Momento angolare e momento di una forza

Prima: Centro di massaIl centro di massa è la media delle posizioni pesata con le masse. La quantità di moto totale è M v_CM e il CM si muove come un punto di massa M soggetto alla sola risultante delle forze esterne. Nel riferimento del CM la quantità di moto totale è zero.Centro di massa →, Prodotto scalare e prodotto vettorialeIl prodotto scalare a·b = ab cosθ è un numero, massimo per vettori paralleli e nullo per vettori perpendicolari; serve per proiezioni e lavoro. Il prodotto vettoriale a×b è un vettore perpendicolare ad entrambi, di modulo ab sinθ, verso con la mano destra; serve per momenti e rotazioni.Prodotto scalare e prodotto vettoriale → (qui si usa continuamente il prodotto vettoriale). Seguito: Teoremi di König ed energia di un sistemaTeoremi di König: energia cinetica e momento angolare di un sistema si dividono in una parte del centro di massa (come un punto di massa M) e una parte del moto relativo al CM. Teorema dell'energia cinetica per i sistemi: ΔK = lavoro delle forze esterne + lavoro delle forze interne.Teoremi di König ed energia di un sistema →, e soprattutto la dinamica del corpo rigido (Rotazione attorno a un asse fissoPer un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso L_z = I ω e la seconda equazione cardinale diventa M_z = I α, l'analogo di F = ma. Se il momento esterno lungo l'asse è nullo, I ω si conserva. Le reazioni del vincolo si trovano con la prima equazione cardinale; carrucole con massa.Rotazione attorno a un asse fisso →) e le orbite (Legge di gravitazione universaleDue masse si attraggono con forza G m1 m2 / r² lungo la congiungente. Da qui l'accelerazione di gravità g = GM/R² e come cambia con la quota, l'uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale, le tre leggi di Keplero e le orbite circolari (v = √(GM/r), T² ∝ r³).Legge di gravitazione universale →). Esercizio: Esercizio 56 · pallina legata a un filo che passa per un foro.

Perché servono

La quantità di moto e la forza descrivono bene le traslazioni. Per le rotazioni contano invece dove è applicata la forza e a che distanza da un punto passa il corpo: una porta si apre facilmente spingendo lontano dai cardini e quasi per niente spingendo vicino. Le grandezze giuste sono i loro "momenti" rispetto a un punto, detto polo.

Momento di una forza

Data una forza $\vec F$ applicata nel punto $P$ e scelto un polo $O$, il momento della forza rispetto a $O$ è

Definizione (momento di una forza). $$\vec M_O = \vec r \times \vec F \qquad \text{con } \vec r = \overrightarrow{OP} \qquad [\text{N}\cdot\text{m}]$$

Per le proprietà del prodotto vettoriale:

• modulo: $M_O = r\,F \sin\alpha = F\,b$, dove $\alpha$ è l'angolo tra $\vec r$ e $\vec F$ e $b = r\sin\alpha$ è il braccio, cioè la distanza di $O$ dalla retta d'azione della forza;
• direzione: perpendicolare al piano che contiene $\vec r$ e $\vec F$;
• verso: regola della mano destra. Se la forza tende a far girare il corpo attorno a $O$ in senso antiorario (visto dall'alto dell'asse $z$), il momento punta verso $+z$.

Conseguenze utili:

• il momento è nullo se la retta d'azione della forza passa per il polo ($b = 0$): per questo, scegliendo bene il polo, si "eliminano" dalle equazioni le forze che non si conoscono (la reazione di un perno, la tensione di un filo legato al polo);
• spostando la forza lungo la sua retta d'azione il momento non cambia (il braccio resta lo stesso);
• il momento dipende dal polo: cambiando $O$ cambia $\vec r$.

Esempio. Una forza di $20$ N spinge perpendicolarmente una porta a $0{,}8$ m dai cardini: $M = 0{,}8 \cdot 20 = 16$ N·m. Se spinge con un angolo di $30°$ rispetto alla porta, il braccio diventa $0{,}8 \sin 30° = 0{,}4$ m e $M = 8$ N·m.

Momento angolare di un punto

Un punto di massa $m$, in posizione $\vec r$ rispetto al polo $O$ e con velocità $\vec v$, ha momento angolare (o momento della quantità di moto)

Definizione (momento angolare di un punto). $$\vec L_O = \vec r \times m\vec v = \vec r \times \vec p \qquad [\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}]$$

Esempio. Massa $m = 0{,}5$ kg su una circonferenza di raggio $R = 2$ m con $v = 3$ m/s attorno al centro $O$: $L_O = mvR = 0{,}5\cdot3\cdot2 = 3\ \text{kg m}^2/\text{s}$.

