Forze conservative ed energia potenziale

Prima: Lavoro e potenzaIl lavoro di una forza lungo uno spostamento è il prodotto scalare F·Δr (forza costante) o l'integrale di linea di F·dr (caso generale); si misura in joule e può essere positivo, negativo o nullo. La potenza è il lavoro per unità di tempo, P = F·v.Lavoro e potenza →, Energia cinetica e teorema dell'energia cineticaL'energia cinetica di un punto è K = mv²/2. Il teorema dell'energia cinetica dice che il lavoro di tutte le forze agenti tra due posizioni è uguale alla variazione di K: W_tot = K_B − K_A. Dà la velocità in un punto senza passare dal tempo.Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica →. Seguito: Conservazione dell'energia meccanicaL'energia meccanica E = K + U resta costante se compiono lavoro solo forze conservative. Se lavorano anche forze non conservative (attrito), la variazione di E è uguale al loro lavoro: W_nc = E_B − E_A. Il grafico di U(x) con la retta E mostra dove il moto è possibile e i punti di inversione.Conservazione dell'energia meccanica →. Esercizi: Esercizio 37 · molla fissata al centro di una guida semicircolare, Esercizio 38 · molla compressa e guida semicircolare.

Definizione di forza conservativa

Nella nota sul lavoro si è visto che il lavoro del peso tra due punti vale $mg\,(y_A - y_B)$ qualunque sia il percorso, mentre il lavoro dell'attrito dipende da quanta strada si fa. Questa differenza è fondamentale.

Definizione (forza conservativa). Una forza $\vec F$ (che dipende solo dalla posizione) è conservativa se il suo lavoro tra due punti $A$ e $B$ dipende solo da $A$ e da $B$, e non dal percorso seguito per andare da $A$ a $B$.

Esempio. Il peso di $m = 2$ kg tra due punti con dislivello $3$ m compie sempre $W = 58{,}9$ J, su rampa o su scala. L'attrito dinamico $F_d = 5$ N su un giro chiuso di $10$ m compie invece $-50$ J, quindi non è conservativo.

Formulazione equivalente: il lavoro di una forza conservativa lungo qualunque percorso chiuso (che torna al punto di partenza) è zero.

Perché sono equivalenti. Si prendano due percorsi diversi $\gamma_1$ e $\gamma_2$ da $A$ a $B$. Andare da $A$ a $B$ lungo $\gamma_1$ e tornare lungo $\gamma_2$ percorso al contrario è un giro chiuso, e percorrere un tratto al contrario cambia il segno del lavoro: $W_{\text{giro}} = W_{\gamma_1} - W_{\gamma_2}$. Quindi $W_{\text{giro}} = 0$ esattamente quando $W_{\gamma_1} = W_{\gamma_2}$.

Esempi e controesempi

Le forze che non compiono mai lavoro (la normale di un vincolo fisso, la tensione di un pendolo) non sono né "da conservative" né "da dissipative": semplicemente non entrano nei bilanci di energia.

Energia potenziale

Per una forza conservativa si fissa un punto di riferimento $O$ e si definisce, per ogni posizione $P$, l'energia potenziale

Definizione (energia potenziale). $$U(P) = -W_{O \to P}$$

Esempio. Per portare dal riferimento $O$ a quota $3$ m un corpo di $2$ kg il peso compie $W_{O\to P} = -58{,}9$ J, quindi $U(P) = +58{,}9$ J.

cioè meno il lavoro che la forza compie quando il corpo va da $O$ a $P$ (lungo un percorso qualsiasi: il risultato è lo stesso, ed è per questo che la definizione ha senso solo per forze conservative). Ne segue la relazione da usare negli esercizi:

Formula (lavoro e variazione di energia potenziale). $$\boxed{W_{A \to B} = U(A) - U(B) = -\Delta U}$$

Esempio. Un corpo di $2$ kg sale da $y=1$ m a $y=4$ m: $\Delta U = 2\cdot9{,}81\cdot3 = 58{,}9$ J e il peso compie $W = -\Delta U = -58{,}9$ J.

