Piano inclinato

Il problema di dinamica più frequente nei temi d'esame: compare in quasi tutti i primi problemi, da solo o con fili, molle e piattaforme. Prima: Forze di attrito radenteL'attrito radente è la componente della reazione vincolare parallela alla superficie. Statico: impedisce lo scivolamento e vale quanto serve, fino a μs N. Dinamico: agisce durante lo strisciamento, vale μd N ed è opposto alla velocità relativa.Forze di attrito radente →. Seguito: Attrito viscosoUn corpo che si muove lentamente in un fluido subisce una forza F = −b v, opposta e proporzionale alla velocità. In caduta la velocità tende esponenzialmente alla velocità limite mg/b con costante di tempo τ = m/b.Attrito viscoso →. Esercizi: Esercizio 20 · due blocchetti uniti da un'asta su un piano inclinato, Esercizio 21 · due blocchi su due piani inclinati collegati da un filo, Esercizio 22 · blocchetto su piattaforma mobile tirato da un filo, Esercizio 23 · due blocchetti e una molla su un piano inclinato scabro, Esercizio 24 · blocchetto su un cuneo fermo e molla.

La scelta degli assi

Un blocchetto di massa $m$ è appoggiato su un piano inclinato di un angolo $\theta$ rispetto all'orizzontale. Si potrebbero usare assi orizzontale e verticale, ma conviene molto di più:

• asse $x$ parallelo al piano (di solito verso il basso, o nel verso del moto);
• asse $y$ perpendicolare al piano, uscente.

Perché: il blocchetto si muove lungo il piano, quindi la sua accelerazione ha solo la componente $x$ ($a_y = 0$, perché non si stacca e non affonda). Con assi orizzontale e verticale l'accelerazione avrebbe due componenti incognite legate tra loro; così invece le due equazioni si separano: lungo $y$ si trova la normale, lungo $x$ il moto.

Scomposizione del peso

Il peso $m\vec g$ è verticale; rispetto ai nuovi assi ha due componenti. L'angolo tra il peso e la perpendicolare al piano è uguale a $\theta$ (angoli con i lati a due a due perpendicolari), quindi

Formula (componenti del peso su un piano inclinato). $$P_x = mg\sin\theta \ \ \text{(lungo il piano, verso il basso)} \qquad P_y = -mg\cos\theta \ \ \text{(contro il piano)}$$

Esempio. $m = 2$ kg, $\theta = 30°$: $P_x = 2\cdot9{,}81\cdot0{,}5 = 9{,}81$ N lungo il piano e $P_y = -2\cdot9{,}81\cdot0{,}866 = -16{,}99$ N.

Controllo con i casi limite, per non scambiare seno e coseno: con $\theta = 0$ (piano orizzontale) il peso deve essere tutto perpendicolare al piano: $P_x = 0$, $|P_y| = mg$ ✓. Con $\theta = 90°$ (parete verticale) deve essere tutto lungo il "piano": $P_x = mg$, $P_y = 0$ ✓.

Normale. Lungo $y$ agiscono $N$ e $-mg\cos\theta$, con $a_y = 0$:

Formula (reazione normale su un piano inclinato). $$N - mg\cos\theta = 0 \quad \Longrightarrow \quad N = mg\cos\theta$$

Esempio. $m = 0{,}5$ kg, $\theta = 45°$: $N = 0{,}5\cdot9{,}81\cdot\cos45° = 3{,}47$ N.

(Valida se non ci sono altre forze con componente perpendicolare al piano.)

Piano liscio

Lungo $x$ agisce solo $mg\sin\theta$:

Formula (accelerazione su un piano inclinato liscio). $$m a = mg\sin\theta \quad \Longrightarrow \quad a = g\sin\theta$$

Esempio. $\theta = 30°$: $a = 9{,}81\cdot0{,}5 = 4{,}91\ \text{m/s}^2$, metà della caduta libera e indipendente dalla massa.

Moto uniformemente accelerato, con un'accelerazione "diluita" rispetto alla caduta libera: il piano inclinato è il modo in cui Galileo rallentò la caduta per poterla misurare. Esempio: $\theta = 30°$, $a = 9{,}81 \cdot 0{,}5 = 4{,}91\ \text{m/s}^2$. Partendo da fermo e percorrendo un tratto $\ell$ lungo il piano, la velocità finale è $v = \sqrt{2a\ell} = \sqrt{2g\ell\sin\theta} = \sqrt{2gh}$, con $h = \ell\sin\theta$ il dislivello: la stessa velocità che si avrebbe cadendo in verticale da $h$ (lo si ritroverà con l'energia, Conservazione dell'energia meccanicaL'energia meccanica E = K + U resta costante se compiono lavoro solo forze conservative. Se lavorano anche forze non conservative (attrito), la variazione di E è uguale al loro lavoro: W_nc = E_B − E_A. Il grafico di U(x) con la retta E mostra dove il moto è possibile e i punti di inversione.Conservazione dell'energia meccanica →).

Piano scabro: il corpo resta fermo?