Il modulo è $L_O = m\,v\,r\sin\alpha = m\,v\,b$, con $b$ distanza di $O$ dalla retta su cui sta la velocità.

Due casi importanti:

• moto circolare di raggio $R$ attorno a $O$: $\vec r \perp \vec v$, quindi $L_O = m v R = m R^2 \omega$ (con $v = \omega R$, Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare →), diretto lungo l'asse di rotazione;
• moto rettilineo uniforme: $L_O = m v b$ con $b$ costante (la distanza di $O$ dalla retta del moto), quindi $\vec L_O$ è costante. Anche un punto che va dritto ha momento angolare, se la sua retta non passa per il polo.

Esempio da esame (tema del 10 febbraio 2023). Una sferetta di massa $m = 0{,}1$ kg cade con velocità verticale $|v_y| = 7{,}64$ m/s e componente orizzontale $v_0 = 2$ m/s, nel punto di ascissa $x_P = 1{,}56$ m, alla stessa quota di un polo $O$ di ascissa $x_O = 2$ m. Il vettore $\vec r = \overrightarrow{OP}$ è orizzontale, quindi la componente orizzontale della velocità (parallela a $\vec r$) non dà contributo e il braccio di quella verticale è $x_O - x_P = 0{,}44$ m:

$$L_{O,z} = m\,|v_y|\,(x_O - x_P) = 0{,}1 \cdot 7{,}64 \cdot 0{,}44 = 0{,}336\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$$

Teorema del momento angolare per un punto

Si deriva $\vec L_O$ rispetto al tempo, con il polo $O$ fisso:

$$\frac{d\vec L_O}{dt} = \frac{d\vec r}{dt} \times m\vec v + \vec r \times m\frac{d\vec v}{dt} = \underbrace{\vec v \times m\vec v}_{= \vec 0} + \vec r \times m\vec a$$

Il primo termine è nullo perché il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è zero. Nel secondo, $m\vec a = \vec F$ (risultante delle forze sul punto). Quindi

Teorema del momento angolare (punto materiale). $$\boxed{\frac{d\vec L_O}{dt} = \vec M_O}$$

Esempio. Su un corpo fermo agisce un momento costante $M_O = 16\ \text{N m}$: dopo $2$ s è $L_O = 16\cdot2 = 32\ \text{kg m}^2/\text{s}$.

È la "versione rotazionale" di $\frac{d\vec p}{dt} = \vec F$: il momento delle forze cambia il momento angolare come la forza cambia la quantità di moto.

Forze centrali e conservazione

Una forza è centrale se è sempre diretta verso (o via da) un punto fisso $O$, il centro: la gravità del Sole su un pianeta, la tensione di un filo legato a un chiodo. Rispetto al centro il momento è nullo ($\vec r \parallel \vec F$), quindi

Principio di conservazione del momento angolare (forze centrali). $$\vec L_O = \text{costante}$$

Conseguenze:

1. il moto è piano: $\vec r$ e $\vec v$ sono sempre perpendicolari al vettore fisso $\vec L_O$, quindi stanno sempre nello stesso piano;
2. legge delle aree: il raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali. L'area spazzata nel tempo $dt$ è il triangolo di lati $\vec r$ e $\vec v\,dt$, cioè $dA = \frac12 |\vec r \times \vec v\,dt|$, e quindi la velocità areolare è $$\frac{dA}{dt} = \frac{L_O}{2m} = \text{costante}$$ È la seconda legge di Keplero (Legge di gravitazione universaleDue masse si attraggono con forza G m1 m2 / r² lungo la congiungente. Da qui l'accelerazione di gravità g = GM/R² e come cambia con la quota, l'uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale, le tre leggi di Keplero e le orbite circolari (v = √(GM/r), T² ∝ r³).Legge di gravitazione universale →);
3. dove il punto è più vicino al centro va più veloce: nei punti in cui $\vec v \perp \vec r$ (per esempio afelio e perielio di un'orbita) $L = m v r$, quindi $v_1 r_1 = v_2 r_2$.