Perché. Si va da $A$ a $B$ passando per $O$: $W_{A \to B} = W_{A \to O} + W_{O \to B} = -W_{O \to A} + W_{O \to B} = U(A) - U(B)$.

Il segno meno ha un significato semplice: se la forza compie lavoro positivo (il peso mentre il corpo scende), l'energia potenziale diminuisce; se compie lavoro negativo (il peso mentre il corpo sale), l'energia potenziale aumenta. L'energia potenziale è come un "deposito" di lavoro che la forza può restituire.

Lo zero è arbitrario. Cambiando il punto di riferimento $O$, $U$ cambia di una costante uguale per tutti i punti; le differenze $U(A) - U(B)$, le sole che contano fisicamente, non cambiano. Negli esercizi si sceglie lo zero dove fa comodo (per esempio al livello più basso del moto) e lo si dichiara.

Energia potenziale del peso

Con asse $y$ verticale verso l'alto, dal lavoro $W_{A \to B} = mg\,(y_A - y_B)$:

Formula (energia potenziale del peso). $$U_{\text{peso}}(y) = m g\,y \quad (+\ \text{costante})$$

Esempio. $m = 0{,}5$ kg: a $y = 4$ m è $U = 19{,}6$ J, a $y = 6$ m è $U = 29{,}4$ J (zero a quota $0$).

$y$ è la quota del corpo misurata dal livello scelto come zero. Vale solo vicino alla superficie terrestre, dove $\vec g$ è costante.

Energia potenziale elastica

Dal lavoro della molla $W = \frac12 k x_A^2 - \frac12 k x_B^2$ (si veda Lavoro e potenzaIl lavoro di una forza lungo uno spostamento è il prodotto scalare F·Δr (forza costante) o l'integrale di linea di F·dr (caso generale); si misura in joule e può essere positivo, negativo o nullo. La potenza è il lavoro per unità di tempo, P = F·v.Lavoro e potenza →):

Formula (energia potenziale elastica). $$U_{\text{el}} = \tfrac12 k\,x^2 = \tfrac12 k\,(\ell - \ell_0)^2$$

dove $x = \ell - \ell_0$ è la deformazione della molla: lunghezza attuale $\ell$ meno lunghezza a riposo $\ell_0$. Si sceglie lo zero con la molla a riposo. Allungamento e compressione della stessa quantità danno la stessa energia (c'è il quadrato).

Esempio. $k = 200$ N/m e deformazione $x = 0{,}1$ m: $U_{\text{el}} = \frac12\cdot200\cdot0{,}01 = 1$ J.

Osservazione chiave per gli esercizi con le guide. Se una molla ha un estremo fisso in un punto $C$ e l'altro attaccato a un corpo che si muove anche in un piano, la sua energia potenziale dipende solo dalla lunghezza $\ell = \overline{CP}$, non dalla direzione. Se il corpo percorre una circonferenza di centro $C$, la lunghezza resta costante e quindi l'energia elastica non cambia: la molla, che spinge o tira lungo il raggio (perpendicolare al moto), non compie lavoro. È la chiave dell'Esercizio 37 · molla fissata al centro di una guida semicircolare e dell'Esercizio 38 · molla compressa e guida semicircolare.

Dalla energia potenziale alla forza

Se si conosce $U$ si ritrova la forza. In una dimensione, per uno spostamento piccolissimo $dx$: $dW = F_x\,dx$ e $dW = -dU$, quindi

Formula (forza dall'energia potenziale). $$\boxed{F_x = -\frac{dU}{dx}}$$

Esempio. $U = \frac12 k x^2$ con $k = 200$ N/m: $F_x = -kx$; a $x = 0{,}1$ m è $F_x = -20$ N, verso la zona a $U$ minore.

