Statica dei fluidi: pressione e legge di Stevino

Inizio del capitolo sui fluidi. Si usano le Leggi di NewtonLe tre leggi della dinamica: un corpo senza forze mantiene la sua velocità (nei sistemi inerziali), F = m a, e a ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta. Metodo per risolvere i problemi: diagramma di corpo libero, assi, proiezioni.Leggi di Newton → (equilibrio delle forze) applicate a una porzione di fluido. Seguito: Principio di ArchimedeUn corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto uguale al peso del fluido spostato, F = ρ_fluido V_imm g. Il corpo galleggia se è meno denso del fluido, e la frazione immersa è il rapporto tra le densità.Principio di Archimede →, Dinamica dei fluidi - continuità e BernoulliPer un fluido ideale in moto stazionario la portata S·v è la stessa in ogni sezione del tubo (continuità), e lungo il tubo p + ρv²/2 + ρgz resta costante (Bernoulli, che è la conservazione dell'energia). Applicazioni: Torricelli e tubo di Venturi.Dinamica dei fluidi - continuità e Bernoulli →. La pressione tornerà come variabile di stato dei gas in Gas ideali - equazione di statoUn gas abbastanza rarefatto obbedisce all'equazione di stato pV = nRT, con R = 8,31 J/(mol·K) e T in kelvin. Riassume le leggi di Boyle (isoterma), di Gay-Lussac (isobara e isocora) e di Avogadro. Per n fisso: pV/T è costante tra due stati qualsiasi.Gas ideali - equazione di stato →. Esercizi: Esercizio 81 · mercurio e due gas in cilindri comunicanti, Esercizio 83 · blocco di legno che galleggia.

Cos'è un fluido

Un fluido è un corpo che non ha forma propria: liquidi e gas. A differenza di un solido, un fluido in quiete non riesce a sopportare forze tangenziali (che lo farebbero scorrere): se si prova a "spingerlo di lato", scorre. Quindi in un fluido in quiete le forze sulle superfici sono sempre perpendicolari alle superfici.

• I liquidi sono praticamente incomprimibili: il loro volume non cambia apprezzabilmente con la pressione. Si trattano con densità costante.
• I gas sono molto comprimibili: occupano tutto il volume disponibile e la loro densità dipende da pressione e temperatura (se ne parla in termodinamica).

Densità

La densità è la massa per unità di volume:

Definizione (densità). $$\rho = \frac{m}{V} \qquad [\text{kg/m}^3]$$

Esempio. Un blocco di $2{,}7$ kg e volume $1\ \text{dm}^3 = 10^{-3}\ \text{m}^3$ ha $\rho = \frac{2{,}7}{10^{-3}} = 2700\ \text{kg/m}^3$ (alluminio).

Valori da ricordare:

Conversione utile: $1\ \text{g/cm}^3 = \frac{10^{-3}\ \text{kg}}{10^{-6}\ \text{m}^3} = 10^3\ \text{kg/m}^3$.

Pressione

Si prende una piccola superficie di area $\Delta S$ dentro il fluido (o sulla parete del recipiente). Il fluido da una parte esercita su di essa una forza $\Delta F$, perpendicolare alla superficie. La pressione è

Definizione (pressione). $$p = \frac{\Delta F}{\Delta S} \qquad (\text{al limite } \Delta S \to 0: \ p = \frac{dF}{dS})$$

Esempio. Una forza di $500$ N distribuita su $S = 0{,}05\ \text{m}^2$: $p = \frac{500}{0{,}05} = 10^4\ \text{Pa} = 10$ kPa.

È uno scalare (non un vettore): la forza su una superficie si ottiene come $\vec F = p\,S\,\hat n$, con $\hat n$ perpendicolare alla superficie e diretto verso di essa (il fluido spinge).

Unità di misura: pascal, $1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2$. È un'unità piccola: si usano anche

La pressione non dipende dall'orientazione. In un punto di un fluido in quiete la pressione è la stessa su qualunque superficie passante per quel punto, comunque orientata. (Si dimostra imponendo l'equilibrio di un prisma di fluido piccolissimo: se le pressioni sulle facce fossero diverse, il prisma accelererebbe.) Per questo si può parlare di "pressione in un punto" senza dire in che direzione.

La legge di Stevino

Domanda: in un liquido in quiete, come cambia la pressione con la profondità?

Ragionamento. Si prende un asse $z$ verticale verso l'alto e si isola dentro il liquido un cilindretto di fluido con le basi orizzontali di area $S$, alle quote $z$ e $z + dz$. Le forze verticali su di esso sono tre:

• sulla base inferiore il fluido sottostante spinge verso l'alto: $+p(z)\,S$;
• sulla base superiore il fluido soprastante spinge verso il basso: $-p(z + dz)\,S$;
• il peso del cilindretto, verso il basso: $-dm\,g = -\rho\,S\,dz\,g$.

