua a descrivere la stessa parabola ( $a_{CM} = g$ ).

Conservazione della quantità di moto

Principio di conservazione della quantità di moto. Se la risultante delle forze esterne è nulla, la quantità di moto totale del sistema è costante: $\vec P_{\text{iniziale}} = \vec P_{\text{finale}}$ . Equivalentemente il CM si muove di moto rettilineo uniforme (o resta fermo).

Esempio. Un vagone da $2000$ kg a $3$ m/s si aggancia a uno fermo da $1000$ kg: $2000\cdot3 = 3000\,v$ , quindi $v = 2$ m/s dopo l'aggancio.

Principio (quantità di moto negli urti e nelle esplosioni). Durante un urto o un'esplosione la quantità di moto totale si conserva, anche se ci sono forze esterne, purché queste non siano impulsive. Si confronta la quantità di moto immediatamente prima con quella immediatamente dopo.

Esempio. Un fucile da $4$ kg spara un proiettile da $10$ g a $400$ m/s: $0 = 0{,}01\cdot400 + 4\,v$ , quindi il fucile rincula a $v = -1$ m/s.

Momento angolare e momento di una forza

Definizione (momento di una forza). $\vec M_O = \vec r \times \vec F \qquad \text{con } \vec r = \overrightarrow{OP} \qquad [\text{N}\cdot\text{m}]$

Esempio. Una forza di $20$ N spinge perpendicolarmente una porta a $0{,}8$ m dai cardini: $M = 0{,}8 \cdot 20 = 16$ N·m. Se spinge con un angolo di $30°$ rispetto alla porta, il braccio diventa $0{,}8 \sin 30° = 0{,}4$ m e $M = 8$ N·m.

Grafico interattivo: Porta vista dall'alto, incernierata in O (forze in scala: 1 N = 0,03 m): la forza di 20 N perpendicolare alla porta a 0,8 m dai cardini ha braccio 0,8 m e momento 16 N·m; la stessa forza inclinata di 30° ha braccio b = 0,8 sin 30° = 0,4 m, distanza di O dalla sua retta d'azione, e momento 8 N·m

Definizione (momento angolare di un punto). $\vec L_O = \vec r \times m\vec v = \vec r \times \vec p \qquad [\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}]$

Esempio. Massa $m = 0{,}5$ kg su una circonferenza di raggio $R = 2$ m con $v = 3$ m/s attorno al centro $O$ : $L_O = mvR = 0{,}5\cdot3\cdot2 = 3\ \text{kg m}^2/\text{s}$ .

Teorema del momento angolare (punto materiale). $\boxed{\frac{d\vec L_O}{dt} = \vec M_O}$

Esempio. Su un corpo fermo agisce un momento costante $M_O = 16\ \text{N m}$ : dopo $2$ s è $L_O = 16\cdot2 = 32\ \text{kg m}^2/\text{s}$ .

Principio di conservazione del momento angolare (forze centrali). $\vec L_O = \text{costante}$

Esempio: la pallina con il filo nel foro. Una pallina di $0{,}2$ kg gira su un tavolo liscio attorno a un foro, legata a un filo che passa nel foro, su un cerchio di raggio $r_1 = 0{,}5$ m a $v_1 = 2$ m/s. Tirando il filo da sotto il raggio diventa $r_2 = 0{,}25$ m. La tensione è centrale (punta sempre verso il foro), quindi $L$ si conserva: $m v_1 r_1 = m v_2 r_2 \Rightarrow v_2 = v_1 \frac{r_1}{r_2} = 4$ m/s. L'energia cinetica non si conserva: passa da $0{,}4$ J a $1{,}6$ J, e la differenza è il lavoro fatto da chi tira il filo. Svolgimento completo: Esercizio 56 · pallina legata a un filo che passa per un foro.

Formula (seconda equazione cardinale). $\boxed{\frac{d\vec L_O}{dt} = \vec M_O^{(E)}}$

Esempio. Sistema inizialmente fermo su cui il momento delle forze esterne vale $5\ \text{N m}$ per $4$ s: $L_O = 5\cdot4 = 20\ \text{kg m}^2/\text{s}$ ; se il momento è nullo $\vec L_O$ resta costante.

Teoremi di König ed energia di un sistema

Teorema di König (energia cinetica). $\boxed{K = \tfrac12 M v_{CM}^2 + K'} \qquad K' = \sum_i \tfrac12 m_i v_i'^2$

Esempio. Sistema di massa $M = 4$ kg con $v_{CM} = 2$ m/s e $K' = 3$ J: $K = \frac12\cdot4\cdot4 + 3 = 11$ J.

Formula (massa ridotta). $K' = \tfrac12 \mu\, v_{rel}^2 \qquad \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \ \text{(massa ridotta)}$

Esempio numerico. $m_1 = 2$ kg a $v_1 = 4$ m/s e $m_2 = 3$ kg a $v_2 = -1$ m/s (in verso opposto).

Energia totale: $K = \frac12 \cdot 2 \cdot 16 + \frac12 \cdot 3 \cdot 1 = 16 + 1{,}5 = 17{,}5$ J.
CM: $v_{CM} = \frac{2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1)}{5} = 1$ m/s, quindi $\frac12 M v_{CM}^2 = \frac12 \cdot 5 \cdot 1 = 2{,}5$ J.
Parte relativa: $\mu = \frac{6}{5} = 1{,}2$ kg, $v_{rel} = 5$ m/s, $K' = \frac12 \cdot 1{,}2 \cdot 25 = 15$ J.
Controllo: $2{,}5 + 15 = 17{,}5$ J ✓.

Teorema di König (momento angolare). $\boxed{\vec L_O = \vec r_{CM} \times M\vec v_{CM} + \vec L'}$

Esempio. $M = 4$ kg, $\vec r_{CM} = (1, 0)$ m, $\vec v_{CM} = (0, 2)$ m/s e $L' = 3\ \text{kg m}^2/\text{s}$ : $\vec r_{CM}\times M\vec v_{CM} = 1\cdot8 = 8$ , quindi $L_O = 8 + 3 = 11\ \text{kg m}^2/\text{s}$ .

Teorema dell'energia cinetica per un sistema. $\boxed{\Delta K = W^{(E)} + W^{(I)}}$

Esempio. Due carrelli da $1$ kg fermi con una molla compressa che libera $4$ J: $W^{(E)} = 0$ e $W^{(I)} = 4$ J, quindi $\Delta K = 4$ J pur senza forze esterne.

Principio di conservazione dell'energia meccanica di un sistema. $E = K + U^{(E)} + U^{(I)} = \text{costante}$

Esempio (pendolo sulla piattaforma liscia, Esercizio 45 · pendolo appeso a una piattaforma libera). Pesi e tensione del filo sono conservative o non compiono lavoro (il filo è inestensibile), il piano è liscio: si conserva $E$ . Insieme alla conservazione di $P_x$ dà le due velocità finali.

VIII. Urti

Urti tra punti materiali

Legge (conservazione della quantità di moto in un urto). $\boxed{m_1 \vec v_{1i} + m_2 \vec v_{2i} = m_1 \vec v_{1f} + m_2 \vec v_{2f}}$

Esempio. $m_1 = 2$ kg a $3$ m/s e $m_2 = 1$ kg a $-3$ m/s: $P = 6 - 3 = 3\ \text{kg m/s}$ prima e dopo l'urto.

Definizione (coefficiente di restituzione). $e = -\frac{v_{1f} - v_{2f}}{v_{1i} - v_{2i}} = \frac{\text{velocità relativa di allontanamento}}{\text{velocità relativa di avvicinamento}}$

Esempio. Due corpi si avvicinano a $4$ m/s e si allontanano a $2$ m/s: $e = \frac{2}{4} = 0{,}5$ , urto anelastico.

Formula (impulso ricevuto in un urto). $\vec J_1 = \int_{\Delta t} \vec F_{12}\,dt = m_1 \vec v_{1f} - m_1 \vec v_{1i}$

Esempio da esame (tema del 4 febbraio 2022). Due sferette di $m = 0{,}2$ kg si scontrano arrivando ciascuna a $v = 0{,}53$ m/s e rimbalzano con velocità di modulo $v' = 0{,}4$ m/s. Quella di sinistra arriva verso destra ( $+0{,}53$ m/s) e riparte verso sinistra ( $-0{,}4$ m/s):

Formula (conservazione della quantità di moto negli urti nel piano). $m_1 v_{1i,x} + m_2 v_{2i,x} = m_1 v_{1f,x} + m_2 v_{2f,x} \qquad m_1 v_{1i,y} + m_2 v_{2i,y} = m_1 v_{1f,y} + m_2 v_{2f,y}$

Esempio. Pallina da $0{,}2$ kg a $3$ m/s lungo $x$ urta una ferma da $0{,}3$ kg e prosegue a $1{,}2$ m/s lungo $y$ : la seconda parte con $\vec v_2 = (2;\ -0{,}8)$ m/s.

Grafico interattivo: Quantità di moto nell'urto obliquo dell'esempio (ascissa: p_x, ordinata: p_y, in kg·m/s): prima dell'urto c'è solo p = 0,2·3 = 0,6 lungo x; dopo, p₁ = (0; 0,24) e p₂ = (0,6; −0,24) hanno per somma (diagonale del parallelogramma tratteggiato) proprio p

Urto elastico e urto completamente anelastico

Formula (velocità dopo un urto completamente anelastico). $m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = (m_1 + m_2)\,V \quad \Longrightarrow \quad \boxed{V = \frac{m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i}}{m_1 + m_2} = v_{CM}}$

Esempio. $m_1 = 2$ kg a $6$ m/s urta e resta attaccata a $m_2 = 4$ kg ferma: $V = \frac{2\cdot6}{6} = 2$ m/s.

Formula (energia dissipata nell'urto completamente anelastico). $\boxed{E_{diss} = K' = \tfrac12\,\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\,(v_{1i} - v_{2i})^2}$

Esempio. Con gli stessi dati $K_i = 36$ J e $K_f = \frac12\cdot6\cdot4 = 12$ J: $E_{diss} = \frac12\cdot\frac{8}{6}\cdot36 = 24$ J.