Con attrito statico, il blocchetto fermo ha $a = 0$; lungo $x$ (verso il basso):

$$mg\sin\theta - F_s = 0 \quad \Longrightarrow \quad F_s = mg\sin\theta, \quad \text{rivolta verso l'alto lungo il piano}$$

La condizione $F_s \le \mu_s N$ diventa

Criterio (equilibrio su piano scabro). $$mg\sin\theta \le \mu_s\,mg\cos\theta \quad \Longleftrightarrow \quad \tan\theta \le \mu_s$$

Esempio. Con $\mu_s = 0{,}3$ il blocchetto resta fermo solo se $\tan\theta \le 0{,}3$, cioè $\theta \le 16{,}7°$.

Il blocchetto resta fermo per qualunque massa se l'inclinazione non supera l'angolo limite $\theta_{\lim} = \arctan\mu_s$. È anche un modo per misurare $\mu_s$: si inclina lentamente il piano finché il blocchetto parte, e $\mu_s = \tan\theta_{\lim}$. Esempio: con $\mu_s = 0{,}3$, $\theta_{\lim} = 16{,}7°$.

Piano scabro: il corpo scivola

L'attrito dinamico vale $\mu_d N = \mu_d mg\cos\theta$ ed è opposto alla velocità. Quindi il risultato dipende da dove va il blocchetto.

In discesa (asse $x$ verso il basso, attrito verso l'alto):

Formula (accelerazione in discesa con attrito). $$m a = mg\sin\theta - \mu_d mg\cos\theta \quad \Longrightarrow \quad a = g(\sin\theta - \mu_d\cos\theta)$$

Esempio. $\theta = 30°$, $\mu_d = 0{,}2$: $a = 9{,}81\,(0{,}5 - 0{,}2\cdot0{,}866) = 3{,}21\ \text{m/s}^2$.

In salita (blocchetto lanciato verso l'alto; asse $x$ verso l'alto, peso e attrito entrambi verso il basso):

Formula (accelerazione in salita con attrito). $$m a = -mg\sin\theta - \mu_d mg\cos\theta \quad \Longrightarrow \quad a = -g(\sin\theta + \mu_d\cos\theta)$$

Esempio. $\theta = 30°$, $\mu_d = 0{,}2$, lancio verso l'alto a $v_0 = 4$ m/s: $a = -6{,}6\ \text{m/s}^2$ e si ferma dopo $\frac{16}{2\cdot6{,}6} = 1{,}21$ m.

In salita peso e attrito si sommano (entrambi frenano); in discesa si sottraggono. Per questo un corpo lanciato in su si ferma prima di quanto tornerebbe giù accelerando.

Esempio. $\theta = 30°$, $\mu_d = 0{,}2$, $\mu_s = 0{,}3$; il blocchetto è lanciato verso l'alto con $v_0 = 4$ m/s.

1. Salita: $a = -9{,}81(0{,}5 + 0{,}2 \cdot 0{,}866) = -6{,}60\ \text{m/s}^2$. Si ferma dopo $t = \frac{4}{6{,}60} = 0{,}61$ s, avendo percorso $d = \frac{v_0^2}{2|a|} = \frac{16}{13{,}21} = 1{,}21$ m.
2. Resta fermo lassù? $\tan 30° = 0{,}577 > \mu_s = 0{,}3$: no, riparte verso il basso.
3. Discesa: $a = 9{,}81(0{,}5 - 0{,}2 \cdot 0{,}866) = 3{,}21\ \text{m/s}^2$; torna al punto di partenza con $v = \sqrt{2 \cdot 3{,}21 \cdot 1{,}21} = 2{,}79$ m/s, meno dei $4$ m/s iniziali (l'attrito ha dissipato energia).

Osservazione sul grafico. Se $\tan\theta < \mu_d$ la formula della discesa dà $a < 0$: un corpo lanciato verso il basso rallenta fino a fermarsi (e poi, essendo $\mu_s \ge \mu_d > \tan\theta$, resta fermo). La formula non significa che il corpo "risale".

Più corpi sul piano inclinato

Nei temi d'esame il piano ospita quasi sempre più corpi: due blocchetti collegati da un filo, un blocchetto su una piattaforma che scivola a sua volta, un cuneo. Il metodo resta quello di Leggi di NewtonLe tre leggi della dinamica: un corpo senza forze mantiene la sua velocità (nei sistemi inerziali), F = m a, e a ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta. Metodo per risolvere i problemi: diagramma di corpo libero, assi, proiezioni.Leggi di Newton →: un diagramma per ogni corpo, stessi assi per tutti (lungo e perpendicolare al piano), un'equazione per asse e per corpo, più i vincoli (filo teso: stessa accelerazione; blocchetto fermo sulla piattaforma: stessa accelerazione). Attenzione alla normale tra piattaforma e piano: la piattaforma è schiacciata anche dal blocchetto che porta, quindi $N = (m + M)g\cos\theta$ (Esercizio 40 · blocchetto su una piattaforma che scende lungo un piano inclinato).

Riassunto

Errori comuni

• Scambiare seno e coseno: si controlla con $\theta = 0$ e $\theta = 90°$.
• Usare $N = mg$ sul piano inclinato: la normale è $mg\cos\theta$, e l'attrito si calcola con questa.
• Tenere lo stesso verso dell'attrito in salita e in discesa: l'attrito dinamico si oppone alla velocità e cambia verso quando il corpo inverte il moto; le due fasi vanno studiate separatamente.
• Dimenticare di controllare se il corpo, fermatosi, riparte ($\tan\theta$ confrontato con $\mu_s$).