Esempio: la pallina con il filo nel foro. Una pallina di $0{,}2$ kg gira su un tavolo liscio attorno a un foro, legata a un filo che passa nel foro, su un cerchio di raggio $r_1 = 0{,}5$ m a $v_1 = 2$ m/s. Tirando il filo da sotto il raggio diventa $r_2 = 0{,}25$ m. La tensione è centrale (punta sempre verso il foro), quindi $L$ si conserva: $m v_1 r_1 = m v_2 r_2 \Rightarrow v_2 = v_1 \frac{r_1}{r_2} = 4$ m/s. L'energia cinetica non si conserva: passa da $0{,}4$ J a $1{,}6$ J, e la differenza è il lavoro fatto da chi tira il filo. Svolgimento completo: Esercizio 56 · pallina legata a un filo che passa per un foro.

Sistemi di punti

Il momento angolare di un sistema è la somma di quelli dei punti, $\vec L_O = \sum_i \vec r_i \times m_i \vec v_i$. Derivando e usando la legge di Newton per ogni punto, compaiono i momenti di tutte le forze, interne ed esterne. Le forze interne si presentano a coppie $\vec F_{ij} = -\vec F_{ji}$ sulla stessa retta (la congiungente dei due punti), quindi hanno lo stesso braccio e momento totale nullo:

$$\vec r_i \times \vec F_{ij} + \vec r_j \times \vec F_{ji} = (\vec r_i - \vec r_j) \times \vec F_{ij} = \vec 0$$

perché $\vec r_i - \vec r_j$ è parallelo a $\vec F_{ij}$. Rimane la seconda equazione cardinale:

Formula (seconda equazione cardinale). $$\boxed{\frac{d\vec L_O}{dt} = \vec M_O^{(E)}}$$

valida se il polo $O$ è fisso oppure coincide con il centro di massa (anche se questo accelera). Per un polo che si muove in modo qualsiasi compare un termine in più: $\frac{d\vec L_O}{dt} = \vec M_O^{(E)} - \vec v_O \times \vec P$, che è nullo se $\vec v_O = 0$ o se $\vec v_O \parallel \vec v_{CM}$.

Esempio. Sistema inizialmente fermo su cui il momento delle forze esterne vale $5\ \text{N m}$ per $4$ s: $L_O = 5\cdot4 = 20\ \text{kg m}^2/\text{s}$; se il momento è nullo $\vec L_O$ resta costante.

Conservazione: se il momento delle forze esterne rispetto a un polo (fisso o CM) è nullo, il momento angolare totale rispetto a quel polo si conserva. Come per la quantità di moto, può valere anche per una sola componente: se $M_{O,z}^{(E)} = 0$, si conserva $L_{O,z}$.

Negli urti: durante un urto contano solo le forze impulsive. Se c'è un perno fisso che esercita un impulso, la quantità di moto non si conserva, ma il momento angolare rispetto al perno sì, perché l'impulso del perno ha braccio nullo rispetto a se stesso. È il metodo standard degli Urti con corpi rigidiNegli urti con un corpo rigido imperniato si conserva il momento angolare rispetto al perno (la reazione impulsiva del perno ha momento nullo), non la quantità di moto; l'impulso del vincolo si ricava dalla variazione di quantità di moto. Per un corpo libero si conservano quantità di moto e momento angolare.Urti con corpi rigidi →.

Momento angolare rispetto a un asse

Spesso interessa solo la componente lungo un asse $z$ passante per $O$: $L_z = \vec L_O \cdot \hat z$ e $M_z = \vec M_O \cdot \hat z$. Questa componente non dipende da quale punto $O$ dell'asse si sceglie, e vale $\frac{dL_z}{dt} = M_z^{(E)}$. Per le rotazioni attorno a un asse fisso diventerà $L_z = I\omega$ (Rotazione attorno a un asse fissoPer un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso L_z = I ω e la seconda equazione cardinale diventa M_z = I α, l'analogo di F = ma. Se il momento esterno lungo l'asse è nullo, I ω si conserva. Le reazioni del vincolo si trovano con la prima equazione cardinale; carrucole con massa.Rotazione attorno a un asse fisso →).

Riassunto

Errori comuni

• Non dire rispetto a quale polo: momento e momento angolare cambiano con il polo. Il polo va scelto e scritto all'inizio, e va usato lo stesso per tutti i termini.
• Sbagliare il braccio: è la distanza del polo dalla retta d'azione della forza (o della velocità), non la distanza dal punto di applicazione.
• Confondere conservazione di $L$ e di energia: nella pallina tirata nel foro $L$ si conserva e l'energia no.
• Usare un polo mobile qualsiasi nella seconda equazione cardinale: vale così com'è solo per polo fisso o CM.