Formula (frazione di energia dissipata con bersaglio fermo). $\frac{E_{diss}}{K_i} = \frac{\frac12 \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} v_{1i}^2}{\frac12 m_1 v_{1i}^2} = \frac{m_2}{m_1 + m_2}$

Esempio. Con $m_1 = 2$ kg e $m_2 = 4$ kg la frazione persa è $\frac{4}{6} = \frac23$ , cioè $24$ J su $36$ J.

Formula (pendolo balistico). $v = \frac{m + M}{m}\sqrt{2gh}$

Esempio. $m = 10$ g, $M = 2$ kg, $h = 10$ cm. $V = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}1} = 1{,}40$ m/s e $v = \frac{2{,}01}{0{,}01} \cdot 1{,}40 = 282$ m/s. L'energia cinetica del proiettile era $\frac12 \cdot 0{,}01 \cdot 282^2 \approx 396$ J, quella del blocco dopo l'urto solo $\frac12 \cdot 2{,}01 \cdot 1{,}40^2 \approx 1{,}97$ J: si è perso il $99{,}5\%$ $\left(= \frac{M}{m + M}\right)$ .

Proprietà (nell'urto elastico la velocità relativa si inverte). $v_{1i} + v_{1f} = v_{2i} + v_{2f} \quad \Longleftrightarrow \quad \boxed{v_{1f} - v_{2f} = -(v_{1i} - v_{2i})}$

Esempio. Due masse uguali con $v_{1i} = 5$ m/s e $v_{2i} = -1$ m/s: la velocità relativa $6$ m/s diventa $-6$ m/s, e infatti si scambiano le velocità ( $v_{1f} = -1$ m/s, $v_{2f} = 5$ m/s).

Formula (velocità finali in un urto elastico centrale). $\boxed{v_{1f} = \frac{(m_1 - m_2)\,v_{1i} + 2 m_2\,v_{2i}}{m_1 + m_2} \qquad v_{2f} = \frac{(m_2 - m_1)\,v_{2i} + 2 m_1\,v_{1i}}{m_1 + m_2}}$

Esempio. $m_1 = 2$ kg a $3$ m/s urta elasticamente $m_2 = 1$ kg ferma: $v_{1f} = \frac{1}{3}\cdot3 = 1$ m/s e $v_{2f} = \frac{4}{3}\cdot3 = 4$ m/s (quantità di moto $6 = 2 + 4$ ✓, energia $9 = 1 + 8$ ✓).

IX. Gravitazione

Legge di gravitazione universale

Legge di gravitazione universale. $\boxed{F = G\,\frac{m_1 m_2}{r^2}} \qquad G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$

Esempio. Due persone di $70$ kg a $1$ m: $F = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{70\cdot70}{1} = 3{,}27\cdot10^{-7}$ N, impercettibile.

Proprietà (corpi a simmetria sferica). Una sfera con massa distribuita in modo sfericamente simmetrico attrae un corpo esterno come se tutta la sua massa fosse concentrata nel centro.

Esempio. Un corpo di $1$ kg a distanza $r = 2R_T$ dal centro della Terra è attratto con $F = \frac{9{,}81}{4} = 2{,}45$ N: un quarto del peso al suolo.

Formula (accelerazione di gravità su un pianeta). $mg = G\,\frac{Mm}{R^2} \quad \Longrightarrow \quad \boxed{g = \frac{GM}{R^2}}$

Esempio. Terra: $g = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{(6{,}371\cdot10^6)^2} = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ .

Formula (accelerazione di gravità in funzione della quota). $g(h) = \frac{GM}{(R + h)^2} = \frac{g_0}{(1 + h/R)^2}$

Esempio. A $h = 400$ km (Stazione Spaziale): $g = \frac{9{,}81}{(1 + 400/6371)^2} = 8{,}69\ \text{m/s}^2$ .

Grafico interattivo: g(h)/g0 = 1/(1 + h/R)² in funzione della quota h misurata in raggi del pianeta (in ascissa h/R)

Legge (leggi di Keplero).

Prima legge (orbite ellittiche). I pianeti percorrono ellissi, e il Sole occupa uno dei due fuochi. Il punto più vicino al Sole si chiama perielio (per un satellite della Terra perigeo), il più lontano afelio (apogeo). Il cerchio è il caso particolare di ellisse con i due fuochi coincidenti.

Seconda legge (delle aree). Il raggio vettore Sole-pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. È la conservazione del momento angolare, perché la gravità è una forza centrale: la velocità areolare è $\frac{L}{2m}$ , costante. Conseguenza: il pianeta va più veloce al perielio e più lento all'afelio, con $v_P r_P = v_A r_A$ .

Terza legge. Il quadrato del periodo è proporzionale al cubo del semiasse maggiore $a$ : $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\,a^3$ , con la stessa costante per tutti i pianeti dello stesso Sole (dipende solo dalla massa $M$ del corpo centrale).

Esempio. Marte ha semiasse $a = 1{,}52$ UA: dalla terza legge $T^2 \propto a^3$ si ha $T = 1{,}52^{3/2} = 1{,}87$ anni.

Formula (velocità di un satellite in orbita circolare). $G\,\frac{Mm}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r} \quad \Longrightarrow \quad \boxed{v = \sqrt{\frac{GM}{r}}}$

Esempio. Stazione Spaziale, $r = 6{,}77\cdot10^6$ m: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = 7{,}67$ km/s.

Legge (terza legge di Keplero per orbite circolari). $T^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{v^2} = \frac{4\pi^2}{GM}\,r^3$

Esempio. Luna, $r = 3{,}84\cdot10^8$ m: $T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} = 27{,}4$ giorni.

Energia potenziale gravitazionale e orbite

Formula (energia potenziale gravitazionale). $\boxed{U(r) = -\frac{GMm}{r}}$

Esempio. Un corpo di $1$ kg sulla superficie terrestre: $U = -\frac{GMm}{R} = -6{,}25\cdot10^{7}$ J (zero all'infinito).

Grafico interattivo: Energia potenziale gravitazionale U(r) in unità di GMm/R, con la distanza r misurata in raggi del pianeta (in ascissa r/R, da 1 = superficie). Negativa, tende a 0 all'infinito

Formula (energia meccanica nel campo gravitazionale). $E = \tfrac12 m v^2 - \frac{GMm}{r}$

Esempio. Satellite di $100$ kg lanciato dalla superficie con $v = 10$ km/s: $E = 5\cdot10^9 - 6{,}25\cdot10^{9} = -1{,}25\cdot10^{9}$ J, negativa, quindi resta legato alla Terra.

Formula (velocità di fuga). $\tfrac12 m v_f^2 - \frac{GMm}{R} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{v_f = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2 g R}}$

Esempio. Terra: $v_f = \sqrt{2\cdot9{,}81\cdot6{,}371\cdot10^6} = 11{,}2$ km/s.

Formula (energia di un'orbita circolare). $K = \tfrac12 m v^2 = \frac{GMm}{2r} \qquad U = -\frac{GMm}{r} \qquad \boxed{E = K + U = -\frac{GMm}{2r}}$

Esempio. Satellite di $1000$ kg a $r = 6{,}77\cdot10^6$ m: $E = -\frac{GMm}{2r} = -2{,}94\cdot10^{10}$ J, pari a $-K$ .

Formula (apogeo e perigeo: conservazione del momento angolare). $m v_A r_A = m v_P r_P \quad \Longrightarrow \quad v_P = v_A\,\frac{r_A}{r_P}$

Esempio. Se $r_A = 2r_P$ e $v_A = 2$ km/s allora $v_P = 2\cdot2 = 4$ km/s: al perigeo il satellite è più veloce. 2. energia meccanica: $\tfrac12 m v_A^2 - \frac{GMm}{r_A} = \tfrac12 m v_P^2 - \frac{GMm}{r_P}$

Grafico interattivo: Orbita ellittica con il pianeta in un fuoco O (unità arbitrarie, come nel potenziale efficace): perigeo r_P = 0,78 e apogeo r_A = 2,55, dove la velocità è perpendicolare al raggio; da m v_A r_A = m v_P r_P segue v_P = v_A r_A/r_P ≈ 3,2 v_A (le frecce hanno lunghezza proporzionale alla velocità)

X. Corpo rigido

Corpo rigido e suo centro di massa

Formula (centro di massa di un corpo continuo). $\vec r_{CM} = \frac{1}{M}\int \vec r\,dm \qquad\Longleftrightarrow\qquad x_{CM} = \frac1M \int x\,dm, \quad y_{CM} = \frac1M\int y\,dm, \quad z_{CM} = \frac1M\int z\,dm$

Esempio. Asta di lunghezza $\ell = 3$ m con densità $\lambda = kx$ che cresce linearmente: $x_{CM} = \frac23\ell = 2$ m, spostato verso l'estremo più pesante (per l'asta omogenea sarebbe $1{,}5$ m).

Formula (centro di massa di un corpo composto). $\vec r_{CM} = \frac{M_1 \vec r_{CM,1} + M_2 \vec r_{CM,2} + \dots}{M_1 + M_2 + \dots}$

Esempio. Pezzo $M_1 = 3$ kg con CM in $x = 0$ e pezzo $M_2 = 1$ kg con CM in $x = 0{,}4$ m: $x_{CM} = \frac{3\cdot0 + 1\cdot0{,}4}{4} = 0{,}1$ m.

Legge (prima equazione cardinale). $\vec F^{(e)} = M\,\vec a_{CM}$

Esempio. Corpo di $M = 2$ kg con forze esterne di risultante $6$ N: $a_{CM} = \frac{6}{2} = 3\ \text{m/s}^2$ , qualunque sia il punto di applicazione.

Legge (seconda equazione cardinale). $\vec M^{(e)} = \frac{d\vec L}{dt}$

Esempio. Se il momento delle forze esterne rispetto al CM è $M^{(e)} = 4\ \text{N m}$ per $3$ s su un corpo inizialmente non rotante, $L$ cresce di $4\cdot3 = 12\ \text{kg m}^2/\text{s}$ .

