Urti con corpi rigidi

Prima: Moto di puro rotolamentoNel puro rotolamento il punto di contatto è fermo, quindi v_CM = ω R e a_CM = α R. Dinamica con le due equazioni cardinali (o con i momenti rispetto al punto di contatto, I_P = I_CM + m R²); su un piano inclinato a = g sinθ/(1 + I/(mR²)); l'attrito statico serve ma non compie lavoro, quindi l'energia si conserva.Moto di puro rotolamento →. Generalizza Urti tra punti materialiIn un urto due corpi si scambiano forze impulsive per un tempo brevissimo: la quantità di moto totale si conserva (se non ci sono vincoli impulsivi), l'energia cinetica solo negli urti elastici. Classificazione degli urti, coefficiente di restituzione, urti nel piano e impulso ricevuto.Urti tra punti materiali → e Urto elastico e urto completamente anelasticoI due casi estremi di urto in una dimensione. Elastico: si conservano quantità di moto ed energia cinetica, la velocità relativa si inverte; formule delle velocità finali e casi particolari. Completamente anelastico: i corpi restano uniti e viaggiano con v_CM; l'energia persa è (1/2) μ v_rel². Pendolo balistico.Urto elastico e urto completamente anelastico → usando la conservazione del momento angolare (Rotazione attorno a un asse fissoPer un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso L_z = I ω e la seconda equazione cardinale diventa M_z = I α, l'analogo di F = ma. Se il momento esterno lungo l'asse è nullo, I ω si conserva. Le reazioni del vincolo si trovano con la prima equazione cardinale; carrucole con massa.Rotazione attorno a un asse fisso →) e l'impulso angolare (Pendolo compostoUn corpo rigido appeso a un asse orizzontale che non passa per il suo CM oscilla come un pendolo: per piccole oscillazioni il moto è armonico con periodo T = 2π √(I/(m g h)), uguale a quello di un pendolo semplice di lunghezza ridotta I/(m h). Impulso angolare e teorema del momento dell'impulso.Pendolo composto →). Seguito: Statica del corpo rigidoUn corpo rigido fermo resta fermo se la somma delle forze esterne e la somma dei loro momenti (rispetto a un polo qualsiasi) sono nulle. Metodo: scegliere il polo dove passano le forze incognite; esempi della scala appoggiata, del gradino e del portacarichi.Statica del corpo rigido →. Esercizi: Esercizio 63 · asta con momento d'attrito urtata da un corpo puntiforme, Esercizio 64 · disco che rotola e urta un'asta imperniata, Esercizio 65 · sferetta lanciata orizzontalmente che urta un'asta imperniata.

Che cosa cambia rispetto agli urti tra punti

In un urto due corpi interagiscono con forze impulsive: intensissime e di durata brevissima $\Delta t$. Durante l'urto:

• le forze non impulsive (peso, molle, attriti ordinari) hanno impulso trascurabile, perché sono finite e agiscono per un tempo $\Delta t \to 0$;
• le posizioni dei corpi non cambiano (si muovono di $v\,\Delta t \to 0$), cambiano solo le velocità.

Tra punti materiali isolati si conserva la quantità di moto totale. Con un corpo rigido ci sono due differenze:

1. il corpo può ruotare, quindi oltre alla quantità di moto conta il momento angolare;
2. il corpo può essere vincolato (imperniato): allora durante l'urto anche il vincolo esercita una forza impulsiva, che è esterna al sistema e può cambiare la quantità di moto.

Corpo rigido imperniato in un asse fisso

Un corpo rigido può ruotare attorno a un asse fisso per $O$ e viene colpito da un punto materiale (o da un altro corpo). Il sistema è "corpo rigido + proiettile".

Che cosa si conserva.

• La quantità di moto non si conserva in generale: il perno esercita una forza impulsiva $\vec\Phi$ con impulso $\vec J_O = \int\vec\Phi\,dt \ne 0$ (se il perno non ci fosse, il corpo urtato verrebbe spinto via; il perno lo trattiene).
• Il momento angolare rispetto a $O$ si conserva: la reazione del perno è applicata in $O$, quindi ha momento nullo rispetto a $O$; le altre forze esterne non sono impulsive. Per il teorema dell'impulso angolare $\Delta\vec L_O = \int\vec M_O\,dt = 0$.

Principio (conservazione del momento angolare nell'urto con un asse fisso). $$\boxed{L_{O,\text{prima}} = L_{O,\text{dopo}}}$$

Esempio. Proiettile di $0{,}1$ kg a $5$ m/s che colpisce a braccio $b = 0{,}4$ m un'asta ferma imperniata: $L_O = 0{,}1\cdot5\cdot0{,}4 = 0{,}2\ \text{kg m}^2/\text{s}$, lo stesso dopo l'urto.