(Le forze sulla superficie laterale sono orizzontali e si annullano a due a due.) Il cilindretto è fermo, quindi la somma delle forze verticali è zero:

$$p(z)\,S - p(z + dz)\,S - \rho g\,S\,dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{dp}{dz} = -\rho g$$

La pressione diminuisce salendo (e aumenta scendendo) con pendenza $\rho g$. Per un liquido $\rho$ è costante, e integrando tra due quote $z_1$ e $z_2$:

$$p(z_2) - p(z_1) = -\rho g\,(z_2 - z_1)$$

Detta $p_0$ la pressione sulla superficie libera e $h$ la profondità sotto la superficie, si ottiene la legge di Stevino:

Legge di Stevino. $$\boxed{p(h) = p_0 + \rho g h}$$

Esempio. In un lago a $h = 20$ m: $p = 1{,}013\cdot10^5 + 1000\cdot9{,}81\cdot20 = 2{,}98\cdot10^{5}\ \text{Pa} \approx 2{,}9$ atm.

Significato: il termine $\rho g h$ è il peso della colonna di liquido di altezza $h$ e base unitaria che sta sopra il punto. Il liquido "sotto" deve sostenere il peso di tutto quello che ha sopra (aria compresa, ed è $p_0$).

Esempio. Un sub a $h = 10\ \text{m}$ di profondità in acqua dolce, con $p_0 = 1{,}013 \times 10^5\ \text{Pa}$:

$$p = 1{,}013 \times 10^5 + 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 10 = 1{,}013 \times 10^5 + 0{,}981 \times 10^5 \approx 1{,}99 \times 10^5\ \text{Pa}$$

Circa due atmosfere: ogni $10$ metri d'acqua la pressione aumenta di circa un'atmosfera.

Conseguenze immediate.

1. Punti alla stessa quota dentro lo stesso liquido (in quiete e connesso) hanno la stessa pressione. Le superfici di uguale pressione (isobare) sono piani orizzontali.
2. La pressione non dipende dalla forma del recipiente, ma solo dalla profondità (il cosiddetto "paradosso idrostatico": sul fondo di un vaso largo e di uno stretto, pieni alla stessa altezza, c'è la stessa pressione).
3. La differenza di pressione tra due punti dipende solo dalla loro differenza di quota: $\Delta p = \rho g\,\Delta h$.

Pressione assoluta e relativa. $p$ è la pressione assoluta; $p - p_0 = \rho g h$ si chiama pressione relativa (o manometrica): è quella che segnano i manometri delle gomme, che misurano quanto la pressione supera quella atmosferica.

Principio di Pascal

Se si aumenta la pressione $p_0$ sulla superficie (per esempio con un pistone) di una quantità $\Delta p_0$, per Stevino la pressione $p_0 + \rho g h$ aumenta della stessa quantità in ogni punto del liquido. È il principio di Pascal: una variazione di pressione applicata a un fluido chiuso si trasmette inalterata a tutto il fluido.

Pressa idraulica. Due cilindri collegati, pieni di liquido, chiusi da pistoni di aree $S_1$ (piccolo) e $S_2$ (grande), alla stessa quota. La pressione sotto i due pistoni è la stessa:

Principio di Pascal. $$\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \quad \Longrightarrow \quad F_2 = F_1\,\frac{S_2}{S_1}$$

Esempio. Pressa idraulica con $S_1 = 10\ \text{cm}^2$ e $S_2 = 500\ \text{cm}^2$: con $F_1 = 100$ N si ottiene $F_2 = 100\cdot\frac{500}{10} = 5000$ N.

La forza viene moltiplicata per il rapporto delle aree. Esempio: pistoni di raggio $2$ cm e $20$ cm, rapporto delle aree $\left(\frac{20}{2}\right)^2 = 100$: con $98{,}1\ \text{N}$ (il peso di $10$ kg) si sostiene il peso di una tonnellata. Non si crea energia: il volume spostato è lo stesso, $S_1\,d_1 = S_2\,d_2$, quindi il pistone piccolo si abbassa di $100$ volte di più di quanto si alzi quello grande, e il lavoro $F_1 d_1 = F_2 d_2$ è lo stesso.

Vasi comunicanti

Recipienti collegati alla base, con lo stesso liquido e aperti all'atmosfera: il liquido si dispone alla stessa altezza in tutti. Motivo: alla base la pressione è unica, $p_0 + \rho g h_1 = p_0 + \rho g h_2$, quindi $h_1 = h_2$.