Formula (velocità dei punti di un corpo rigido). $\vec v_P = \vec v_A + \vec\omega \times (\vec r_P - \vec r_A)$

Esempio. Ruota di raggio $0{,}5$ m che rotola verso destra con $\vec v_C = (1, 0)$ m/s e $\vec\omega = -2\,\hat k$ rad/s: per il punto di contatto $\vec\omega\times\vec r = (-1, 0)$ m/s, quindi $\vec v_P = (1, 0) + (-1, 0) = \vec 0$ .

Proprietà (il peso di un corpo rigido agisce nel centro di massa). Quindi, per forza e momento, il peso di un corpo rigido equivale a una sola forza $M\vec g$ applicata nel centro di massa (il baricentro coincide con il CM se $\vec g$ è uniforme). È il motivo per cui negli esercizi si disegna il peso di un'asta nel suo punto medio.

Esempio. Asta omogenea di $2$ kg e lunghezza $1$ m, orizzontale e incernierata a un estremo: il peso $19{,}62$ N va applicato a $0{,}5$ m dal perno e dà momento $M = 9{,}81\ \text{N m}$ .

Momento d'inerzia e teorema di Huygens-Steiner

Definizione (momento d'inerzia). $I = \int r^2\,dm \qquad \Big(\text{per punti: } I = \sum_i m_i r_i^2\Big) \qquad [\text{kg}\cdot\text{m}^2]$

Esempio. Due masse da $1$ kg a $0{,}5$ m dall'asse: $I = 2\cdot1\cdot0{,}5^2 = 0{,}5\ \text{kg m}^2$ .

Formula (momento d'inerzia di un anello). $I = \int R^2\,dm = R^2\int dm = M R^2$

Esempio. Anello di $M = 2$ kg e $R = 0{,}3$ m: $I = 2\cdot0{,}09 = 0{,}18\ \text{kg m}^2$ .

Formula (momento d'inerzia di un'asta rispetto al centro). $I_{CM} = \int_{-\ell/2}^{\ell/2} x^2\,\frac{M}{\ell}\,dx = \frac{M}{\ell}\Big[\frac{x^3}{3}\Big]_{-\ell/2}^{\ell/2} = \frac{M}{\ell}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{\ell^3}{8} = \frac{1}{12}M\ell^2$

Esempio. Asta di $M = 0{,}6$ kg e $\ell = 0{,}8$ m: $I_{CM} = \frac{1}{12}\cdot0{,}6\cdot0{,}64 = 0{,}032\ \text{kg m}^2$ .

Formula (momento d'inerzia di un'asta rispetto a un estremo). $I_{estr} = \int_0^\ell x^2\,\frac{M}{\ell}\,dx = \frac{M}{\ell}\cdot\frac{\ell^3}{3} = \frac13 M\ell^2$

Esempio. Stessa asta ( $M = 0{,}6$ kg, $\ell = 0{,}8$ m) attorno a un estremo: $I = \frac13\cdot0{,}6\cdot0{,}64 = 0{,}128\ \text{kg m}^2$ , quattro volte $I_{CM}$ .

Formula (momento d'inerzia di un disco). $I = \int_0^R r^2\,\sigma\,2\pi r\,dr = 2\pi\sigma\,\frac{R^4}{4} = 2\pi\,\frac{M}{\pi R^2}\,\frac{R^4}{4} = \frac12 M R^2$

Esempio. Disco di $M = 3$ kg e $R = 0{,}4$ m: $I = \frac12\cdot3\cdot0{,}16 = 0{,}24\ \text{kg m}^2$ .

Formula (momento d'inerzia di una sfera piena). $I = \int_{-R}^{R}\frac12\,\rho\,\pi\,(R^2 - z^2)^2\,dz = \frac{\rho\pi}{2}\Big[R^4 z - \frac{2R^2z^3}{3} + \frac{z^5}{5}\Big]_{-R}^{R} = \frac{\rho\pi}{2}\cdot\frac{16}{15}R^5 = \frac25 M R^2$

Esempio. Sfera di $M = 5$ kg e $R = 0{,}1$ m: $I = \frac25\cdot5\cdot0{,}01 = 0{,}02\ \text{kg m}^2$ .

Teorema di Huygens-Steiner. Sia $I_{CM}$ il momento d'inerzia di un corpo di massa $M$ rispetto a un asse passante per il suo centro di massa, e sia $a$ un asse parallelo al primo a distanza $d$ . Allora $I_a = I_{CM} + M d^2$

Esempio. Asta di $0{,}6$ kg e $0{,}8$ m attorno a un estremo ( $d = 0{,}4$ m): $I = 0{,}032 + 0{,}6\cdot0{,}16 = 0{,}128\ \text{kg m}^2$ .

Rotazione attorno a un asse fisso

Formula (velocità e accelerazioni dei punti di un corpo che ruota). $v_P = \omega\,r_P, \qquad a_{P,t} = \alpha\,r_P \ \ (\text{tangenziale}), \qquad a_{P,n} = \omega^2 r_P \ \ (\text{centripeta})$

Esempio. $\omega = 10\ \text{rad/s}$ e $r_P = 0{,}3$ m: $v_P = 3$ m/s e $a_{P,n} = \omega^2 r_P = 30\ \text{m/s}^2$ .

Formula (momento angolare lungo l'asse). $L_z = \omega\int r_\perp^2\,dm = I_z\,\omega$

Esempio. $I_z = 0{,}5\ \text{kg m}^2$ e $\omega = 4\ \text{rad/s}$ : $L_z = 2\ \text{kg m}^2/\text{s}$ .

Legge (equazione del moto di rotazione). $\boxed{M_z^{(e)} = I_z\,\alpha}$

Esempio. Momento $M_z = 6\ \text{N m}$ su un corpo con $I = 0{,}5\ \text{kg m}^2$ : $\alpha = \frac{6}{0{,}5} = 12\ \text{rad/s}^2$ .

Principio di conservazione del momento angolare (rotazione). $I\,\omega = \text{costante}$

Esempio. Pattinatrice con $I_1 = 3\ \text{kg m}^2$ e $\omega_1 = 2\ \text{rad/s}$ che chiude le braccia fino a $I_2 = 1\ \text{kg m}^2$ : $\omega_2 = \frac{3\cdot2}{1} = 6\ \text{rad/s}$ .

Formula (accelerazione angolare di un'asta lasciata cadere da orizzontale). $\alpha = \frac{Mg\,\ell/2}{\frac13 M\ell^2} = \frac{3g}{2\ell}$

Esempio. Asta con $\ell = 0{,}8$ m: $\alpha = \frac{3\cdot9{,}81}{2\cdot0{,}8} = 18{,}4\ \text{rad/s}^2$ .

Formula (blocco appeso a una carrucola con massa). $a = \frac{m}{m + M/2}\,g = \frac{m}{m + I/R^2}\,g$

Esempio. $m = 2$ kg e disco di $M = 4$ kg: $a = \frac{2}{2 + 2}\,9{,}81 = 4{,}91\ \text{m/s}^2$ , metà di $g$ .

Energia cinetica e lavoro nella rotazione

Formula (energia cinetica di rotazione). $K = \int\frac12 (\omega r)^2\,dm = \frac12\,\omega^2\int r^2\,dm = \frac12\,I\,\omega^2$

Esempio. Un disco omogeneo di massa $3$ kg e raggio $0{,}4$ m ( $I = \frac12 \cdot 3 \cdot 0{,}16 = 0{,}24\ \text{kg}\,\text{m}^2$ ) che fa $2$ giri al secondo ha $\omega = 2 \cdot 2\pi = 12{,}6$ rad/s e $K = \frac12 \cdot 0{,}24 \cdot 12{,}6^2 = 18{,}9$ J.

Teorema di König (energia di un corpo che rototrasla). $K = \frac12 M v_{CM}^2 + \frac12 I_{CM}\,\omega^2$

Esempio. $M = 2$ kg, $v_{CM} = 3$ m/s, $I_{CM} = 0{,}01\ \text{kg m}^2$ , $\omega = 20\ \text{rad/s}$ : $K = \frac12\cdot2\cdot9 + \frac12\cdot0{,}01\cdot400 = 9 + 2 = 11$ J.

Formula (lavoro di un momento). $W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M_z\,d\theta \qquad\text{e, se } M_z \text{ è costante,}\qquad W = M_z\,\Delta\theta$

Esempio: momento d'attrito. Sul perno di un'asta agisce un momento d'attrito costante $M_{attr} = 0{,}4$ N·m, sempre opposto alla rotazione. Mentre l'asta ruota di un quarto di giro ( $\Delta\theta = \pi/2$ ) compie il lavoro

Formula (potenza di un momento). $P = \frac{dW}{dt} = M_z\,\frac{d\theta}{dt} = M_z\,\omega$

Esempio. Analogo di $P = Fv$ : un motore che eroga un momento di $200$ N·m a $3000$ giri/min ( $\omega = 3000\cdot\frac{2\pi}{60} = 314$ rad/s) sviluppa $P = 200\cdot 314 = 62{,}8$ kW.

Teorema dell'energia cinetica (rotazione). $W^{(e)} = \Delta K$

Esempio. Un disco con $I = 0{,}24\ \text{kg m}^2$ parte da fermo e raggiunge $\omega = 12{,}6\ \text{rad/s}$ ( $K = 18{,}9$ J) sotto un momento costante di $2\ \text{N m}$ : $\Delta\theta = \frac{18{,}9}{2} = 9{,}45$ rad.

Formula (energia potenziale gravitazionale di un corpo rigido). $U = M g\,y_{CM}$

Esempio. Asta di $1$ kg con il CM a $0{,}5$ m sopra il livello zero: $U = 1\cdot9{,}81\cdot0{,}5 = 4{,}91$ J.