Il momento angolare di un punto materiale di massa $m$ e velocità $\vec v$ rispetto a $O$ è $\vec r\times m\vec v$ (Momento angolare e momento di una forzaMomento di una forza M = r × F e momento angolare L = r × m v rispetto a un polo. Teorema del momento angolare: dL/dt = M (polo fisso o CM); per un sistema contano solo i momenti esterni. Con forze centrali o momento esterno nullo L si conserva.Momento angolare e momento di una forza →). Lungo l'asse vale $\pm m v\,b$, dove $b$ è il braccio: la distanza di $O$ dalla retta su cui si muove il punto. Il segno si sceglie con la regola della mano destra (positivo se il punto "gira" attorno a $O$ nel verso scelto come positivo).

Urto completamente anelastico (il proiettile resta attaccato al corpo in un punto a distanza $d$ da $O$):

Formula (urto completamente anelastico con un corpo imperniato). $$m v\,b + I\,\omega_i = (I + m d^2)\,\omega_f$$

dove $I\omega_i$ è il momento angolare del corpo prima dell'urto (zero se era fermo) e $I + md^2$ è il momento d'inerzia del sistema dopo, rispetto allo stesso asse.

Esempio. Asta con $I = \frac{1}{12}\cdot0{,}6\cdot0{,}8^2 = 0{,}032\ \text{kg m}^2$ e proiettile attaccato a $d = 0{,}4$ m: $\omega_f = \frac{0{,}2}{0{,}032 + 0{,}1\cdot0{,}16} = 4{,}17\ \text{rad/s}$.

Energia. In un urto anelastico l'energia cinetica diminuisce: l'energia dissipata è $E_{diss} = K_{prima} - K_{dopo}$. Se l'urto è elastico l'energia cinetica si conserva e dà la seconda equazione che serve per trovare le due incognite (velocità del proiettile dopo l'urto e $\omega_f$).

Esempio

Un'asta omogenea di massa $M = 0{,}6$ kg e lunghezza $\ell = 0{,}8$ m, ferma, è imperniata nel suo centro $O$ su un piano orizzontale. Un proiettile di massa $m = 0{,}1$ kg la colpisce in un estremo con velocità $v = 5$ m/s perpendicolare all'asta e resta conficcato.

1. Conservazione del momento angolare rispetto a $O$ (braccio $b = \ell/2$, e anche $d = \ell/2$): $$m v\frac{\ell}{2} = \Big(\frac{1}{12}M\ell^2 + m\frac{\ell^2}{4}\Big)\omega_f \quad\Longrightarrow\quad \omega_f = \frac{0{,}1\cdot5\cdot0{,}4}{0{,}032 + 0{,}016} = \frac{0{,}2}{0{,}048} = 4{,}17\ \text{rad/s}$$
2. Energia dissipata: $K_{prima} = \frac12\cdot0{,}1\cdot25 = 1{,}25$ J, $K_{dopo} = \frac12\cdot0{,}048\cdot4{,}17^2 = 0{,}42$ J, quindi $E_{diss} = 0{,}83$ J (i due terzi dell'energia iniziale).
3. Quantità di moto: prima vale $mv = 0{,}5$ kg·m/s; dopo, il CM dell'asta è fermo sull'asse e il proiettile si muove con $\omega_f\frac{\ell}{2} = 1{,}67$ m/s, quindi $p_{dopo} = 0{,}1\cdot1{,}67 = 0{,}167$ kg·m/s. Non si è conservata: la differenza l'ha assorbita il perno.

Impulso del vincolo

Per trovare l'impulso del perno si applica il teorema dell'impulso al sistema intero (Quantità di moto e impulsoLa quantità di moto è p = m v; la seconda legge si scrive F = dp/dt. L'impulso di una forza è il suo integrale nel tempo e uguaglia la variazione della quantità di moto (teorema dell'impulso): serve per gli urti e le forze brevi e intense.Quantità di moto e impulso →): l'unica forza impulsiva esterna è la reazione del perno, quindi

Formula (impulso del vincolo). $$\vec J_O = \Delta\vec P = \vec P_{dopo} - \vec P_{prima}$$

dove $\vec P$ è la quantità di moto totale del sistema, che si può calcolare come $M_{tot}\,\vec v_{CM}$ oppure sommando quella di ogni pezzo. Il CM di un corpo che ruota attorno all'asse fisso ha velocità $\omega\,h$ (con $h$ distanza del CM dall'asse), perpendicolare a $OG$.

Esempio. $J_O = 0{,}167 - 0{,}5 = -0{,}333$ N·s, cioè il perno ha dato un impulso di $0{,}333$ N·s opposto alla velocità del proiettile.

Centro di percussione. Per un corpo imperniato esiste un punto in cui, colpendolo perpendicolarmente a $OG$, il perno non riceve impulso. Imponendo $J_O = 0$ per un colpo di impulso $J$ a distanza $d$ da $O$: $J d = I\omega$ (impulso angolare) e $J = M\omega h$ (quantità di moto, con $J_O = 0$), quindi

Formula (centro di percussione). $$d = \frac{I}{M h}$$

cioè proprio la lunghezza ridotta del Pendolo compostoUn corpo rigido appeso a un asse orizzontale che non passa per il suo CM oscilla come un pendolo: per piccole oscillazioni il moto è armonico con periodo T = 2π √(I/(m g h)), uguale a quello di un pendolo semplice di lunghezza ridotta I/(m h). Impulso angolare e teorema del momento dell'impulso.Pendolo composto →. Per un'asta appesa per un estremo $d = \frac23\ell$: è il "punto dolce" di una mazza da baseball o di una racchetta, dove il colpo non si sente nelle mani.