La forza punta verso dove $U$ diminuisce, con intensità uguale alla pendenza del grafico di $U$.

Controlli: per il peso $F_y = -\frac{d}{dy}(mgy) = -mg$ (verso il basso ✓); per la molla $F_x = -\frac{d}{dx}\left(\frac12 k x^2\right) = -kx$ ✓.

In tre dimensioni vale lo stesso componente per componente, con le derivate parziali: $F_x = -\frac{\partial U}{\partial x}$, $F_y = -\frac{\partial U}{\partial y}$, $F_z = -\frac{\partial U}{\partial z}$, cioè $\vec F = -\nabla U$ (il gradiente di $U$ cambiato di segno).

Equilibrio e stabilità

Un punto $x_0$ è di equilibrio se lì la forza è nulla: un corpo messo fermo in $x_0$ ci resta. Da $F_x = -dU/dx$:

Criterio (equilibrio e stabilità). $$\text{equilibrio in } x_0 \iff U'(x_0) = 0$$

cioè gli equilibri sono i punti a tangente orizzontale del grafico di $U$. Il tipo di equilibrio dipende dalla forma di $U$ attorno a $x_0$:

Perché nel minimo è stabile: a destra del minimo $U$ cresce, quindi $U' > 0$ e $F = -U' < 0$, la forza spinge verso sinistra, cioè di nuovo verso $x_0$; a sinistra succede il contrario. Come una pallina sul fondo di una ciotola.

Esempio. $U(x) = 2x^3 - 6x$ (in joule, con $x$ in metri). La forza è $F_x = -U'(x) = -6x^2 + 6$, nulla per $x = \pm 1\ \text{m}$. La derivata seconda $U''(x) = 12x$ vale $+12$ in $x = 1$ (minimo: stabile) e $-12$ in $x = -1$ (massimo: instabile).

Piccole oscillazioni attorno a un minimo

Vicino a un minimo $x_0$, lo sviluppo di Taylor di $U$ (il termine di primo grado manca perché $U'(x_0) = 0$) dà

$$U(x) \approx U(x_0) + \tfrac12 U''(x_0)\,(x - x_0)^2$$

che è l'energia di una molla con costante $k_{\text{eff}} = U''(x_0)$. Quindi per piccoli spostamenti il corpo compie un Moto armonico sempliceMoto rettilineo con legge oraria x = A·sin(ωt + φ): oscilla tra −A e A con periodo T = 2π/ω. È caratterizzato da a = −ω²x, l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico; ampiezza e fase si ricavano dalle condizioni iniziali.Moto armonico semplice → con pulsazione

Formula (pulsazione delle piccole oscillazioni attorno a un minimo). $$\omega = \sqrt{\frac{U''(x_0)}{m}}$$

Esempio. $U = 2x^3 - 6x$ con $m = 1$ kg: in $x = 1$ m è $U'' = 12$, quindi $\omega = \sqrt{12} = 3{,}46\ \text{rad/s}$ e $T = 1{,}81$ s.

Nell'esempio, con $m = 1\ \text{kg}$: $\omega = \sqrt{12} \approx 3{,}46\ \text{rad/s}$. Per questo il moto armonico è così diffuso: quasi ogni sistema vicino a un equilibrio stabile si comporta come una molla.

Riassunto

Errori comuni

• Scrivere un'"energia potenziale dell'attrito": non esiste, perché l'attrito non è conservativo. Il suo lavoro si calcola a parte.
• Usare come $x$ in $\frac12 k x^2$ la posizione invece della deformazione: conta di quanto la molla è allungata o compressa rispetto alla lunghezza a riposo.
• Cambiare lo zero di $U$ a metà esercizio: lo zero si sceglie una volta sola.
• Dimenticare il segno meno in $F = -dU/dx$: la forza punta verso le energie potenziali più basse.