Pendolo composto

Legge (equazione del moto del pendolo composto). $I\,\ddot\theta = -m g h\sin\theta \qquad\Longrightarrow\qquad \ddot\theta + \frac{m g h}{I}\sin\theta = 0$

Esempio. Asta di $0{,}6$ kg e $0{,}8$ m appesa per un estremo ( $I = 0{,}128\ \text{kg m}^2$ , $h = 0{,}4$ m): per $\theta = 0{,}1$ rad è $\ddot\theta = -\frac{mgh}{I}\sin\theta = -1{,}84\ \text{rad/s}^2$ .

Formula (pulsazione delle piccole oscillazioni del pendolo composto). $\ddot\theta + \Omega^2\,\theta = 0, \qquad \Omega = \sqrt{\frac{m g h}{I}}$

Esempio. Stessa asta: $\Omega = \sqrt{\frac{0{,}6\cdot9{,}81\cdot0{,}4}{0{,}128}} = 4{,}29\ \text{rad/s}$ .

Formula (periodo del pendolo composto). $\boxed{T = \frac{2\pi}{\Omega} = 2\pi\sqrt{\frac{I}{m g h}}}$

Esempio. Stessa asta: $T = \frac{2\pi}{4{,}29} = 1{,}47$ s.

Definizione (lunghezza ridotta). $\ell_r = \frac{I}{m h}$

Esempio. Asta di $\ell = 0{,}8$ m appesa per un estremo: $\ell_r = \frac{2}{3}\ell = 0{,}533$ m, cioè oscilla come un pendolo semplice lungo $53{,}3$ cm.

Formula (velocità angolare massima del pendolo composto). $\omega_{max} = \sqrt{\frac{2 m g h\,(1 - \cos\theta_0)}{I}}$

Esempio. Stessa asta lasciata da $\theta_0 = 0{,}2$ rad: $\omega_{\max} = \sqrt{\frac{2\cdot0{,}6\cdot9{,}81\cdot0{,}4\,(1-\cos0{,}2)}{0{,}128}} = 0{,}86\ \text{rad/s}$ .

Formula (impulso angolare). $I\,\Delta\omega = J\,b$

Esempio. Una mazza colpisce l'estremo di un'asta ferma imperniata nel centro ( $\ell = 0{,}8$ m, $m = 0{,}5$ kg, $I = \frac{1}{12}m\ell^2 = 0{,}0267\ \text{kg}\,\text{m}^2$ ) con un impulso perpendicolare $J = 0{,}2$ N·s. Il braccio è $\ell/2 = 0{,}4$ m:

Moto di puro rotolamento

Formula (energia cinetica nel puro rotolamento). $K = \underbrace{\frac12 m v_C^2 + \frac12 I_C\omega^2}_{\text{König}} = \frac12\big(mR^2 + I_C\big)\omega^2 = \frac12 I_P\,\omega^2$

Esempio. Disco di $M = 2$ kg e $R = 0{,}2$ m con $v = 3$ m/s: $K = \frac12\cdot2\cdot9 + \frac12\cdot0{,}04\cdot15^2 = 9 + 4{,}5 = 13{,}5$ J (cioè $\frac34 Mv^2$ ).

Formula (accelerazione di un corpo che rotola su un piano inclinato). $m a = m g\sin\theta - \frac{I_C}{R^2}a \quad\Longrightarrow\quad \boxed{a = \frac{g\sin\theta}{1 + \dfrac{I_C}{m R^2}}}$

Esempio. Disco ( $k = \frac12$ ) su un piano a $\theta = 30°$ : $a = \frac{9{,}81\cdot0{,}5}{1{,}5} = 3{,}27\ \text{m/s}^2$ , contro $4{,}91\ \text{m/s}^2$ del blocco che scivola.

Criterio (attrito statico minimo per il rotolamento). $\mu_s \ge \frac{k}{1 + k}\tan\theta$

Esempio. Sfera piena ( $k = \frac25$ ) a $\theta = 30°$ : $\mu_s \ge \frac{2/5}{7/5}\tan30° = 0{,}165$ .

Grafico interattivo: Coefficiente d'attrito statico minimo per il rotolamento di un disco, μs = tan(θ)/3 (ascissa: inclinazione θ in rad, da 0 a 1,2 rad ≈ 69°; ordinata: μs)

Formula (velocità di un disco che rotola in fondo a un piano). $m g h = \frac12 m v^2 + \frac12\cdot\frac12 mR^2\Big(\frac{v}{R}\Big)^2 = \frac34 m v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac43 g h}$

Esempio. Con $h = 1$ m: $v = 3{,}62$ m/s, contro $\sqrt{2gh} = 4{,}43$ m/s di un corpo che scivola senza attrito.

Formula (velocità in fondo al piano per un corpo che rotola). Per un corpo generico $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + k}}$ .

Esempio. Sfera piena ( $k = \frac25$ ) con $h = 1$ m: $v = \sqrt{\frac{2\cdot9{,}81}{1{,}4}} = 3{,}74$ m/s.

Urti con corpi rigidi

Principio (conservazione del momento angolare nell'urto con un asse fisso). $\boxed{L_{O,\text{prima}} = L_{O,\text{dopo}}}$

Esempio. Proiettile di $0{,}1$ kg a $5$ m/s che colpisce a braccio $b = 0{,}4$ m un'asta ferma imperniata: $L_O = 0{,}1\cdot5\cdot0{,}4 = 0{,}2\ \text{kg m}^2/\text{s}$ , lo stesso dopo l'urto.

Formula (urto completamente anelastico con un corpo imperniato). $m v\,b + I\,\omega_i = (I + m d^2)\,\omega_f$

Esempio. Asta con $I = \frac{1}{12}\cdot0{,}6\cdot0{,}8^2 = 0{,}032\ \text{kg m}^2$ e proiettile attaccato a $d = 0{,}4$ m: $\omega_f = \frac{0{,}2}{0{,}032 + 0{,}1\cdot0{,}16} = 4{,}17\ \text{rad/s}$ .

Formula (impulso del vincolo). $\vec J_O = \Delta\vec P = \vec P_{dopo} - \vec P_{prima}$

Esempio. $J_O = 0{,}167 - 0{,}5 = -0{,}333$ N·s, cioè il perno ha dato un impulso di $0{,}333$ N·s opposto alla velocità del proiettile.

Formula (centro di percussione). $d = \frac{I}{M h}$

Esempio. Asta omogenea di $\ell = 0{,}8$ m appesa per un estremo: $d = \frac{I}{Mh} = \frac{\frac13\ell^2}{\ell/2} = \frac23\ell = 0{,}533$ m dal perno.

Legge (urto di un corpo rigido libero). $\vec P_{prima} = \vec P_{dopo}, \qquad \vec L_{prima} = \vec L_{dopo}$

Esempio. Proiettile di $0{,}1$ kg a $5$ m/s su un'asta libera di $0{,}6$ kg che resta attaccata: $v_{CM} = \frac{0{,}5}{0{,}7} = 0{,}714$ m/s e si conserva anche $L$ rispetto al CM.

Statica del corpo rigido

Legge (equazioni cardinali della statica). $\boxed{\vec F^{(e)} = \sum \vec F_i = 0 \qquad\text{e}\qquad \vec M^{(e)}_O = \sum \vec r_i\times\vec F_i = 0}$

Esempio. Trave appoggiata in $A$ e $B$ distanti $2$ m con un carico di $100$ N a $0{,}5$ m da $A$ (peso della trave trascurato): momenti rispetto ad $A$ , $R_B\cdot2 = 100\cdot0{,}5$ , quindi $R_B = 25$ N e $R_A = 100 - 25 = 75$ N.

Formula (attrito minimo per una scala appoggiata). $\mu_s \ge \frac{1}{2\tan\alpha} = \frac{1}{2\tan60°} = 0{,}289$

Esempio. Scala inclinata di $\alpha = 45°$ : $\mu_s \ge \frac{1}{2\tan45°} = 0{,}5$ ; a $60°$ basta $0{,}289$ .

Grafico interattivo: La scala dell'esempio (m = 10 kg, α = 60°) con le forze in scala (1 N = 0,02 unità): peso mg = 98,1 N al centro, normale del pavimento N_A = 98,1 N e attrito f_s = 28,3 N sul piede A, normale del muro N_B = 28,3 N in B. Le due forze orizzontali si bilanciano, e rispetto ad A i momenti di mg e N_B sono uguali

XI. Oscillazioni

Piccole oscillazioni ed energia dell'oscillatore

Formula (energia dell'oscillatore armonico). $E = K + U = \tfrac12 k A^2 = \text{costante}$

Esempio. $k = 50$ N/m e $A = 0{,}1$ m: $E = \frac12\cdot50\cdot0{,}01 = 0{,}25$ J; con $m = 0{,}5$ kg la velocità massima è $v_{\max} = \sqrt{2E/m} = 1\ \text{m/s}$ .

Grafico interattivo: Energia potenziale U = ½kx² (J, ordinata) in funzione della posizione x (m, ascissa), per k = 50 N/m: la retta orizzontale è l'energia totale per A = 0,2 m; il corpo oscilla tra le due intersezioni

Formula (molle in parallelo). $k_{par} = k_1 + k_2$

Esempio. $k_1 = 100$ N/m e $k_2 = 50$ N/m affiancate: $k_{par} = 150$ N/m.

Formula (molle in serie). $\frac{1}{k_{ser}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$

Esempio. $k_1 = 100$ N/m e $k_2 = 50$ N/m in serie: $\frac{1}{k_{ser}} = \frac{1}{100} + \frac{1}{50} = 0{,}03$ , quindi $k_{ser} = 33{,}3$ N/m.

Oscillatore armonico smorzato

Legge (equazione dell'oscillatore armonico smorzato). $m\ddot x = -k x - b\dot x \quad\Longrightarrow\quad \ddot x + 2\gamma\,\dot x + \omega_0^2\,x = 0$

Esempio. $m = 0{,}5$ kg, $k = 50$ N/m, $b = 1$ kg/s: $\omega_0 = \sqrt{100} = 10\ \text{rad/s}$ e $\gamma = \frac{1}{2\cdot0{,}5} = 1\ \text{s}^{-1}$ .