Esempio. Asta omogenea di $\ell = 0{,}8$ m appesa per un estremo: $d = \frac{I}{Mh} = \frac{\frac13\ell^2}{\ell/2} = \frac23\ell = 0{,}533$ m dal perno.

Corpo rigido libero

Se il corpo rigido non è vincolato (un'asta appoggiata su un piano orizzontale liscio, un corpo nello spazio), nessuna forza impulsiva esterna agisce sul sistema. Allora si conservano sia la quantità di moto sia il momento angolare (rispetto a qualunque punto fisso, oppure rispetto al CM del sistema):

Legge (urto di un corpo rigido libero). $$\vec P_{prima} = \vec P_{dopo}, \qquad \vec L_{prima} = \vec L_{dopo}$$

Esempio. Proiettile di $0{,}1$ kg a $5$ m/s su un'asta libera di $0{,}6$ kg che resta attaccata: $v_{CM} = \frac{0{,}5}{0{,}7} = 0{,}714$ m/s e si conserva anche $L$ rispetto al CM.

Dopo l'urto il moto è la traslazione del CM del sistema con velocità $\vec v_{CM} = \vec P/M_{tot}$ più una rotazione attorno al CM con velocità angolare $\omega = L_{CM}/I_{CM}$.

Esempio

La stessa asta dell'esempio precedente ($M = 0{,}6$ kg, $\ell = 0{,}8$ m) è ora libera su un piano orizzontale liscio. Il proiettile ($m = 0{,}1$ kg, $v = 5$ m/s, perpendicolare) la colpisce in un estremo e resta conficcato.

1. CM del sistema dopo l'urto, sull'asta, a distanza dal centro dell'asta $$d = \frac{m\,\ell/2}{M + m} = \frac{0{,}04}{0{,}7} = 0{,}0571\ \text{m}$$
2. Quantità di moto: $v_{CM} = \frac{mv}{M + m} = \frac{0{,}5}{0{,}7} = 0{,}714$ m/s. È la velocità con cui il sistema trasla dopo l'urto.
3. Momento angolare rispetto al CM del sistema (che conviene perché dopo l'urto il moto attorno al CM è una pura rotazione). Prima dell'urto l'asta è ferma e il proiettile ha braccio $\frac{\ell}{2} - d = 0{,}343$ m: $L = 0{,}1\cdot5\cdot0{,}343 = 0{,}171$ kg·m²/s. Dopo l'urto, momento d'inerzia rispetto al CM del sistema (Steiner per l'asta, punto per il proiettile): $$I_{CM} = \frac{1}{12}M\ell^2 + M d^2 + m\Big(\frac{\ell}{2} - d\Big)^2 = 0{,}0320 + 0{,}0020 + 0{,}0118 = 0{,}0457\ \text{kg}\,\text{m}^2$$ quindi $\omega = \frac{0{,}171}{0{,}0457} = 3{,}75$ rad/s.
4. Energia: dopo l'urto, per König, $K = \frac12(M+m)v_{CM}^2 + \frac12 I_{CM}\omega^2 = 0{,}179 + 0{,}321 = 0{,}50$ J. Si sono dissipati $0{,}75$ J.

Confronto con l'asta imperniata: senza perno l'asta ruota più piano ($3{,}75$ contro $4{,}17$ rad/s) ma in compenso trasla.

Il metodo

1. Individuare il sistema (corpo rigido + proiettile) e le forze impulsive esterne: ci sono vincoli fissi?
2. Vincolo fisso in $O$: conservazione di $L_O$ (non di $\vec P$). Nessun vincolo: conservazione di $\vec P$ e di $\vec L$.
3. Se l'urto è elastico, aggiungere la conservazione dell'energia cinetica; se è completamente anelastico, i corpi restano uniti (una sola incognita).
4. L'impulso del vincolo, se richiesto: $\vec J_O = \Delta\vec P_{tot}$, componente per componente.
5. Dopo l'urto il moto si studia con le leggi solite (conservazione dell'energia, equazioni cardinali).

Errori comuni

• Conservare la quantità di moto con un corpo imperniato: il perno la cambia.
• Calcolare il momento angolare del proiettile con la distanza dal punto d'impatto invece che con il braccio rispetto al polo.
• Usare due poli diversi per il momento angolare prima e dopo l'urto: il polo deve essere lo stesso (il perno, o il CM del sistema).
• Conservare l'energia meccanica attraverso un urto anelastico: l'energia si conserva prima e dopo l'urto, non durante.
• Dimenticare il momento angolare che il corpo aveva già se era in rotazione prima dell'urto, con il suo segno.