Con liquidi diversi (tubo a U con acqua da una parte e olio dall'altra, non mescolabili): si prende come riferimento la quota della superficie di separazione tra i due liquidi. Lì, e alla stessa quota nell'altro ramo (stesso liquido sotto, quindi stessa pressione):

Formula (vasi comunicanti con liquidi diversi). $$p_0 + \rho_1 g h_1 = p_0 + \rho_2 g h_2 \quad \Longrightarrow \quad \rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$$

Esempio. Acqua ($\rho_1 = 1000$) alta $h_1 = 10$ cm contro olio ($\rho_2 = 800$): $h_2 = \frac{1000\cdot10}{800} = 12{,}5$ cm.

Il liquido più denso sta più in basso: le altezze sono inversamente proporzionali alle densità.

Con gas chiusi sopra i liquidi (come nell'Esercizio 81 · mercurio e due gas in cilindri comunicanti): le superfici libere non sono più alla pressione atmosferica, ma alla pressione del gas che le sovrasta. Se i livelli differiscono di $\Delta h$, allora $p_{\text{gas sopra il livello più basso}} = p_{\text{gas sopra il livello più alto}} + \rho g\,\Delta h$.

Barometro di Torricelli

Un tubo lungo circa un metro, chiuso a un'estremità, si riempie di mercurio e si capovolge in una bacinella di mercurio. Il mercurio scende e si ferma a un'altezza $h$ sopra il livello della bacinella; sopra resta il vuoto (pressione praticamente zero). Alla quota della superficie della bacinella, dentro e fuori dal tubo la pressione è la stessa:

Formula (barometro di Torricelli). $$p_{\text{atm}} = 0 + \rho_{\text{Hg}}\,g\,h \quad \Longrightarrow \quad h = \frac{p_{\text{atm}}}{\rho_{\text{Hg}}\,g} = \frac{1{,}013 \times 10^5}{13{,}6 \times 10^3 \cdot 9{,}81} \approx 0{,}76\ \text{m}$$

Esempio. Con l'acqua invece del mercurio: $h = \frac{1{,}013\cdot10^5}{1000\cdot9{,}81} = 10{,}3$ m.

Da qui l'unità "760 mmHg = 1 atm". Con l'acqua, molto meno densa, servirebbe un tubo alto $\frac{1{,}013 \times 10^5}{1000 \cdot 9{,}81} \approx 10{,}3\ \text{m}$: è anche il motivo per cui una pompa aspirante non riesce a sollevare l'acqua per più di circa $10$ m.

Manometro a tubo aperto

Un tubo a U con liquido di densità $\rho$, con un ramo collegato a un recipiente di gas a pressione $p$ e l'altro aperto all'atmosfera. Se il liquido nel ramo aperto sta più in alto di $h$:

Formula (manometro a tubo aperto). $$p = p_{\text{atm}} + \rho g h$$

cioè il dislivello misura direttamente la pressione relativa del gas. Se sta più in basso, il gas è in depressione: $p = p_{\text{atm}} - \rho g h$.

Esempio. Dislivello $h = 20$ cm di mercurio ($\rho = 13\,600\ \text{kg/m}^3$): pressione relativa $\rho g h = 26{,}7$ kPa.

Forza su una parete

La forza totale su una superficie si ottiene sommando $p\,dS$ su tutta la superficie. Se la superficie è orizzontale (il fondo di un recipiente) la pressione è uniforme e $F = p\,S$. Se è verticale la pressione cresce con la profondità e bisogna integrare. Per una parete rettangolare di larghezza $b$, immersa dalla superficie fino a profondità $H$, considerando solo la pressione relativa (l'atmosfera spinge anche dall'altra parte e si compensa):

Formula (forza su una parete verticale). $$F = \int_0^H \rho g h \cdot b\,dh = \frac12 \rho g b H^2$$

Esempio. Parete larga $b = 10$ m con acqua alta $H = 5$ m: $F = \frac12\cdot1000\cdot9{,}81\cdot10\cdot25 = 1{,}23\cdot10^{6}$ N.

È come se su tutta la parete agisse la pressione media, quella a metà profondità $\rho g \frac{H}{2}$.

Riassunto

Errori comuni

• Misurare $h$ dal fondo invece che dalla superficie: in Stevino $h$ è la profondità, cioè la distanza verticale sotto la superficie libera.
• Dimenticare $p_0$: la pressione assoluta in un punto del liquido comprende quella dell'aria sopra. Si omette solo quando interessa una differenza di pressione o una forza che l'atmosfera esercita su entrambe le facce.
• Confrontare pressioni a quote uguali in liquidi diversi: "stessa quota, stessa pressione" vale solo dentro lo stesso liquido connesso.
• Usare densità in g/cm³ con $g$ in m/s²: la densità va in kg/m³ ($1\ \text{g/cm}^3 = 1000\ \text{kg/m}^3$).