Formula (pulsazione dello smorzamento debole). $\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$

Esempio. $\omega_0 = 10\ \text{rad/s}$ e $\gamma = 1\ \text{s}^{-1}$ : $\omega_1 = \sqrt{100 - 1} = 9{,}95\ \text{rad/s}$ , quasi uguale a $\omega_0$ .

Legge (oscillazione sottosmorzata). $\boxed{x(t) = A_0\,e^{-\gamma t}\sin(\omega_1 t + \varphi)}$

Esempio. Con $A_0 = 0{,}1$ m e $\gamma = 1\ \text{s}^{-1}$ l'ampiezza dopo $1$ s è $0{,}1\,e^{-1} = 0{,}0368$ m.

Grafico interattivo: Oscillatore sottosmorzato con ω₀ = 10 rad/s e γ = 1 s⁻¹, lasciato da x₀ = 0,1 m: posizione x (m, ordinata) in funzione del tempo t (s, ascissa)

Definizione (decremento logaritmico). $\delta = \ln\frac{A_n}{A_{n+1}} = \gamma\,T_1$

Esempio. $\gamma = 1\ \text{s}^{-1}$ e $T_1 = 0{,}631$ s: $\delta = \gamma T_1 = 0{,}631$ , cioè ogni massimo è $e^{0{,}631} = 1{,}88$ volte più piccolo del precedente.

Formula (decadimento dell'energia). $E(t) \approx \tfrac12 k A_0^2\,e^{-2\gamma t}$

Esempio. $E_0 = \frac12\cdot50\cdot0{,}1^2 = 0{,}25$ J e $\gamma = 1\ \text{s}^{-1}$ : dopo $1$ s $E = 0{,}25\,e^{-2} = 0{,}034$ J.

Definizione (fattore di qualità). $Q = \frac{\omega_0}{2\gamma}$

Esempio. $\omega_0 = 10\ \text{rad/s}$ e $\gamma = 1\ \text{s}^{-1}$ : $Q = \frac{10}{2} = 5$ .

Oscillazioni forzate e risonanza

Legge (equazione dell'oscillatore forzato). $m\ddot x + b\dot x + k x = F_0\cos(\Omega t) \quad\Longrightarrow\quad \ddot x + 2\gamma\dot x + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m}\cos(\Omega t)$

Esempio. $m = 0{,}5$ kg, $k = 50$ N/m, $b = 1$ kg/s e forza $F_0 = 2$ N: $\ddot x + 2\dot x + 100\,x = 4\cos(\Omega t)$ , con $F_0/m = 4\ \text{m/s}^2$ .

Formula (ampiezza e sfasamento a regime). $\boxed{A(\Omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4\gamma^2\Omega^2}}}, \qquad \tan\delta = \frac{2\gamma\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}$

Esempio. Stessi dati con $\Omega = 9\ \text{rad/s}$ : $A = \frac{4}{\sqrt{19^2 + 4\cdot81}} = 0{,}153$ m e $\tan\delta = \frac{18}{19}$ , cioè $\delta = 43°$ .

Formula (pulsazione di risonanza dell'ampiezza). $\Omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$

Esempio. $\omega_0 = 10\ \text{rad/s}$ e $\gamma = 1\ \text{s}^{-1}$ : $\Omega_r = \sqrt{100 - 2} = 9{,}9\ \text{rad/s}$ .

Formula (amplificazione alla risonanza). $\frac{A(\omega_0)}{A(0)} = \frac{F_0/(b\omega_0)}{F_0/k} = \frac{k}{b\,\omega_0} = \frac{\omega_0}{2\gamma} = Q$

Esempio. $F_0 = 2$ N, $k = 50$ N/m: $A(0) = 0{,}04$ m e $A(\omega_0) = Q\cdot0{,}04 = 5\cdot0{,}04 = 0{,}2$ m.

Formula (potenza media assorbita a regime). $\langle P\rangle = \tfrac12\,b\,(A\Omega)^2$

Esempio. A risonanza $A = 0{,}2$ m e $\Omega = 10\ \text{rad/s}$ : $A\Omega = 2$ m/s e $\langle P\rangle = \frac12\cdot1\cdot4 = 2$ W.

Formula (larghezza della risonanza). $Q = \frac{\omega_0}{\Delta\Omega}$

Esempio. $Q = 5$ e $\omega_0 = 10\ \text{rad/s}$ : $\Delta\Omega = \frac{10}{5} = 2\ \text{rad/s}$ (circa $\omega_0 \pm \gamma$ ).

XII. Fluidi

Statica dei fluidi - pressione e legge di Stevino

Definizione (densità). $\rho = \frac{m}{V} \qquad [\text{kg/m}^3]$

Esempio. Un blocco di $2{,}7$ kg e volume $1\ \text{dm}^3 = 10^{-3}\ \text{m}^3$ ha $\rho = \frac{2{,}7}{10^{-3}} = 2700\ \text{kg/m}^3$ (alluminio).

Definizione (pressione). $p = \frac{\Delta F}{\Delta S} \qquad (\text{al limite } \Delta S \to 0: \ p = \frac{dF}{dS})$

Esempio. Una forza di $500$ N distribuita su $S = 0{,}05\ \text{m}^2$ : $p = \frac{500}{0{,}05} = 10^4\ \text{Pa} = 10$ kPa.

Legge di Stevino. $\boxed{p(h) = p_0 + \rho g h}$

Esempio. In un lago a $h = 20$ m: $p = 1{,}013\cdot10^5 + 1000\cdot9{,}81\cdot20 = 2{,}98\cdot10^{5}\ \text{Pa} \approx 2{,}9$ atm.

Grafico interattivo: Pressione nell'acqua in funzione della profondità (ascissa: h in m, ordinata: p in unità di 10⁵ Pa). Retta di pendenza ρg

Principio di Pascal. $\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \quad \Longrightarrow \quad F_2 = F_1\,\frac{S_2}{S_1}$

Esempio. Pressa idraulica con $S_1 = 10\ \text{cm}^2$ e $S_2 = 500\ \text{cm}^2$ : con $F_1 = 100$ N si ottiene $F_2 = 100\cdot\frac{500}{10} = 5000$ N.

Formula (vasi comunicanti con liquidi diversi). $p_0 + \rho_1 g h_1 = p_0 + \rho_2 g h_2 \quad \Longrightarrow \quad \rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$

Esempio. Acqua ( $\rho_1 = 1000$ ) alta $h_1 = 10$ cm contro olio ( $\rho_2 = 800$ ): $h_2 = \frac{1000\cdot10}{800} = 12{,}5$ cm.

Formula (barometro di Torricelli). $p_{\text{atm}} = 0 + \rho_{\text{Hg}}\,g\,h \quad \Longrightarrow \quad h = \frac{p_{\text{atm}}}{\rho_{\text{Hg}}\,g} = \frac{1{,}013 \times 10^5}{13{,}6 \times 10^3 \cdot 9{,}81} \approx 0{,}76\ \text{m}$

Esempio. Con l'acqua invece del mercurio: $h = \frac{1{,}013\cdot10^5}{1000\cdot9{,}81} = 10{,}3$ m.

Formula (manometro a tubo aperto). $p = p_{\text{atm}} + \rho g h$

Esempio. Dislivello $h = 20$ cm di mercurio ( $\rho = 13\,600\ \text{kg/m}^3$ ): pressione relativa $\rho g h = 26{,}7$ kPa.

Formula (forza su una parete verticale). $F = \int_0^H \rho g h \cdot b\,dh = \frac12 \rho g b H^2$

Esempio. Parete larga $b = 10$ m con acqua alta $H = 5$ m: $F = \frac12\cdot1000\cdot9{,}81\cdot10\cdot25 = 1{,}23\cdot10^{6}$ N.

Principio di Archimede

Principio di Archimede. Un corpo immerso (in tutto o in parte) in un fluido in quiete riceve una forza verticale verso l'alto, detta spinta di Archimede, uguale al peso del fluido spostato: $F_A = \rho_f\,V_{\text{imm}}\,g$

Esempio. Cubo di volume $V = 1\ \text{dm}^3$ completamente immerso in acqua: $F_A = 1000\cdot10^{-3}\cdot9{,}81 = 9{,}81$ N, qualunque sia il materiale.

Formula (peso apparente). $P_{\text{app}} = (\rho_c - \rho_f)\,V\,g$

Esempio. Sasso di $1\ \text{dm}^3$ e $\rho_c = 2500\ \text{kg/m}^3$ in acqua: $P_{\text{app}} = (2500 - 1000)\cdot10^{-3}\cdot9{,}81 = 14{,}7$ N.

Formula (frazione immersa di un corpo che galleggia). $\rho_f\,V_{\text{imm}}\,g = \rho_c\,V\,g \quad \Longrightarrow \quad \boxed{\frac{V_{\text{imm}}}{V} = \frac{\rho_c}{\rho_f}}$

Esempio: l'iceberg. Ghiaccio $\rho_c = 917\ \text{kg/m}^3$ in acqua di mare $\rho_f = 1025\ \text{kg/m}^3$ : $\frac{V_{\text{imm}}}{V} = \frac{917}{1025} = 0{,}895$ . Circa il $90\%$ dell'iceberg è sott'acqua: da qui "la punta dell'iceberg".

Grafico interattivo: Il cubo di legno di lato 20 cm (ρ = 600 kg/m³) in acqua, visto di lato (ascissa e ordinata in cm): sta immerso per 12 cm (frazione 0,6) e ne emerge 8; il peso mg = 47,1 N (nel centro del cubo) e la spinta di Archimede, uguale (nel centro della parte immersa), si equilibrano (frecce: 0,4 cm per newton, affiancate per chiarezza)

Dinamica dei fluidi - continuità e Bernoulli

Legge (equazione di continuità). $S_1\,v_1\,dt = S_2\,v_2\,dt \quad \Longrightarrow \quad \boxed{S_1\,v_1 = S_2\,v_2}$

Esempio. Un rubinetto con uscita di diametro $2$ cm ( $r = 0{,}01$ m) da cui l'acqua esce a $1{,}5\ \text{m/s}$ : $Q = \pi r^2 v = \pi \cdot 10^{-4} \cdot 1{,}5 = 4{,}71 \times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}$ , cioè $0{,}471$ litri al secondo, circa $28$ litri al minuto.

Teorema di Bernoulli. $\boxed{p + \frac12 \rho v^2 + \rho g z = \text{costante}}$

Esempio. Acqua in un tubo orizzontale che passa da $v_1 = 1$ m/s a $v_2 = 3$ m/s: $p_1 - p_2 = \frac12\cdot1000\,(9 - 1) = 4000$ Pa.

Teorema di Torricelli. $p_0 + 0 + \rho g h = p_0 + \frac12 \rho v^2 + 0 \quad \Longrightarrow \quad \boxed{v = \sqrt{2gh}}$

Esempio. Con $h = 5$ m: $v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 5} = 9{,}90\ \text{m/s}$ . Con $h = 0{,}8$ m: $v = 3{,}96\ \text{m/s}$ .

Formula (tubo di Venturi). $p_1 - p_2 = \frac12 \rho\,(v_2^2 - v_1^2) = \frac12 \rho\,v_1^2 \left(\frac{S_1^2}{S_2^2} - 1\right)$

Esempio. $S_1 = 20\ \text{cm}^2$ , $S_2 = 5\ \text{cm}^2$ , $v_1 = 0{,}5$ m/s: $v_2 = 2$ m/s e $p_1 - p_2 = 500\,(4 - 0{,}25) = 1875$ Pa.

Grafico interattivo: Tubo di Venturi dell'esempio (disegno non in scala): la sezione passa da 20 a 5 cm², quindi per la continuità la velocità sale da v₁ = 0,5 m/s a v₂ = 2 m/s (le frecce sono proporzionali alle velocità) e, per Bernoulli, la pressione nella strozzatura è minore di 1875 Pa

XIII. Primo principio della termodinamica

Temperatura ed equilibrio termico

Principio zero della termodinamica.

Se un sistema A è in equilibrio termico con un sistema C, e anche B è in equilibrio termico con C, allora A e B sono in equilibrio termico tra loro.

Esempio. Un termometro $C$ segna $36{,}6\ °\text{C}$ a contatto con un corpo $A$ e, dopo l'equilibrio, anche con un corpo $B$ : allora $A$ e $B$ sono in equilibrio termico tra loro e hanno la stessa temperatura.

Formula (da gradi Celsius a kelvin). $\boxed{T\,[\text{K}] = t\,[°\text{C}] + 273{,}15}$

Esempio. $t = 27\ °\text{C}$ corrisponde a $T = 300{,}15$ K ( $\approx 300$ K); $t = -15\ °\text{C}$ a $T = 258{,}15$ K.

Formula (dilatazione termica lineare). $\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T$

Esempio. Rotaia d'acciaio di $L_0 = 10$ m con $\alpha = 1{,}2\cdot10^{-5}\ \text{K}^{-1}$ scaldata di $\Delta T = 30$ K: $\Delta L = 1{,}2\cdot10^{-5}\cdot10\cdot30 = 3{,}6\cdot10^{-3}$ m $= 3{,}6$ mm.

Lavoro termodinamico

Definizione (lavoro termodinamico). $\boxed{W = \int_{V_i}^{V_f} p\,dV}$

Esempio. Un gas a pressione costante $p = 1\cdot10^5$ Pa che passa da $V_i = 10\ \text{dm}^3$ a $V_f = 20\ \text{dm}^3$ : $W = 10^5\cdot10^{-2} = 1000$ J, positivo perché si espande.

Formula (lavoro a pressione esterna costante). $W = p_{\text{est}}\,(V_f - V_i)$

Esempio. Un gas a $p_A = 1{,}5 \times 10^5\ \text{Pa}$ in $V_A = 25\ \text{dm}^3$ si espande, sbloccando il pistone, contro l'atmosfera $p_0 = 1{,}01 \times 10^5\ \text{Pa}$ , fino a $V_B = 61{,}7\ \text{dm}^3$ . Il lavoro fatto dal gas è $W = p_0\,(V_B - V_A) = 1{,}01 \times 10^5 \cdot 36{,}7 \times 10^{-3} = 3{,}71 \times 10^3\ \text{J}$ . Non si usa la pressione iniziale del gas, che è maggiore: il gas spinge con più forza solo all'inizio, ma l'energia ceduta all'ambiente è quella contro la pressione esterna.

Primo principio della termodinamica

Definizione (calore). Il calore $Q$ è l'energia che un sistema scambia con l'ambiente a causa di una differenza di temperatura.

Esempio. $500$ cal valgono $500\cdot4{,}186 = 2093$ J: è l'energia trasferita per differenza di temperatura, non una sostanza contenuta nel corpo.

Formula (variazione di energia interna). $U_B - U_A = Q - W$

Esempio. Un sistema cede $Q = -100$ J e subisce lavoro $W = -40$ J: $\Delta U = -100 - (-40) = -60$ J, per qualunque trasformazione tra gli stessi due stati.

Principio di conservazione dell'energia (primo principio della termodinamica). In ogni trasformazione di un sistema chiuso $\boxed{\Delta U = Q - W}$ dove $Q$ è il calore assorbito e $W$ il lavoro compiuto dal sistema. Per una trasformazione infinitesima: $dU = \delta Q - \delta W$ .

Esempio. Un gas assorbe $Q = 500$ J e compie $W = 200$ J: $\Delta U = 500 - 200 = 300$ J.

Calore, calori specifici e cambiamenti di fase

Formula (calore scambiato da un corpo). $\boxed{Q = m\,c\,(T_f - T_i) = m\,c\,\Delta T}$

Esempio. Per portare $0{,}5$ kg d'acqua da $20\ °\text{C}$ a $100\ °\text{C}$ : $Q = 0{,}5 \cdot 4186 \cdot 80 = 1{,}67 \times 10^5\ \text{J}$ .

Formula (temperatura di equilibrio di due corpi). $m_1 c_1 (T_e - T_1) + m_2 c_2 (T_e - T_2) = 0 \quad \Longrightarrow \quad T_e = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2}$

Esempio 1 (stessa sostanza). $0{,}2$ kg d'acqua a $80\ °\text{C}$ e $0{,}3$ kg d'acqua a $20\ °\text{C}$ : $c$ si semplifica e $T_e = \frac{0{,}2 \cdot 80 + 0{,}3 \cdot 20}{0{,}5} = 44\ °\text{C}$ . (Qui si possono usare i gradi Celsius, perché la formula è una media pesata: aggiungendo $273{,}15$ a tutte le temperature il risultato cambia della stessa quantità.)

Formula (calore latente). $\boxed{Q = m\,\lambda}$

Esempio. Fondere $0{,}1$ kg di ghiaccio a $0\ °\text{C}$ : $Q = 0{,}1\cdot3{,}33\cdot10^5 = 33\,300$ J, senza che la temperatura cambi.

Grafico interattivo: Curva di riscaldamento di 0,1 kg di ghiaccio da −20 °C (ascissa: calore fornito in kJ, ordinata: temperatura in °C). Il tratto orizzontale a 0 °C è la fusione

Gas ideali - equazione di stato

Legge di stato dei gas ideali. $\boxed{p\,V = n\,R\,T}$

Esempio. $n = 2$ mol a $T = 300$ K in $V = 0{,}05\ \text{m}^3$ : $p = \frac{2\cdot8{,}31\cdot300}{0{,}05} = 9{,}97\cdot10^{4}\ \text{Pa}$ .

Formula (equazione di stato per molecola). $p\,V = N\,k_B\,T, \qquad k_B = \frac{R}{N_A} = 1{,}38 \times 10^{-23}\ \text{J/K} \quad (\text{costante di Boltzmann})$

Esempio. $N = 2{,}7\cdot10^{22}$ molecole in $V = 1$ L a $T = 273$ K: $p = \frac{2{,}7\cdot10^{22}\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot273}{10^{-3}} = 1{,}02\cdot10^{5}\ \text{Pa}$ , circa $1$ atm.

Formula (confronto tra due stati di un gas). $\boxed{\frac{p_A V_A}{T_A} = \frac{p_B V_B}{T_B}}$

Esempio. $p_A = 10^5$ Pa, $V_A = 2$ L, $T_A = 300$ K; $V_B = 1$ L, $T_B = 400$ K: $p_B = 10^5\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{400}{300} = 2{,}67\cdot10^{5}\ \text{Pa}$ .

Energia interna e calori specifici dei gas ideali

Formula (variazione di energia interna di un gas ideale). $\boxed{\Delta U = n\,c_V\,(T_f - T_i)}$

Esempio. $n = 1{,}5$ mol di gas biatomico da $300$ K a $500$ K: $\Delta U = 1{,}5\cdot\frac52\cdot8{,}31\cdot200 = 6232{,}5$ J, qualunque sia la trasformazione.

Formula (relazione di Mayer). $\boxed{c_p = c_V + R} \qquad (\text{relazione di Mayer})$

Esempio. Gas biatomico: $c_V = \frac52 R = 20{,}8\ \text{J/(mol K)}$ e $c_p = c_V + R = 29{,}1\ \text{J/(mol K)}$ .

Definizione (rapporto tra i calori specifici). $\gamma = \frac{c_p}{c_V} > 1$

Esempio. Monoatomico: $\gamma = \frac{5/2}{3/2} = \frac53 = 1{,}67$ ; biatomico: $\gamma = \frac{7/2}{5/2} = \frac75 = 1{,}4$ .

Trasformazioni dei gas ideali

Formula (trasformazione isocora).

Legge: $\frac{p}{T}$ costante, cioè $\frac{p_B}{p_A} = \frac{T_B}{T_A}$ .

Lavoro: $W = 0$ (il volume non cambia).

Calore: $Q = \Delta U = n c_V (T_B - T_A)$ .

Nel piano di Clapeyron: un segmento verticale.

Esempio. $n = 1$ mol di gas biatomico scaldata da $300$ K a $400$ K a volume costante: $W = 0$ e $Q = \Delta U = \frac52\cdot8{,}31\cdot100 = 2078$ J.

Formula (trasformazione isobara).

Legge: $\frac{V}{T}$ costante, cioè $\frac{V_B}{V_A} = \frac{T_B}{T_A}$ .

Lavoro: $W = p\,(V_B - V_A) = nR\,(T_B - T_A)$ (la seconda forma viene da $pV = nRT$ ).

Calore: $Q = n c_p (T_B - T_A)$ , e si verifica che $Q - W = n(c_p - R)\Delta T = n c_V \Delta T = \Delta U$ .

Nel piano di Clapeyron: un segmento orizzontale.

Esempio. Lo stato A viene scaldato a pressione costante fino a $V_B = 20\ \text{dm}^3$ : $T_B = 300 \cdot 2 = 600$ K, $W = 2{,}49 \times 10^5 \cdot 10 \times 10^{-3} = 2493$ J, $\Delta U = \frac52 \cdot 8{,}31 \cdot 300 = 6232$ J, $Q = \frac72 \cdot 8{,}31 \cdot 300 = 8725$ J.

Formula (lavoro dell'isoterma reversibile). $W = \int_{V_A}^{V_B} \frac{nRT}{V}\,dV = nRT \int_{V_A}^{V_B} \frac{dV}{V} = nRT\,\big[\ln V\big]_{V_A}^{V_B} = \boxed{nRT \ln\frac{V_B}{V_A}} = nRT \ln\frac{p_A}{p_B}$

Esempio. Espansione isoterma di A fino a $V_B = 20\ \text{dm}^3$ : $W = Q = 8{,}31 \cdot 300 \cdot \ln 2 = 1728$ J; $p_B = p_A / 2 = 1{,}25 \times 10^5$ Pa.

Legge (adiabatica reversibile). $\boxed{T\,V^{\gamma - 1} = \text{costante}}$

Sostituendo $T = \frac{pV}{nR}$ si ottengono le forme equivalenti

$\boxed{p\,V^{\gamma} = \text{costante}} \qquad\qquad T^{\gamma}\,p^{1 - \gamma} = \text{costante}$

Esempio. Gas biatomico ( $\gamma = 1{,}4$ ) da $T_A = 300$ K che raddoppia il volume: $T_B = 300\cdot\left(\frac12\right)^{0{,}4} = 227{,}4$ K, quindi si raffredda.

Grafico interattivo: Isoterma per A (1 mol, 300 K): p = 2493/V (ascissa: V in dm³, ordinata: p in kPa). A 20 dm³ la pressione è 125 kPa

Formula (adiabatica irreversibile contro pressione costante). $n c_V T_B - n c_V T_A = -nRT_B + nRT_A\,\frac{p_{\text{est}}}{p_A} \quad \Longrightarrow \quad \boxed{T_B = T_A\,\frac{c_V + R\,\dfrac{p_{\text{est}}}{p_A}}{c_p}}$

Esempio. Lo stato A si espande di colpo contro $p_{\text{est}} = 10^5$ Pa: $T_B = 300 \cdot \frac{2{,}5 + 0{,}401}{3{,}5} = 248{,}7$ K, e il gas compie $W = -\Delta U = \frac52 \cdot 8{,}31 \cdot 51{,}3 = 1066$ J. Un'espansione adiabatica reversibile fino alla stessa pressione finale porterebbe a $231$ K e farebbe $1432$ J: l'espansione brusca raffredda meno e produce meno lavoro. Un caso di compressione è nell'Esercizio 80 · peso appoggiato su un pistone adiabatico.

Modello cinetico del gas perfetto

Formula (pressione dal modello cinetico). $p\,V = \frac13 N m \langle v^2 \rangle = \frac23 N \left\langle \frac12 m v^2 \right\rangle = \boxed{\frac23\,N\,\langle E_k \rangle}$

Esempio. $N = 2{,}7\cdot10^{22}$ molecole in $1$ L con $\langle E_k\rangle = 6{,}2\cdot10^{-21}$ J: $p = \frac23\cdot\frac{2{,}7\cdot10^{22}\cdot6{,}2\cdot10^{-21}}{10^{-3}} = 1{,}12\cdot10^{5}$ Pa.

Formula (energia cinetica media di traslazione). $\frac23 N \langle E_k \rangle = N k_B T \quad \Longrightarrow \quad \boxed{\langle E_k \rangle = \frac32\,k_B\,T}$

Esempio. A $300$ K: $\langle E_k \rangle = \frac32 \cdot 1{,}38 \times 10^{-23} \cdot 300 = 6{,}2 \times 10^{-21}$ J per molecola.

Formula (velocità quadratica media). $v_{\text{qm}} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

Esempio. Elio ( $M = 0{,}004$ kg/mol) a $600$ K: $v_{qm} = \sqrt{\frac{3\cdot8{,}31\cdot600}{0{,}004}} = 1934$ m/s.

Teorema di equipartizione dell'energia. $U = \frac{f}{2}\,n R\,T, \qquad c_V = \frac{f}{2} R, \qquad c_p = \frac{f + 2}{2} R, \qquad \gamma = \frac{f + 2}{f}$

Esempio. Gas biatomico ( $f = 5$ ): $c_V = \frac52 R$ , $c_p = \frac72 R$ e $\gamma = \frac75 = 1{,}4$ .

XIV. Secondo principio ed entropia

Macchine termiche e frigorifere

Definizione (rendimento di una macchina termica). $\boxed{\eta = \frac{W}{Q_{\text{ass}}} = \frac{Q_{\text{ass}} + Q_{\text{ced}}}{Q_{\text{ass}}} = 1 + \frac{Q_{\text{ced}}}{Q_{\text{ass}}} = 1 - \frac{|Q_{\text{ced}}|}{Q_{\text{ass}}}}$

Esempio. Un ciclo assorbe $Q_{\text{ass}} = 5000\ \text{J}$ e cede $|Q_{\text{ced}}| = 3995\ \text{J}$ . Il lavoro è $W = 5000 - 3995 = 1005\ \text{J}$ e il rendimento $\eta = \frac{1005}{5000} = 0{,}201$ : solo il $20\%$ del calore diventa lavoro.

Definizione (efficienza di una macchina frigorifera). $\boxed{\xi = \frac{Q_{\text{ass}}}{|W|}}$

Esempio. Un frigorifero che assorbe $Q_{ass} = 300$ J dalla cella spendendo $|W| = 100$ J ha $\xi = \frac{300}{100} = 3$ .

Formula (efficienza della pompa di calore). $\xi_{\text{pdc}} = \frac{|Q_{\text{ced}}|}{|W|} = \frac{Q_{\text{ass}} + |W|}{|W|} = \xi + 1 > 1$

Esempio. Stessa macchina usata per scaldare: $|Q_{ced}| = 300 + 100 = 400$ J, quindi $\xi_{pdc} = \frac{400}{100} = 4 = \xi + 1$ .

Formula (rendimento del ciclo di Stirling). $\eta_{\text{Stirling}} = \frac{nR(T_2 - T_1)\ln r}{nRT_2 \ln r + n c_V (T_2 - T_1)}$

Esempio: $n = 1$ mol di gas biatomico ( $c_V = \frac52 R$ ), $T_2 = 400$ K, $T_1 = 300$ K, $r = 2$ : $Q_{AB} = 8{,}31 \cdot 400 \cdot \ln 2 = 2304\ \text{J}$ , $Q_{DA} = \frac52 \cdot 8{,}31 \cdot 100 = 2078\ \text{J}$ , $W = 8{,}31 \cdot 100 \cdot \ln 2 = 576\ \text{J}$ , $\eta = \frac{576}{4382} = 0{,}131$ .

Grafico interattivo: Ciclo di Stirling dell'esempio nel piano p-V (ascissa: V in dm³, ordinata: p in kPa): isoterma AB a 400 K, isocora BC, isoterma CD a 300 K, isocora DA, per 1 mol con V_A = 10 dm³ e V_B = 20 dm³. L'area racchiusa è il lavoro, 576 J

Formula (rendimento del ciclo Otto). $\boxed{\eta_{\text{Otto}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma - 1}}}$

Esempio. Aria ( $\gamma = 1{,}4$ ) con rapporto di compressione $r = 8$ : $\eta = 1 - 8^{-0{,}4} = 0{,}565$ .

Grafico interattivo: Rendimento del ciclo Otto con γ = 1,4 (ascissa: rapporto di compressione r, ordinata: η)

Secondo principio della termodinamica

Principio (enunciato di Kelvin-Planck). È impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia trasformare in lavoro il calore preso da un solo serbatoio a temperatura uniforme.

Esempio. Una macchina ciclica che prendesse $1000$ J da un solo serbatoio e li trasformasse tutti in lavoro ( $\eta = 1$ ) non può esistere; con due serbatoi si può avere $\eta < 1$ , per esempio $\eta = 0{,}4$ .

Proprietà (ciclo monotermo). $W_{\text{ciclo}} \le 0 \qquad \text{(ciclo monotermo)}$

Esempio. Un gas che compie un ciclo scambiando calore solo con un serbatoio a $300$ K non può fornire lavoro: se $W = -50$ J (ciclo irreversibile, con attrito) allora $Q = -50$ J, cioè cede $50$ J al serbatoio.

Principio (enunciato di Clausius). È impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia far passare calore da un corpo a temperatura più bassa a uno a temperatura più alta.

Esempio. Un frigorifero che trasferisse $100$ J dalla cella a $255$ K alla cucina a $298$ K senza assorbire lavoro ( $W = 0$ ) non esiste: serve sempre $|W| > 0$ .

Ciclo di Carnot e teorema di Carnot

Formula (calori scambiati sulle isoterme di Carnot). $Q_2 = Q_{AB} = nRT_2 \ln\frac{V_B}{V_A} > 0, \qquad Q_1 = Q_{CD} = nRT_1 \ln\frac{V_D}{V_C} = -nRT_1 \ln\frac{V_C}{V_D} < 0$

Esempio. $n = 1$ mol, $T_2 = 500$ K, $V_B/V_A = 2$ : $Q_2 = 8{,}31\cdot500\cdot\ln2 = 2880$ J, e con $T_1 = 300$ K $Q_1 = -1728$ J.

Formula (rendimento di Carnot). $\boxed{\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{|Q_1|}{Q_2} = 1 - \frac{T_1}{T_2}}$

Esempio. Serbatoi a $T_2 = 500$ K e $T_1 = 300$ K: $\eta = 1 - \frac{300}{500} = 0{,}40$ .

Grafico interattivo: Ciclo di Carnot dell'esempio nel piano p-V (ascissa: V in dm³, ordinata: p in kPa): isoterma AB a 500 K, adiabatica BC, isoterma CD a 300 K, adiabatica DA, per 1 mol biatomica con V_A = 10 dm³ e V_B = 20 dm³. L'area racchiusa è il lavoro, 1152 J

Formula (efficienza di Carnot: frigorifero e pompa di calore). $\xi_{\text{Carnot}} = \frac{Q_1}{|W|} = \frac{T_1}{T_2 - T_1}, \qquad \xi_{\text{pdc, Carnot}} = \frac{|Q_2|}{|W|} = \frac{T_2}{T_2 - T_1}$

Esempio. Freezer a $T_1 = 255$ K in una cucina a $T_2 = 298$ K: $\xi = \frac{255}{43} = 5{,}93$ ; usata come pompa di calore la stessa macchina ha $\xi_{pdc} = \frac{298}{43} = 6{,}93$ .

Teorema di Carnot.

Tra tutte le macchine che lavorano tra due serbatoi a temperature $T_2$ e $T_1$ , nessuna ha rendimento maggiore di una macchina reversibile.

Tutte le macchine reversibili che lavorano tra gli stessi due serbatoi hanno lo stesso rendimento, $1 - T_1/T_2$ .

Esempio. Tra $500$ K e $300$ K nessuna macchina può superare $\eta = 0{,}40$ : una macchina che dichiarasse $\eta = 0{,}45$ violerebbe il teorema.

Definizione (temperatura termodinamica assoluta). $\frac{T_1}{T_2} \stackrel{\text{def}}{=} \frac{|Q_1|}{Q_2} \quad \text{(macchina reversibile tra i due serbatoi)}$

Esempio. Se una macchina reversibile tra due serbatoi assorbe $Q_2 = 1000$ J e cede $|Q_1| = 600$ J, allora $\frac{T_1}{T_2} = 0{,}6$ : con $T_2 = 500$ K è $T_1 = 300$ K.

Teorema di Clausius ed entropia

Teorema di Clausius. $\boxed{\sum_{i=1}^{N} \frac{Q_i}{T_i} \le 0} \qquad \text{e, al limite di infiniti scambi infinitesimi,} \qquad \boxed{\oint \frac{\delta Q}{T} \le 0}$

Esempio. Ciclo di Carnot con $Q_2 = 2880$ J a $500$ K e $Q_1 = -1728$ J a $300$ K: $\sum\frac{Q_i}{T_i} = \frac{2880}{500} - \frac{1728}{300} = 5{,}76 - 5{,}76 = 0$ (reversibile).

Definizione (entropia). $\boxed{S(B) - S(A) = \int_{A}^{B} \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}} \qquad [S] = \text{J/K}$

Esempio. Un corpo riceve reversibilmente $Q = 1000$ J restando a $T = 500$ K: $\Delta S = \frac{1000}{500} = 2\ \text{J/K}$ .

Principio di aumento dell'entropia. $\boxed{\Delta S_{\text{isolato}} \ge 0}$

Esempio. $1000$ J passano per conduzione da $500$ K a $300$ K: $\Delta S_{univ} = -\frac{1000}{500} + \frac{1000}{300} = +1{,}33\ \text{J/K} > 0$ , processo irreversibile.

Formula (energia inutilizzabile). $E_{\text{inut}} = T_0\,\Delta S_{\text{univ}}$

Esempio. $Q = 1000\ \text{J}$ passano direttamente, per conduzione, da un serbatoio a $T_2 = 500$ K a uno a $T_1 = 300$ K.

Calcolo delle variazioni di entropia

Formula (variazione di entropia di un serbatoio). $\boxed{\Delta S_{\text{serb}} = \frac{Q_{\text{serb}}}{T}}$

Esempio. Un gas assorbe $1000$ J da un serbatoio a $500$ K: il serbatoio riceve $-1000$ J e $\Delta S_{serb} = \frac{-1000}{500} = -2\ \text{J/K}$ .

Formula (variazione di entropia al variare della temperatura). $\Delta S = \int_{T_1}^{T_2} \frac{mc\,dT}{T} = mc \ln\frac{T_2}{T_1} \qquad \text{(con } c \text{ costante)}$

Esempio. $1$ kg d'acqua da $20\ °\text{C}$ a $80\ °\text{C}$ : $\Delta S = 4186\ln\frac{353{,}15}{293{,}15} = 779\ \text{J/K}$ .

Formula (variazione di entropia in un cambiamento di fase). $\boxed{\Delta S = \frac{m\lambda}{T_{\text{tr}}}}$

Esempio. Fusione di $0{,}1$ kg di ghiaccio a $273{,}15$ K: $\Delta S = \frac{0{,}1\cdot3{,}33\cdot10^5}{273{,}15} = 121{,}9\ \text{J/K}$ .

Formula (variazione di entropia di un gas ideale). $\boxed{\Delta S_{\text{gas}} = n c_V \ln\frac{T_B}{T_A} + nR \ln\frac{V_B}{V_A}}$

Esempio. $2$ mol di gas biatomico da $300$ K e $25\ \text{dm}^3$ a $400$ K e $50\ \text{dm}^3$ : $\Delta S = 11{,}95 + 11{,}52 = 23{,}47\ \text{J/K}$ .

Gas reali

Legge (equazione di Van der Waals). $\boxed{\left(p + \frac{a\,n^2}{V^2}\right)(V - nb) = nRT}$

Esempio. $1$ mol di $\text{CO}_2$ a $300$ K in $V = 0{,}5\ \text{dm}^3$ : gas ideale $p = 4{,}99\cdot10^{6}$ Pa, Van der Waals $p = 4\cdot10^{6}$ Pa, circa il 20% in meno per l'attrazione tra le molecole.

Formula (punto critico di Van der Waals). $V_c = 3nb, \qquad p_c = \frac{a}{27 b^2}, \qquad T_c = \frac{8a}{27 R b}$

Esempio. $\text{CO}_2$ ( $a = 0{,}364$ , $b = 4{,}27\cdot10^{-5}$ ): $T_c = \frac{8a}{27Rb} = 304$ K.

Grafico interattivo: Isoterma di Van der Waals sotto la temperatura critica, T = 0,9 Tc (ascissa: V/Vc, ordinata: p/pc). L'ansa tra minimo e massimo nella realtà è sostituita dal tratto orizzontale di coesistenza liquido-vapore

XV. Laboratorio: elaborazione dei dati

Elaborazione dei dati sperimentali

Formula (scrittura di una misura). $x = x_{\text{best}} \pm \delta x \qquad \text{per esempio} \quad g = (9{,}81 \pm 0{,}02)\ \text{m/s}^2$

Esempio. $g = (9{,}81 \pm 0{,}02)\ \text{m/s}^2$ ha incertezza relativa $\frac{0{,}02}{9{,}81} = 0{,}2\%$ .

Formula (media aritmetica). $\bar x = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i$

Esempio. Tre misure di un periodo: $2{,}03$ , $2{,}01$ , $2{,}05$ s. Media $\bar T = 2{,}03$ s.

Formula (deviazione standard). $\sigma_x = \sqrt{\frac{1}{N - 1}\sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar x)^2}$

Esempio. Con le tre misure precedenti gli scarti sono $0$ , $-0{,}02$ , $+0{,}02$ s: $\sigma_T = \sqrt{\frac{0{,}0008}{2}} = 0{,}02$ s.

Formula (errore della media). $\sigma_{\bar x} = \frac{\sigma_x}{\sqrt N}$

Esempio. Otto misure del periodo di un pendolo (s): $2{,}03$ ; $2{,}01$ ; $2{,}05$ ; $2{,}02$ ; $2{,}04$ ; $2{,}00$ ; $2{,}03$ ; $2{,}02$ . Media $\bar T = 2{,}025$ s, deviazione standard $\sigma_T = 0{,}016$ s, errore della media $\frac{0{,}016}{\sqrt8} = 0{,}006$ s. Risultato: $T = (2{,}025 \pm 0{,}006)$ s.

Formula (media pesata). $\bar x_w = \frac{\sum_i w_i\,x_i}{\sum_i w_i} \qquad\qquad \sigma_{\bar x_w} = \frac{1}{\sqrt{\sum_i w_i}}$

Esempio. Tre gruppi trovano $g = 9{,}78 \pm 0{,}02$ ; $9{,}85 \pm 0{,}05$ ; $9{,}80 \pm 0{,}03$ (m/s²). Pesi: $2500$ , $400$ , $1111$ . Media pesata $9{,}793$ , incertezza $\frac{1}{\sqrt{4011}} = 0{,}016$ : $g = (9{,}79 \pm 0{,}02)\ \text{m/s}^2$ . La misura meno precisa ( $9{,}85$ ) pesa poco.

Formula (fit lineare ai minimi quadrati). $b = \frac{N\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{N\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2} \qquad\qquad a = \bar y - b\,\bar x$

Esempio. Punti $(1,2)$ , $(2,4)$ , $(3,6)$ : $b = \frac{3\cdot28 - 6\cdot12}{3\cdot14 - 36} = \frac{12}{6} = 2$ e $a = 4 - 2\cdot2 = 0$ , cioè $y = 2x$ .